2026届中考数学二轮专题训练 三角形（含答案）

2026届中考数学二轮专题训练：三角形
知识点参考
1．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
7．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
8．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
9．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
10．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
11．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
12．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
13．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
14．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
15．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
强化训练
一．选择题（共16小题）
1．如图，α+β=（　　）
A．180° B．140° C．100° D．70°
2．以下列各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（　　）
A． B． C． D．7，24，26
3．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，则∠DAE的度数为（　　）
A．90° B．80° C．70° D．60°
4．如图，在△ABC中，AD，BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F．若AD=BD=6，且△ACD的面积为12，则AF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
5．如图，在Rt△ABC中，，点D，E在边BC上，且∠DAE=45°，DC=1，则DE的长是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知AC=5cm,AD=9cm,BE是线段CD的垂直平分线，则△ABC的周长为（　　）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
7．如图，在△ABC中，点E是边AD的中点，BD=2CD，若S△BDE=6，则阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．3 C．4 D．2
8．如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN∥OB交OA于点N，若PM=2，则PN的长为（　　）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
9．如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点D在BC上，连接AD，ED，延长ED交AB于点F，若∠EBC=28°，则∠ADF的大小为（　　）
A．73° B．72° C．71° D．63°
10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD．四个结论中成立的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在△ACB和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=m,DC=EC=n,点D在边AB上，M为DE的中点，连接BE，BM，设AD=d,若求BM的长，则下列说法正确的是（　　）
A．必须求得m、n、d的值 B．只需求得m的值
C．只需求得d的值 D．只需求得n的值
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB上的点，连接DE，CE，∠ECD=45°，那么下列结论中：①∠AED=∠ECB；②BC=CE；③；④∠ADE=∠ACE，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=b,猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则的值为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AB的一点，延长CD至点E，使得∠CAB=∠BAE，∠BAE=35°，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，则∠FGB=（　　）
A．100° B．110° C．115° D．145°
16．已知Rt△ACB≌Rt△DEF，其中∠C=90°，AC=6，BC=8，M、N分别为DF、AB的中点，将两个三角形按图①方式摆放，三角形DEF从点A开始沿AC方向平移至点E与点C重合结束（如图②），在整个平移过程中，MN的取值范围是（　　）
A．0＜MN＜5 B．0≤MN≤5 C． D．
二．填空题（共8小题）
17．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=10，则PD等于 ______．
18．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF=3DF．若∠AFC=90°，则BC的长度是 ______．
19．如图，△ABC与△ADE相交于点A，AD=AB，∠DAC=∠BAE，AE=AC，若BC=6，则DE的长度是______．
20．如图，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠BAD的度数为______．
21．如图，在△ABC中，线段CF、BE交于点O，E、F、H分别在线段AC、AB、BC上，BF=AB且EH⊥BC于H．若AB=4，BC=14，EH=4，则△ABC的面积为 ______，AO的长度为 ______．
22．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为 ______．
23．如图，等边△ABC中，AB=6，点E在BC边上，且BE=2，点F为AB边上一点，连接EF，在EF的右侧作∠FEP=60°，且EP=EF，连接AP，则AP的最小值为 ______．
24．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE=BA，∠E=∠C，若DE=BD，AD=16，BD=20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF=DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 ______．
三．解答题（共7小题）
25．如图，在△ABC中，AB=CB，点D是边AC上一点，点E为△ABC外的任意一点，连接BD，BE，DE，其中BE=BC，∠ABD=∠EBD．
（1）求证：△ABD≌△EBD；
（2）若∠CAB=∠DBA，BE=6，AC=10，求△BDC的周长．
26．如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，BE⊥AB交AD的延长线于点E，点F在AE上，且AF=BE，连接CF、CE．
求证：（1）∠CAF=∠CBE；
（2）△CEF是等边三角形．
27．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在线段AD上，延长FE交BC的延长线于G，∠BAC+∠ADE+∠ACB=180°．
（1）如图1，证明：DE∥BC；
（2）如图2，EH⊥AB，∠G=35°，∠FEH=12°，求∠B的度数．
28．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，E为边BA上一点，且AE=CD，连接AD，F为AD的中点．连接EF并延长，交AC于点G，在FG上截取点H，使FH=FE，连接GD，若HG=CG．
（1）求证：△AEF≌△DHF；
（2）求证：∠B=2∠GDC．
29．已知在△ABC中，AC=BC=8cm,∠ACB=90°，点D以每秒1cm/s的速度由B向点C运动，DE⊥AB于点E，点M为AD的中点．
（1）求证：△CME为等腰直角三角形；
（2）当点D运动2秒时，求CE的长．
30．如图，已知△ABC和△ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．
（1）求证：AC=AE；
（2）若∠B=25°，∠APC=65°，求∠E的度数．
31．已知：等边△ABC，点A和点D在直线BC的异侧，且∠BDC=60°，AE⊥BC于点E．
（1）如图1，若DB⊥BC，AB=4，求AD的长；
（2）如图2，取AD中点F，连接EF，试探究BD，CD，EF三条线段的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，当BF最小时，在线段BC上取点G，在射线EF上取点H，使BG=EH，连接BH，HG，射线HG交AC延长线于点K．当最小时，请直接写出的值．
2026届中考数学二轮专题训练：三角形
(参考答案)
一．选择题（共16小题）
1、B 2、A 3、C 4、C 5、A 6、B 7、B 8、D 9、A 10、C 11、D 12、C 13、A 14、A 15、B 16、D
二．填空题（共8小题）
17、5； 18、16； 19、6； 20、40°； 21、84；； 22、10； 23、； 24、64；
三．解答题（共7小题）
25、（1）证明：∵AB=CB，BE=BC，
∴BE=AB，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS）；
（2）解：∵∠CAB=∠DBA，
∴DA=DB，
∵BE=6，
∴BE=AB=CB=6，
∵AC=10，
∴△BDC的周长为CD+BD+BC=CD+AD+BC=AC+BC=16．
26、证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=60°，
∵D为BC的中点，
∴∠CAD=∠CAB=30°，
又∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=90°-∠CBA=30°，
∴∠CAF=∠CBE；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴CA=CB，
在△CAF和△CBE中，
，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CE=CF，∠ACF=∠BCE，
∴∠ECF=∠BCE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，
∴△CEF是等边三角形．
27、（1）证明：∵∠BAC+∠ADE+∠ACB=180°，∠BAC+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠AED=∠ACB，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠G=35°，∠B=∠EDH，
∵∠FEH=12°，
∴∠DEH=35°-12°=23°，
∵EH⊥AB，
∴∠DHE=90°，
∴∠EDH=90°-23°=67°，
∴∠B=67°．
28、证明：（1）∵F为AD的中点，
∴AF=DF，
在△AEF和△DHF中，
，
∴△AEF≌△DHF（SAS），
（2）∵△AEF≌△DHF，
∴∠EAF=∠HDF，AE=DH，
∴DH∥AB，
∴∠HDC=∠B，
∵AE=CD，
∴DH=CD，
在△DHG和DCG中，
，
∴△DHG≌DCG（SSS），
∴∠GDC=∠GDH，
∴∠HDC=∠GDC+∠GDH=2∠GDC．
∴∠B=2∠GDC．
29、（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∵M是AD中点，
∴CM=AD，ME=AD，
∴CM=ME，
∵AM=AD，
∴AM=CM=ME，
∴∠CAM=∠ACM，∠MAE=∠MEA，
∴∠CMD=∠CAM+∠ACM=2∠CAM，∠DME=∠MAE+∠MEA=2∠MAE，
∴∠CMD+∠DME=2（∠CAM+∠MAE），
∴∠CME=2∠CAB，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CME=90°，
∴△MCE是等腰直角三角形；
（2）解：当点D运动2秒时，BD=1×2=2（cm），
∴CD=BC-BD=8-2=6（cm），
∵∠ACB=90°，AC=8cm,
∴AD==10（cm），
∴CM=AD=5（cm），
∵△MCE是等腰直角三角形，
∴CE=CM=5（cm）．
30、（1）证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC=AE；
（2）解：∵∠B=25°，∠APC=65°，
∴∠BAP=∠APC-∠B=65°-25°=40°，
又∵∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE=40°，
由（1）知AC=AE，
∴∠E=∠ACE=×（180°-∠CAE）=×（180°-40°）=70°．
31、解：（1）过点F作AF⊥DB于点F，
∵等边△ABC，AE⊥BC，
∴AB=AC=4，BE=，
∴AE=，
∵DF⊥BC，AE⊥BC，AF⊥DB，
∴四边形AFBE为矩形，
∴BF=AE=2，AF=BE=2，
在Rt△DBC中，BC=4，∠BDC=60°，
∴BC=，
∴BD=，
∴，
∴，
故AD的长为．
（2）CD=BD+2EF，
理由如下：
延长AE至点G，使AE=EG，连接DG，BG，在CD上截取DH=DB，
∵点F是AD的中点，
∴EF=，
∵DH=DB，∠BDC=60°，
∴△BDH为等边三角形，
∴BD=BH，∠DBH=60°，
∵AE⊥BC，AE=EG，
∴AB=AG，∠ABC=∠GBC，
∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴BG=BC，∠GBC=60°，
∴∠DBG=∠CBH=60°-∠HBG，
又∵BG=BC，BD=BH，
∴△BDG≌△BHC（SAS），
∴CH=DG=2EF，
∵CD=CH+DH，
∴CD=BD+2EF，
（3）设AB=BC=a,
∵∠BDC=60°，BC为定值，
∴点B，C，D三点共圆，设圆心为O，则圆心在线段BC的中垂线上，且∠BOC=2∠BDC=120°，
∵AE垂线平分BC，
∴点O在射线AE上，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°，
∵∠ABO=，
∴AO=2OB，AB=，
∴，
∴OD=，
取AO的中点O'，连接O'F，则O'F∥OD，
O'F==，OO'=，
∴点F在以点O'为圆心，为半径的圆上，
连接O'B，则BF≥O'B-O'F，
∴当B，F，O'三点共线时，BF的值最小，
∵OB=OO'，∠BOO'=，
∴△OBO'为等边三角形，
∴O'B=OB=，∠OBO'=60°，∠OO'B=60°，
∴∠O'BE=60°-∠OBC=30°，
BF=O'B-O'F==O'F'，
∵O'F∥OD，
∴∠O'OD=120°，
∴∠O'OB+∠DOB=120°，
∴∠BOD=60°，
∵OB=OD，
∴△BOD为等边三角形，
∴∠BDO=60°=∠BDC，BD=OB=，
∴C，O，D三点共线，
∴CD为直径，
∴∠CBD=90°，
∴S△BDC=，
∵BF=O'B-O'F=，
∴F为O'B的中点，
∵∠BEA=90°，
∴EF=，
∴∠FEB=30°，
过点H作HM⊥BE，交BE于点M，
∴HM=，
∴BH-=BH-HM≤BM，
∴当M与点B重合时，BM=0，BH-的值最小，
∴BH==，HB⊥BE，
∴BH=，BE=，
∴BH=，
∴EH=2BE=，
∴BG=，
∴CG=BC-BG=，
过点K作KN⊥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE∥KN，
∴∠CKN=∠CAE=，
设CN=x,则KN=CN tan60°=x,
∴，
∵，
∴，
∴x=（）a,
∴KN==（）a,
∴S△GCK==，
∴，
故的值为，