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1.3 集合的基本运算
知识点1 并集的概念与运算
1．（24-25高一下·安徽亳州·月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以.故选：D
2．（24-25高一上·山东枣庄·月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由.故选：A.
3．（24-25高一下·江西宜春·月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，
所以.故选：B.
4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，所以.故选：C.
知识点2 交集的概念与运算
1．（24-25高一下·贵州·月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.故选：C.
2．（24-25高一下·浙江金华·月考）已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合，集合，则集合.故选：A.
3．（24-25高一上·广东广州·月考）已知集合，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，，
因此，.故选：B.
4．（24-25高一下·广东揭阳·月考）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，
则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，
所以．
知识点3 补集的概念与运算
1．（24-25高一下·广东·月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为集合，，故.故选：B.
2．（24-25高一下·广东·月考）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以.故选：A
3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知全集，集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，，∴.故选：A.
4．（24-25高一上·山东·月考）已知集合或，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【解析】因为或，所以，故选：B
知识点4 由交、并、补运算求参数
1．（24-25高一上·吉林四平·期中）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．不存在
【答案】B
【解析】由可得，
若，则,故，故选：B
2．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知集合，，若，则实数（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
所以，所以，解得或，
当时，，，不合题意；
当时，，，不合题意；
当时，，，符合题意；
综上所述：.故选：C.
3．（24-25高一下·四川广元·月考）（多选）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】因集合，，
满足，则得或，解得或．
结合选项，实数a的取值范围可以是或．故选：CD．
4．（24-25高一下·湖北黄石·月考）设，，若，则实数a的值为 .
【答案】或或
【解析】集合，
由可得，
若，，满足，
若，，若，则或得或．
综上，实数a的取值为或0或1．
知识点5 交、并、补的混合运算
1．（24-25高一下·云南昆明·月考）设全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】有题意可得，则.故选：C.
2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以．
因为集合，集合，所以．
所以，所以．故选：C．
3．（24-25高一下·安徽·月考）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，可得，所以.故选：B.
4．（24-25高一上·广东·月考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，得到，
又，所以，故选：D.
知识点6 根据集合的混合运算求参数
1．（24-25高一上·四川绵阳·月考）已知或，，若，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】由或，可得，
因为，，
所以且，解得，
故答案为：
2．（24-25高一上·广西南宁·月考）已知集合，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】，所以或，
又，所以，
故答案为：
3．（24-25高一上·江西赣州·月考）已知，，若，则m的取值范围为 .
【答案】
【解析】由，可得，
若，则，符合题意；
当时，，此时，要使，
则，解得，因此，
综上，m的取值范围为.
4．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知全集，集合或，，，若，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】由题意，全集，集合或，，
因为，可得，
当时，则，解得，此时满足；
当时，则满足，此时不等式组的解集为空集.
综上可得，实数的取值范围为.
知识点7 Venn图在集合运算的应用
1．（24-25高一上·上海·月考）如图表示图形阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素
故可以表示为，也可以表示为：.故选：B．
2．（24-25高一上·江西赣州·月考）（多选）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由图可知阴影部分所表示的集合为，故C正确，B，D错误；
因为，，
所以，故A正确.故选：AC.
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由图可知，是的子集，故A正确；
不是的子集，故B错误；
是的子集，故C正确；
不是的子集，故D错误；故选：AC
4．（24-25高一上·河南许昌·月考）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
所以阴影部分所表示的集合为 ，
再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项BC不正确.故选：AD.
知识点8 集合运算在实际中的应用
1．（24-25高一上·江苏·月考）为提升学生学习双语的热情“G11 四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写” “英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【解析】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集，
则，，，，
，
，
所以语文和英语均不擅长的同学人数为人.故选：C.
2．（24-25高一上·陕西榆林·月考）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为( )
A．10 B．9 C．7 D．4
【答案】A
【解析】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋
社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人；
设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团，
同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人；
又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，
所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团，
所以，解得，
故只参加围棋社团的人数为人.故选：A.
3．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ）
A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人
C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人
【答案】BC
【解析】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，
是参加羽毛球的同学，
则，，，
又，，
所以，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，
只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人．故选：BC
4．（24-25高一上·辽宁·月考）已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为
【答案】25
【解析】根据题意，画出Venn图如下：
所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为.
1．（24-25高一上·陕西宝鸡·月考）已知集合．若集合、中至少有一个非空集合，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或且 D．且
【答案】C
【解析】集合为空集，则，解得，
集合为空集，则，解得，
因此集合均为空集时，，
所以实数的取值范围为或且.故选：C
2．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
由题意可知，若，则，若，则，
若，则，若，则，、没有限制，
综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、
、、、、、、、、
、、，共个，故选：C.
3．（24-25高一上·陕西西安·月考）设集合；
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示）
(3)若，求实数的取值范围；
【答案】(1)或；(2)；(3)
【解析】（1）由题意得，因为，所以，
所以，即，
化简得，即，解得或，
检验：当时，，满足，
当时，，满足，所以或.
（2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根，
所以且，
所以.
（3）因为，且，故,
当时，，解得，符合题意；
当时，则，无解；
当时，则，解得；
当时，则，无解；综上，.
4．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知集合或，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意知：；
因为，故；
①当，即时，满足，此时；
②当，若，则，解得；
综上所述：m的取值范围为
（2）因为，且，
故，即，解得，
则，；
①当，即时，；
故，解得；
②当，即时，；
故，解得；
③当，即时，，不合题意；
综上所述，m的取值范围为.
1．（22-23高一上·广东惠州·月考）对于集合，，定义且，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于集合，，定义且，，
设，，
则，，
所以.故选：C．
2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ．
【答案】或
【解析】，，
．
故答案为：或
3．（24-25高一下·广东湛江·月考）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】记，由，解得，又，
所以，则；
当时，，又，所以，此时的最大值为；
当时，，此时或，
于是，此时的最大值为；
综上可得的最大值为.
4．（23-24高一上·湖北·月考）已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， .
【答案】
【解析】令，如图，全集被划分成、、三个部分，
中的任意一个元素只能在集合、、之一中，有种方法，
则这个元素在集合、、中，每个元素均有种选择，故共有种选择方法，
其中为空集的种数为，为空集的种数为，、均为空集的种数为种，
则、均为非空子集的种数为，
因当且仅当时，与为同一组“互斥子集”，
而，满足的与不是同一组“互斥子集”，
于是得集合的所有“互斥子集”的组数为，
其中.
故答案为：；.
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1.3 集合的基本运算
知识点1 并集的概念与运算
1．（24-25高一下·安徽亳州·月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·山东枣庄·月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·江西宜春·月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点2 交集的概念与运算
1．（24-25高一下·贵州·月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·浙江金华·月考）已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·广东广州·月考）已知集合，，那么（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·广东揭阳·月考）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点3 补集的概念与运算
1．（24-25高一下·广东·月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·广东·月考）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知全集，集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·山东·月考）已知集合或，则（ ）
A．或 B．
C．或 D．
知识点4 由交、并、补运算求参数
1．（24-25高一上·吉林四平·期中）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．不存在
2．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知集合，，若，则实数（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．（24-25高一下·四川广元·月考）（多选）设集合，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·湖北黄石·月考）设，，若，则实数a的值为 .
知识点5 交、并、补的混合运算
1．（24-25高一下·云南昆明·月考）设全集，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·安徽·月考）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·广东·月考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
知识点6 根据集合的混合运算求参数
1．（24-25高一上·四川绵阳·月考）已知或，，若，则m的取值范围是 .
2．（24-25高一上·广西南宁·月考）已知集合，若，则的取值范围是 .
3．（24-25高一上·江西赣州·月考）已知，，若，则m的取值范围为 .
4．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知全集，集合或，，，若，求实数的取值范围．
知识点7 Venn图在集合运算的应用
1．（24-25高一上·上海·月考）如图表示图形阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·江西赣州·月考）（多选）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（多选）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·河南许昌·月考）（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
知识点8 集合运算在实际中的应用
1．（24-25高一上·江苏·月考）为提升学生学习双语的热情“G11 四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写” “英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2．（24-25高一上·陕西榆林·月考）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为( )
A．10 B．9 C．7 D．4
3．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（ ）
A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人
C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人
4．（24-25高一上·辽宁·月考）已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为
1．（24-25高一上·陕西宝鸡·月考）已知集合．若集合、中至少有一个非空集合，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或且 D．且
2．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·陕西西安·月考）设集合；
(1)若，求实数的值；
(2)若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示）
(3)若，求实数的取值范围；
4．（24-25高一上·河北石家庄·月考）已知集合或，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
1．（22-23高一上·广东惠州·月考）对于集合，，定义且，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ．
3．（24-25高一下·广东湛江·月考）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ．
4．（23-24高一上·湖北·月考）已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， .
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