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第二十六章 反比例函数 单元综合能力提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，点B是反比例函数 （k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
2．如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
3．如图，矩形 在以 为原点的平面直角坐标系中，且它的两边 分别在 轴、 轴的正半轴上，反比例函数 的图象与 交于点 ，与 相交于点 ，若 且 的面积为4，则 的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
4．如图，平行四边形 的顶点 在双曲线 上，顶点 在双曲线 上， 中点 恰好落在 轴上，已知 ，则 的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
5．如图，矩形的中心为直角坐标系的原点 ，各边分别与坐标轴平行，其中一边 交 轴于点 ，交反比例函数图象于点 ，且点 是 的中点，已知图中阴影部分的面积为 ，则该反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
6．已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．函数与（k、b为常数，且kb≠0）在同坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，正方形位于第一象限，，顶点A，C在直线上，且点A的横坐标为1，若双曲线与正方形有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
9．一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 相交于A，B两点，其中点A在第一象限.设 为双曲线 上一点，直线 ， 分别交y轴于C，D两点，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，直线y=﹣ x﹣ 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为 ．
12．如图所示，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y= （m≠0）的图象交于A、B两点，则关于x的不等式kx+b＜ 的解集为 ．
13．已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则 （填“>”或“<”或“=”）．
14． 正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，B两点，若点B的横坐标为2，则当时，x的取值范围是 .
15．若反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝﹣x+3的图象的一个交点到x轴的距离为1，则k＝ ．
16．如图，点 A1，A2依次在 (x>0)的图象上，点 B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛，经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例，施工结束后，y与x成反比例，这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）求施工过程中y关于x的函数解析式
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率，（≈1.414，结果精确到1%）
18．如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作y轴的平行线交反比例函数 的图象于点B，点C在y轴上，若 的面积为8，求k的值．
19．如图，直线与反比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接OA，OC，当时，求点的坐标及直线平移的距离．
20．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，2），过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，在x轴上有一点C，点C在点B的右侧，过点C作直线OA的垂线l，在反比例函数图象上有一点D，点B和点D关于直线l对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求BC的长度．
21．在平面直角坐标系和第一象限中有一矩形ABCD，AD平行于x轴，其中点A（3，4）且AB=2，BC=3．若将矩形ABCD向左平移a个单位之后，矩形到了第二象限，这时B、D两点在同一双曲线y=上．
（1）请直接写出平移前B与D两点的坐标；
（2）试求a与k的值．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点为正半轴上一点，且满足，求点的坐标.
23．如图， 根据小孔成像的科学原理， 当像距 （小孔到像的距离） 和物高 （蜡烛火焰高度）不变时， 火焰的像高 （单位： ） 是物距 （小孔到蜡烛的距离） （单位： ） 的反比例函数，当x=4时，y=3，请你解答下列问题.
（1）求 关于 的函数表达式．
（2）若火焰的像高为 ， 求小孔到蜡烛的距离．
24．模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即．由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．在同一直角坐标系中画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象．
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为 .
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况 请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
（4）得出结论．
若生产出矩形模具的面积为4，则其周长的取值范围为 .
25．定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆点”
（1）若点是一次函数的图象上的“互逆点”，则k= ；若点是函数的图象上的“互逆点”，则n=
（2）若点是二次函数的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数（是常数，）的图象过点，且图象上存在两个不同的“互逆点”，且满足，如果，请求出z的取值范围．
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第二十六章 反比例函数 单元综合能力提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，点B是反比例函数 （k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
【答案】B
【解析】【解答】解：因为矩形AOCB的面积为6，所以k的值为6．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数k的几何意义进行解答即可.
2．如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
【答案】D
【解析】【解答】解：设，
分别过四个点作坐标轴的垂线，
则与原点围成的矩形面积即为，也就是优秀人数，
由矩形面积可得，
即：4班优秀人数1班优秀人数3班优秀人数2班优秀人数，
故答案为：D．
【分析】根据题意知xy表示的是各班成绩优秀人数 ，根据k的几何意义，可以过四个点作坐标轴的垂线，根据两条垂线与两坐标轴组成的矩形的面积大小，即可得出结论。
3．如图，矩形 在以 为原点的平面直角坐标系中，且它的两边 分别在 轴、 轴的正半轴上，反比例函数 的图象与 交于点 ，与 相交于点 ，若 且 的面积为4，则 的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】B
【解析】【解答】设B（a，b），
∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC=b，OA=BC=a，
∵BD=2CD，∴CD=BC，
∴D（a，b），
∵点DE在反比例函数图象上，
∴ab=k，E（a，），
∵△ODE的面积=矩形OABC的面积-△OCD的面积-△DBE的面积-△OAE的面积=4，
∴ab-k-×a(b-)-k=4，
解得k=3.
故答案为：B.
【分析】设B（a，b），根据矩形的性质得出AB=OC=b，OA=BC=a，由BD=2CD，可得D（a，b），
由点DE在反比例函数图象上，得出ab=k，E（a，），根据△ODE的面积=矩形OABC的面积-△OCD的面积-△DBE的面积-△OAE的面积=4，列出等式，从而得出结论.
4．如图，平行四边形 的顶点 在双曲线 上，顶点 在双曲线 上， 中点 恰好落在 轴上，已知 ，则 的值为（ ）
A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OB，过点B作 轴于点D，过点C作 于点E，
∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点 在双曲线 上
∴
∴
∴
∴
∵点 在双曲线 上
∴
∴ ．
故答案为：C．
【分析】连接OB，过点B作 轴于点D，过点C作 于点E，证 ，再利用三角形的面积求解即可．
5．如图，矩形的中心为直角坐标系的原点 ，各边分别与坐标轴平行，其中一边 交 轴于点 ，交反比例函数图象于点 ，且点 是 的中点，已知图中阴影部分的面积为 ，则该反比例函数的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分的面积为8，
∴矩形 的面积是8，
设 ，则 ，
∵点P是AC的中点，
∴ ，
设反比例函数的解析式为 ，
∵反比例函数图象于点P，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形 OCAD 的面积是8，设 ，则 ，根据 ，可得 ，再根据反比例函数系数 的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．
6．已知反比例函数的图象上有两点，，则m与n的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：反比例函数，，
反比例函数中，在每个象限内y随x的增大而减小，
反比例函数的图象上有两点，，
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的增减性，当时，在每个象限内y随ェ的增大而减小，从而便可判断出m与n的大小关系．
7．函数与（k、b为常数，且kb≠0）在同坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、中，k>0，b<0，
∴kb<0，
∴经过二、四象限，选项错误；
B、中，k<0，b=0，
∴kb=0，
∴为x轴，选项错误；
C、中，k<0，b>0，
∴kb<0，
∴经过二、四象限，选项正确；
D、中，k>0，b>0，
∴kb>0，
∴经过一、三象限，选项错误；
故答案为：C.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.y=（k≠0），当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限.
8．如图，正方形位于第一象限，，顶点A，C在直线上，且点A的横坐标为1，若双曲线与正方形有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为1，顶点A，C在直线上，
∴
∵，四边形是正方形，
∴
∴，
当过点A时，；
当过点C时，，
∴双曲线与正方形有两个交点时，k的取值范围是，
故答案为：C．
【分析】先求出点A、C的坐标，再将点A、C的坐标代入求出k的值，再求出k的取值范围即可。
9．一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A 由一次函数图象过一、三象限可知，a＞0，则-a＜0，那么一次函数图形应过一、三、四象限，而选项图像过一、二、三象限，不正确
B 由一次函数图象过二、四象限可知，a＜0，当a＜0时，反比例函数图形应分布在二、四象限，不正确
C 由一次函数图象过一、三象限可知，a＞0，当a＞0时，反比例函数图象应过一、三象限，不正确
D 由一次函数图象过二、四象限可知，a＜0，则-a＞0，所以一次函数图象过一、二、四象限，反比例函数图象在二、四象限，正确
故答案为D
【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象，而函数图象的分布受系数的影响，对于一次函数图象，a＞0，过一、三象限，反之过二、四象限；反比例函数图象，a＞0，分布在一、三象限，反之分布在二、四象限
10．平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 相交于A，B两点，其中点A在第一象限.设 为双曲线 上一点，直线 ， 分别交y轴于C，D两点，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线 与双曲线 相交于A，B两点，
∴联立可得：
解得： 或
∵点A在第一象限，
∴ ， .
∵ 为双曲线 上一点，
∴ .
解得： .
∴ .
设直线AM的解析式为 ，
将点 与点 代入解析式可得：
解得：
∴直线AM的解析式为 .
∵直线AM与y轴交于C点，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
设直线BM的解析式为 ，
将点 与点 代入解析式可得：
解得：
∴直线BM的解析式为 .
∵直线BM与y轴交于D点，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
=4.
故答案为：B.
【分析】联立 与 为方程组，求解即得A、B坐标，将 代入 中，可得，利用待定系数法求出AM解析式，从而求出点C坐标，即得OC的长，利用待定系数法求出BM解析式，从而求出点D坐标，即得OD的长，从而求出OC-OD的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，直线y=﹣ x﹣ 与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为 ．
【答案】（﹣3，4 ﹣2）
【解析】【解答】解：过C作CE⊥x轴于E，
∵直线y=﹣ x﹣ 与x，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣ ），
∴tan∠OAB= = ，
∴∠OAB=30°，
∴∠CAE=30°，
设D（﹣3， ），
∵AD⊥x轴，
∴AD= ，
∵AD=AC，
∴AC= ，
∴CE= ，AE= ，
∴C（﹣ + ，﹣ ），
∵C在反比例函数y= 的图象上，
∴（﹣ + ） （﹣ ）=k，
∴k=6﹣12 ，
∴D（﹣3，4 ﹣2），
故答案为：（﹣3，4 ﹣2）．
【分析】过C作CE⊥x轴于E，求得A（﹣3，0），B（0，﹣ ），解直角三角形得到∠OAB=30°，求得∠CAE=30°，设D（﹣3， ），得到AD= ，AC= ，于是得到C（﹣ + ，﹣ ），列方程即可得到结论．
12．如图所示，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y= （m≠0）的图象交于A、B两点，则关于x的不等式kx+b＜ 的解集为 ．
【答案】﹣1＜x＜0或x＞3
【解析】【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式kx+b＜ 的解集是﹣1＜x＜0或x＞3．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞3．
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
13．已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则 （填“>”或“<”或“=”）．
【答案】>
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，
∴反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】先求出，可得反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再利用反比例函数的性质求解即可。
14． 正比例函数与反比例函数的图象相交于点A，B两点，若点B的横坐标为2，则当时，x的取值范围是 .
【答案】或
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=2x与反比例函数(k≠0)的图象相交于点A，B两点，
∴点A与点B关于原点成中心对称，k>0，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
∴当时，x的取值范围是或.
故答案为：或.
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点坐标解答即可.
15．若反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝﹣x+3的图象的一个交点到x轴的距离为1，则k＝ ．
【答案】2或﹣4
【解析】【解答】解：当反比例函数y＝ 在第一象限时，﹣x+3＝1，解得x＝2，即反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝﹣x+3的图象交于点（2，1），
∴k＝2×1＝2；
当反比例函数y＝ 在第四象限时，﹣x+3＝﹣1，解得x＝4，即反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝﹣x+3的图象交于点（4，﹣1），
∴k＝4×（﹣1）＝﹣4．
∴k＝2或﹣4．
故答案为：2或﹣4
【分析】利用一次函数的解析式求出交点的坐标，再将交点坐标代入反比例函数求解即可。
16．如图，点 A1，A2依次在 (x>0)的图象上，点 B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为 .
【答案】(，0)
【解析】【解答】解：作A1C⊥x轴于点C，A2D⊥x轴于点D，
∵ △A1OB1为等边三角形 ，
∴∠A1OB1=60°，
在Rt△A1OC中，
∵tan60°=，
∴A1C=OC，
设A1的坐标为（m，m），
∵点A1在 的图象上，
∴m×m=9
m=±3，
∵m>0，
∴m=3，
∴OC=3，OB1=6，
设B1D=a，则OD=6+a，
在Rt△A2B1D中，
∵tan60°=，
A2D=a.
∴A2（6+a，a）
∵A2在的图象上，
∴（6+a）·a=9，
化简，得a2+6a-9=0.
解得a=-3±3.
∵a>0，
∴a=-3+3.
∵B1B2=2B1D=2a，a=-3+3，
∴B1B2=-6+6
∴OB2=OB1 +B1B2=6.
∵点B2在x轴的正半轴上，
∴点B2的坐标为（6，0）
故答案为：(6 ，0)
【分析】
根据已知△A1OB1是等边三角形，作 A1C⊥OB1垂足为C，利用等边三角形的性质可得A1C与OC之间的关系.设出点A1的坐标，根据点A1是反比例函数图象上的一点，可求出OC的长度，进而确定OB1的长度；由于点B2在x轴的正半轴上，要求点B2的坐标，只需求出OB2的长度.观察图形可知OB2=OB1+B1B2，作A2D⊥B1B2垂足为D，则有B1B2=2B1D=2DB2，求出B1D或DB2的长度，
设B1D=a，OD=6+a、A2D=a，从而可用含a的代数式分别表示点A2的横、纵坐标.再将点A2的坐标代入反比例函数的解析式中求出a的值，即可得到B1D的长度，得出点B2的坐标.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛，经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例，施工结束后，y与x成反比例，这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）求施工过程中y关于x的函数解析式
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率，（≈1.414，结果精确到1%）
【答案】（1）解：当 时，设 ，
∵ 经过点 (0.8， 1)，∴，解得：，
∴；
∴ 施工过程中 y 关于 x 的函数解析式为：
（2）解：当 时，设 ，
∵ 经过点 (0.8， 1)，
∴，∴，
当 时，.
答：小明一家从施工开始计算，至少经过 10 个月才可以入住
（3）解：当 时，，当 时，.
设这两个月降低的百分率为 m，
，，
解得：（不合题意，舍去），.
答：降低的百分率约为
【解析】【分析】(1)施工过程中y与x成正比例函数，设出正比例函数解析式，把(0.8，1)代入即可求得相应的函数解析式；
(2)当x>0.8时，y与x成反比例函数解析式，设出反比例函数解析式，把(0.8，1)代入即可求得相应的函数解析式，进而取y=0.08，得到相应的x的值即为可以入住的时间；
(3)取x=2，x=4，得到相应的y的值，进而设降低的百分率为m，根据2月底的甲醛含量(1-降低的百分率)2=4月底的甲醛含量，计算后取得合适的解即可.
18．如图，点A在反比例函数 的图象上，过点A作y轴的平行线交反比例函数 的图象于点B，点C在y轴上，若 的面积为8，求k的值．
【答案】解：连接 ， ．
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 ， 列出关于K的方程，并根据图象所在的象限求得K即可。
19．如图，直线与反比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接OA，OC，当时，求点的坐标及直线平移的距离．
【答案】（1）解：直线与反比例函数的图象交于点，
．
．
一次函数和反比例函数解析式分别为
（2）解：方法一
如图，作轴于点轴于点，
．
，
，
．
，
．
．
．
设，
，
．
点在反比例函数的图象上，
．
解得或（舍去）．
．
设直线平移后的解析式为，
．
．
直线向上平移的距离为
【解析】【分析】（1）把点A(6，2)代入函数解析式求出m和k的值，即可求出函数解析式即可；
（2）方法一：作轴于点轴于点，得到△AOD∽△COE，根据对应边成比例得到OE=3CE，设CE=a，得到点C的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，即可求出点C的坐标，再代入一次函数的解析式计算解题.
20．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，2），过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，在x轴上有一点C，点C在点B的右侧，过点C作直线OA的垂线l，在反比例函数图象上有一点D，点B和点D关于直线l对称．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求BC的长度．
【答案】解：（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）∵A（2，2），
∴直线OA的解析式为y=x，
∵过点C作直线OA的垂线l，
∴可设直线l的解析式为y=﹣x+b（b＞2），则C（b，0），BC=b﹣2．
∵点B和点D关于直线l对称，
∴CD=CB=b﹣2，
∴D（b，b﹣2），
∵D在反比例函数y=的图象上，
∴b（b﹣2）=4，
解得b1=1+，b2=1﹣（舍去），
∴BC=b﹣2=1+﹣2=﹣1．
【解析】【分析】（1）将点A（2，2）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）由A（2，2），可得直线OA的解析式为y=x，根据互相垂直的两条直线斜率之积为﹣1，可设直线l的解析式为y=﹣x+b（b＞2），则C（b，0），BC=b﹣2．由点B和点D关于直线l对称，得出CD=CB=b﹣2，那么D（b，b﹣2），再将D点坐标代入y=，得到b（b﹣2）=4，解方程即可．
21．在平面直角坐标系和第一象限中有一矩形ABCD，AD平行于x轴，其中点A（3，4）且AB=2，BC=3．若将矩形ABCD向左平移a个单位之后，矩形到了第二象限，这时B、D两点在同一双曲线y=上．
（1）请直接写出平移前B与D两点的坐标；
（2）试求a与k的值．
【答案】解：（1）B（3，2），D（6，4）；
（2）∵矩形ABCD向左平移a个单位之后，矩形到了第二象限，
∴B点的对应点的坐标为（3﹣a，2），D点的对应点的坐标为（6﹣a，4），
∵B点和D点的对应点都在反比例函数y=的图象上，
∴2（3﹣a）=4（6﹣a），
∴a=9，
∴B（﹣6，2），
∴k=﹣6×2=﹣12．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和点的坐标的表示方法易得平移前B与D两点的坐标；
（2）根据点平移的规律确定平移后B与D两点的坐标，分别为（3﹣a，2）、（6﹣a，4），则利用反比例函数图象上点的坐标特征得到2（3﹣a）=4（6﹣a），然后解方程求出a的值，再计算k的值．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点为正半轴上一点，且满足，求点的坐标.
【答案】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
.
点的坐标为.
反比例函数的图象经过点，
.
反比例函数的解析式为.
（2）解： 过点作轴的垂线，垂足为点，则.
由勾股定理，得.
由图象的对称性，可知.
又，
.
点的坐标为.
【解析】【分析】（1）先根据题意将点A代入一次函数解析式得到m，进而运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线，垂足为点，则，进而根据勾股定理即可求出OA，再结合反比例函数的对称性得到，从而结合题意即可求解。
23．如图， 根据小孔成像的科学原理， 当像距 （小孔到像的距离） 和物高 （蜡烛火焰高度）不变时， 火焰的像高 （单位： ） 是物距 （小孔到蜡烛的距离） （单位： ） 的反比例函数，当x=4时，y=3，请你解答下列问题.
（1）求 关于 的函数表达式．
（2）若火焰的像高为 ， 求小孔到蜡烛的距离．
【答案】（1）解：设，
∵当x=4时，y=3，
∴代入可得，即k＝12，
∴ 关于 的函数表达式为.
（2）解：火焰的像高为 ，将y=3代入，
可得，得x=4，
∴ 小孔到蜡烛的距离为4cm.
【解析】【分析】（1）设，利用已知信息根据待定系数法求解即可；
（2） 火焰的像高为 ，即将y=3代入（1）中求出的函数计算即可。
24．模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即．由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．在同一直角坐标系中画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象．
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为 .
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况 请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
（4）得出结论．
若生产出矩形模具的面积为4，则其周长的取值范围为 .
【答案】（1）一
（2）解：图形如图所示：
（3）①8；
②在直线平移过程中，交点个数还有0个，2个两种情况．
联立和，
并整理，得x2 mx＋4＝0，
有0个交点，即Δ＝b2 4ac＜0，解得0＜m＜8；
有两个交点，即Δ＝b2 4ac＞0，解得m＜ 8（舍去）或m＞8．
综上所述，当有0个交点时，0＜m＜8，当有2个交点时，m＞8；
（4）
【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，
∴满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；
故答案为：一；
（3）①将（2，2）代入，得出，
解得m＝8，
故周长m的值为8．
故答案为：8；
（4）由（2）可知，矩形的周长2x＋2y＝m≥8，
所以若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为m≥8．
故答案为：m≥8．
【分析】（1）利用一次函数和反比例函数的图象与系数的关系分析求解即可；
（2）利用描点法作出函数图象即可；
（3）①将点（2，2）代入解析式求出m的值即可；
②先联立方程，再利用一元二次方程根的判别式分析求解即可；
（4）根据“ 生产出矩形模具的面积为4 ”列出不等式2x＋2y＝m≥8，再求解即可.
25．定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆点”
（1）若点是一次函数的图象上的“互逆点”，则k= ；若点是函数的图象上的“互逆点”，则n=
（2）若点是二次函数的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数（是常数，）的图象过点，且图象上存在两个不同的“互逆点”，且满足，如果，请求出z的取值范围．
【答案】（1）2；或
（2）解：点是二次函数的图象上唯一的“互逆点”，
即抛物线与直线的唯一交点为，
∴方程有两个相等的实数根为：，
∴
∴，
∴二次函数的表达式为
（3）解：∵二次函数（A，b是常数，）的图象过点，
∴，
∴，
∵图象上存在两个不同的“互逆点”，
∴，，
∴，，
∴、是方程的两个不相等实数根，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴或，
∵，
∴或，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【解析】【解答】（1）解：根据题意得，
∴，
∴，
解得：；
∵点是函数的图象上的“互逆点”，
∴，解得：或；
故答案为：2；或
【分析】(1)根据题意分别把M(-2，2)，把N(n，-n)代入解析式，求解即可；
(2)根据题意得出抛物线与直线y=-x的唯一交点为=-xP(-3，3)，即方程x有两个相等的实数根为：利用根的判别式及点在函数上组成方程组求解即可；
(3)根据题意得出是方程(b+1)x+2=0的两个不相等实数根，利用根于系数的关系得由=4，得4，化简得|所以：再由不等式的性质确定取值范围即可.
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