苏科版九年级下册 第6章图形的相似 单元测试（含答案）

苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列各组的四条线段a,b,c,d是成比例线段的是（　　）
A．a=4，b=3，c=5， B．a=1，b=2，c=3，d=4
C．a=2，b=3，c=4，d=5 D．a=2，b=3，c=4，d=6
2．如图，D、E分别是AB和AC上的点，若DE∥BC，AD=5，DB=10，DE=6，则BC的值为（　　）
A．10 B．12 C．15 D．18
3．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'=2：3，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为（　　）
A．4：9 B．2：5 C．2：7 D．2：3
4．如图，AD∥BC，∠B=60°，BA=AD=DC=1，则BC的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．3-如图，小明为测量学校旗杆AB的高度，在E处放置一面镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小明的眼睛D离地面的高度CD=1.5m,他与镜子的水平距离CE=0.5m,镜子E与旗杆的底部A处的距离AE=2m,且A，E，C三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（　　）
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6m
6．已知点P是线段AB的黄金分割点，且BP＞AP，那么下列结论正确的是（　　）
A．BP2=AP AB B．AP2=BP AB C． D．
7．如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，AB=2，BC=1，则DE：DF=（　　）
A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．2：1
8．如图，点E是 ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE=3，DF=2，则 ABCD的周长为（　　）
A．21 B．28 C．36 D．42
9．如图，平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，BE平分∠ABC，交AD于E，CF⊥BE交BE于点N，交AD于点F，作MN∥CD交AD于点M，则MN=（　　）
A． B． C．1 D．
10．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6m,BP=8m,PD=18m,那么该古城墙CD的高度是（　　）m.
A．12 B．10 C．13.5或24 D．13.5
11．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：①△ABE∽△ECG；②AE=EF；③∠DAF=∠CFE；④△CEF的面积的最大值为．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE=DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH=BE；②CH⊥BE；③S△GCE=S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC=2DE时，S正方形ABCD=6S四边形DEGH．其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤
二．填空题（共5小题）
13．已知，则= ______．
14．在矩形ABCD中，AB=5，BC=12．点P在矩形ABCD的对角线BD上，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 ______．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD=2，DB=3，△ADE的面积是2，则△ABC的面积是 ______．
16．如图，已知△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．如果，AB=15，那么EF= ______．
17．如图，在正方形ABCD中，把BA绕点B顺时针旋转，把CD绕点C逆时针旋转，它们交于点M，连接BM、CM并延长，分别交AD于点E、F，连接BD交CF相交于点H，连接DM．下列判断中，其中正确结论为 ______．（填序号）
①MF=FE；②△FMD∽△MHB；③S△FMD：S△CMD=；④tan∠BHC=2+．
三．解答题（共5小题）
18．如图所示，△PMN为等边三角形，其边长为8，ABCD是△PMN内的矩形，A，D分别是PM，PN上的点，B，C在MN上，设AD=x,AB=y.
（1）求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；
（2）当x为何值时，矩形ABCD面积最大？最大面积为多少？
19．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，连结AE，F为线段AE上一点，且∠DFE=∠C．
（1）求证：△AFD∽△EBA；
（2）若AB=4，AD=3，DF=2，求DE的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB=∠C．
（1）求证：；
（2）若DE=cm,AE=8cm,求DC的长．
21．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE即为“相似等腰组”．

（1）如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE绕看点A逆时针旋转一定角度，判断△ABD和△ACE是否全等；
（2）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE是“相似等腰组”，且∠BAC=90°，DC和BE相交于点O，判断DC和BE的位置及大小关系．
22．如图，正方形ABCD中，E为直线BC上一点，连接AE，作DG∥AE交BC延长线于点G，EF⊥AC，垂足为F，连接FG．
（1）如图1，若E在线段BC上且CF=CG，求tan∠CGD的值；
（2）如图2，若E在线段BC上，求证：∠DGF=45°；
（3）如图3，若E在BC延长线上，AE与CD交于点M，当时，求的值．
苏科版九年级下第6章图形的相似单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、D 3、A 4、B 5、D 6、A 7、B 8、C 9、D 10、D 11、D 12、A
二．填空题（共5小题）
13、； 14、或； 15、12.5； 16、6； 17、①②④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）如图，作PF⊥MN于点F，交AD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBA=∠BAE=∠EFB=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF=AB=y,
∵AD∥MN，
∴∠PEA=∠PFM=90°，
∴PE⊥AD，
∵△PMN为等边三角形，PM=MN=8，
∴∠M=60°，
∴PF=PM sin60°=8×=4，
∵△PAD∽△PMN，
∴=，
∴=，
整理得y=-x+4，
由四边形ABCD是矩形得，
解得0＜x＜8，
∴y与x的函数关系式为y=-x+4（0＜x＜8）．
（2）∵AB=y=-x+4，AD=x,
∴S矩形ABCD=x（-x+4）=-（x-4）2+8，
∴S矩形ABCD最大=8，
∴当x=4时，矩形ABCD面积最大，最大面积为8．
19、证明：（1）∵在 ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠B=∠AFD，
∴△ADF∽△EAB；
（2）∵△ADF∽△EAB，
∴，
∴，
解得：AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：DE===3．
20、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，
∵∠EDB=∠C，
∴∠A=∠EDB，
又∵∠E=∠E，
∴△ADE∽△DBE，
∴，
∵AD=BC，
∴；
（2）解：平行四边形ABCD中，DC=AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴，
∴BE==5（cm），
∴AB=AE-BE=8-5=3（cm），
∴DC=AB=3（cm）．
21、解：（1）△ABD和△ACE全等，理由：
∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，
∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）DC和BE的位置及大小关系为：DC=BE，DC⊥BE，理由：
∵等腰△ABC和等腰△ADE为“相似等腰组”，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴DC=BE，∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE+∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠EBC+∠DCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴DC⊥BE．
22、（1）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD=CD=BC，∠ACB=∠ACD=45°，
∵DG∥AE，
∴四边形AEGD为平行四边形，
∴AD=EG，
∴BC=EG，
∴BE=CG．
设CF=CG=m,则BE=m.
∵EF⊥AC，
∴△EFC为等腰直角三角形，
∴EC=CF=m,
∴BC=BE+EC=m+m,
∴CD=BC=（1）m.
∴tan∠CGD==+1；
（2）证明：连接DF，设CD与FG交于点K，如图，
四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AD=CD=BC，∠ACB=∠ACD=45°，
∵DG∥AE，
∴四边形AEGD为平行四边形，
∴AD=EG，
∴CD=EG，
∵EF⊥AC，
∴△EFC为等腰直角三角形，
∴EF=CF，∠FEC=∠FCE=45°，
∴∠FEC=∠FCD=45°．
在△EFG和△CFD中，
，
∴△EFG≌△CFD（SAS），
∴FG=DF，∠FGE=∠FDC，
∵∠FKD=∠CKG，
∴∠DFG=∠DCG=90°，
∴△DFG为等腰直角三角形，
∴∠DGF=45°；
（3）解：设正方形ABCD的边长为a,
由（1）知：四边形AEGD为平行四边形，
∴AD=EG=a.
连接DF，如图，
用（2）中同样的方法证得：△FCD≌△FEG，
∴△DFG为等腰直角三角形，
∴DG=FG．
∵，
∴FG=a,
∴DG=a=a.
∴CG==a.
∴CE=CG-EG=（-1）a.
∵AD∥BC，
∴△CME∽△DMA，
∴=-1．