北京市第九中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京九中高二 12月月考
数 学
姓名__________ 班级____________ 成绩__________
一、单选题（每小题 4 分，共计 40 分）
1．已知 A( 1, 3),B(3,5)，则直线 AB的斜率为（ ）
1
A．2 B．1 C． D．不存在
2
2 2
2．已知圆 x + y 2x + 6y +1= 0 关于直线 x + y +m = 0对称，则实数m =（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2

3．已知向量a = (1,2,3)， b = ( 1, 2, 2)，且 a + 2b与 a + kb互相垂直，则 k的值是（ ）
8 9 3
A． B． C． D．2
7 8 2
4．已知直线 l,m,n及平面 ，下列命题中错误的是（ ）
A．若 l∥m，l∥n，则 m∥n B．若 l⊥α，n∥α，则 l⊥n
C．若 l⊥m，m∥n，则 l⊥n D．若 l∥α，n∥α，则 l∥n
．已知圆C : (x +1)2
2 2 2
5 1 + (y 1)
2 =1与圆C2 : x + y 4x + 6y a = 0 外切，则a =（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
6．已知点 A( 1,0)，且点 B是圆 x2 + y2 =1上的动点， AB = 3 ，则直线 AB的方程为（ ）
A. y = 3x + 3或 y = 3x 3
3 3 3 3
B. y = x + 或 y = x
3 3 3 3
C. y = x +1或 y= x 1
D. y = 2x + 2 或 y = 2x 2
7．“ a = 1”是“直线 l : ax + 4y 3 = 0与直线 l2 : x + (a 3) y + 2 = 01 平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设直线 l的斜率为 k，且 3 k 1，则直线 l的倾斜角 的取值范围是（ ）
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π 2π π 3π
A． 0, ,π B． 0, ,π
4 3 6 4
π 2π π 3π
C． , D． ,
4 3 3 4
9．直线 ax + y 1= 0 与圆 C : x2 + y2 + 2y 3 = 0 相交于 A，B 两点，当 ABC 面积最大时，a = （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为棱BB1 的中点，Q为底面 A1B1C1D1上一动点，
则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点 Q，使得 BQ⊥平面 A1PD
B. 在棱 A1B1 上存在点 Q，使得D1Q / / 平面 A1PD
π
C. 在线段 B1D1上存在点Q，使得直线CQ与 AA1 所成的角为
6
D. 存在点Q，使得三棱锥Q A1PD的体积为 2
二、填空题（每小题 5 分，共计 25 分）
11. 已知直线 l 过点 (2,4)1 ，直线 l2 : y = 2x .若 l1 ⊥ l2 ，则直线 l1的一般式方程为__________.
12. 已知 A( 2,0),B(4,a) 两点到直线 l : 3x 4y +1= 0 的距离相等，则a =____________．
2 2 1 2
13. 已知圆 (x +1) + ( y + 2) = 4 关于直线 ax +by +1= 0(a 0,b 0) 对称，则 + 的最小值为
a b
__________.
2 2
14. 已知圆 C与圆 D： x + y 4x 2y + 3 = 0关于直线 4x + 2y 5 = 0 对称，则圆 C的方程为
_______．
15. 阿波罗尼斯（公元前 262 年~公元前 190 年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大
数学家.阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆研究了例如：已知平面上两点 A( 1,0) ，
| PA |
B(1,0) ，则所有满足 = 2的点 P的轨迹方程为__________.已知平面内的两个相异定点T ，Q，动点
| PB |
M 满足 MT = 2 MQ ，记M 的轨迹为C，若与C无公共点的直线 l上存在点 R，使得 |MR |的最小值为
6，且最大值为 10，则圆C的周长为__________.
三、解答题（共计 85 分）
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16．（12 分）设 x, y R ，向量a = (1,1,1),b = (1, y,1),c = (z, 4,2)，且a ⊥ b ,b / /c .

(1)求 | a + b |；

(2)求向量 a + b与b c夹角的余弦值.
17．（13 分）在平面直角坐标系中，已知 A( 3,9),B(2,2),C(5,3) ，线段 AC的中点M ；
(1)求过M 点和直线 BC平行的直线方程；
(2)求 BC边的高线所在直线方程；
18．（15 分）已知圆C的圆心为C(3,0) ，且过点 A(1, 5)，直线 l的方程为 y = kx 2 ．
（1）求圆C 标准方程；
（2）若直线 l与圆C相切，求 k的值；
（3）若O为坐标原点，点 P满足 PO = 2 PC ，且点 P在直线 l上，求 k的取值范围．
19．（15 分）直线 l方程为 (m+1) x + y 2m 3 = 0(m R)．
(1)证明：无论m为何值，直线 l过定点；
(2)已知O是坐标原点，若直线 l分别与 x轴正半轴、 y轴正半轴交于 A， B两点，当 ABC 的面积最小时，
求 ABC 的周长及此时直线 l的方程．
20．（15 分）如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD ⊥平面 ABCD，E为 AD的中点，PA ⊥ AD，
BE //CD， BE ⊥ AD，PA= AE = BE = 2，CD =1．
(1)求证：平面 PAD ⊥平面 PCD；
(2)求二面角C PB E的余弦值；
(3)在线段 PE上是否存在点 M，使得DM //平面 PBC？若存在，求出点 M的位置：若不存在，说明理由．
21. （15 分）已知集合 S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的 k N* .且1 k n，总存在平面中
的一条直线恰通过 S中的 k个不同的点 ，称集合 S为 n连续共线点集.
（1）若 S = (x,y∣) x 0,1,2 ,y 0,1,2,3,4 ，判断 S 否为 3 连续共线点集 是否为 4 连续共线点集
（2）已知集合 S为 n连续共线点集，记集合 S的元素个数为 S .
（i）若 S = 6 ，求 n的最大值;
（ii）对给定 正整数 n，求 S 的最小值.
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2025 年 12 月高二年级数学月考参考答案
一 . 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D C B A A B D
二. 填空题
题号 11 12 13 14 15
答案 x + 2y 10 = 0 29 9 + 2 = 2 10
2 或 2 + 2 + 1 = 0, 4
2 3
三.解答题
16.
（1）y=-2 z=2 ----2 分
+ = (2, 1,2) 2分
| + | = 3 2分
（2） = ( 1,2, 1) 2分
( + )( ) √6
cos < + , >= = - -----4 分
| + || | 3
17
18
19.
20.
21.