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反比例函数 单元模拟真题演练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知A是反比例函数上一点，AB⊥y轴与点B，点C在x轴上，且∠ABC的面积为1，则k的值为（ ）.
A． B．1 C．4 D．-2
2．若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的顶点B在x轴正半轴上，点A与的中点D都在反比例函数的图象上，若的面积为12，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
4．已知正比例函数 与反比例函数 的图象交于A、B两点，若点A（a，4），则点B的坐标为（ ）
A．（－1，4） B．（1，－4） C．（4，－1） D．（－4，1）
5．已知反比例函数的图象经过点，且当时，随的增大而增大，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
6． 如图，直线y1＝x-1与双曲线y2 交于点A（2，1）， B（-1，-2），当y1＞y2时，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），点P是双曲线y＝ （x＞0）上的一个动点，做PB⊥x轴于点B，当点P的横坐标逐渐减小时，四边形OAPB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先减小后增大
8． 反比例函数的图象上有，两点，当时，则有（ ）
A． B． C． D．
9．已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点是函数的图象上一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点A，、B，交函数的图象于点C，~D，连接OC、OD、CD、AB，其中．下列结论：①；（②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是 .
12．在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，则 0（填“＞”、“＝”或“＜”）．
13．反比例函数 的图像经过点(2，3)，则 的值等于 ．
14．如图，点和在反比例函数的图象上，其中过点作轴于点，则的面积为 ；若的面积为，则 ．
15．在函数 （k＞0的常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（ ，y3），函数值y1，y2，y3的大小为 ．
16．如图，已知点A(2，2)是双曲线 上一点，点B是双曲线上位于点A右下方的另一点，C是x轴上的点，且△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，则点B的坐标是 。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
18． 如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 A(1，3)，B(-2，n) 两点.
（1） 求反比例函数和一次函数的表达式.
（2） 若 ，请直接写出 x 的取值范围.
19．某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到；②保持进行加工。 ①从加热到；②自然降温到；③再次加热到；循环②③两个阶段。
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元。（注：自然降温阶段不产生成本）
（1）求材料加热到的时间。
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式。
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，，为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）。仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
20．如图，已知，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于点轴于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）是线段上的一点，连接，，若和面积相等，求点坐标．
21．如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=x+1的图象与x轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△ABP的面积是2，直接写出点P的坐标．
22．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且的面积为3，求点的坐标．
23． 如图，矩形ABOD的两边 OB，OD 分别在 x轴，y轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y= 的图象分别相交于点 E，F，且 DE=2，过点 E 作 EH⊥x轴于点 H，过点 F 作 FG⊥EH 于点 G，回答下面的问题：
（1）该反比例函数的表达式是什么
（2）当四边形 AEGF 为正方形时，求点 F 的坐标.
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求b的值和反比例函数解析式；
（2）如图1，P为反比例函数的图象一点，使得，求P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一点，点N为平面中的一点，是否存在这样的M，N两点，使得A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；
（3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上 若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
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反比例函数 单元模拟真题演练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知A是反比例函数上一点，AB⊥y轴与点B，点C在x轴上，且∠ABC的面积为1，则k的值为（ ）.
A． B．1 C．4 D．-2
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
轴于点B，点C在x轴上， 且 的面积为1，
∵反比例函数图象在第二象限，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可.
2．若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，k=-9<0
∴函数图象的两个分支分别在第二，四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
3．如图，的顶点B在x轴正半轴上，点A与的中点D都在反比例函数的图象上，若的面积为12，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：如下图所示：连接AD，OD，过点A作AM⊥OB，ON⊥OB，
设AM=2x，
∴，
∵四边形AOBC是平行四边形，，
∴DN=x，，
∵，，
∴，
∴，
解得：k=8，
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的性质，平行四边形的性质，以及三角形和梯形的面积公式计算求解即可。
4．已知正比例函数 与反比例函数 的图象交于A、B两点，若点A（a，4），则点B的坐标为（ ）
A．（－1，4） B．（1，－4） C．（4，－1） D．（－4，1）
【答案】B
【解析】【解答】把点A（a，4）代入 ，得a=-1
又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称
则B（1，-4）
故答案为：B.
【分析】把点A（a，4）代入 得到a的值，再根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称得到B点的坐标.
5．已知反比例函数的图象经过点，且当时，随的增大而增大，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵x＞0时，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴反比例函数y=的图象在第二、四象限，
即点P的坐标的符合为（-，+）或（+，-）.
故答案为：C.
【分析】先根据x＞0时，y随x的增大而增大，得出k＜0，从而得到反比例函数y=的图象在第二、四象限，进而得点P的坐标的符合为（-，+）或（+，-），即可得出符合题意的选项.
6． 如图，直线y1＝x-1与双曲线y2 交于点A（2，1）， B（-1，-2），当y1＞y2时，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由图可得，
在点A（2，1）的右侧，直线始终在双曲线的上方，此时y1>y2，x的取值范围是x>2；
在点B（-1，-2）的右侧且点O的左侧，直线始终在双曲线的上方，此时y1>y2，x的取值范围是-1综上，当y1>y2时，x的取值范围是-12；
故选：C.
【分析】根据数形结合的思想，当y1>y2时，表示图象上直线在双曲线的上方，求此时自变量x的取值范围即可.
7．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），点P是双曲线y＝ （x＞0）上的一个动点，做PB⊥x轴于点B，当点P的横坐标逐渐减小时，四边形OAPB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先减小后增大
【答案】C
【解析】【解答】解：点A（0，2），则OA＝2，
设点P（x， ），则OB＝x，PB＝
S四边形AOBP＝ （OA+PB） OB＝ （2+ ） x＝ k+x，
∵k为定值，
∴随着点P的横坐标x的逐渐减小时，四边形AONP的面积逐渐减小
故答案为：C
【分析】设点P的坐标，表示出四边形OAPB的面积，由反比例函数k是定值，当点P的横坐标逐渐减小时，四边形OAPB的面积逐渐减小．
8． 反比例函数的图象上有，两点，当时，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵反比例函数常量k=1>0，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵当t>3时，M(t，y1)，N(t-3，y2)两点都在第一象限，
∴y2>y1>0，
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
9．已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：函数图象如图所示：
故答案为：A.
【分析】画出反比例函数的图象，结合图象进行比较即可.
10．如图，点是函数的图象上一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点A，、B，交函数的图象于点C，~D，连接OC、OD、CD、AB，其中．下列结论：①；（②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【答案】B
【解析】【解答】解：轴，轴，点在上，点C，D在上，
设，则，令，
则，即，
，
，即，
又
故①正确；
的面积，故③正确；
，故②错误
故答案为：B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设，则，令，，再根据两点间距离可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据直线平行判定定理可得故①正确；再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则反比例函数的表达式是 .
【答案】y=
【解析】【解答】解：设反比例函数的表达式是 ，
由题意知， ，
所以k= ，
又反比例函数图象在第二、四象限上，k<0，
∴k=-8，
即反比例函数的表达式是y= ，
故答案为：y= .
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S是个定值，即S= ，再结合反比例函数所在的象限即可得到k值，则反比例函数的解析式即可求出.
12．在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，则 0（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】<
【解析】【解答】∵正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，
∴异号，
∴，
故答案为：<.
【分析】利用反比例函数图象与反比例函数图象的关系可得异号，再求出即可.
13．反比例函数 的图像经过点(2，3)，则 的值等于 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵反比例函数经过点（2，3）
∴k-2=2×3=6
解之：k=8
故答案为：8
【分析】把点（2，3）代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程即可求得k的值。
14．如图，点和在反比例函数的图象上，其中过点作轴于点，则的面积为 ；若的面积为，则 ．
【答案】；
【解析】【解答】解：如图，过点B作x轴的垂线，垂足为D，
∵点在反比例函数图象上，
∴，S△AOC＝.
∴反比例函数的解析式为.
∵点，
∴S△OBD＝.
∵S△OBD+S梯形ACDB=S△AOC+S△AOB，
∴S梯形ACDB=S△AOB．
∵△AOB的面积为，且，，
∴，
∴
解得或．
∵a＞b＞0，
∴．
故答案为：，2.
【分析】根据A点坐标或B点坐标可求得反比例函数的比例系数k，从而可得反比例函数的表达式，利用A点的坐标，可求得的面积，利用B点的坐标，可求得△OBD的面积，由S△OBD+S梯形ACDB=S△AOC+S△AOB，可得S梯形ACDB=S△AOB，利用A、B两点的坐标，可转化为a、b的方程求解.
15．在函数 （k＞0的常数）的图象上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（ ，y3），函数值y1，y2，y3的大小为 ．
【答案】y3＞y1＞y2
【解析】【解答】解：∵函数y= （k＞0的常数），
∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0，﹣1＜0， ＞0，
∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）在第三象限，（ ，y3）在第一象限，
∵﹣2＜﹣1，
∴0＞y1＞y2，y3＞0，
故答案为：y3＞y1＞y2．
【分析】先根据函数y= （k＞0的常数）判断出函数图象所在的象限，再根据三点坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象的特点进行解答即可．
16．如图，已知点A(2，2)是双曲线 上一点，点B是双曲线上位于点A右下方的另一点，C是x轴上的点，且△ABC是以∠B为直角的等腰直角三角形，则点B的坐标是 。
【答案】
【解析】【解答】解：过B作BE⊥x轴于点E，过A作AD⊥BE于点D，
∴∠BCE+∠CBE=90°．∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠CBE=90°，∴∠ABD=∠BCE．在△ADB和△BEC中，∵∠ABD=∠BCE，∠D=∠BEC=90°，AB=BC，∴△ABD≌△BCE，∴AD=BE，BD=CE．设B（a，b），其中a＞2，则AD=a-2，BE=b，∴b=a-2． ∵ab=4，∴a(a-2)=4，∴ ，解得： 或 （舍去），∴ ， ，∴B（ ， ）．故答案为：（ ， ）．
【分析】过B作BE⊥x轴于点E，过A作AD⊥BE于点D，根据等角的余角相等得出∠ABD=∠BCE，然后利用AAS判断出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的对应边相等得出AD=BE，BD=CE，设B（a，b），其中a＞2，则AD=a-2，BE=b，即b=a-2． 根据反比例函数图象上点的坐标特点得出ab=4，整体代入即可得出关于a的方程，求解并检验即可得出a的值，进而得出b的值，从而求出B点的坐标。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：设反比例函数的表达式为，
代入点到，得，
反比例函数的表达式为．
（2）解：轴，，
点的纵坐标为，
代入到，
则，
解得，
，
，则，
正方形的面积为，
反比例函数的图象关于原点对称，
阴影部分的面积正好是正方形面积的，
阴影部分的面积，
图中阴影部分的面积为25．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的表达式即可；
（2）根据题意先求出点的纵坐标为，再求出正方形的面积为100，最后计算求解即可.
（1）解：设反比例函数的表达式为，
代入点到，得，
反比例函数的表达式为．
（2）解：轴，，
点的纵坐标为，
代入到，则，解得，
，
，则，
正方形的面积为，
反比例函数的图象关于原点对称，
阴影部分的面积正好是正方形面积的，
阴影部分的面积，
图中阴影部分的面积为25．
18． 如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 A(1，3)，B(-2，n) 两点.
（1） 求反比例函数和一次函数的表达式.
（2） 若 ，请直接写出 x 的取值范围.
【答案】（1）解：∵反比例函数的图像过点A(1，3)
∴，即反比例函数表达式为
∵反比例函数图象过点B(-2，n)
∴
∵一次函数的图像过点A、B
∴
解得，，
即一次函数表达式为
（2）解：或
【解析】【解答】解：观察图象，y1≤y2的x的取值范围是或，
故答案为：或.
【分析】(1)用A(1，3)坐标代入用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)根据图象直接写出y1≤y2的x的取值范围即可.
19．某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到；②保持进行加工。 ①从加热到；②自然降温到；③再次加热到；循环②③两个阶段。
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元。（注：自然降温阶段不产生成本）
（1）求材料加热到的时间。
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式。
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，，为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）。仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
【答案】（1）由图可知加热时，关于的函数为一次函数，
可设解析式为，
将点代入，得
解得
关于的函数解析式为．
当时，，解得．
第一次加热到时间为20分钟。
（2）由题意可设加热后关于的表达式为，
将（20，90）代入，得，
关于的表达式为
（3）由题意可知，加热时长为10分钟．
恒温阶段分钟，
费用为：元。
间歇加热工作：对于，令，得，
除第一次加热到需要10分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要20分钟．一天8小时中，加热时间为分钟，
费用为：元。
，因此仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出解析式，然后把 y=90时代入即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解.
20．如图，已知，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于点轴于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）是线段上的一点，连接，，若和面积相等，求点坐标．
【答案】（1）解：∵，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，
∴，
∴，
∴，
；
∴，
∴，
∴；
（2）解：设点，
∵，，轴于点轴于点，
∴，
∴，
∵和面积相等，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】
（1）用待定系数法可求解；
（2）轴于点轴于点，设点（m，m+3），根据三角形的面积公式并结合和面积相等可得关于m的方程，解方程可求解．
21．如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2）．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=x+1的图象与x轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△ABP的面积是2，直接写出点P的坐标．
【答案】解：（1）∵一次函数图象过A点，
∴2=m+1，解得m=1，
∴A点坐标为（1，2），
又反比例函数图象过A点，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=．
（2）∵S△ABP=×PB×yA=2，A（1，2），
∴2PB=4，
∴PB=2，
由y=x+1可知B（﹣1，0），
∴点P的坐标为（1，0）或（﹣3，0）．
【解析】【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值，可得到反比例函数解析式．
（2）根据直线的解析式求得B的坐标，然后根据三角形的面积求得PB的长，进而即可求得P的坐标．
22．如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，且的面积为3，求点的坐标．
【答案】解：（1）将点坐标代入中可得：，
∴；
将代入可得：，
∴该反比例函数的表达式为；
（2）因为该反比例函数的图象和一次函数的图象交于，两点，
∴，两点关于原点对称，
∴，
∴B点到OC的距离为2，
∵的面积为3，
∴，
∴，
当C点在O点左侧时，；
当C点在O点右侧时，；
∴点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）将点A坐标正比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据正比例函数性质可得，再根据三角形面积建立方程，解方程可得OC，再根据点的位置关系分情况讨论即可求出答案.
23． 如图，矩形ABOD的两边 OB，OD 分别在 x轴，y轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y= 的图象分别相交于点 E，F，且 DE=2，过点 E 作 EH⊥x轴于点 H，过点 F 作 FG⊥EH 于点 G，回答下面的问题：
（1）该反比例函数的表达式是什么
（2）当四边形 AEGF 为正方形时，求点 F 的坐标.
【答案】（1）解：∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，OD=3，DE=2，
∴E点坐标为(2，3)，
∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为(x>0)
（2）解：设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，
∴B点坐标为(2+a，0)，A点坐标为(2+a，3)
∴F点坐标为(2+a，3-a)，
把F(2+a，3-a)代入得(2+a)(3-a)=6，
解得a1=1，a2=0(舍去)
∴F点坐标为(3，2)
【解析】【分析】(1)先根据矩形的性质得到D(2，3)，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=6，从而得到反比例函数解析式；
(2)设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=6，根据坐标与图形的关系得到B(2+a，0)，A(2+a，3)，所以F点坐标为(2+a，3-a)，于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得(2+a)(3-a)=6，解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标.
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点B．
（1）求b的值和反比例函数解析式；
（2）如图1，P为反比例函数的图象一点，使得，求P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一点，点N为平面中的一点，是否存在这样的M，N两点，使得A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
当时，，即点，
将点A的坐标代入反比例函数表达式，
得：，
即反比例函数的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
∴，
令，则，
∴
由于和的底都可以看成，在轴负半轴截取，，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P，
同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P，
∵，
则直线m、n的表达式分别为：和，
联立直线和双曲线，
解得：，，
当时，；当时，，
点P的坐标为或；
联立直线和双曲线和，
解得：，
当时，；当时，，
点P的坐标为或，
综上可知，点P的坐标为或或或；
（3）解：存在，点N的坐标为：或或或或．
【解析】【解答】解：（3）存在，理由：设点，
联立方程组得，
解得，，
∴，
∴
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
，
解得：，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或或；
综上，点N的坐标为：或或或或．
【分析】（1）将点A(2，b)代入直线，算出b的值，从而得到点A的坐标；将点A的坐标代入 反比例函数算出k的值，从而可得反比例函数的解析式；
（2）首先根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出点E、F得坐标；由于和的底都可以看成，根据同底三角形的面积关系等于对应底上的高之间的关系及平行线间的距离处处相等，故在轴负半轴截取，，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P，同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P；根据互相平行直线的斜率相同求出直线和得解析式，联立直线m直线和双曲线及直线n与双曲线，求出交点即可；
（3）首先连着直线AB与双曲线求解得出点A、B得坐标；然后分类讨论：①当为对角线时，由中点坐标公式和得列出方程组，即可求解；②当或为对角线时，同理可解．
（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
当时，，即点，
将点A的坐标代入反比例函数表达式，得：，
即反比例函数的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
∴，
令，则，
∴
由于和的底都可以看成，在轴负半轴截取，，过点M作直线，则直线m和反比例函数交点即为点P，
同理在点E上方取，过点作直线和反比例函数交点也为所求的点P，
∵，
则直线m、n的表达式分别为：和，
联立直线和双曲线，
解得：，，
当时，；当时，，
点P的坐标为或；
联立直线和双曲线和，
解得：，
当时，；当时，，
点P的坐标为或，
综上可知，点P的坐标为或或或；
（3）解：存在，理由：
设点，
联立方程组得，
解得，，
∴，
∴
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或或；
综上，点N的坐标为：或或或或．
25．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；
（3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上 若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）存在 ，理由如下：
解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上可得，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可把代入，求出值，即可求得反比例函数的解析式；把代入，求出值，即可求得一次函数的解析式；
由题意分两种情况求解：①将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；
②将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数；
根据等和点的定义和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标．
（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
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