中小学教育资源及组卷应用平台
3.1.1 函数的概念
知识点1 对函数概念的理解
1．（24-25高一上·陕西渭南·月考）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·广东肇庆坊·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·贵州贵阳·月考）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
4．（24-25高一上·河北·月考）（多选）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 求具体函数的定义域
1．（24-25高一上·山东菏泽·月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·浙江金华·月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 求抽象函数的定义域
1．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·云南昭通·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·湖北·月考）若的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·辽宁鞍山·月考）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
知识点4 函数定义域的逆向问题
1．（24-25高一上·重庆·月考）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
2．（24-25高一上·云南红河·月考）函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
3．（24-25高一上·云南昭通·月考）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为
4．（24-25高一上·云南昆明·月考）已知函数的定义域是，则的取值范围是 .
知识点5 判断两个函数是否相等
1．（24-25高一上·江苏·月考）下列函数与表示同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·河北保定·月考）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·河北保定·月考）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．（24-25高一上·江苏盐城·月考）下列各组函数中，表示同一函数的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
知识点6 简单函数的求值与求参
1．（24-25高一上·福建厦门·月考）若函数，则 ．
2．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（ ）
A． B．3 C． D．17
4．（24-25高一上·广东广州·月考）已知函数满足．若，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．0
知识点7 求简单函数的值域
1．（24-25高一上·江苏无锡·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·重庆·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·广西玉林·月考）（多选）下列函数中值域为的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
知识点8 函数值域的逆向问题
1．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数的值域为，则实数的值为（ ）
A．或1 B． C．1 D．1或2
2．（24-25高一上·北京·期中）若函数在上的值域为，则的最小值为 ；最大值为 .
3．（24-25高三上·山东枣庄·月考）若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ．
4．（24-25高三上·上海·月考）若函数的值域为，则实数a的值为 ．
1．（24-25高一上·吉林四平·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·北京·月考）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·天津静海·月考）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 .
4．（24-25高一上·广东深圳·月考）已知函数.
(1)求的值；
(2)探索；
(3)利用（2）中结论，求的值.
1．（24-25高一上·湖南·月考）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于实数和正实数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是 .
3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）规定：表示不超过的最大整数，例如，.对于给定的，定义，则 ；若集合，则A中元素的个数是 .
4．（24-25高一上·重庆·月考）规定：表示不大于的最大整数.表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（为整数），例如：，则下列说法正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
①当时，；
②当时，；
③方程的解为；
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3.1.1 函数的概念
知识点1 对函数概念的理解
1．（24-25高一上·陕西渭南·月考）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】根据函数的定义，在选项A、C、D中的图象中，
对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，所以可以作为函数图象，
选项B中，当 时，有2个 与之对应，不能作为函数图象.故选：ACD.
2．（24-25高一上·广东肇庆坊·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为 ，值域为 ，
可知A图象定义域不满足条件；
B图象不满足函数的值域；
C图象满足题目要求；
D图象，不是函数的图象；故选：C．
3．（24-25高一上·贵州贵阳·月考）下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
【答案】B
【解析】对于A，因为，但是没有意义，因此不符合题意，故A错误；
对于B，因为任意一个实数x的是一个确定的实数，符合函数的定义，故B正确；
对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数定义，故C错误；
对于D，因为集合A是自然数集，，但此时，
所以y不是x的函数，故D错误.故选：B.
4．（24-25高一上·河北·月考）（多选）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故A错误；
对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确；
对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误；
对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确.
故选：BD.
知识点2 求具体函数的定义域
1．（24-25高一上·山东菏泽·月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若函数有意义，有，可得且.故选：D.
2．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得函数的定义域为.故选：B.
3．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，解得且，
所以函数的定义域为.故选：C.
4．（24-25高一下·浙江金华·月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得，解得或，
所以函数的定义域是.故选：C.
知识点3 求抽象函数的定义域
1．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，由，解得，
故函数的定义域为.故选：B
2．（24-25高一上·云南昭通·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数的定义域为，得函数中，，则，
因此在函数中，，解得，
所以所求的定义域为.故选：C
3．（24-25高一上·湖北·月考）若的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域是，
对于函数，有，有，
所以，函数的定义域为.故选：D.
4．（24-25高一上·辽宁鞍山·月考）已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，
对于函数，有，解得，
故函数的定义域为，故选：C.
知识点4 函数定义域的逆向问题
1．（24-25高一上·重庆·月考）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为的定义域为，
所以不等式恒成立，
所以由二次函数性质可知，解得，即.
故答案为：
2．（24-25高一上·云南红河·月考）函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
所以不等式对于恒成立，
当时，不等式为，恒成立，符合题意；
当时，有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
3．（24-25高一上·云南昭通·月考）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
所以的解为，即的图象与轴没有交点，
当时，函数的图象与轴没有交点，故符合题意；
当时，要使的图象与轴没有交点，
则，解得，
综上所述：实数的取值范围.
4．（24-25高一上·云南昆明·月考）已知函数的定义域是，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知在上恒成立.
当时，，符合题意；
当时，则，解得.
综上，的取值范围是.
知识点5 判断两个函数是否相等
1．（24-25高一上·江苏·月考）下列函数与表示同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
A，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数；
B，因为的定义域，与的定义域相同，
且，与的对应关系相同，表示同一函数；
C，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数；
D，因为的定义域，与的定义域相同，
但，与的对应关系不同，不是同一函数.故选：B
2．（24-25高一下·河北保定·月考）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是；
对于B，的定义域均为R，且，B是；
对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是；
对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是.故选：B
3．（24-25高一下·河北保定·月考）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】A
【解析】A. 与，定义域均为，故是同一函数，A正确；
B. ，定义域为，，定义域为，
定义域不同，不是同一函数，B错误；
C. ，定义域为，，定义域为，
定义域不同，不是同一函数，C错误；
D. 与，定义域均为，
但是解析式不同，不是同一函数，D错误.故选：A
4．（24-25高一上·江苏盐城·月考）下列各组函数中，表示同一函数的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故A错误；
对于B，定义域为，的定义域为，
定义域不同，不是同一函数；故B错误；
对于C：的定义域均为，且，
定义域和对应关系均相同，是同一函数，故C正确；
对于D：的定义域均为，且，
对应关系不同，不是同一函数，故D错误；故选：C.
知识点6 简单函数的求值与求参
1．（24-25高一上·福建厦门·月考）若函数，则 ．
【答案】3
【解析】将 代入函数表达式：
.
2．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
令，可得；
令，可得；
两式相加可得，
令，可得；
则，即.故选：D.
3．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（ ）
A． B．3 C． D．17
【答案】B
【解析】函数，
令，则，而，所以.故选：B
4．（24-25高一上·广东广州·月考）已知函数满足．若，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．0
【答案】C
【解析】令，
因为，且，
所以，可得，故选：C.
知识点7 求简单函数的值域
1．（24-25高一上·江苏无锡·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则可得，即，
可得，
当时，取得最大值2，即；
所以其值域为.故选：A
2．（24-25高一上·重庆·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意知函数定义域为，令，
所以，
当时，，所以函数的值域为.故选：C.
3．（24-25高一上·广西玉林·月考）（多选）下列函数中值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，函数的定义域为，值域也为，A是；
对于B，函数定义域为R，值域为，B是；
对于C，函数的定义域为，值域为，C不是；
对于D，函数的定义域为R，值域为，D不是.故选：AB
4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，
，
所以函数的值域为.故选：D.
知识点8 函数值域的逆向问题
1．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数的值域为，则实数的值为（ ）
A．或1 B． C．1 D．1或2
【答案】A
【解析】因为函数，
又函数的值域为，
则，解得或.故选：A.
2．（24-25高一上·北京·期中）若函数在上的值域为，则的最小值为 ；最大值为 .
【答案】3 6
【解析】由，当时，，
又，二次函数的对称轴为，开口向上，故函数在上单调递减，
所以的最小值为；
又，解得或，
结合二次函数的性质可知的最小值为.
3．（24-25高三上·山东枣庄·月考）若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ．
【答案】3
【解析】由函数，可得对称轴为，
故函数在上是增函数.
函数的定义域和值域均为，
，即.
解得，或.，.
4．（24-25高三上·上海·月考）若函数的值域为，则实数a的值为 ．
【答案】2
【解析】由，
∵，∴，
又该函数的值域为，∴．
1．（24-25高一上·吉林四平·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数中，，，
则
，
而，因此，
所以函数的值域为.故选：A
2．（24-25高一上·北京·月考）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，即，解得或，
所以，
当时，，所以，
当时，令，即，解得，，
则的图象如下所示：
因为函数在上的值域为，
当，（或，）时取得最小值，
即；
当，时取得最大值，
即；
所以的取值范围是.故选：D
3．（24-25高一上·天津静海·月考）已知函数的定义域是R，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，可得或，
当时，符合题意；
当时，，显然不符合题意.
当时，由于定义域为R，可得，解得：，
综上所述：的取值范围是
4．（24-25高一上·广东深圳·月考）已知函数.
(1)求的值；
(2)探索；
(3)利用（2）中结论，求的值.
【答案】(1)1；1；(2)1；(3).
【解析】（1）因为函数，
所以，
所以.
（2）由函数，可得，
所以.
（3）由函数可得.
根据（2）的结论，
所以
.
1．（24-25高一上·湖南·月考）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
令，得，又，，
，
再令，，，
.故选：B
2．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于实数和正实数，称满足不等式的实数的集合叫做的邻域，已知，若的邻域中恰有2个整数，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，解得，所以的邻域为，
要使该邻域中恰有两个整数，需要区间长度满足，由此解得，
所以这两个整数只能为1和2，或者2和3，
当这两个整数为1和2时，解得；
当这两个整数为2和3时，，解得，
综上，的取值范围是.
3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）规定：表示不超过的最大整数，例如，.对于给定的，定义，则 ；若集合，则A中元素的个数是 .
【答案】 2
【解析】由题意可知，；
因为，
当时，则，
可得，则或2；
当时，则，
可得，则.
综上所述：，即集合A中元素的个数是2.
4．（24-25高一上·重庆·月考）规定：表示不大于的最大整数.表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（为整数），例如：，则下列说法正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
①当时，；
②当时，；
③方程的解为；
【答案】②③
【解析】①当时，，故①错误；
②当时，，故②正确；
③当，
同时当或时，方程不成立，故③正确.
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