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1.2 集合间的基本关系
知识点1 子集、真子集的确定
1．（24-25高一上·北京·月考）已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有）
2．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）下列各个选项中，满足 的集合A有（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·江西上饶·期中）（多选）下列是集合的子集的为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
知识点2 子集、真子集的个数
1．（24-25高一上·河南南阳·月考）满足集合为的真子集且的集合的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）已知集合中有10个元素，则集合M的非空真子集有 个．
4．（24-25高一上·山西晋中·月考）满足条件的集合的个数为 .
知识点3 判断是否为同一集合
1．（24-25高一上·广东汕头·月考）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（24-25高一上·山东泰安·月考）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（24-25高一上·贵州黔西·月考）已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号）
① ；②；
③ ；④．
4．（23-24高一上·重庆云阳·月考）（多选）下列集合中，与集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
知识点4 根据集合相等求参数
1．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）已知.若，则 .
2．（24-25高一下·山东潍坊·月考），集合，则 .
3．（24-25高一下·河北保定·月考）已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2 B．或0 C．1 D．
4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知实数集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
知识点5 空集的概念及性质应用
1．（24-25高一下·湖北黄石·月考）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥ ；其中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
2．（24-25高一上·青海西宁·月考）（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）（多选）下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·湖北·月考）已知集合，下列选项中为的元素的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
知识点6 集合关系的Venn图表示
1．（23-24高一上·四川成都·月考）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·广西南宁·月考）已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N={ x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·宁夏银川·月考）（多选）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
知识点7 判断两个集合的包含关系
1．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知集合，则间的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·天津·月考）若，则集合间的关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·北京延庆·月考）已知集合，，则集合的关系是（ ）
A． B B． A
C． D．以上答案都不对
4．（23-24高一上·吉林·月考）已知集合，，，则M，N，P的关系（ ）
A． B．
C． D．
知识点8 根据集合的关系求参数
1．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2或
2．（24-25高一下·云南·月考）已知集合，，若M N，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）（多选）已知集合，若，则的可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．
4．（24-25高一上·北京·月考）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ．
1．（24-25高一下·湖北黄石·月考）设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·广东广州·月考）（多选）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·北京延庆·月考）已知集合
(1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围；
(2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围.
4．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知.
(1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；
(2)若，求实数a的取值范围.
1．（24-25高一上·山西大同·月考）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 .
2．（23-24高一上·江苏无锡·月考）（多选）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，且，则
C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则
3．（24-25高一上·辽宁·月考）（多选）我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（ ）
A．集合的一个子集和可能为5
B．存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9
C．集合为异和型集
D．任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于
4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集．
(1)求集合的生成集；
(2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；
(3)若集合，的生成集为，求证．
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1.2 集合间的基本关系
知识点1 子集、真子集的确定
1．（24-25高一上·北京·月考）已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有）
【答案】
【解析】因为集合，
所以集合可以为.
2．（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足 的集合A有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为，即有 ，
所有满足条件的集合A为：，，.故选：AC.
3．（24-25高一上·江西上饶·期中）（多选）下列是集合的子集的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】集合的子集为．故选：ABD
4．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，
所以.故选：D.
知识点2 子集、真子集的个数
1．（24-25高一上·河南南阳·月考）满足集合为的真子集且的集合的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】因为集合为的真子集，所以、且中至少还有一个元素，
又，所以或或，
故满足条件的集合有个.故选：A
2．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】集合，则集合的子集个数.
除去集合本身，还有个真子集.故选：C.
3．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）已知集合中有10个元素，则集合M的非空真子集有 个．
【答案】
【解析】因为集合中有10个元素，故集合M的非空真子集有个，
4．（24-25高一上·山西晋中·月考）满足条件的集合的个数为 .
【答案】16
【解析】因为，
所以，
即集合为的子集，且中必包含元素，
又因为的含元素的子集为：
共16个.
知识点3 判断是否为同一集合
1．（24-25高一上·广东汕头·月考）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】对于A选项，，，则；
对于B选项，，，则；
对于C选项，为点集，为数集，则；
对于D选项，，，则.故选：D.
2．（24-25高一上·山东泰安·月考）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】对于A，，，故，所以A错误；
对于B，为点集，为数集，故，所以B错误；
对于C，，，故，所以C错误；
对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确，故选：D.
3．（24-25高一上·贵州黔西·月考）已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号）
① ；②；
③ ；④．
【答案】①②
【解析】对于①，；
对于②，中解得，
故；
对于③，当为奇数时，；当为偶数时，，
所以；
对于④，．
4．（23-24高一上·重庆云阳·月考）（多选）下列集合中，与集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，只有当和时，，
故，D正确.故选：BD
知识点4 根据集合相等求参数
1．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）已知.若，则 .
【答案】0
【解析】由，可得，
由，解得或；
当时，，显然与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时，，符合题意.
2．（24-25高一下·山东潍坊·月考），集合，则 .
【答案】2
【解析】由题意知，所以，则，又，所以，.
故.
3．（24-25高一下·河北保定·月考）已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2 B．或0 C．1 D．
【答案】C
【解析】由题设，可得或，
当时，，满足题设；
当时，，不符合集合元素的互异性；
所以.故选：C
4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知实数集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）；
当，时，，，不符集合元素的互异性，
所以，，．故选：A．
知识点5 空集的概念及性质应用
1．（24-25高一下·湖北黄石·月考）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥ ；其中正确的个数为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个
【答案】D
【解析】根据任意集合是自身的子集，可知①正确；
根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确；
因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确；
根据元素与集合之间可知④正确；
根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确；
根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．
所以①④⑥正确故选：D.
2．（24-25高一上·青海西宁·月考）（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】从元素与集合的关系来看：成立，不成立，
从而集合与集合的关系来看：成立，但不成立.故选：AB.
3．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）（多选）下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为空集不含任何元素，故，A错误；
因为空集为任何集合的子集，故，B正确；
因为方程，所以方程的解集为，
所以，C正确；
因为空集不含任何元素，是1个元素，故D错误；故选：BC.
4．（24-25高一下·湖北·月考）已知集合，下列选项中为的元素的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】集合有两个元素：和.故选：B
知识点6 集合关系的Venn图表示
1．（23-24高一上·四川成都·月考）能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以.故选：B.
2．（23-24高一上·广西南宁·月考）已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N={ x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．
∵M={﹣1，0，1}，∴N M，故选B．
3．（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，得，即，
所以，即.故选：B
4．（23-24高一上·宁夏银川·月考）（多选）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由图知：，，根据选项可知或．故选：BD.
知识点7 判断两个集合的包含关系
1．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知集合，则间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，则.故选：B
2．（24-25高一上·天津·月考）若，则集合间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】且，所以 .故选：B.
3．（24-25高一上·北京延庆·月考）已知集合，，则集合的关系是（ ）
A． B B． A
C． D．以上答案都不对
【答案】A
【解析】对于集合B，当时，;
当时，,所以 B，故选：A.
4．（23-24高一上·吉林·月考）已知集合，，，则M，N，P的关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，
又，，
而为偶数，和为整数，所以 .故选：B.
知识点8 根据集合的关系求参数
1．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2或
【答案】A
【解析】.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，即，符合题意.故选：A
2．（24-25高一下·云南·月考）已知集合，，若M N，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，且M N，所以，故选：A
3．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）（多选）已知集合，若，则的可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】AC
【解析】，因为，
当时，此时；
当时，此时；
当时，此时；故选：AC
4．（24-25高一上·北京·月考）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，即，满足；
当时，有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
1．（24-25高一下·湖北黄石·月考）设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，，
若，由集合的互异性知，则或．
当时，，
，有，得，
所以；
当时，集合，，有，
又，所以，得，不满足题意．
综上．故选：C．
2．（24-25高一上·广东广州·月考）（多选）设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，由，得，
一一对应，则；
对于B，由，得，
一一对应，则；
对于C，由，得，
一一对应，则；
对于D，，但方程无解，则与不相同故选：ABC.
3．（24-25高一上·北京延庆·月考）已知集合
(1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围；
(2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，，即，符合题意；
当时，，解得：.
综上所述，实数k的取值范围为.
（2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素，
当时，，即，符合题意；
当时，，解得：且.
综上所述，实数k的取值范围为.
4．（24-25高一上·河南郑州·月考）已知.
(1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）因为只有一个元素，，
当时，；
当时，对于，有，解得，
把代入集合，得；
综上，或，对应的集合或.
（2）因为，，
当时，对于，有，解得；
当时，将代入，得，则，
此时（舍去）；
当，将代入，得，则，
此时（舍去）；
当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件；
综上，的取值范围为.
1．（24-25高一上·山西大同·月考）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为 .
【答案】32
【解析】根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，，
，，，，，，，，，
则所有非空子集的交替和的总和为：.
2．（23-24高一上·江苏无锡·月考）（多选）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，且，则
C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则
【答案】ABD
【解析】对于A，令是非空数集S的元素，则，A正确；
对于B，由，得，可推得，即，
又，则，从而，则，因此，B正确；
对于C，符合要求，此集合为有限集，C错误；
对于D，由S中最小的正数为5，，可推得，
假设里有形如，那么，
与5是集合中的最小正整数矛盾，因此，D正确.故选：ABD
3．（24-25高一上·辽宁·月考）（多选）我们将数集的任意一个非空子集中的各元素之和称为的一个子集和（若的子集只有一个元素，则该元素为的一个子集和）.若有限数集中的元素均为正整数，且的任何两个子集和均不相等，则称为异和型集，下列结论正确的是（ ）
A．集合的一个子集和可能为5
B．存在含有4个元素的异和型集，其元素均小于9
C．集合为异和型集
D．任意一个含有个元素的异和型集，其元素之和不小于
【答案】ABD
【解析】A选项：，且，故A选项正确；
B选项：的子集和为,
满足任何两个子集和均不相等且元素均小于9，故B选项正确；
C选项：的子集与的子集和相等，故不满足异和型集，故C选项不正确；
D选项：当集合含有n个元素的异和型集时，设
设为数列的前项和，则，∴
要想最小，则，，此时，故D选项正确；故选：ABD
4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集．
(1)求集合的生成集；
(2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值；
(3)若集合，的生成集为，求证．
【答案】(1)；(2)或或；(3)证明见解析
【解析】（1）由题可知：
①当时，，
②当时，，
③当，或时，，
所以．
（2）①当时，，
②当时，，
③当，或，时，，
的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或或，
解得或或（舍去）．
（3）证明：，，
，
，
，即，，
又，所以，
综上可得．
1
