北师大版九年级下册 第2章 二次函数 单元练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册 第2章 二次函数 单元练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 108.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-18 18:22:52 | ||
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文档简介
北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元练习
一．选择题（共12小题）
1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=6x-5 B． C．y=5x2+3x D．
2．抛物线y=x2-4x+1的顶点是（ ）
A．（-2，3） B．（-2，-3） C．（2，3） D．（2，-3）
3．抛物线y=2（x-1）2+3的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=-1 D．直线x=-1
4．关于二次函数y=-2（x-1）2+4，下列叙述正确的是（ ）
A．当x=1时，y有最小值4 B．当x=1时，y有最大值4
C．当x=-1时，y有最小值4 D．当x=-1时，y有最大值4
5．已知函数y=（x-m）2-1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m=1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1
6．若抛物线y=x2+1经过一次平移得到抛物线y=x2-1，则该平移是（ ）
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度
7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．abc＞0 B．函数的最大值为a-b+c
C．当x=-3或1时，y=0 D．4a-2b+c＜0
8．如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -9 -3 -1 1 1 …
A．-3＜x1＜-2 B．-1＜x1＜0 C．-2＜x1＜-1 D．0＜x1＜1
9．在同一坐标系中，一次函数y=-mx+1与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上印有一条抛物线y=x2及抛物线上一点P（2，4）．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为（0，3），则此时抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2-1 C．y=（x-2）2+1 D．y=（x-2）2-1
11．如图，二次函数y=ax2+bx-3（a≠0）的图象与x轴交于A（m,0），B（1，0），其中-3＜m＜-2．结合图象给出下列结论：①ab＜0；②a+b=3；③当x＞-1时，y随x增大而增大；④当x＞0，y＞-3；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0的一个根是1，另一个根是．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值y＜0．
有以下结论：
①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在和0之间；③；④p1（t-1，y1）和p2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数时，y1＞y2.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
二．填空题（共5小题）
13．抛物线y=-3（x-1）2-2的对称轴是直线 ______．
14．如果函数y=（k-1）x2+kx-1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 ______．
15．二次函数与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 ______．
16．在平面直角坐标系内，已知点A（-1，0），点B（1，1），若抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ______．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0），
①若抛物线的顶点在第二象限，且a+b+c=0，，则当x＜-1时，y随x的增大而增大．
②若抛物线开口向下，顶点在第二象限，且a+b+c=0，对称轴是直线x=-1，方程ax2+bx+c=t（t＞0）有整数根，则对应的t值有2个．
③若对任意实数t都有a（t2-1）+b（t+1）≤0，则b=2a.
④若A（x1，n），B（x2，n）在抛物线上，则当x=x1+x2时，y=c.
上述结论中，一定正确的是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=-x2+4x.
（1）用配方法求出该函数图象的顶点坐标和对称轴．
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
19．已知抛物线y=3（x+1）2-12如图所示
（1）求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；
（2）求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
（3）如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．
20．如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y1=-x+m与二次函数y2=ax2+bx-3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式，
（2）请直接写出使y1≤y2时自变量x的取值范围．
21．如图，足球场上守门员徐杨在O处抛出一高球，球从离地面1m处的点A飞出，其飞行的最大高度是4m,最高处距离飞出点的水平距离是6m,且飞行的路线是抛物线一部分．以点O为坐标原点，竖直向上的方向为y轴的正方向，球飞行的水平方向为x轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：4≈7）
（1）求足球的飞行高度y（m）与飞行水平距离x（m）之间的函数关系式；
（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（精确到个位）
（3）若对方一名1.7m的队员在距落点C3m的点H处，跃起0.3m进行拦截，则这名队员能拦到球吗？
22．已知顶点在坐标原点的抛物线经过A（1，t），B（3，t+8）两点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图1，过点B的直线交抛物线于另一点C，BD⊥x轴于点D，连接OB．若BO平分∠CBD，求点C的坐标；
（3）如图2，Q为y轴正半轴上一点，M为第一象限内抛物线上一点，点M的横坐标为m,将点M绕点Q逆时针旋转90°，得到的对应点N恰好落在抛物线上，过点M的直线y=（2m-2）x+b交抛物线于另一点P，求证：△PMN的面积为定值，并求出该定值．
北师大版九年级下第2章二次函数单元练习
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、D 3、A 4、B 5、C 6、B 7、D 8、B 9、D 10、B 11、C 12、C
二．填空题（共5小题）
13、x=1； 14、k≠1； 15、x＜1或x＞4； 16、1≤a＜或a≤-2； 17、②③④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵y=-x2+4x=-（x2-4x+4-4）=-（x-2）2+4，
∴顶点坐标为（2，4），对称轴为直线x=2；
（2）∵a=-1，
∴抛物线开口向下，
∵二次函数的常数项为0，
∴抛物线过原点，
∵对称轴为直线x=2，
∴抛物线过点（4，0），
函数图象如图所示：
19、解：（1）当x=0时，y=3（x+1）2-12=-9，则C点坐标为（0，-9）；
（2）当y=0时，3（x+1）2-12=0，解得x1=-3，x2=1，则A（-3，0），B（1，0）；
（3）D点坐标为（-1，-12），
所以四边形ABCD的面积=×2×12+×（9+12）×1+×1×9=27．
20、解：（1）把A（-1，0）代入y2=-x+m得：0=-（-1）+m,
∴m=-1．
把A（-1，0）、B（2，-3）两点代入y1=ax2+bx-3得：，
解得：，
∴y2=x2-2x-3；
（2）∵y1=x2-2x-3=（x+1）（x-3），抛物线开口向上，
∵A（-1，0），B（2，-3）
∴当y1≤y2时，x≤-1或x≥2．
21、解：（1）当h=4时，y=a（x-6）2+4，又A（0，1）
∴1=a（0-6）2+4，
∴a=-，
∴y=-（x-6）2+4；
（2）令y=0，则0=-（x-6）2+4，
解得：x1=4+6≈13，x2=-4+6＜0（舍去）
∴球飞行的最远水平距离是13米；
（3）当x=13-3=10时，y=＞1.7+0.3=2，
∴这名队员不能拦到球．
22、（1）解：设抛物线的表达式为：y=ax2，
由题意得：，
解得：a=t=1，
则抛物线的表达式为y=x2；
（2）解：由（1）知，点A、B的坐标分别为：（1，1）、（3，9），设BC交y轴于点H，
∵BD∥y轴，BO平分∠CBD，
∴∠CBO=∠DBO=∠HOB，则HB=OH，设点H（0，s），
则s2=9+（s-9）2，则s=5，即点H（0，5），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=x+5，
联立上式和抛物线的表达式得：x2=x+5，则x=3（舍去）或-，
即点C（-，）；
（3）证明：作NG⊥y轴于点G，作MH⊥y轴于点H，分别过点P、M、N作x轴的垂线，垂足分别为点R、S、T，
设点M（m,m2），
将点M的坐标代入y=（2m-2）x+b得：m2=（2m-2）m+b,则b=2m-m2，
则一次函数的表达式为：y=（2m-2）x+2m-m2，
联立上式和抛物线的表达式得：x2=（2m-2）x+2m-m2，
解得：x=m或m-2，即点P（m-2，（m-2）2），设点N（x,x2），点Q（0，t），
∵∠GQN+∠MQH=90°，∠MQH+∠HQM=90°，
∴∠GNQ=∠HQM，
∵∠NGQ=∠QHM=90°，QN=QM，
∴△NGQ≌△HQM（AAS），
则GN=QH，GQ=HM，即x=t-m2且x2=m+t,
解得：x=m+1，即点N（m+1，（m+1）2），
则RS=2，ST=1，RT=3，
则△PMN的面积=S梯形NTRP-S梯形PRMS-S梯形STNM=3+[（m-2）2+（m+1）2]-×[m2+（m-2）2]-1×[m2+（m+1）2]=3，
即△PMN的面积为定值3．
一．选择题（共12小题）
1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=6x-5 B． C．y=5x2+3x D．
2．抛物线y=x2-4x+1的顶点是（ ）
A．（-2，3） B．（-2，-3） C．（2，3） D．（2，-3）
3．抛物线y=2（x-1）2+3的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=-1 D．直线x=-1
4．关于二次函数y=-2（x-1）2+4，下列叙述正确的是（ ）
A．当x=1时，y有最小值4 B．当x=1时，y有最大值4
C．当x=-1时，y有最小值4 D．当x=-1时，y有最大值4
5．已知函数y=（x-m）2-1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m=1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1
6．若抛物线y=x2+1经过一次平移得到抛物线y=x2-1，则该平移是（ ）
A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度
C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度
7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．abc＞0 B．函数的最大值为a-b+c
C．当x=-3或1时，y=0 D．4a-2b+c＜0
8．如表中列出了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -9 -3 -1 1 1 …
A．-3＜x1＜-2 B．-1＜x1＜0 C．-2＜x1＜-1 D．0＜x1＜1
9．在同一坐标系中，一次函数y=-mx+1与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上印有一条抛物线y=x2及抛物线上一点P（2，4）．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为（0，3），则此时抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2-1 C．y=（x-2）2+1 D．y=（x-2）2-1
11．如图，二次函数y=ax2+bx-3（a≠0）的图象与x轴交于A（m,0），B（1，0），其中-3＜m＜-2．结合图象给出下列结论：①ab＜0；②a+b=3；③当x＞-1时，y随x增大而增大；④当x＞0，y＞-3；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0的一个根是1，另一个根是．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值y＜0．
有以下结论：
①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在和0之间；③；④p1（t-1，y1）和p2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数时，y1＞y2.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
二．填空题（共5小题）
13．抛物线y=-3（x-1）2-2的对称轴是直线 ______．
14．如果函数y=（k-1）x2+kx-1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 ______．
15．二次函数与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 ______．
16．在平面直角坐标系内，已知点A（-1，0），点B（1，1），若抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ______．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0），
①若抛物线的顶点在第二象限，且a+b+c=0，，则当x＜-1时，y随x的增大而增大．
②若抛物线开口向下，顶点在第二象限，且a+b+c=0，对称轴是直线x=-1，方程ax2+bx+c=t（t＞0）有整数根，则对应的t值有2个．
③若对任意实数t都有a（t2-1）+b（t+1）≤0，则b=2a.
④若A（x1，n），B（x2，n）在抛物线上，则当x=x1+x2时，y=c.
上述结论中，一定正确的是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=-x2+4x.
（1）用配方法求出该函数图象的顶点坐标和对称轴．
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
19．已知抛物线y=3（x+1）2-12如图所示
（1）求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；
（2）求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
（3）如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．
20．如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y1=-x+m与二次函数y2=ax2+bx-3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式，
（2）请直接写出使y1≤y2时自变量x的取值范围．
21．如图，足球场上守门员徐杨在O处抛出一高球，球从离地面1m处的点A飞出，其飞行的最大高度是4m,最高处距离飞出点的水平距离是6m,且飞行的路线是抛物线一部分．以点O为坐标原点，竖直向上的方向为y轴的正方向，球飞行的水平方向为x轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：4≈7）
（1）求足球的飞行高度y（m）与飞行水平距离x（m）之间的函数关系式；
（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（精确到个位）
（3）若对方一名1.7m的队员在距落点C3m的点H处，跃起0.3m进行拦截，则这名队员能拦到球吗？
22．已知顶点在坐标原点的抛物线经过A（1，t），B（3，t+8）两点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图1，过点B的直线交抛物线于另一点C，BD⊥x轴于点D，连接OB．若BO平分∠CBD，求点C的坐标；
（3）如图2，Q为y轴正半轴上一点，M为第一象限内抛物线上一点，点M的横坐标为m,将点M绕点Q逆时针旋转90°，得到的对应点N恰好落在抛物线上，过点M的直线y=（2m-2）x+b交抛物线于另一点P，求证：△PMN的面积为定值，并求出该定值．
北师大版九年级下第2章二次函数单元练习
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、D 3、A 4、B 5、C 6、B 7、D 8、B 9、D 10、B 11、C 12、C
二．填空题（共5小题）
13、x=1； 14、k≠1； 15、x＜1或x＞4； 16、1≤a＜或a≤-2； 17、②③④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵y=-x2+4x=-（x2-4x+4-4）=-（x-2）2+4，
∴顶点坐标为（2，4），对称轴为直线x=2；
（2）∵a=-1，
∴抛物线开口向下，
∵二次函数的常数项为0，
∴抛物线过原点，
∵对称轴为直线x=2，
∴抛物线过点（4，0），
函数图象如图所示：
19、解：（1）当x=0时，y=3（x+1）2-12=-9，则C点坐标为（0，-9）；
（2）当y=0时，3（x+1）2-12=0，解得x1=-3，x2=1，则A（-3，0），B（1，0）；
（3）D点坐标为（-1，-12），
所以四边形ABCD的面积=×2×12+×（9+12）×1+×1×9=27．
20、解：（1）把A（-1，0）代入y2=-x+m得：0=-（-1）+m,
∴m=-1．
把A（-1，0）、B（2，-3）两点代入y1=ax2+bx-3得：，
解得：，
∴y2=x2-2x-3；
（2）∵y1=x2-2x-3=（x+1）（x-3），抛物线开口向上，
∵A（-1，0），B（2，-3）
∴当y1≤y2时，x≤-1或x≥2．
21、解：（1）当h=4时，y=a（x-6）2+4，又A（0，1）
∴1=a（0-6）2+4，
∴a=-，
∴y=-（x-6）2+4；
（2）令y=0，则0=-（x-6）2+4，
解得：x1=4+6≈13，x2=-4+6＜0（舍去）
∴球飞行的最远水平距离是13米；
（3）当x=13-3=10时，y=＞1.7+0.3=2，
∴这名队员不能拦到球．
22、（1）解：设抛物线的表达式为：y=ax2，
由题意得：，
解得：a=t=1，
则抛物线的表达式为y=x2；
（2）解：由（1）知，点A、B的坐标分别为：（1，1）、（3，9），设BC交y轴于点H，
∵BD∥y轴，BO平分∠CBD，
∴∠CBO=∠DBO=∠HOB，则HB=OH，设点H（0，s），
则s2=9+（s-9）2，则s=5，即点H（0，5），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=x+5，
联立上式和抛物线的表达式得：x2=x+5，则x=3（舍去）或-，
即点C（-，）；
（3）证明：作NG⊥y轴于点G，作MH⊥y轴于点H，分别过点P、M、N作x轴的垂线，垂足分别为点R、S、T，
设点M（m,m2），
将点M的坐标代入y=（2m-2）x+b得：m2=（2m-2）m+b,则b=2m-m2，
则一次函数的表达式为：y=（2m-2）x+2m-m2，
联立上式和抛物线的表达式得：x2=（2m-2）x+2m-m2，
解得：x=m或m-2，即点P（m-2，（m-2）2），设点N（x,x2），点Q（0，t），
∵∠GQN+∠MQH=90°，∠MQH+∠HQM=90°，
∴∠GNQ=∠HQM，
∵∠NGQ=∠QHM=90°，QN=QM，
∴△NGQ≌△HQM（AAS），
则GN=QH，GQ=HM，即x=t-m2且x2=m+t,
解得：x=m+1，即点N（m+1，（m+1）2），
则RS=2，ST=1，RT=3，
则△PMN的面积=S梯形NTRP-S梯形PRMS-S梯形STNM=3+[（m-2）2+（m+1）2]-×[m2+（m-2）2]-1×[m2+（m+1）2]=3，
即△PMN的面积为定值3．