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1.4 充分条件与必要条件
知识点1 命题的概念判断
1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（ ）
A．3是偶数吗 B．三角形的内角和等于180°
C．这里的景色山真美啊! D．
【答案】B
【解析】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误；
对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确；
对于C：这是感叹句，不是命题，C错误；
对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误，故选：B
2．（24-25高一上·新疆喀什·月考）下列语句中，命题的个数是（ ）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；
③的绝对值为1；④你是高一的学生吗
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.故选：C.
3．（23-24高一上·广西河池·月考）有下列语句，其中是命题的个数为（ ）
（1）数学真有趣
（2）0是自然数
（3）
（4）
（5）素数都是奇数.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题；
（2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；
（3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题；
（4）不能判断是否正确，所以不是命题；
（5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题；
所以（1） （4）不是命题，其余都是命题.
其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题.故选：B.
4．（23-24高一上·北京·月考）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【答案】D
【解析】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，故选：D
知识点2 命题的真假判断
1．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）已知，则下列判断中，正确的是（ ）
A．p为真，q为假 B．p为假，q为真
C．p为真，q为真 D．p为假，q为假
【答案】B
【解析】p为假，q为真,故选：B
2．（24-25高一上·广东普宁·月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．且 B．或
C． D．方程有实根
【答案】B
【解析】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题，
对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题，
对于C，为假命题，
对于D，,故方程没有实数根，故D错误，故选：B
3．（24-25高一上·江苏连云港·月考）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（ ）
A．和都是真命题 B．和都是假命题
C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题
【答案】C
【解析】对命题，全等三角形的形状和大小均相同，
故周长相等，故命题为真命题,
对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等，
对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等，
故命题为假命题；
对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错；
对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错；
对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对，
对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错.故选：C.
4．下列命题为假命题的是（ ）
A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则
C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时，
【答案】D
【解析】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；
B是真命题，或能得到；
C是真命题，因为当时，任意奇数，
所以一个奇数是两个整数的平方差；
D是假命题，不满足．
知识点3 充分、必要、充要条件的判断
1．（24-25高一上·云南红河·期末）甲，乙，丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该比赛的冠军只有1人，则“甲不是冠军”是“乙是冠军”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若甲不是冠军，则乙是冠军或丙是冠军；
若乙是冠军，则甲不是冠军，
所以“甲不是冠军”是“乙是冠军”的必要不充分条件.故选：C.
2．（24-25高一上·四川绵阳·月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，
所以不能推出，而由可以推出，
所以是的必要不充分条件.故选：B.
3．（24-25高一上·广东广州·月考）“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，，
即“”是“” 必要不充分条件.故选：B.
4．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】集合，
因等价于，即或，
解得或，经检验符合题意；
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
知识点4 充分、必要、充要条件的探究
1．（24-25高一上·广东惠州·月考）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
所以是成立的一个充分不必要条件.故选：B.
2．（24-25高一上·海南·月考）（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为集合，集合，
所以等价于即，
对比选项，、均为的充分不必要条件.故选：AD.
3．（24-25高一上·广东中山·月考）（多选）的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】，解得，
由于是的子集，
故是的一个必要条件，A正确，
同理，是的子集，
故是的一个必要条件，D正确，
B,C选项均不满足要求.故选：AD.
4．（24-25高一上·河北石家庄·月考）“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，
所以是选项中对应集合的真子集，
结合选项可知，D符合.故选：D
知识点5 由条件关系求参数的取值范围
1．（24-25高一下·陕西西安·月考）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法1 设，，
由题意可知和都不成立，所以．
解法2 若，则，故不成立，排除A，C；
若，则，故不成立，排除D．
2．（24-25高一上·吉林·月考）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因是的充分条件，则，
故，则.故选：D
3．（24-25高一上·北京·月考）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ．
【答案】
【解析】设或，，
因为“或”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，则，
即实数的最大值是.
4．（24-25高一下·广东湛江·月考）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，“若，则”为真命题，
故实数的取值范围是.
知识点6 充要条件的证明
1．证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件．
【答案】证明见解析
【解析】证明：充分性：在中，设边上的高为，边上的高为．
则，
因为，所以，
故为等腰三角形，充分性成立．
必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为，
则根据三角形面积公式，
可得，必要性成立．
故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件．
2．（24-25高一上·山东泰安·月考）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．
【答案】证明见解析
【解析】证明：充分性：因为，所以，
代入方程，得，
即．
所以方程有一个根为1．
必要性：因为方程有一个根为1，
所以满足方程，
所以，即．
故关于的方程有一个根为1的充要条件是．
3．（24-25高一上·安徽淮南·月考）已知，求证：成立的充要条件是．提示：
【答案】证明见解析.
【解析】充分性：
若，则，即充分性成立；
必要性：
若，而，
则，又，
由，得且，即，且，
因此，则，即必要性成立，
所以成立的充要条件是.
4．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．
【答案】证明见解析
【解析】必要性：设方程与的公共根为，
则，，
两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去），
将代入，得，
整理得，所以，因此，必要性成立．
充分性：当时，．
可化为，即，
所以方程的两根为，．
同理，由可得，
所以方程的两根为，．
显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立．
故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．
1．（24-25高一上·山东泰安·月考）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，前两个等号不能同时取得，解得，
综上m的取值范围是，故选：A.
2．（24-25高一上·四川自贡·月考）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为，，，所以中的元素都是中的元素，
又因为，，，所以中的元素都是中的元素，
所以，所以“”是“”的充要条件.故选：C.
3．（23-24高一上·湖南长沙·月考）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】1.判断充分性
已知，所以.
又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中，
所以和没有公共元素，即.
由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”，
所以“存在集合使得，”是“”的充分条件.
2. 判断必要性
已知，即和没有公共元素.此时取集合，
那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图，
因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即，
同时（即）.所以当“”时，
能推出“存在集合使得，”，
所以“存在集合使得，”是“”的必要条件.
则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件.
故选：C.
4．（24-25高一上·福建泉州·月考）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（ ）
A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3
【答案】C
【解析】因为此数为小于5的正整数，故，
因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件，
所以C是A的真子集，A是B的真子集，
故且，解得，
故“”中的数字可以是1或2.故选：C
1．（23-24高一上·北京·月考）设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合，
当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确；
对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合，
S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误；
对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合，
当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误；
对于D，灯泡L亮，开关S未必闭合，故p不是q的充分条件，D错误.故选：A.
2．（24-25高一上·重庆·月考）当时，定义运算：当时，；当时，；当时，，则“，或，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：当，或，时，，则，充分性成立；
必要性：当时，显然当时，，当时，，均不符合题意，
当时，，则，当时，，则，必要性成立；
所以“，或，”是“”的充分必要条件．故选：C.
3．（24-25高一上·江西·月考）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程，可得或1，得，
依题意，需使选项中的范围是区间的真子集，
故成立的一个充分不必要条件是．故选：D.
4．（24-25高一上·江西新余·月考）定义，设是某集合的三个子集，且满足，则下列正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．是的充分不必要条件
C．是的必要不充分条件
D．是的既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】如图，由于，故两个阴影部分均为，
于是，，
若，则IIV，
而，成立;
反之，若，
则由于，，
.
故是的充要条件，故选：A.
1中小学教育资源及组卷应用平台
1.4 充分条件与必要条件
知识点1 命题的概念判断
1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（ ）
A．3是偶数吗 B．三角形的内角和等于180°
C．这里的景色山真美啊! D．
2．（24-25高一上·新疆喀什·月考）下列语句中，命题的个数是（ ）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；
③的绝对值为1；④你是高一的学生吗
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（23-24高一上·广西河池·月考）有下列语句，其中是命题的个数为（ ）
（1）数学真有趣
（2）0是自然数
（3）
（4）
（5）素数都是奇数.
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（23-24高一上·北京·月考）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
知识点2 命题的真假判断
1．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）已知，则下列判断中，正确的是（ ）
A．p为真，q为假 B．p为假，q为真
C．p为真，q为真 D．p为假，q为假
2．（24-25高一上·广东普宁·月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．且 B．或
C． D．方程有实根
3．（24-25高一上·江苏连云港·月考）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（ ）
A．和都是真命题 B．和都是假命题
C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题
4．下列命题为假命题的是（ ）
A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则
C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时，
知识点3 充分、必要、充要条件的判断
1．（24-25高一上·云南红河·期末）甲，乙，丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该比赛的冠军只有1人，则“甲不是冠军”是“乙是冠军”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高一上·四川绵阳·月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高一上·广东广州·月考）“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高一下·贵州毕节·月考）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点4 充分、必要、充要条件的探究
1．（24-25高一上·广东惠州·月考）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·海南·月考）（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·广东中山·月考）（多选）的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·河北石家庄·月考）“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
知识点5 由条件关系求参数的取值范围
1．（24-25高一下·陕西西安·月考）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·吉林·月考）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·北京·月考）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ．
4．（24-25高一下·广东湛江·月考）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 .
知识点6 充要条件的证明
1．证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件．
2．（24-25高一上·山东泰安·月考）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．
3．（24-25高一上·安徽淮南·月考）已知，求证：成立的充要条件是．提示：
4．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是．
1．（24-25高一上·山东泰安·月考）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·四川自贡·月考）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高一上·湖南长沙·月考）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高一上·福建泉州·月考）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（ ）
A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3
1．（23-24高一上·北京·月考）设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·重庆·月考）当时，定义运算：当时，；当时，；当时，，则“，或，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高一上·江西·月考）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·江西新余·月考）定义，设是某集合的三个子集，且满足，则下列正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．是的充分不必要条件
C．是的必要不充分条件
D．是的既不充分也不必要条件
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