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三角形的证明 单元同步真题检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为( )
A．3 B．4 C．4.5 D．5
2．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．9、12、15 B．12、18、22 C．8、15、17 D．5、12、13
3．下列命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果 ，那么
C．对顶角相等 D．如果 ，那么
4．如图，已知△ABC中，AB 的垂直平分线交BC于点D，AC 的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD=3，DE=4，EC=5，则AC的长为（ ）
A．10 B．11 C． D．
5．已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
7．在△ABC，AB=1，AC= ，BC= ，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；
②作直线交于点，连接．
若，，，则的周长为（ ）
A．11 B．13 C．16 D．20
9．若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形 中， 对角线 交于点 为 上任意点，F为 中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4，点D到AB的距离为2，则BC＝ ．
12．如图AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB=14，AC=12，S△BDC=20，则EF的长为 ．
13．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都 60°（填“＞”“＜”或“＝”）.
14．如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点E，若 ，则 的度数为 .
15．如图，在△ABC中，ED BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=6，DC=8， DE=20，则FG= .
16．在平面直角坐标系中，若干个边长为 个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放.点 从原点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿着等边三角形的边“ …”的路线运动，设第 秒运动到点 ，（ 为正整数），则点 的坐标是
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
18．已知：如图，，，，，，求图形中阴影部分的面积．
19．如图，在 中， ， ，AD平分 ， 交直线BC的延长线于点E，求 的度数.
20．如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
21．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系 并加以证明.
22．已知：A B⊥AC，CD ⊥AC，AD＝CB， 问△ABC与△CDA全等吗？为什么？
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
24． 如图，在四边形中，已知，，，，．
（1）判断是直角三角形吗？请说明理由．
（2）连接，求的面积．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点．
（1）如图1，过O作直线于C．求的长；
（2）在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标；
（3）如图2，点E在直线上，且横坐标为2，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由．
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三角形的证明 单元同步真题检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为( )
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于点G，
∵BC=9，BF=5，
∴CF=BC-BF=4，
∵AF平分∠BAC，FG⊥AB，∠C=90°，
∴FG=FC=4，及点F到AB的距离为4.
故答案为：B.
【分析】过点F作FG⊥AB于点G，先由线段的和差算出CF=4，进而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得FG=FC=4，从而可得答案.
2．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．9、12、15 B．12、18、22 C．8、15、17 D．5、12、13
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵ 92+122=225=152，∴此三边能构成直角三角形，故不符合题意；
B、∵ 122+182≠=222，∴此三边不能构成直角三角形，故符合题意；
C、∵ 82+152=172，∴此三边能构成直角三角形，故不符合题意；
D、∵52+122=132，∴此三边能构成直角三角形，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可判断.
3．下列命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果 ，那么
C．对顶角相等 D．如果 ，那么
【答案】B
【解析】【解答】解：A、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，不符合题意，因为相似三角形的对应角也相等，故A选项不符合题意；
B、逆命题为：如果 ，那么 ，符合题意；
C、逆命题为：相等的角为对顶角，不符合题意；
D、逆命题为：如果 ，则 ，当 时不成立，故不符合题意.
故答案为：B
【分析】首先确定每个命题的逆命题，再根据“正确的命题是真命题”依次进行判断即可.
4．如图，已知△ABC中，AB 的垂直平分线交BC于点D，AC 的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD=3，DE=4，EC=5，则AC的长为（ ）
A．10 B．11 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
如图，连接AD，AE，
∵ AB 的垂直平分线交BC于点D，AC 的垂直平分线交BC于点E，
∴AD=BD=3，AE=EC=5，
∴AD2=9，AE2=25，DE2=16，
∴AD2+，DE2=AE2，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∴AC===，
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质知AD、AE的长，根据勾股定理逆定理判定Rt△ADE，再根据勾股定理求AC的长.
5．已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，
∴或或或或或或或或或或或，一共12种情况，
∵是直角三角形的有，只有1种情况，
∴从这样的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率是．
故答案为：A．
【分析】先根据题意得到符合的三角形的个数，再找出是直角三角形的个数，再利用概率公式解题即可．
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
【答案】A
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：A．
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
7．在△ABC，AB=1，AC= ，BC= ，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：容易得到BC为最大边，，， ，
则BC2=AB2+AC2， 该三角形为直角三角形。并由AB≠AC可排除D选项。
故答案为：B
【分析】先找出最大边，再用勾股定理验证。
8．如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；
②作直线交于点，连接．
若，，，则的周长为（ ）
A．11 B．13 C．16 D．20
【答案】B
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
的周长．
故选：B．
【分析】由作图可知垂直平分线段，根据垂直平分线性质可得DB=DC，再根据三角形周长即可求出答案.
9．若等腰三角形的周长是100cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y（cm）与底边长x（cm）之间的函数关系式的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，x+2y=100，
所以，y=﹣ x+50，
根据三角形的三边关系，x＞y﹣y=0，
x＜y+y=2y，
所以，x+x＜100，
解得x＜50，
所以，y与x的函数关系式为y=﹣ x+50（0＜x＜50），
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
【分析】根据三角形的周长列式并整理得到y与x的函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列式求出x的取值范围，即可得解．
10．如图，矩形 中， 对角线 交于点 为 上任意点，F为 中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设M、N分别为AB、AD的中点，则MN是△ABD的中位线，
∵E为BD上任意点，F为AE中点，
∴点F在MN上，
作点O关于MN的对称点O′，连接BO′，则BO′即为 的最小值，
∵四边形ABCD是矩形， ，
∴OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO＝4，
过点A作AH⊥BO于H，则BH＝HO＝2，
∴AH＝ ，
∵MN∥BD，点H关于MN的对称点为A，点O关于MN的对称点为O′
∴OO′＝AH＝ ，且OO′⊥BD，
∴ ，
即 的最小值为 ，
故答案为：A．
【分析】设M、N分别为AB、AD的中点，则MN是△ABD的中位线，点F在MN上，作点O关于MN的对称点O′，连接BO′，则BO′即为 的最小值，易证△ABO是等边三角形，过点A作AH⊥BO于H，求出AH＝OO′＝ ，然后利用勾股定理求出BO′即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4，点D到AB的距离为2，则BC＝ ．
【答案】6
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°
∴DC＝DE＝2，
∵BD＝4，
∴BC＝CD+BD＝2+4＝6.
故答案为：6.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DC＝DE＝2，然后根据BC＝CD+BD进行计算.
12．如图AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB=14，AC=12，S△BDC=20，则EF的长为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AC，
∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB于F，
∴EF=EG，
设EF=EG=x，
∵BD是中线，S△BDC=20，AD= AC=6，
∴△ABD的面积=20，
即△ABE的面积+△ADE的面积=20，
∴ ×AB×EF+ ×AD×EG=20，
∴ ×14×x+ ×6×x=20，
解得x=2，
∴EF=2．
故答案为：2
【分析】先过点E作EG⊥AC，设EF=EG=x，根据△ABD的面积=20，得出△ABE的面积+△ADE的面积=20，即 ×14×x+ ×6×x=20，求得x的值即可．
13．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都 60°（填“＞”“＜”或“＝”）.
【答案】＜
【解析】【解答】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于.
故答案为：＜.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出至少有一个内角大于或等于60°的反面即可.
14．如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点E，若 ，则 的度数为 .
【答案】82°
【解析】【解答】解：如图，连接 ，延长 与 交于点F，
平分 ， ，
是 的垂直平分线，
故答案为：
【分析】如图，连接BD，延长CA与BD 交于点F，先由AC平分 ， ，通过三线合一得到 CF是 的垂直平分线，进而得AB=AD，接着通过等边对等角得到最后通过三角形内角和即可得到∠BAE的度数 .
15．如图，在△ABC中，ED BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=6，DC=8， DE=20，则FG= .
【答案】6
【解析】【解答】解： ED BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，
∠ABG=∠GBC=∠EGB，∠ACF=∠FCB=∠DFC，
BE=EG，FD=DC，
BE=6，DC=8， DE=20，
；
故答案为：6.
【分析】由题意易得∠ABG=∠GBC=∠EGB，∠ACF=∠FCB=∠DFC，进而得到BE=EG，FD=DC，然后由BE=6，DC=8， DE=20可求解.
16．在平面直角坐标系中，若干个边长为 个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放.点 从原点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿着等边三角形的边“ …”的路线运动，设第 秒运动到点 ，（ 为正整数），则点 的坐标是
【答案】（1010，0）
【解析】【解答】解：∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形，
∴
A2（2，0）
A4（4，0）
A6（6，0）
…
∴An中每6个点的纵坐标规律： ，0， ，0，﹣ ，0，
点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“ …”的路线运动，2秒钟走一段，
P运动每12秒循环一次
点P的纵坐标规律： ， ， ，0， ， ， ，0， ， ， ，0，…，
点P的横坐标规律： ，1， ，2， ，3，…， ，
∵2020÷12＝168…4，
∴点P2020的纵坐标为0，
∴点P2020的横坐标为1010，
∴点P2020的坐标（1010，0）.
故答案为：（1010，0）.
【分析】易得A1（1，），A2（2，0），A3（3，），A4（4，0），A5（5，-），A6（6，0），推出An中每6个点的纵坐标规律： ，0， ，0，﹣ ，0，点P的纵坐标规律：， ，，0，，，，0，，，，0，…，点P的横坐标规律：，1，，2，，3，…，，据此解答.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
【答案】（1）解：∵在中，，，，
∴，
是以∠BHC为直角的直角三角形，
∴CH⊥AB，
∵点到直线垂线段的长度最短，
∴CH是村庄C到河边的最近路；
（2）解：设，
千米，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
千米，
∴CH比CA短千米．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出△CHB是以∠BHC为直角的直角三角形，再利用垂线段最短的性质可得CH是村庄C到河边的最近路；
（2）设，利用勾股定理可得，即，求出x的值，最后求出CH比CA短千米即可．
18．已知：如图，，，，，，求图形中阴影部分的面积．
【答案】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴图形中阴影部分的面积为．
【解析】【分析】先根据题意结合勾股定理即可求出AC，再根据勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形，，进而根据即可求解。
19．如图，在 中， ， ，AD平分 ， 交直线BC的延长线于点E，求 的度数.
【答案】解：∵在 中，∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝180°－85°－35°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝ ＝30°，
∴在 中，∠ACB＝85°，∠DAC＝30°，
∴∠ADC＝180°－85°－30°＝65°，
∵ ，
∴ ，
∴ 在 中，∠ADC＝65°，
∴∠E＝90°－65°＝25°.
【解析】【分析】先根据三角内角和求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DAC，再根据三角形内角和求出∠ADC度数，最后在 中，根据直角三角形的定义求∠E度数即可.
20．如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【答案】（1）二
（2）证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）∵SSA不能证明两三角形全等，
∴小虎同学的证明过程中，第二步出现错误.
故答案为：二.
【分析】（1）由证明过程可知SSA不能证明两三角形全等，即可作出判断.
（2）利用邻补角的定义可知∠BDC=∠CEB，利用AAS证明△DOB≌△EOC，利用全等三角形的对应边相等可证得OD=OE，再利用HL证明△ADO≌△AEO，利用全等三角形的性质可证得结论.
21．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB+BD与DE的长度有什么关系 并加以证明.
【答案】解：AB+BD=DE.
理由是：∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC.
又∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=EC.
∵AC+CD=AB+BD，
∴EC+CD=AB+BD.
即AB+BD=EC+CD=DE.
【解析】【分析】根据AD垂直平分BC可知AB=AC，BD=CD，由于C在AB的垂直平分线上，故AB=AC=CE，即AB+BD=DE
22．已知：A B⊥AC，CD ⊥AC，AD＝CB， 问△ABC与△CDA全等吗？为什么？
【答案】解：△ABC与△CDA全等，
理由：∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴∠BAC=∠DCA=90°，
∵AD=CB，AC=CA，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）．
【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠BAC=∠DCA=90°，由已知条件可知AD=CB，AC=CA，然后利用全等三角形的判定定理进行判断.
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．
【答案】解：如图，连接AD， ∵ED是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD＝4， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠DAC＝30°， ∵DC＝ AD＝2， ∴AC＝ . 故答案是 .
【解析】【分析】如图，连接AD，根据垂直平分线的性质可得BD＝AD，进而得到∠DAC的度数和DC的长，再根据勾股定理求出AC的长即可.
24． 如图，在四边形中，已知，，，，．
（1）判断是直角三角形吗？请说明理由．
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）解：是直角三角形．
理由：∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：如图，过点D作交延长线于点M．
由（1）可知，
所以．
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形的面积，熟知勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形的面积计算公式是解题关键.
（1）由∠ACD=90°和勾股定理可知：在Rt△ACD中， 4，再由3，1，由勾股定理逆定理可知：△ABC为直角三角形，即可得出答案；
（2）过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M，由∠ACD=90°，∠ABC=90°和三角形内角和为180°可知：∠ACD+∠DCM=90°，∠ACB+∠CAB=90°，由同角的余角相等可知：∠CAB=∠DAM，由AC=CD，∠ABC=∠CMD=90°，由全等三角形的判定方法AAS可证得△ABC≌△CMD，再由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知：DM=BC=1，最后代入三角形面积计算公式：×BC×DM=，即可得出答案.
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点．
（1）如图1，过O作直线于C．求的长；
（2）在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标；
（3）如图2，点E在直线上，且横坐标为2，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点，点，，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：当对称点落在第一象限时，如图所示，过点Q作于点G，
根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
当时，，
故．
当对称点N落在第三象限时，如图所示，
连接，交x轴于点M，
根据折叠的性质，得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
当时，，
故
∴点Q的坐标为或
（3）最小值为，
【解析】【解答】（3）解：∵直线的函数表达式，
∴时，，
∴点，
∴，
过点D作于点D，且使得，连接，
∵直线轴于点T，
∴，
∴；利用直线
∵，
∴，
∵直线轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
∵，
故当B，F，N三点共线时，取得最小值，且为的长度，
连接交于点P，
故当N与点P重合时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴；
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
根据题意，得，
解得
∴，
故．
【分析】（1）利用坐标系中两点的距离公式可求出AB的长，再利用三角形的面积公式可求出OC的长.
（2）分情况讨论：当对称点落在第一象限时，如图所示，过点Q作于点G，利用勾股定理可证得OC=OG，从而可求出OG的长；利用待定系数法可求出直线AB的函数解析式，由此可求出点Q的坐标；当对称点N落在第三象限时，连接，交x轴于点M，利用折叠的性质可证得，，利用ASA可证得△COA≌△MON，利用全等三角形的性质可证得，由此可得到点Q的横坐标，再求出直线AB的函数解析式，可求出点Q的纵坐标，即可得到点Q的坐标；综上所述可得到点Q的坐标.
（3）过点D作于点D，且使得，连接，利用三角形全等，待定系数法，两点之间线段最短，解方程组，两点间距离公式解答即可．
（1）解：∵点，点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：当对称点落在第一象限时，如图所示，
过点Q作于点G，
根据题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
当时，，
故．
当对称点N落在第三象限时，如图所示，
连接，交x轴于点M，
根据折叠的性质，得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
当时，，
故．
（3）解：∵直线的函数表达式，
∴时，，
∴点，
∴，
过点D作于点D，且使得，连接，
∵直线轴于点T，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵直线轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
∵，
故当B，F，N三点共线时，取得最小值，且为的长度，
连接交于点P，
故当N与点P重合时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴；
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
设直线的函数表达式，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式．
根据题意，得，
解得
∴，
故．
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