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2.1 等式性质与不等式性质
知识点1 用不等式（组）表示不等关系
1．（23-24高一上·福建宁德·月考）下列说法正确的是（ ）
A．某人的月收入元不高于元可表示为“”
B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”
C．变量不小于可表示为“”
D．变量不超过可表示为“”
【答案】C
【解析】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错；
对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错；
对于C，变量不小于可表示为“”，C正确；
对于D，变量不超过可表示为“”，D错.故选：C
2．（24-25高一上·河南·月考）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得.故选：D
3．（24-25高一上·河南驻马店·开学考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D．
4．（24-25高一上·四川绵阳·月考）一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为 .
【答案】
【解析】因为货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，所以有：.
知识点2 比较两数（式）的大小
1．（24-25高一上·广东广州·月考）设，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】因为，
所以.故选：A.
2．（24-25高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由a，b均为正实数，，
得，
当且仅当时取等号，所以.故选：D
3．（24-25高一上·福建泉州·期末）互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
又因为实数互不相等，故，即；
又因为，所以，
即，故.
综上：故选：D
4．（24-25高一上·四川宜宾·月考）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空）
【答案】＞；
【解析】因为，所以，
所以，
则，即，故答案为：＞
知识点3 利用不等式性质判断命题真假
1．（24-25高一上·上海·月考）下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若且则； D．若， 则
【答案】D
【解析】对于A；由，可知，所以，故A正确；
对于B；由可得：，因为，所以，故B正确；
对于C；由可得：，又因为所以，故C正确；
对于D；取，则故D错误；故选：D.
2．（24-25高一下·江苏南京·月考）（多选）若实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】，所以B正确；
当时，满足，
但，所以A，C；
,故D正确.
故选：BD
3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】ABD
【解析】A：由，得，即，故A正确；
B：由，得，所以，故B正确；
C：由，取，则，故C错误；
D：由，得，所以，故D正确.故选：ABD
4．（24-25高一上·广东广州·月考）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若且，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A选项，若，，则，A错误；
对于B选项，若，，则，，B正确；
对于C选项，若且，则，
即，C正确；
对于D选项，若，所以,所以，D正确.故选：BCD.
知识点4 利用不等式的性质求数（式）的取值范围
1．（24-25高一上·广东广州·月考）如果，，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】，,
又，,
两式相加得,
故答案为:.
2．（24-25高一上·河南信阳·月考）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，因，，利用不等式的同向可加性，则有，故A正确；
对于B，不妨取，但，故B错误；
对于C，因，，故由不等式的同向可加性，可得，故C正确；
对于D，因，不妨取，显然，故D错误.故选：AC.
3．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
所以，，解得，即，
，则，
因此，.故选：D.
4．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知实数，满足，，则的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．19
【答案】B
【解析】令则，
则，
又，，
所以，，所以，
所以的最大值为16.故选：B.
知识点5 利用不等式的性质证明不等式
1．（24-25高一上·河北邯郸·月考）已知，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】因为，所以，
因为，所以，
即，即
2．（24-25高一上·北京西城·月考）设，求证.
【答案】证明见解析
【解析】由，
因为，可得，
所以，即，所以.
3．（23-24高一上·河北保定·月考）设，，.
(1)证明：；
(2)若，证明.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）证明:∵，
∴.
a，b，c不同时为，则，∴；
（2）.
∵，取等号的条件为，
而，∴等号无法取得，即，
又，∴，∴.
4．（24-25高一上·山东·月考）（1）设，求证：，
（2）设，求证：，
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）方法一：，，
，
．
方法二：，
．
方法三：
，
，
，
即．
方法四：几何法
如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点，
使得，
过做交于，交于，
过做交于，交于，
直线与交于点，
则长方形的面积，
长方形的面积，
正方形的面积，
由图可知，
所以．
方法五：设．
将看做内的常数，则函数为一次函数，
又，
．
对于，都有，
即．
．
（2）方法一：，
，
，
．
，
.
方法二：，
，
，
，
．
，
．
方法三：几何法
做边长为的正方体．分别在棱上取点，
使得，
过做平面，过做平面，
过做平面，交点见图．
长方体的体积，
长方体的体积．
长方体的体积．
正方体的体积．
．
方法四：设．
将看做内的常数，对于一次函数，
有，
．
∴对于，都有，
即．
．
知识点6 不等式性质的实际应用
1．（24-25高一上·河南·月考）已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则（ ）
A．物理方向的男生多于物理方向的女生
B．历史方向的女生多于历史方向的男生
C．物理方向的女生多于历史方向的男生
D．物理方向的男生多于历史方向的女生
【答案】C
【解析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，
选报历史方向的女生数为，男生数为，
根据题意可得，所以，
即，故物理方向的女生多于历史方向的男生.故选：C.
2．（24-25高一上·河北石家庄·月考）（多选）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（ ）
A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节
C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节
【答案】ABD
【解析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，
则，则，解得，
，解得，所以，，
则或或，共种方案．故选：ABD．
3．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知2枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和大于8元，而1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和小于5元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）
A．2枝玫瑰的价格高 B．3枝康乃馨的价格高
C．价格相同 D．不确定
【答案】A
【解析】设枝玫瑰元，枝康乃馨元，
则，
设，
所以，解得，
所以，
所以，所以枝玫瑰的价格高.故选：A
4．（24-25高一上·辽宁·月考）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（ ）
A．变大 B．变小
C．当时，变大 D．当时，变大
【答案】C
【解析】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，
则，
所以扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比的变化情况与,的大小有关,故错误；
当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变大，故C正确；
当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变小，故D错误.
故选：.
1．（24-25高一上·安徽阜阳·月考）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】设，则，
所以，解得，
于是
又，，
所以，即.
故．故选：D．
2．（24-25高一上·山西·月考）某班班主任为了解某组学生对羽毛球、篮球和乒乓球的喜爱情况，经调查发现喜欢羽毛球的人数多于喜欢篮球的人数，喜欢篮球的人数多于喜欢乒乓球的人数，喜欢乒乓球的人数的3倍减去4多于喜欢羽毛球的人数，且每位学生只喜欢一种球类运动项目，则该组学生喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为 .
【答案】
【解析】设该组学生中喜欢羽毛球、篮球、乒乓球的人数分别为，则，且根据已知条件有
，结合知，即.
由于每位学生只喜欢一种球类运动项目，
故喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数为.
再由，知，从而.
故.
当，，时，有，且.
所以喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为.
3．（24-25高一上·上海·月考）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由；
（2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由.
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析.
【解析】（1），理由如下：
因为
故：当且时，；
当或时，.
（2），理由如下：
由得：.
因为，所以
所以.
又因为，所以.
4．（24-25高一上·广西来宾·月考）从下列三组式子中选择一组比较大小：
(1)设，，，比较，的大小；
(2)设，均为正实数，，，比较，的大小；
(3)设，，，比较，的大小．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1），
，
由，，
故，即有；
（2）
，
由，均为正实数，故，即；
（3）
，
由，故，，，，
即，故.
1．（24-25高一上·四川达州·期末）两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】若先取者取和，
则，
根据，且，不能确定大小关系，A错误；
若先取者取和，
则，
根据，且，不能确定大小关系，B错误；
若先取者取和，
则，
根据，且，所以上式大于0，C正确，D错误.故选：C
2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得到，
即，令，
则，又，所以，故选：D.
3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（ ）
A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为
B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好
C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好
D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差
【答案】C
【解析】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意，，
解得，因此这所公寓的窗户面积至少为，A错误；
对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为，地板增加的面积为，
而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，公寓采光效果不变，B错误；
对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，，
增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
则，而，
于是，即，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，C正确；
对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，窗户增加的面积为c，地板增加的面积为，
而，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
则，
若，则；若，则；若，则，
因此无法判断公寓的采光效果是否变差了，D错误.故选：C
4．（24-25高一上·黑龙江黑河·月考）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了．
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较的大小；
(3)证明命题：设，证明：．
【答案】(1)，证明见解析；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）由题意，可得不等式.
证明：由，
因为，可得，
所以，即.
（2）由，
由（1）中的结论，可得，即.
（3）证明：因为，
由（1）中的结论，可得，
所以①，
又由，同理可得，
则，
由上述结论，可得，所以②，
综合①②，得.
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2.1 等式性质与不等式性质
知识点1 用不等式（组）表示不等关系
1．（23-24高一上·福建宁德·月考）下列说法正确的是（ ）
A．某人的月收入元不高于元可表示为“”
B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”
C．变量不小于可表示为“”
D．变量不超过可表示为“”
2．（24-25高一上·河南·月考）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·河南驻马店·开学考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·四川绵阳·月考）一桥头竖立的“限质量”的警示牌，是提示货车司机要安全通过该桥，应使货车总质量不超过，用不等式表示为 .
知识点2 比较两数（式）的大小
1．（24-25高一上·广东广州·月考）设，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（24-25高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·福建泉州·期末）互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·四川宜宾·月考）若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空）
知识点3 利用不等式性质判断命题真假
1．（24-25高一上·上海·月考）下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若且则； D．若， 则
2．（24-25高一下·江苏南京·月考）（多选）若实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
4．（24-25高一上·广东广州·月考）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若且，则
D．若，则
知识点4 利用不等式的性质求数（式）的取值范围
1．（24-25高一上·广东广州·月考）如果，，则的取值范围是 .
2．（24-25高一上·河南信阳·月考）（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知实数，满足，，则的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．19
知识点5 利用不等式的性质证明不等式
1．（24-25高一上·河北邯郸·月考）已知，．求证：．
2．（24-25高一上·北京西城·月考）设，求证.
3．（23-24高一上·河北保定·月考）设，，.
(1)证明：；
(2)若，证明.
4．（24-25高一上·山东·月考）（1）设，求证：，
（2）设，求证：，
知识点6 不等式性质的实际应用
1．（24-25高一上·河南·月考）已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则（ ）
A．物理方向的男生多于物理方向的女生
B．历史方向的女生多于历史方向的男生
C．物理方向的女生多于历史方向的男生
D．物理方向的男生多于历史方向的女生
2．（24-25高一上·河北石家庄·月考）（多选）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（ ）
A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节
C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节
3．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知2枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和大于8元，而1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格之和小于5元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）
A．2枝玫瑰的价格高 B．3枝康乃馨的价格高
C．价格相同 D．不确定
4．（24-25高一上·辽宁·月考）公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（ ）
A．变大 B．变小
C．当时，变大 D．当时，变大
1．（24-25高一上·安徽阜阳·月考）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·山西·月考）某班班主任为了解某组学生对羽毛球、篮球和乒乓球的喜爱情况，经调查发现喜欢羽毛球的人数多于喜欢篮球的人数，喜欢篮球的人数多于喜欢乒乓球的人数，喜欢乒乓球的人数的3倍减去4多于喜欢羽毛球的人数，且每位学生只喜欢一种球类运动项目，则该组学生喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为 .
3．（24-25高一上·上海·月考）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由；
（2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由.
4．（24-25高一上·广西来宾·月考）从下列三组式子中选择一组比较大小：
(1)设，，，比较，的大小；
(2)设，均为正实数，，，比较，的大小；
(3)设，，，比较，的大小．
1．（24-25高一上·四川达州·期末）两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则（ ）
A．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为
B．若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好
C．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好
D．若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差
4．（24-25高一上·黑龙江黑河·月考）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了．
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式；
(2)利用（1）的结论比较的大小；
(3)证明命题：设，证明：．
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