江苏省苏州市2026届高三上学期期中阳光调研数学试题 （含答案）

高三年级期中阳光调研试卷
数 学
2025.11
注 意 事 项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:
1、木卷共 6 页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第 9 题~第11题)、填空题(第 12 题一第 14 题) 、解答题 (第 15 题～第 19 题) 、本卷满分 150 分，答题时间为 120 分钟. 答题结束后, 请将答题卡文回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
1. 若 是虚数单位),则 的值分别等于 ( )
A. B. 3,2 C. D. -1,4
2. 一元二次不等式 的解集为 ( )
A. B.
C. D.
3. 是定义在 上的偶函数，且 ，则下列各式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
4. 在 中,“ 为锐角” 是 “ ” 的 ( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 函数 与 的图像 ( )
A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称
C. 关于原点对称 D. 关于直线 对称
6. 若直线 不平行于平面 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 平面 内的所有直线都与直线 异面
B. 平面 内不存在与直线 平行的直线
C. 平面 内的所有直线都与直线 相交
D. 直线 与平面 一定有公共点
7、已知 ，则 的值为 ( )
A. B. C. D.
8. 过点 作曲线 的两条切线,记两切点分别为 ,若两条切线斜率之积为 1,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦. 如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形 ,其中 为正八边形的中心, 则 ( )
A. B.
C. D.
10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线, 如星形线、心形线、卵形线等. 已知卵形线 ,则 ( )
A. 曲线 关于 轴对称
B. 曲线 上横、纵坐标均是整数的点恰有 4 个
C. 曲线 上存在点 ,使得 到点 的距离小于 1
D. 曲线 围成区域的面积大于 4
11、如图，已知平面四边形 中， 为边 上的一列点，连接 交 于 ,点 满足 ,其中数列 是首项为 2 的数列,记 ,则下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D. 存在实数 ,使得数列 为等差数列
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知等差数列 中,首项为 1,公差 ,若 成等比数列,则数列 前 6 项的和为_____▲_____.
13. 已知函数 最小正周期为 ,当 时, 则函数 的零点个数为_____▲_____.
14. 已知实数 ，若关于 的方程 在 上恰有两个不同的实数根,则实数 的取值集合是_____▲_____ .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知数列 的前 项和为 ,若对任意 ,向量 , 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 前 项和为 ，求证: .
16.(15分)
已知 分别是 三个内角 的对边，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 分别为 的边 上的点，且 ，求 面积的最大值和此时 的周长.
17. (15分)
如图①，平面四边形 由两个三角形拼接而成，其中 ， ， ，现以 为轴将 向上折起至位置 ，连结 得到如图②的三棱锥 ， 是 的中点， 是 的中点， 在 上，且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求证: ；
图②
(3)在(2)条件下，若 ，求三棱锥 的体积.
图①
18. (17 分)
设函数 .
(1)试求函数 的极值；
(2)若函数 在 上存在单调减区间，求实数 的取值范围；
(3)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
19. (17分)
已知数列 前 项和分别为 ，且有 .
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ，求 ；
(3)已知当 ， 时， ，当且仅当 时 “=” 成立. 若数列 为正项数列,且当 时有 ,若 ,试比较 与 的大小,并说明理由.
2025 高三数学期中考试勘误:
第 11 题:
第一行: 边 上,改为: 边 所在直线上,其它不变。 第 19 题:
最后一行: 若 ,改为: 若 ,其它不变。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A C D A D
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。.
题号 9 10 11
答案 A C D A B D A C
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. -24 13. 4
14. (没写成集合或区间形式不得分)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.
15.(13分)
解: (1) 向量 满足 ,
, 1 分
令 得 ,又由 ,得
两式相减得, ,
即 ,由 知 ,
, 3 分
,
即 ,且 , 6 分
又 也符合, . 7 分
(2)由(1) 9 分 , 12 分 . 13 分
16. (15 分)
解: (1) 中有 ,由正弦定理得,
,又将 代入得,
,展开整理得,
4 分
由 ,两边约掉 得,
,即 ,由 知 .
故 . 7 分
(2) ，
，
由 (1) 知 , 9 分
故 ,
当且仅当 时取等号,即 面积的最大值为 . 12 分
此时 , 由余弦定理得 ,
的周长为 . 15 分或 ,当且仅当 时取等号. 由上可得此时 的周长为 .
17. (15 分)
解: (1) 如图②取 得中点 ,连结
是 中点, 是 中点,
在 中,由中位线定理得 , 1 分
又 面 面 面 . 2 分
又 是 中点， 是 中点， ，又 ，在面 中， 得 ,又 面 面 面 4 分由 面 面 ,
面 面 ,又 面 , 面 . 5 分
图②
图③
图④
注: 也可以如图③通过线线平行证线面平行, 参照上述标准给分, 这里证明略.
(2)如图④，在面 中，过 作 ， 为垂足，
面 面 ， 面 ， ，面 面 ，
面 , 7 分
又 面 ,已知 ,
又 面 面 ,
面 ，又由 面 ， . 10 分
(3)由(2)知 ，又已知 ， ， 是面 内两相交直线，
面 ,即 为三棱锥的 的高,设点 到面 的高为 ,
则由 得
,解得 , 12 分
又由 知点 到面 的高为 ,又 ,
. 15 分
注: 由 ,更简捷。参照上述标准给分。
18.(17 分)
解: (1) , 1 分
则 ,
故当 时, ,函数 单调递减,
当 时, ,函数 单调递增, 3 分
函数 在 处取得极小值 ,无极大值. 4 分
(2) 函数 .
函数 ,
, 5 分 ,又 在 上单调递增,故有 ,
① 当 时,有 ,此时函数 在 上单调递增，故不存在单调减区间。 6 分
② 当 时，存在 且满足 ，
当 ,有 ,
函数 在 上单调递减,当 ,有 , 函数 在 上单调递增, 8 分所以当 时,函数 在 存在单调减区间. 9 分
(3) 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
设 ,则 ,
记 ,则 ,
在 上单调递增, 12 分因为 ,
根据零点存在定理知,存在唯一 ,有 ,
即 , 14 分
且在 上有 ; 在 上有 ;
由 知,
在 上有 ; 在 上有 ;
即有 在 上单调递增,在 上单调递减, 15 分
.
对于 两边取对数得 ,
函数 在 上单调递增, 有 ,即 ,
,即 .
于是有 ,即 的范围是 . 17 分
19.(17分)
解: (1) 1 分
由 得
。 3 分
(2)由题意，当 时， ；
当 时，
, 6 分
(3) 由
时,
.
方法二: 先给一个结论: 记三列前 项和分别为 .
由 计算
.
另一方面,
故
于是裂项求和 .
(1)已知 ， . 逐项列出:
.
前两项和: .
代入定义: .
得: .
(2)由上面已证的 .
得: .
(3)比较 与 的大小
由 知 . 因此比较 与 等价于比较 与 .
已知 为正项,且当 .
设 .
则递推式化为 .
因为当 时 ,于是由归纳可得 ,
且 ,故 严格递增 .
由 与 ,得 .
即 .
因为 ,对 有 .
逐一核对小 .
当 时设, ,则 ,
而 ,故 对一切 成立. 综上，
又因 ,且对 有