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整式的乘除 单元综合素养提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则n的值为（ ）
A．-6 B．6 C．2 D．-2
5．若 ，则m的值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
6．一个长方体的长、宽、高分别为3a－4，2a，a，则它的体积等于( C )．
A．3a3－4a2 B．a2 C．6a3－8a2 D．6a3－8a
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列计算正确的是（ ）
A．2x2 3x3=6x3 B．2x2+3x3=5x5
C．（﹣3x2） （﹣3x3）=9x5 D． xn xm= xmn
10．如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算 的结果等于 ．
12．（﹣0.25）2022×42021＝ ．
13．计算的结果等于 ．
14． ； .
15．每立方厘米的空气质量约为，用小数把它表示为
16．已知a+10=b+12=c+15，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac= ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：（a﹣b）2m （b﹣a）m （a﹣b）2s．
18．科技点亮未来，创新改变生活。某校七年级1班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用KT板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知KT板(阴影部分）的尺寸如图2所示。
（1）用含的代数式表示图2的KT板模型的总面积（结果需化简）；
（2）若，求KT板总面积.
19．已知求的值。
20．已知，求的值．
21． 一个长方体模型的长、宽、高分别为4a(cm)，3a(cm)，2a(cm)。某种油漆每千克可漆面积为 ，问：漆这个模型需要油漆多少千克
22．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．
（1）观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号）
①：②：③：
（2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值．
（3）将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和．
23．如果“三角”表示4xyz，“方框”表示﹣5abdc，的值．
24．用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a， 宽 为b(a>b) 的四个相同的长方形拼成的一个大正方形。
（1）用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(a-b)2、(a+b)2、ab 三者之间的等量关系式：
利用上面所得的结论解答：已知a-b=5，，求a+b 的值。
（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： (a+b)3= 。
②利用上面所得的结论解答：a+b=6，ab=7，求 a3+b3 的值。
25．如图， 将一个边长为 的正方形图形分割成四部分(两个正方形和两个长方形)， 请认真观察图形， 解答下列问题：
（1）请用两种方法表示该图形阴影部分的面积(用含 的代数式表示)：
方法一： ； 方法二： .
（2） 若图中 满足 ， 求阴影部分正方形的边长；
（3） 若 ， 求 的值．
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整式的乘除 单元综合素养提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，原式错误，故不符合题意；
B、，原式错误，故不符合题意；
C、，计算正确，故符合题意；
D、，原式错误，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除、合并同类项的法则逐项计算即可．
2．下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，
∴此选项不符合题意；
B、因为≠-m2n2，
∴此选项不符合题意；
C、因为≠m9，
∴此选项不符合题意；
D、因为，
∴此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知3m和n不是同类项， 不能合并同类项；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】积的乘方，先对每一项进行乘方，然后将结果相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；根据单项式与单项式的乘除法法则可判断C、D.
4．若，则n的值为（ ）
A．-6 B．6 C．2 D．-2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴n=6.
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘多项式的运算法则计算得，再结合等式的恒等性即可得到n的值.
5．若 ，则m的值为（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴m=-2，
故答案为：B.
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后即可得出答案.
6．一个长方体的长、宽、高分别为3a－4，2a，a，则它的体积等于( C )．
A．3a3－4a2 B．a2 C．6a3－8a2 D．6a3－8a
【答案】C
【解析】【解答】解：长方体的体积=（3a-4）×2a×a=6a3－8a2；
故答案为：C.
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可求解.
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A， ，故本选项不符合题意，
B，项先取消括号，再去中括号，故本选项符合题意，
C， ，故本选项不符合题意，
D， ，故本选项不符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘方、幂的乘方逐项判定即可。
8．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故不符合题意；
B、，原写法错误，故不符合题意；
C、，原写法错误，故不符合题意；
D、，正确，故符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加法，单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
9．下列计算正确的是（ ）
A．2x2 3x3=6x3 B．2x2+3x3=5x5
C．（﹣3x2） （﹣3x3）=9x5 D． xn xm= xmn
【答案】C
【解析】【解答】解：（A）原式=6x5，故A错误；
（B）2x2与3x3不是同类项，故B错误；
（D）原式= xm+n，故D错误；
故选C
【分析】根据单项式乘以单项式，合并同类项等运算法则即可求出答案．
10．如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：
∴ac= -bd，
∴ab+ cd
= ac· bc+ ad· bd+ ac· ad+ bc· bd
=-bd· bc+ ad· bd+(-bd)· ad+ bc· bd
=0；
∴ac=-bd，
=
∵只有当d =±c或a =±b时，
即只有当d=±c或a=±b时，
∴ad+ bc=0不成立.
综上所述，有2个命题正确.
故答案为：C.
【分析】解题题目条件，利用整式的乘法计算，逐项判断即可解题.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算 的结果等于 ．
【答案】 ．
【解析】【解答】解：
故答案为： ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
12．（﹣0.25）2022×42021＝ ．
【答案】0.25
【解析】【解答】解：（﹣0.25）2022×42021
＝（﹣0.25）2021×（﹣0.25）×42021
＝（﹣0.25×4）2021×（﹣0.25）
＝（﹣1）2021×（﹣0.25）
＝﹣1×（﹣0.25）
＝0.25.
故答案为：0.25.
【分析】先利用同底数幂乘法运算法则，将（﹣0.25）2022变形为（﹣0.25）2021×（﹣0.25），再利用积的乘方运算法则，将原式变形为（﹣0.25×4）2021×（﹣0.25），再进行运算即可求解.
13．计算的结果等于 ．
【答案】18
【解析】【解答】解：，
故答案为：18．
【分析】利用平方差公式展开计算即可。
14． ； .
【答案】；ab
【解析】【解答】∵ ， = ab，
故答案为： ；ab.
【分析】根据平方差公式与完全平方公式即可求解.
15．每立方厘米的空气质量约为，用小数把它表示为
【答案】
【解析】【解答】=g
答案：.
【分析】直接将科学记数法化为普通小数即可.
16．已知a+10=b+12=c+15，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac= ．
【答案】19
【解析】【解答】根据已知a+10=b+12=c+15，可得到a﹣b=2，a﹣c=5，b﹣c=3．运用完全平方式可得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，再将前面的a﹣b、a﹣c、b﹣c的值代入求出结果．
解：∵a+10=b+12=c+15
∴a+10=b+12 a﹣b=2
同理得a﹣c=5，b﹣c=3
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac= [（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]= （4+25+9）=19
故答案为：19
【分析】将已知等式变形，利用完全平方式求解即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：（a﹣b）2m （b﹣a）m （a﹣b）2s．
【答案】解：（a﹣b）2m （b﹣a）m （a﹣b）2s
=（b﹣a）2m （b﹣a）m （b﹣a）2s
=（b﹣a）2m+m+2s
=（b﹣a）3m+2s．
【解析】【分析】根据互为相反数的偶数次幂相等转化为底数是（b﹣a）的运算，再利用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解．
18．科技点亮未来，创新改变生活。某校七年级1班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用KT板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知KT板(阴影部分）的尺寸如图2所示。
（1）用含的代数式表示图2的KT板模型的总面积（结果需化简）；
（2）若，求KT板总面积.
【答案】（1）解：阴影部分的面积为
（2），，
【解析】【分析】（1）根据三角形和梯形的面积公式列式计算即可；
（2）利用完全平方公式对（1）中结果进行变形，然后整体代入计算即可．
19．已知求的值。
【答案】解：∵
∴.
【解析】【分析】根据完全平方公式化简，再整体代入即可求出答案.
20．已知，求的值．
【答案】解：∵
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】根据完全平方公式可得(a+)2=(a-)2+4，然后代入进行计算.
21． 一个长方体模型的长、宽、高分别为4a(cm)，3a(cm)，2a(cm)。某种油漆每千克可漆面积为 ，问：漆这个模型需要油漆多少千克
【答案】解：。
答：漆这个模型需要油漆。
【解析】【分析】先计算出长方体的表面积，再根据每千克尤其可漆的面积，计算出需要多少油漆即可.
22．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．
（1）观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号）
①：②：③：
（2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值．
（3）将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）①
（2）解：∵边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，
∴，，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形与正方形的变成分别为a，b，
∵正方形与正方形面积和为74，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴（负数舍去），
∴，即，
∴阴影部分的面积为．
答：阴影部分的面积为12.
【解析】【解答】
（1）解：根据题意，
得，
故选：①.
【分析】
（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个长方形的面积的和即可求解；
（2）先根据长方形的周长和面积得出，，然后化简所求代数式，并代入化简后的代数式计算即可求解；
（3）设正方形与正方形的变成分别为a，b，则，，利用完全平方公式的变形可求，，，，然后利用阴影部分的面积等于大正方形的面积与小正方形面积差的一半即可求解．
（1）解：根据题意，得，
故选：①；
（2）解：∵边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，
∴，，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形与正方形的变成分别为a，b，
∵正方形与正方形面积和为74，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴（负数舍去），
∴，即，
∴阴影部分的面积为．
23．如果“三角”表示4xyz，“方框”表示﹣5abdc，的值．
【答案】解：根据题意得：=8mn （﹣5n2m5）=﹣40m6n3．
【解析】【分析】原式利用题中的新定义变形，计算即可得到结果．
24．用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a， 宽 为b(a>b) 的四个相同的长方形拼成的一个大正方形。
（1）用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(a-b)2、(a+b)2、ab 三者之间的等量关系式：
利用上面所得的结论解答：已知a-b=5，，求a+b 的值。
（2）类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： (a+b)3= 。
②利用上面所得的结论解答：a+b=6，ab=7，求 a3+b3 的值。
【答案】（1）解：整体大正方形的面积为：（a+b）2 四个长方形的面积与小正方形的面积为：（b-a）2+4ab
∴（a+b）2=（b-a）2+4ab
∵ a-b=5，
∴（a+b）2=25+4×=36
∴a+b>0
∴a+b=6
（2）解：①.②由①可知：∴∵ a+b=6，ab=7∴
【解析】【解答】（2）①由图可知：大正方形的体积为 (a+b)3
八个小长方体体积之和为：
因此：
故答案为：.
【分析】（1）先计算大大正方形的面积为：（a+b）2，再计算四个长方形的面积与小正方形的面积为：（b-a）2+4ab，因此可得：a+b）2=（b-a）2+4ab，然后把已知条件代入即可.
（2）①先计算大正方体的体积为：(a+b)3，再计算八个小正方体的体积和为：
因此可得：.
②根据，变形出：，再把a+b=6，ab=7代入可得：.
25．如图， 将一个边长为 的正方形图形分割成四部分(两个正方形和两个长方形)， 请认真观察图形， 解答下列问题：
（1）请用两种方法表示该图形阴影部分的面积(用含 的代数式表示)：
方法一： ； 方法二： .
（2） 若图中 满足 ， 求阴影部分正方形的边长；
（3） 若 ， 求 的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵a2+b2=31，ab=3，
∴结合（1）的结论可得：（a-b）2=a2-2ab+b2
=31-2×3=31-6=25，
∵阴影部分是正方形，
∴阴影部分正方形的边长为：=5.
答：阴影部分正方形的边长是5.
（3）解：设2021-y=m，2023-y=n，
∴mn=1010，m-n=-2，
∴m2+n2=(m-n)2+2mn=（-2）2+2×1010=2024；
即（2021-y）2+(2023-y)2=2024.
答： 的值为 2024
【解析】【解答】解：（1）①该图形阴影部分的面积为：（a-b）2；
故答案为：（a-b）2；
②该图形阴影部分的面积为：a2-2ab+b2；
故答案为：a2-2ab+b2.
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积公式即可求解；
（2）由（1）可得（a-b）2=a2-2ab+b2，结合已知，整体代换计算即可求解；
（3）设2021-y=m，2023-y=n，结合已知可得mn=1010，m-n=-2，根据完全平方公式变形得：m2+n2=(m-n)2+2mn，然后整体代换计算即可求解.
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