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3.2.1 单调性与最大（小）值
知识点1 对单调性定义的理解
1．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”，
如，，
显然满足，但是函数在上递增，在上递减，
故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件；
而由“函数在区间上单调递增”可得.
则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D.
2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（ ）
A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数
C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数
【答案】B
【解析】因为，所以和异号，
所以当时，，当时，，
故在上是严格减函数，故B正确.故选：B
3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句：
①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数；
②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数；
③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数；
④在区间上是严格增函数，且是奇函数.
其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，令，
满足在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数，
但是函数在上不单调，故①错误；
对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数，
即任意的都有，都有，
所以，
设任意的且，若，则，
若，则，
若，，则，
所以函数在上是严格增函数，故②正确；
对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数，
则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数，
结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确；
对于④：令，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数，
但是函数在上不单调，故④错误.故选：B
4．（24-25高一上·山西太原·月考）（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】A选项，，有，
由函数单调性定义得在上单调递减，A正确；
B选项，，
因为，故，故，
由函数单调性定义得在上单调递增，B正确；
C选项，，故，
由函数单调性定义得在上单调递增，C正确；
D选项，由题意得或，不是单调函数，D错误.故选：ABC.
知识点2 定义法讨论函数的单调性
1．（24-25高一上·安徽铜陵·月考）已知函数，
(1)用定义法判断在区间上的单调性
(2)求出该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明过程见解析；(2)最小值为，最大值为.
【解析】（1），且，
则
因，则，
则，即，
则在区间上单调递增.
（2）由（1）可知在区间上单调递增，
则的最小值为，最大值为.
2．（24-25高一上·上海·月考）已知函数的图象过点和．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】(1)；(2)函数在上为减函数.证明见解析.
【解析】（1）根据题意函数的图象过点和，
则，，解得，，
则.
（2）函数在上单调递减，
证明：任取，，设，
则，
又因为，则，，，，
则；所以,
故函数在上为减函数.
3．（24-25高一上·山西·期中）已知函数满足
(1)求的解析式；
(2)用定义法证明在上单调递减.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为恒成立，所以的定义域为，
，
令，，则，
故的解析式为，.
（2）证明：任取，令，
则，
因为，所以，，
从而，即，
故在上单调递减.
4．（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知函数.
(1)求的值；
(2)判断的单调性，并用定义法进行证明；
(3)证明：.
【答案】(1)3；(2)在上单调递减，证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）
（2）在上单调递减.证明如下：取，，且，
因为
故，
即，，
则，
即，
故，即，
所以在上单调递减；
（3）证明：由（2）可得，
又因为，
故，故.
知识点3 求函数的单调区间
1．（24-25高一上·广东揭阳·月考）函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
又的图象是由向右平移个单位而来，
的单调递增区间为，，
所以的单调递增区间为，.故选：D
2．（24-25高一上·湖南·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，解得，故的定义域为，
由于在上单调递减，由复合函数单调性可知，
故只需求解在内的单调递增区间，
开口向下，对称轴为，故即为所求.故选：B
3．（24-25高一上·福建泉州·月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，
则在单调递减，单调递增，
当时，
则在单调递增，
所以的减区间为，故选：B.
4．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ．
【答案】和
【解析】作出的图象如下图所示，
由图象可知，的单调递增区间是和，
知识点4 利用函数的单调性求参数范围
1．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意二次函数对称轴为：，
要使得函数在上具有单调性，
需满足或，得或，
则k的取值范围为．故选：B
2．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，，解得，即，
所以实数的取值范围为.故选：A
3．（24-25高一上·广东广州·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】若，则当时，函数单调递增，
又，函数在上单调递减，
若，则当时，函数单调递减，
只有时，才有可能使函数在上单调递减，
，解得
综上，实数的取值范围是故选：A
4．（24-25高一下·云南昭通·月考）（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由在区间上单调递增，
则，即，故B正确，A错误；
又在区间上单调递增，
则，即，故D正确，C错误.故选：BD.
知识点5 利用函数的单调性比较大小
1．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A：因为，所以不能判断的大小关系；
B：因为，且函数在区间上单调递减，
所以有，因此本选项不正确；
C：因为，所以不能判断的大小关系；
D：由B可知本选项正确，故选：D
2．（24-25高一上·河北承德·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为在上是增函数，且，
所以.故选：.
3．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，
由在上单调递减，，得，
所以.故选：C
4．（23-24高一上·安徽亳州·月考）（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】由，则，
因为函数在上是减函数，所以，
则，.故选：CD.
知识点6 利用函数的单调性解不等式
1．（24-25高一上·广东中山·月考）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数满足，
所以函数在上单调递增，
根据题设不等式关系，有，
即，解得或.故选：A
2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的增函数，
由，得，
解得，即，故选：B
3．（24-25高一上·福建南安·月考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数，所以定义域为，解得，
因为是单调递增函数，是单调递增函数，
所以是上的单调递增函数，
由不等式得，解得，故选：C．
4．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
令，则，因此函数在上单调递增，
由，得，
由，得，
即，则，解得，
所以原不等式的解集为.故选：C
知识点7 求函数的最值或值域
1．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，，
所以所求值域为.故选：C
2．（24-25高一上·云南红河·月考）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】化简可得：，
设,则.
由对勾函数的性值可知：
函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增，
当时，在处取得最小值，当或时，，
所以的值域为，
所以函数值域为，故选：C.
3．（24-25高一上·辽宁大连·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的值域是，
所以函数的值域是，
令，则，
由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
则，即函数的值域是.故选：B.
4．（24-25高一下·上海·月考）已知，则的最小值为 ．
【答案】-3
【解析】当时，令，
当时，，
当时，单调递减，最小值为，
综上，的最小值为-3.
知识点8 根据函数的最值或值域
1．（24-25高一上·河南南阳·期中）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】因为函数，
所以当时，有最小值，
当时，，解得或，
又因为当时，单调递减，当时，单调递增，
所以的最大值为5，的最小值为，
所以的最大值为．故选：D.
2．（24-25高一下·河南安阳·月考）（多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
【解析】由，得函数的对称轴为，
当时，函数取的最小值为，
当或时，函数值为，
函数的定义域为，值域为，
所以，实数的值可能为．故选：ABC
3．（24-25高一上·湖北宜昌·月考）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由于的值域为R，当时，，
所以，解得．
故m的范围是.
4．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若，则，在上是减函数，不是最小值，不合题意；
若，则时，是增函数，因此时，，函数无最小值；
若，则时，是减函数，，
时，，因此在时是增函数，
由得，所以，
当时，，的最小值是，不是，不合题意，
综上，的取值范围是．
1．（24-25高一上·安徽亳州·月考）若函数在上的最大值为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以当时，在上单调递减，
则，解得，与矛盾，不符合题意；
当时，根据对勾函数单调性可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，
所以，解得，符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，不符合题意；
综上所述，.故选：D
2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·月考）若函数的定义域为，若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对任意不相等的实数，恒有,
则任意不相等的实数，恒有，即，
令，不妨设，可得
则可得，即，
所以是上单调递减函数，
不等式，
即，所以，解之可得，
所以不等式的解集为.故选：C
3．（24-25高一上·河北廊坊·月考）已知函数（）
(1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
(2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为，
当时，函数在区间上单调递增，所以；
当时，函数在区间上单调递减，所以；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
所以的表达式为.
（2）当时，可得，可得，
因为当，恒有成立，
所以当，恒有，
令，则，
当时，即时，，解得，所以；
当时，即时，，解得，所以，
综上所述，实数的取值范围是.
4．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立．
(1)求、；
(2)试判断函数的单调性：
(3)如果，试求的取值范围．
【答案】(1)；；(2)在上单调递增；(3)
【解析】（1）取得，；
；；
（2）令，可得，
设，则，所以，即，
在上单调递增；
（3）根据满足的条件②及，由得，；
根据为增函数得：；
再由的定义域，便得到不等式组；解得，
的取值范围为．
1．（24-25高一上·贵州毕节·月考）若定义运算，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题，.
注意到在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递增，在上单调递减，则，
即值域为.故选：D
2．（24-25高一上·海南海口·月考）表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解析】设，，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，即，
当时，，即，
所以，
当时，，当且仅当时取等号，
当时，，
当时，，
故函数的最小值为0.故选：C.
3．（24-25高一上·广东广州·月考）在上定义运算：，若不等式对恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，，
由不等式恒成立，
整理可得恒成立，
即恒成立，
，
，即，解得
则实数的最大值为.
4．（24-25高一上·湖北·月考）对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.给定函数
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”；
(2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)最大、最小值分别为，是“聚集函数”；(2).
【解析】（1）由题设，在上的值域为，
所以函数最大、最小值分别为，满足题设，
所以是“聚集函数”；
（2）由在区间上，
当时，最大值，最小值，
由，则，
可得，显然不满足；
当时，最大值，最小值，
由，则，
可得，结合，有；
当时，最大值，最小值，
由，则，
可得且，结合，则；
当时，最大值，最小值，
由，则，
可得，显然不满足；
综上，.
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3.2.1 单调性与最大（小）值
知识点1 对单调性定义的理解
1．（23-24高一下·江西·月考）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（ ）
A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数
C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数
3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句：
①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数；
②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数；
③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数；
④在区间上是严格增函数，且是奇函数.
其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25高一上·山西太原·月考）（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2 定义法讨论函数的单调性
1．（24-25高一上·安徽铜陵·月考）已知函数，
(1)用定义法判断在区间上的单调性
(2)求出该函数在区间上的最大值和最小值.
2．（24-25高一上·上海·月考）已知函数的图象过点和．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．
3．（24-25高一上·山西·期中）已知函数满足
(1)求的解析式；
(2)用定义法证明在上单调递减.
4．（24-25高一上·河南驻马店·期中）已知函数.
(1)求的值；
(2)判断的单调性，并用定义法进行证明；
(3)证明：.
知识点3 求函数的单调区间
1．（24-25高一上·广东揭阳·月考）函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．，
2．（24-25高一上·湖南·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·福建泉州·月考）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ．
知识点4 利用函数的单调性求参数范围
1．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·广东广州·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·云南昭通·月考）（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点5 利用函数的单调性比较大小
1．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·河北承德·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·安徽亳州·月考）（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点6 利用函数的单调性解不等式
1．（24-25高一上·广东中山·月考）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·福建南安·月考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
知识点7 求函数的最值或值域
1．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·云南红河·月考）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·辽宁大连·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·上海·月考）已知，则的最小值为 ．
知识点8 根据函数的最值或值域
1．（24-25高一上·河南南阳·期中）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（24-25高一下·河南安阳·月考）（多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（24-25高一上·湖北宜昌·月考）已知函数的值域为R，则m的取值范围是 ．
4．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是 ．
1．（24-25高一上·安徽亳州·月考）若函数在上的最大值为，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·月考）若函数的定义域为，若对任意不相等的实数，恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·河北廊坊·月考）已知函数（）
(1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
(2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围．
4．（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立．
(1)求、；
(2)试判断函数的单调性：
(3)如果，试求的取值范围．
1．（24-25高一上·贵州毕节·月考）若定义运算，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·海南海口·月考）表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（24-25高一上·广东广州·月考）在上定义运算：，若不等式对恒成立，则实数的最大值为 ．
4．（24-25高一上·湖北·月考）对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.给定函数
(1)当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”；
(2)若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围.
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