人教版九年级下册 第27章 相似 单元测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级下册 第27章 相似 单元测试（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 104.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-18 18:28:36 | ||
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文档简介
人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长AB约为4.14米，则车头A与后视镜C的水平距离约为（ ）
A．1.58米 B．2.56米 C．3.70米 D．3.82米
2．如果两个相似三角形的周长之比为4：9，那么它们对应的角平分线之比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．9：13
3．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC=3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（ ）
A．4.5 B．8 C．12 D．13.5
4．已知2a=3b（b≠0），则=（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=1，BD=3，则边AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为8，则短边长m的值最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，直线AD∥BE∥CF，若AB：BC=1：2，DE=9，则EF的长是（ ）
A．4.5 B．18 C．9 D．12
8．如图AB∥CD∥EF，AF、BE相交于O，若AO=OD=DF=3cm,BE=10cm,则BO的长为（ ）
A．cm B．5cm C．cm D．3cm
9．如图，在斜边AB为9的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3……依次作下去，则第2017个正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（ ）
A．（）2014 B．（）2015 C．（）2016 D．（）2017
10．如图，在 ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，则下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点，AB=3，延长CD至点F，使DF=2DE，连接AE，BF，AE与BF相交于点G，连接CG，CG的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△FCB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF=1：2．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
13．若3m=2n,则的值为 ______．
14．已知线段c是线段a,b的比例中项，如果a=2，b=3，那么c=______．
15．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=60°，若，则AD的长度为 ______．
16．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E在边AD上，且AE=2，F为边AB上的一个动点，连接EF，过点E作EG⊥EF交直线BC于点G，连接FG，若P是FG的中点，则DP的最小值为 ______．
17．如图，正方形ABCD中，AB=4，P是对角线AC上一个动点（不与A、C重合），连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转 90° 至BE，连接PE交AB于点G，F是AB的中点，连接EF、PF、AE，在P点的运动过程中，下列结论：①AE=CP，②△AEG∽△PBG，③PB=2，④PF+PB的最小值为 ，⑤．
其中正确的有 ______.（将所有正确结论的序号填在答题卡对应题的横线上）
三．解答题（共5小题）
18．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠ADB+∠BAC=180°．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）若AC=4，BC=8，△DAC的面积9，求△ABC的面积．
19．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AB=5，CD=4，求AD的长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在边AB，AC各取一点D，E，使得AD=AE=2，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．
（1）当∠B=30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若tanP=，设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系．
21．如图，点D是△ABC的边BC上一点，点E在△ABC外部，且∠BAE=∠CAD=∠BDE．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）DE交AB于点F，如果AC=AD=AF，DA平分∠CDE，求证：EF2=BF AB．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，⊙O的弦AD//CO，连接DB交CO于点F，延长CO与⊙O交于点E，连接EB．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求证：2BF2=AD CF．
（3）若，OC=5，求tan∠ABE的值．
人教版九年级下第27章相似单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、B 3、B 4、B 5、A 6、B 7、B 8、A 9、B 10、D 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、； 14、； 15、6； 16、； 17、①②③⑤；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵∠ADB+∠BAC=180°，∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠BAC=∠ADC，
又∵∠C=∠C，
∴△BAC∽△ADC；
（2）解：∵△BAC∽△ADC，AC=4，BC=8，
∴==，
∴=（）2=4，
∵△DAC的面积9，
∴△ABC的面积=9×4=36．
19、（1）证明：∵∠ABD=∠C，∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB；
（2）设AD=x,
∵AB=5，CD=4，
∴AC=AD+CD=x+4，
∵△ABD∽△ACB，
∴AB：AC=AD：AB，
∴AB2=AD AC，
∴52=x（x+4），
整理得：x2+4x-25=0，
解得：x=，x=（不合题意，舍去），
∴AD=x=．
20、解：（1）如图1，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，
∴∠AED=60°=∠CEP，
∴∠EPC=30°，
∴△BDP为等腰三角形，
∵△AEP与△BDP相似，
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，
∴AE=EP=2，
在Rt△ECP中，EC=EP=×2=1；
（2）如图2，过D点作DQ⊥AC于点Q，
则DQ∥BP，
∴∠QDE=∠BPD，
∴tan∠QDE=tan∠BPD=，
∴=，
设QE=a,则DQ=3a,AQ=2-a,
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：AQ2+DQ2=AD2，
即（2-a）2+（3a）2=22，
解得：a1=0（不合题意，舍去），a2=，
∵DQ∥BC，
∴△ADQ∽△ABC，
∴==，
∴==，
∴AB=（2+x），BC=（2+x），
∴△ABC的周长y=AB+BC+AC=（2+x）+（2+x）+2+x=3x+6，
即y关于x的函数关系为：y=3x+6（x＞0）．
21、证明：（1）∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD，
∴∠EAD=∠BAC，
∵∠BAE=∠BDE，∠AFE=∠DFB，
∴∠E=∠B，
∴△AED∽△ABC；
（2）∵AC=AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，∠ADC=∠ACD，
∵DA平分∠CDE，
∴∠ADF=∠ADC，
∴∠AFD=∠ADF=∠ADC=∠ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAE=∠CAD=∠BDE，
∴∠BDE=∠BAD，
∵∠DBF=∠ABD，
∴△BDF∽△BAD，
∴，
∴BD2=BF AB，
由（1）得∠E=∠B，
在△EAF和△BAD中，
，
∴△EAF≌△BAD（AAS），
∴EF=BD，
∴EF2=BF AB．
22、（1）证明：连接DO，
∵BC与⊙O相切，
∴∠OBC=90°，
∵DO=AO，
∴∠DAB=∠ADO，
∵AD∥CO，
∴∠DAB=∠COB，∠DOC=∠ADO，
∴∠DOC=∠COB，
∵DO=BO，CO=CO，
∴△DOC≌△BOC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD∥CO，
∴∠ADB=∠OFB=90°，
∴∠CFB=180°-∠OFB=90°，
∴∠ADB=∠CFB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠OBC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ADB∽△BFC，
∴=，
∴BF BD=AD CF，
∵OA=OB
∴DF=BF，
∴BD=2BF，
∴2BF2=AD CF；
（3）∵OA=OB，BF=DF，
OF是△ABD的中位线，
∴OF=AD=，
∵OC=5，
∴CF=OC-OF=5-=，
∵2BF2=AD CF；
∴2BF2=×，
∴BF=，
在Rt△OBF中，OB===3，
∴OE=OB=3，
∴EF=OE+OF=3+=，
在Rt△BFE中，tan∠FEB===，
∵OE=OB，
∴∠ABE=∠FEB，
∴tan∠ABE=tan∠FEB=，
∴tan∠ABE的值为．
一．选择题（共12小题）
1．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长AB约为4.14米，则车头A与后视镜C的水平距离约为（ ）
A．1.58米 B．2.56米 C．3.70米 D．3.82米
2．如果两个相似三角形的周长之比为4：9，那么它们对应的角平分线之比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．9：13
3．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC=3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（ ）
A．4.5 B．8 C．12 D．13.5
4．已知2a=3b（b≠0），则=（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=1，BD=3，则边AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为8，则短边长m的值最接近的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，直线AD∥BE∥CF，若AB：BC=1：2，DE=9，则EF的长是（ ）
A．4.5 B．18 C．9 D．12
8．如图AB∥CD∥EF，AF、BE相交于O，若AO=OD=DF=3cm,BE=10cm,则BO的长为（ ）
A．cm B．5cm C．cm D．3cm
9．如图，在斜边AB为9的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3……依次作下去，则第2017个正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（ ）
A．（）2014 B．（）2015 C．（）2016 D．（）2017
10．如图，在 ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，则下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点，AB=3，延长CD至点F，使DF=2DE，连接AE，BF，AE与BF相交于点G，连接CG，CG的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△FCB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF=1：2．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
13．若3m=2n,则的值为 ______．
14．已知线段c是线段a,b的比例中项，如果a=2，b=3，那么c=______．
15．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=60°，若，则AD的长度为 ______．
16．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点E在边AD上，且AE=2，F为边AB上的一个动点，连接EF，过点E作EG⊥EF交直线BC于点G，连接FG，若P是FG的中点，则DP的最小值为 ______．
17．如图，正方形ABCD中，AB=4，P是对角线AC上一个动点（不与A、C重合），连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转 90° 至BE，连接PE交AB于点G，F是AB的中点，连接EF、PF、AE，在P点的运动过程中，下列结论：①AE=CP，②△AEG∽△PBG，③PB=2，④PF+PB的最小值为 ，⑤．
其中正确的有 ______.（将所有正确结论的序号填在答题卡对应题的横线上）
三．解答题（共5小题）
18．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠ADB+∠BAC=180°．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）若AC=4，BC=8，△DAC的面积9，求△ABC的面积．
19．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AB=5，CD=4，求AD的长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在边AB，AC各取一点D，E，使得AD=AE=2，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．
（1）当∠B=30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若tanP=，设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系．
21．如图，点D是△ABC的边BC上一点，点E在△ABC外部，且∠BAE=∠CAD=∠BDE．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）DE交AB于点F，如果AC=AD=AF，DA平分∠CDE，求证：EF2=BF AB．
22．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，⊙O的弦AD//CO，连接DB交CO于点F，延长CO与⊙O交于点E，连接EB．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）求证：2BF2=AD CF．
（3）若，OC=5，求tan∠ABE的值．
人教版九年级下第27章相似单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、B 3、B 4、B 5、A 6、B 7、B 8、A 9、B 10、D 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、； 14、； 15、6； 16、； 17、①②③⑤；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵∠ADB+∠BAC=180°，∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠BAC=∠ADC，
又∵∠C=∠C，
∴△BAC∽△ADC；
（2）解：∵△BAC∽△ADC，AC=4，BC=8，
∴==，
∴=（）2=4，
∵△DAC的面积9，
∴△ABC的面积=9×4=36．
19、（1）证明：∵∠ABD=∠C，∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB；
（2）设AD=x,
∵AB=5，CD=4，
∴AC=AD+CD=x+4，
∵△ABD∽△ACB，
∴AB：AC=AD：AB，
∴AB2=AD AC，
∴52=x（x+4），
整理得：x2+4x-25=0，
解得：x=，x=（不合题意，舍去），
∴AD=x=．
20、解：（1）如图1，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，
∴∠AED=60°=∠CEP，
∴∠EPC=30°，
∴△BDP为等腰三角形，
∵△AEP与△BDP相似，
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，
∴AE=EP=2，
在Rt△ECP中，EC=EP=×2=1；
（2）如图2，过D点作DQ⊥AC于点Q，
则DQ∥BP，
∴∠QDE=∠BPD，
∴tan∠QDE=tan∠BPD=，
∴=，
设QE=a,则DQ=3a,AQ=2-a,
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：AQ2+DQ2=AD2，
即（2-a）2+（3a）2=22，
解得：a1=0（不合题意，舍去），a2=，
∵DQ∥BC，
∴△ADQ∽△ABC，
∴==，
∴==，
∴AB=（2+x），BC=（2+x），
∴△ABC的周长y=AB+BC+AC=（2+x）+（2+x）+2+x=3x+6，
即y关于x的函数关系为：y=3x+6（x＞0）．
21、证明：（1）∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD，
∴∠EAD=∠BAC，
∵∠BAE=∠BDE，∠AFE=∠DFB，
∴∠E=∠B，
∴△AED∽△ABC；
（2）∵AC=AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，∠ADC=∠ACD，
∵DA平分∠CDE，
∴∠ADF=∠ADC，
∴∠AFD=∠ADF=∠ADC=∠ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAE=∠CAD=∠BDE，
∴∠BDE=∠BAD，
∵∠DBF=∠ABD，
∴△BDF∽△BAD，
∴，
∴BD2=BF AB，
由（1）得∠E=∠B，
在△EAF和△BAD中，
，
∴△EAF≌△BAD（AAS），
∴EF=BD，
∴EF2=BF AB．
22、（1）证明：连接DO，
∵BC与⊙O相切，
∴∠OBC=90°，
∵DO=AO，
∴∠DAB=∠ADO，
∵AD∥CO，
∴∠DAB=∠COB，∠DOC=∠ADO，
∴∠DOC=∠COB，
∵DO=BO，CO=CO，
∴△DOC≌△BOC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD∥CO，
∴∠ADB=∠OFB=90°，
∴∠CFB=180°-∠OFB=90°，
∴∠ADB=∠CFB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠OBC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ADB∽△BFC，
∴=，
∴BF BD=AD CF，
∵OA=OB
∴DF=BF，
∴BD=2BF，
∴2BF2=AD CF；
（3）∵OA=OB，BF=DF，
OF是△ABD的中位线，
∴OF=AD=，
∵OC=5，
∴CF=OC-OF=5-=，
∵2BF2=AD CF；
∴2BF2=×，
∴BF=，
在Rt△OBF中，OB===3，
∴OE=OB=3，
∴EF=OE+OF=3+=，
在Rt△BFE中，tan∠FEB===，
∵OE=OB，
∴∠ABE=∠FEB，
∴tan∠ABE=tan∠FEB=，
∴tan∠ABE的值为．