中小学教育资源及组卷应用平台
1.1 集合的概念
知识点1 判断元素是否构成集合
1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木
C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区
2．（24-25高一上·河南洛阳·月考）以下四组对象，能构成集合的是（ ）
A．最大的正实数 B．最小的整数
C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数
3．（24-25高一上·湖南长沙·月考）下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
4．（24-25高一上·广东清远·月考）给出下列说法：
①所有接近于的数构成一个集合；
②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④所有不大于的自然数构成一个集合；
⑤，，，组成的集合含有个元素．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④
知识点2 元素与集合关系的判断
1．（24-25高一上·广东广州·月考）下列关系中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）下列关系中正确的个数为（ ）
①，②， ③，④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25高一下·湖南娄底·月考）集合，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 集合中元素特性的应用
1．（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·四川成都·月考）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知集合，，且，则集合 ．
知识点4 用列举法表示集合
1．（24-25高一上·山东泰安·期末）集合的另一种表示法是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·北京·月考）用列举法表示集合为 ．
3．（24-25高一上·河北石家庄·月考）用列举法表示集合 ．
4．（24-25高一上·江苏苏州·月考）解集用描述法表示为，解集用列举法表示为 ．
知识点5 用描述法表示集合
1．（24-25高一上·山西晋中·月考）集合，用描述法可表示为 ．
2．（24-25高一上·上海·月考）能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ．
3．（24-25高一上·河北石家庄·月考）所有奇数构成的集合用描述法可以表示为 .
4．（24-25高一下·河北保定·月考）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ．
1．（24-25高一上·辽宁大连·月考）已知集合，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·上海·月考）若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足.
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ．
4．（24-25高一上·江苏镇江·月考）已知集合.
(1)当时，中只有一个元素，求的值；
(2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围.
1．（24-25高一上·河南新乡·月考）已知集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．不属于M，Q，P中的任意一个
2．（24-25高一下·河北保定·月考）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
3．（24-25高一上·广东深圳·月考）（多选）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·重庆·月考）对于在平面直角坐标系第一象限内的两点作如下定义：若，则称点领先于点．
(1)试判断点是否领先于点，并说明理由；
(2)若点领先于点，试证明：点领先于点．
(3)对，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数．
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1.1 集合的概念
知识点1 判断元素是否构成集合
1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木
C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区
【答案】C
【解析】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合；
B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合；
C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合；
D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合.故选：C.
2．（24-25高一上·河南洛阳·月考）以下四组对象，能构成集合的是（ ）
A．最大的正实数 B．最小的整数
C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数
【答案】C
【解析】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误；
对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误；
对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确；
对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误；故选：C.
3．（24-25高一上·湖南长沙·月考）下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
【答案】B
【解析】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，
所以不能组成一个集合，故A错误；
对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，
所以能组成一个集合，故B正确；
对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；
对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误；故选：B.
4．（24-25高一上·广东清远·月考）给出下列说法：
①所有接近于的数构成一个集合；
②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合；
③高科技产品构成一个集合；
④所有不大于的自然数构成一个集合；
⑤，，，组成的集合含有个元素．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④
【答案】D
【解析】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误；
对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合故②正确；
对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误；
对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确；
对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误；故选：D.
知识点2 元素与集合关系的判断
1．（24-25高一上·广东广州·月考）下列关系中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，易知0是自然数，所以，即A正确；
对于B，空集中没有任何元素，是集合，而0是实数，两者不相等，所以错误；
对于C，是有理数，可得，即C正确；
对于D，是实数，因此，即D正确.故选：B
2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）下列关系中正确的个数为（ ）
①，②， ③，④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】对于①，因为为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；
对于②，因为是无理数，所以，所以②错误；
对于③，因为是自然数，所以，所以③正确；
对于④，因为是无理数，所以，所以④错误.故选：B.
3．（24-25高一下·湖南娄底·月考）集合，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以，
故A，C，D错误，B正确故选：B.
4．（24-25高一上·湖南·期中）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对A：有，解得，由时，，故，故A错误；
对B：有，解得，由时，，故，故B正确；
对C：有，解得，由时，，故，故C错误；
对D：有，解得，由时，，故，故D错误.故选：B.
知识点3 集合中元素特性的应用
1．（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为“mooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e，
其构成的集合为，有7个元素.故选：C.
2．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）若集合，则应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由元素的互异性可知，所以.故选：A
3．（24-25高一上·四川成都·月考）若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当，则，显然集合元素不满足互异性；
当，则，此时集合为，满足；
当，即或，（其中舍），
若，此时集合为，满足；
若，此时集合为，满足；
综上，的取值集合为.故选：D
4．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知集合，，且，则集合 ．
【答案】
【解析】因为，所以或，
由，得到或，
当时，集合不满足集合的互异性，舍去，
当时，，满足题意，此时，
当时，集合不满足集合的互异性，舍去，
故答案为：.
知识点4 用列举法表示集合
1．（24-25高一上·山东泰安·期末）集合的另一种表示法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
所以，故选：B.
2．（24-25高一上·北京·月考）用列举法表示集合为 ．
【答案】
【解析】由，则，即，
又，所以，
则.
3．（24-25高一上·河北石家庄·月考）用列举法表示集合 ．
【答案】
【解析】集合
所以可以取的值为，1，2，3，所以．
4．（24-25高一上·江苏苏州·月考）解集用描述法表示为，解集用列举法表示为 ．
【答案】
【解析】由解得，所以列举法表示为.
知识点5 用描述法表示集合
1．（24-25高一上·山西晋中·月考）集合，用描述法可表示为 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】.
2．（24-25高一上·上海·月考）能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ．
【答案】
【解析】由题意，设被除的商为，余数为，
可表示为，
所以被除余的自然数组成的集合为.
3．（24-25高一上·河北石家庄·月考）所有奇数构成的集合用描述法可以表示为 .
【答案】
【解析】所有奇数构成的集合用描述法可以表示为.
4．（24-25高一下·河北保定·月考）图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ．
【答案】，且
【解析】设集合中的代表元素是．
由题意，，且，
因此所求集合，且．
1．（24-25高一上·辽宁大连·月考）已知集合，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，时，，
时，，
或或或时，，
或或或时，，
故.故选：D.
2．（24-25高一上·上海·月考）若，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】若，
对于①，，①正确；
对于②，当中时，，所以，②正确；
对于③，若，不妨设，
则，，所以，③正确；
对于④，若且，不正确，
例如，，④不正确；
对于⑤，存在且，满足，
例如，，
若，
则，故，⑤正确.
综上，①②③⑤正确.故选：C.
3．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ．
【答案】
【解析】由题意，,
当时，则，
则，
又，所以集合.
4．（24-25高一上·江苏镇江·月考）已知集合.
(1)当时，中只有一个元素，求的值；
(2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)或
【解析】（1）当时，，
由中只有一个元素，则有，解得；
（2）当时，，
由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素，
当时，，符合要求；
当时，对有：
，解得；
综上所述：或.
1．（24-25高一上·河南新乡·月考）已知集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．不属于M，Q，P中的任意一个
【答案】A
【解析】∵，
∴，，
∴，
∴.故选：A.
2．（24-25高一下·河北保定·月考）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】对于，有，所以；
因为，则或，
而是方程的根，
当时，故，而不是方程的根，
故是方程的唯一根，则，
经检验，当时满足；
当时，则方程有三个不同根，
则当满足，即，
当，则满足；当，则满足；
当满足，即，
必有为方程的根，即，得，
当时，则满足；
当，则满足；
则，故.故选：A.
3．（24-25高一上·广东深圳·月考）（多选）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】集合且，，
对于A，，即，则，A错误；
由，
得，即，
由，得，即，则，
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.故选：BCD
4．（24-25高一上·重庆·月考）对于在平面直角坐标系第一象限内的两点作如下定义：若，则称点领先于点．
(1)试判断点是否领先于点，并说明理由；
(2)若点领先于点，试证明：点领先于点．
(3)对，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数．
【答案】(1)是，理由见解析；(2)证明见解析；(3)，该集合中有1个元素
【解析】（1）由条件，证是否成立，即证，
即证，即证，即证，该式显然正确，
所以点领先于点．
（2）要证点领先于点，即证，
即证，
即证，由条件点领先于点知该式显然成立，即证．
（3）由条件知，有，
即，有，
先考虑变量，需要恒成立，所以，有，
再考虑变量，存在即可，所以，解得，
又因为，故，易知该集合中有1个元素．
1
