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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
知识点1 解不含参一元二次不等式
1．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以或，
故不等式的解集为或.故选：B.
2．（24-25高一上·福建莆田·月考）不等式的解集为（ ）
A． B．，或
C． D．，或
【答案】B
【解析】由可得，解得或，
故不等式的解为或故选：B
3．（24-25高一上·湖南株洲·期中）不等的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】原不等式就转化为. 解得，
即不等式的解集为. 故选：D
4．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，解得或，
则不等式的解集为或，故B正确.故选：B
知识点2 解含参一元二次不等式
1．（24-25高一上·重庆·月考）若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，
不等式，
即不等式的解集为.故选：C.
2．（24-25高一上·湖北荆州·月考）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，不等式化为，
而方程的二根为或，
又，即，
所以原不等式的解集为.故选：C
3．（24-25高一上·海南海口·月考）对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于为一元二次不等式，所以，
当时，函数开口向上，与轴的交点的横坐标为，，
故不等式的解集为，
当时，函数开口向下，
若，不等式解集为；
若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为.
综上，ACD选项都可能是一元二次不等式的解集.故选：B.
4．（24-25高一下·湖北黄石·月考）解关于x的不等式．
【答案】答案见解析
【解析】原不等式可化为，即，
①当时，原不等式化为，解得
②当时，原不等式化为，
原不等式解集，
原不等式解集为，
原不等式解集为，
③当时，原不等式化为．
原不等式解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集；
当时，不等式解集为.
知识点3 由一元二次不等式解集求参数
1．（24-25高一上·山东日照·月考）若不等式的解集为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由题意，和1是方程的两个实数根，
则，解得，，
所以.故选：C.
2．（24-25高一上·辽宁·月考）若关于的不等式的解集为，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】不等式的解集为，
则方程的两根为，
由韦达定理得：，，
可得，
故.故选：.
3．（24-25高一上·新疆阿克苏·月考）不等式的解集是，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由不等式的解集是，
可得到和2是方程的两个实数根，且，
则，故A、C错；D对；
又，令，可得，故B错；故选：D
4．（24-25高一上·江苏苏州·月考）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】由题意得，原不等式可转化为，
当时，解得，此时解集中的整数为2，3，则；
当时，解得，此时解集中的整数为0，，则；
当时，不等式为，无解，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是或.故选：B．
知识点4 三个“二次”关系的应用
1．（24-25高一上·吉林长春·月考）若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】B
【解析】关于x的方程有两个实根，即方程有两个实根，
所以 ，即对任意实数恒成立，
所以，即，得.故选：B.
2．（24-25高一上·山东菏泽·月考）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】一元二次不等式的解为，
所以的解为，且，
由韦达定理得，代入得
，故选：D.
3．（24-25高一上·甘肃平凉·月考）（多选）若不等式的解集是，则（ ）
A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且
C． D．不等式的解集是R
【答案】AB
【解析】由题意知，即相应二次函数开口向下，所以A正确；
由题意可得是方程的两个根，所以，
得，，所以B正确；
因为是方程的根，所以，所以C不正确；
把代入不等式，可得，
因为，所以即可，所以D不正确.故选：AB
4．24-25高一上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】AC
【解析】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为、4，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D，，故D不正确.故选：AC.
知识点5 一元二次不等式恒成立与有解问题
1．（24-25高一上·福建漳州·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】因为不等式的解集为，
所以，解得，
所以a的取值范围是.故选：A.
2．（24-25高一上·山东淄博·月考）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若，则原不等式可化为，在上恒成立；
若，因为不等式的解集为，
所以.
综上可得：.故选：B
3．（24-25高一上·河北邢台·月考）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，由，得，
则恒成立.
令，得，
则二次函数，当时，取得最大值，所以，
所以a的取值范围为．故选:C
4．（24-25高一下·湖北黄冈·月考）关于的不等式有解是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
【答案】B
【解析】若关于的不等式有解，
则，得
由“”可以推出“”，
由“”不能推出“”，
所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B．
知识点6 一元二次不等式的实际应用
1．（24-25高一上·陕西西安·月考）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（ ）
A．25元 B．20元 C．10元 D．5元
【答案】C
【解析】设每株多肉植物的售价为元，则每天可以卖株，
由题意可得，即，解得，
所以每株这种多肉植物的最低售价为10元.故选：C
2．（24-25高一上·河南驻马店·月考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，
即，解得，又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.故选：C
3．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A．250元 B．260元 C．270元 D．280元
【答案】C
【解析】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为
．
因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，
所以，即，解得．
因为且，所以，
即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．故选：C．
4．（24-25高一上·广东广州·月考）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如上图所示，过点作底的垂线，分别交于点
设矩形的另一边长为，
易知,
由三角形相似知，，所以
即，所以，
由题意，所以，即，解得,故选：C
1．（24-25高一上·陕西渭南·月考）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，不等式，即，，
故不等式的解集为，故A可能；
当时，，即，
当时，的解集为，故D可能；
当时，不等式无解；
当时，的解集为，故B可能.故选：C
2．（24-25高一上·山东济南·月考）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，即，解得或，
由，即，
当时，不等式为，无解；
当时，不等式解集为，
结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解，
所以，即，
当时，不等式解集为，
结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，
则，即，
综上所述，k的取值范围为，故选：D
3．（24-25高一下·贵州·月考）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为对任意，不等式恒成立.
所以，其中，
设，，因为，
所以当时，函数，取最小值，最小值为，
所以，故选：A.
4．（24-25高一上·山东济南·月考）（多选）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．当时，的最小值为
【答案】BC
【解析】因为关于一元二次不等式的解集为（其中），
所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，
又关于一元二次不等式的解集为，
即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，
又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的，
又开口向下，对称轴为，
由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下
（这里只列出其中一种）：
所以，
则，所以，，所以，故A错误，B正确；
又，，所以，故C正确；
因为、为关于的方程的两根，
所以，，
又，所以，所以，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
显然，所以，故D错误.故选：BC
1．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【解析】因为关于的不等式的解集为，
所以，
，
因为，所以，解得或1（舍去）.故选：B.
2．（24-25高一上·上海·月考）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集
B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集
C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集
D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集
【答案】B
【解析】对于集合，，
可得当即可得，
即有，可得对任意a，是的子集；
当时，，
可得是的子集；
当时，，
可得不是的子集；
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.故选：B
3．（24-25高一上·安徽亳州·月考）（多选）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由可得，整理得.
由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论：
（i）当时，或.
若，则，矛盾；
若，则，解得，满足方程；
（ii）当时，即当且时，
若，解得，
此时方程为，即，解得，
满足方程；
若，方程有两个不等的实根、，
因为，所以，，
所以，，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.故选：BD.
4．（24-25高一上·湖北荆州·月考）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如．
(1)求的解集和的解集．
(2)若恒成立，求取值范围．
(3)若的解集为，求的范围．
【答案】(1)，；(2)；(3)
【解析】（1）由题意得，且，
由，即，所以，
故的解集为；
由，即，
∴，则，所以．
所以的解集为．
（2）恒成立，此时
即，恒成立，
又，当且仅当时，即时等号成立．
故的最小值为4，
所以要使恒成立，则．
故的取值范围为．
（3）不等式，即，
由方程可得或．
①若，不等式为，
即，所以，显然不符合题意；
②若，
由，解得，
因为不等式的解集为，
所以，解得
③若，
由，解得，
因为不等式解集为，
所以，解得．
综上所述，或．
故的范围为．
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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
知识点1 解不含参一元二次不等式
1．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
2．（24-25高一上·福建莆田·月考）不等式的解集为（ ）
A． B．，或
C． D．，或
3．（24-25高一上·湖南株洲·期中）不等的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
4．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
知识点2 解含参一元二次不等式
1．（24-25高一上·重庆·月考）若，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·湖北荆州·月考）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·海南海口·月考）对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集不可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·湖北黄石·月考）解关于x的不等式．
知识点3 由一元二次不等式解集求参数
1．（24-25高一上·山东日照·月考）若不等式的解集为，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（24-25高一上·辽宁·月考）若关于的不等式的解集为，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
3．（24-25高一上·新疆阿克苏·月考）不等式的解集是，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·江苏苏州·月考）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
知识点4 三个“二次”关系的应用
1．（24-25高一上·吉林长春·月考）若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
2．（24-25高一上·山东菏泽·月考）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·甘肃平凉·月考）（多选）若不等式的解集是，则（ ）
A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且
C． D．不等式的解集是R
4．24-25高一上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
知识点5 一元二次不等式恒成立与有解问题
1．（24-25高一上·福建漳州·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（24-25高一上·山东淄博·月考）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·河北邢台·月考）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·湖北黄冈·月考）关于的不等式有解是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
知识点6 一元二次不等式的实际应用
1．（24-25高一上·陕西西安·月考）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（ ）
A．25元 B．20元 C．10元 D．5元
2．（24-25高一上·河南驻马店·月考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A．250元 B．260元 C．270元 D．280元
4．（24-25高一上·广东广州·月考）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高一上·陕西渭南·月考）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·山东济南·月考）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·贵州·月考）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·山东济南·月考）（多选）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B．
C． D．当时，的最小值为
1．（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
2．（24-25高一上·上海·月考）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．对任意a，是的子集；对任意b，不是的子集
B．对任意a，是的子集；存在b，使得是的子集
C．对任意a，不是的子集；对任意b，不是的子集
D．对任意a，不是的子集；存在b，使得不是的子集
3．（24-25高一上·安徽亳州·月考）（多选）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·湖北荆州·月考）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如．
(1)求的解集和的解集．
(2)若恒成立，求取值范围．
(3)若的解集为，求的范围．
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