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2.2 基本不等式
知识点1 基本不等式的内容辨析
1．（24-25高一下·云南保山·期末）“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·月考）（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（ ）
A． B．，
C． D．，
3．（23-24高一上·广西玉林·月考）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．成立的条件是 B．成立的条件是
C．成立的条件是 D．成立的条件是
4．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 利用基本不等式比较大小
1．（24-25高一上·广东江门·月考）已知，，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·浙江绍兴·月考）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
知识点3 利用基本不等式求最值
1．（24-25高一下·河南焦作·月考）已知，，且，则的最大值为 .
2．（24-25高一上·广东广州·月考）设为实数，若，则的最大值是 ．
3．（24-25高一下·广东江门·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
5．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
知识点4 利用基本不等式证明不等式
1．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，证明．
2．（1）若，，，都是正数，求证：；
（2）若，，都是正数，求证：.
3．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知，，，且，证明：
(1)；
(2).
4．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，求证：
(1)；
(2)．
知识点5 基本不等式恒成立问题
1．（24-25高一上·安徽亳州·月考）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对
2．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ．
知识点6 基本不等式在实际中的应用
1．（24-25高一下·云南昆明·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．15
2．（24-25高一上·江苏常熟·月考）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．以上选项都有可能
3．（24-25高一上·陕西西安·月考）小明 小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A．小明两次购买葡萄的平均价格比小红低
B．小红两次购买葡萄的平均价格比小明低
C．小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样
D．两次购买葡萄的平均价格无法比较
4．（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元
1．（24-25高一下·云南临沧·月考）若、且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25高一上·山东淄博·期中）（多选）已知为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
4．（24-25高一上·福建莆田·月考）问题：正数、满足，求的最大值.其中一种解法是：，当且仅当，即时取等号，学习上述解法并解决下列问题，
(1)若正实数、满足，求的最大值；
(2)若实数、、、满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
(3)若，利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值.
1．（24-25高一上·云南红河·月考）（多选）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知，且（表示x，y中的较小者），则h的最大值为 ．
3．（24-25高一上·江苏苏州·月考）某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，有最小值.
（1）请你模仿小明的解法，得出，上的最小值为 .
（2）当时，，的最小值为 .
4．（24-25高一上·安徽·期中）我们知道，若，则有不等式成立（当且仅当时等号成立）．从可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：
(1)求代数式的最大值；
(2)已知，若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若a，b，，证明：．
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2.2 基本不等式
知识点1 基本不等式的内容辨析
1．（24-25高一下·云南保山·期末）“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，可得，即或，
所以是的必要不充分条件.故选：B.
2．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·月考）（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（ ）
A． B．，
C． D．，
【答案】BCD
【解析】对于A选项，因为的正负未知，所以，不能用基本不等式直接求得最大（小）值；
对于B选项，当时，，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值；
对于C选项，对于代数式，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值；
对于D选项，因为，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值.故选：BCD.
3．（23-24高一上·广西玉林·月考）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．成立的条件是 B．成立的条件是
C．成立的条件是 D．成立的条件是
【答案】BC
【解析】为重要不等式，其中，A错，B对；
是基本不等式，其中，C对，D错.故选：BC
4．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，，，
而（重合时取等号），因此有．故选：D．
知识点2 利用基本不等式比较大小
1．（24-25高一上·广东江门·月考）已知，，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，
即，当且仅当时等号成立．故选：A.
2．（24-25高一上·浙江绍兴·月考）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为、为互不相等的正实数，
所以由重要不等式可得，则，
所以，，则，
由基本不等式可得，所以，
因此，最大的数为.故选：C.
3．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由基本不等式得，故，
因为，，两式相减得，
，
故，所以，故，
所以.故选：B
4．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】B
【解析】
.
因为，
所以.
因为，
所以，即.故选：B.
知识点3 利用基本不等式求最值
1．（24-25高一下·河南焦作·月考）已知，，且，则的最大值为 .
【答案】8
【解析】因为，，且，所以，故，
当且仅当等号成立，所以的最大值为8.
2．（24-25高一上·广东广州·月考）设为实数，若，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】，
，当且仅当时，等号成立，
可得，
时取最大值，
故的最大值为.
3．（24-25高一下·广东江门·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】A
【解析】由，得，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3.故选：A
4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
【答案】B
【解析】因，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立．故选：B
5．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【解析】由，得，则，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
∴的最小值是18.故选：B
知识点4 利用基本不等式证明不等式
1．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知．
(1)若，证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，证明．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）要证，因为，两边同时平方，即证.
展开得，已知，所以即证，
也就是证，即证.
对于，有，已知，所以，则，
当且仅当时等号成立.
所以得证.
（2）根据二项式，将，代入可得：
整理得
因为，所以
已知，可得，即 ，当且仅当时取等号.
同时，由第一问可知（当且仅当时等号成立）.
将和代入可得：
，当且仅当时等号成立.
综上，若，得证.
（3）因为，所以，
以上三个式子相加得，
所以，当且仅当时等号成立，
因为，且，所以，
所以，所以.
2．（1）若，，，都是正数，求证：；
（2）若，，都是正数，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】证明 （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，，
当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立.
所以，
即有，当且仅当，时，等号成立.
（2）由，，都是正数，利用基本不等式可知，
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立.
所以，
当且仅当时，等号成立.
3．（24-25高一上·四川德阳·月考）已知，，，且，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，
当且仅当时等号成立，
故，当且仅当时等号成立，
故成立.
（2）,
由基本不等式有，
，
，
故，
当且仅当时等号成立.
4．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1），
，
当且仅当，即时等号成立．
（2），
，
当且仅当时，即时等号成立．
知识点5 基本不等式恒成立问题
1．（24-25高一上·安徽亳州·月考）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对
【答案】B
【解析】因为x，，所以，所以，
又，
当且仅当时，取等号，所以，
所以实数a的最小值是.故选：B.
2．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为，则，
又恒成立，即恒成立，
又，
当且仅当，即时取等号，所以，故选：B.
3．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以恒成立等价于恒成立，
又，当且仅当时取等号，
故.故选：A
4．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【解析】恒成立，即，
，
当且仅当时取等号，
所以，即，解得：，
所以实数t的取值范围是.
知识点6 基本不等式在实际中的应用
1．（24-25高一下·云南昆明·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．15
【答案】B
【解析】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则，
又因为，
所以，当且仅当时取“＝”，
故三角形周长的最大值为.故选：B．
2．（24-25高一上·江苏常熟·月考）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．以上选项都有可能
【答案】A
【解析】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，.
由杠杆原理得，，解得，，
则，当且仅当取等号.
又，故.故选：A
3．（24-25高一上·陕西西安·月考）小明 小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A．小明两次购买葡萄的平均价格比小红低
B．小红两次购买葡萄的平均价格比小明低
C．小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样
D．两次购买葡萄的平均价格无法比较
【答案】B
【解析】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且，
则小明两次购买3千克葡萄，平均价格为元/千克，
小红两次购买50元葡萄，平均价格为元/千克，
根据均值不等式有：，
由于，可知：，
所以有小红两次购买葡萄的平均价格比小明低，故选：B.
4．（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A．160000元 B．179200元 C．198400元 D．297600元
【答案】C
【解析】设池底的长为x，宽为y，则，即
因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，
建造这个水池的总造价是
当且仅当，即时，等号成立，故选：C.
1．（24-25高一下·云南临沧·月考）若、且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
令，，则且，，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为 ，故选：A．
2．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
综上，的最小值为4，此时.故选：D.
3．（24-25高一上·山东淄博·期中）（多选）已知为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为8 B．的最小值为8
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】因为，当且仅当时取等号，
结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；
由得，
所以，
当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B正确；
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，C错误；
，
当且仅当即时取等号，
此时取得最小值，D正确；故选：ABD
4．（24-25高一上·福建莆田·月考）问题：正数、满足，求的最大值.其中一种解法是：，当且仅当，即时取等号，学习上述解法并解决下列问题，
(1)若正实数、满足，求的最大值；
(2)若实数、、、满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
(3)若，利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值.
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)的最小值为，此时，
【解析】（1）因为正实数、满足，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
（2）因为实数、、、满足，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立.
（3）解：令，，则，
因为，所以，可得，
因为，则，
所以，
取等号时，解的，，即，
所以时，取得最小值.
1．（24-25高一上·云南红河·月考）（多选）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，当时，由C可知，，故D不正确.故选：AB
2．（24-25高一上·河南洛阳·期末）已知，且（表示x，y中的较小者），则h的最大值为 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴，
当时，，时，，时，，
∴，
当时，，当时，，
∴时，，∴，
又当，，即，
∴的最大值是．
3．（24-25高一上·江苏苏州·月考）某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，有最小值.
（1）请你模仿小明的解法，得出，上的最小值为 .
（2）当时，，的最小值为 .
【答案】 －3
【解析】（1）由知：
，
当且仅当时，取到最小值；
（2）由，知：
当且仅当时，取到最小值.
4．（24-25高一上·安徽·期中）我们知道，若，则有不等式成立（当且仅当时等号成立）．从可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：
(1)求代数式的最大值；
(2)已知，若不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若a，b，，证明：．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）当时，有，
即，当且仅当，即时等号成立．
而，故代数式的最大值为．
（2）当时，有，
所以，即，当且仅当时等号成立．
因此的最小值为．
恒成立恒成立．
故实数m的取值范围是．
（3）因为，
所以
，
当且仅当时等号成立．
故a，b，．
1
