中小学教育资源及组卷应用平台
3.2.2 奇偶性
知识点1 判断函数的奇偶性
1．（24-25高一下·山西大同·月考）下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．（） B．
C． D．
3．（24-25高一上·广东深圳·月考）（多选）已知函数，构造函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．是奇函数
4．（24-25高一上·云南昆明·月考）（多选）函数，则下列函数的图象中关于轴对称的函数有（ ）
A． B． C． D．
知识点2 利用奇偶性求函数值
1．（24-25高一上·浙江金华·月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则 ．
2．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）已知函数为奇函数，且当时，，则 .
3．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）已知和是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足，则
4．（24-25高一上·四川成都·月考）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 .
知识点3 奇函数+常数对称模型
1．（24-25高一下·四川南充·月考）已知函数，且，则 ．
2．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数，其中为常数，若，则（ ）
A． B．7 C． D．4
3．（24-25高一下·云南昆明·月考）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ．
4．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
知识点4 利用奇函数求参数值
1．（24-25高一下·陕西西安·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．3 D．1
2．（24-25高一上·广东河源·月考）若函数为偶函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
3．（24-25高一上·河南·月考）已知是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．或 B． C． D．
4．（24-25高一下·湖南长沙·月考）若函数是奇函数，则 ．
知识点5 利用奇偶性求解析式
1．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·河北保定·月考）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 .
3．（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
知识点6 利用奇偶性与单调性比较大小
1．（24-25高一上·天津北辰·月考）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·四川南充·月考）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·江西上饶·月考）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 .
知识点7 利用奇偶性与单调性解不等式
1．（24-25高一下·云南大理·月考）设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·广东·月考）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·山东菏泽·月考）若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（ ）
A． B．-1 C． D．0
2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
(1)求证：是奇函数；
(2)判断的正负，并说明理由.
1．（24-25高一下·广东河源·月考）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．3 B． C． D．0
2．（24-25高一上·山西太原·月考）已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在单调递减，设函数，则对任意，均有（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·江苏南通·月考）（多选）高一课外兴趣小组通过对课本的习题的研究，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称中心为点
B．的图象关于直线对称
C．图象的对称中心为点
D．的图象关于点对称
4．（24-25高一上·河南驻马店·月考）已知是定义在上的连续函数，给出下列四个命题：①是奇函数；②是偶函数；③满足；④的图象关于点对称．若其中只有两个真命题，则符合题意的一组真命题的序号为 ．
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3.2.2 奇偶性
知识点1 判断函数的奇偶性
1．（24-25高一下·山西大同·月考）下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对A，函数定义域为，关于原点对称，，
不满足，故A不符合题意；
对B，函数定义域为，关于原点对称，，
不满足，故B不符合题意；
对C，函数定义域为，关于原点对称，，
满足，故C符合题意；
对D，函数定义域为，关于原点对称，，
不满足，故D不符合题意.故选：C.
2．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．（） B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误；
对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误；
对于C选项，函数定义域为R，且，
所以是偶函数，故C正确；
对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误.故选：C.
3．（24-25高一上·广东深圳·月考）（多选）已知函数，构造函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】BCD
【解析】，故，显然定义域为，
且，故是奇函数.
对于A，由于，，
故，从而不是偶函数，A错误；
对于B，显然，故是偶函数，B正确；
对于C，由于，故是奇函数，C正确；
对于D，由于，故是奇函数，D正确．
故选：BCD.
4．（24-25高一上·云南昆明·月考）（多选）函数，则下列函数的图象中关于轴对称的函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由，令，则，
得，化简得，即，
则，故关于轴对称；
B选项，将的图象向右平移一个单位得到函数的图象，
故的图象关于直线对称，不关于轴对称；
C选项，因为，，
不恒成立，
故函数的图象不关于轴对称；
D选项，由A选项可知，，则，
易知的图象关于轴对称.故选：AD
知识点2 利用奇偶性求函数值
1．（24-25高一上·浙江金华·月考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则 ．
【答案】
【解析】由偶函数性质可得，
又当时，，
所以，即.
2．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）已知函数为奇函数，且当时，，则 .
【答案】
【解析】由题意可知，
3．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）已知和是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足，则
【答案】5
【解析】由题设.
4．（24-25高一上·四川成都·月考）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 .
【答案】3
【解析】由是上的奇函数，是偶函数，
得，即，
因此，
所以.
知识点3 奇函数+常数对称模型
1．（24-25高一下·四川南充·月考）已知函数，且，则 ．
【答案】
【解析】设，则，
由，得，所以.
2．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知函数，其中为常数，若，则（ ）
A． B．7 C． D．4
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，令，
则，所以是奇函数，
因此，而，
所以.故选：A.
3．（24-25高一下·云南昆明·月考）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ．
【答案】
【解析】因，
设，则，可得函数为奇函数，
则在区间上的最大值与最小值的和为0，故，
于是，.
4．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】设，函数定义域为，则，即为奇函数，
其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0，
则，故.故选：B
知识点4 利用奇函数求参数值
1．（24-25高一下·陕西西安·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，
又,
则，所以.故选：B
2．（24-25高一上·广东河源·月考）若函数为偶函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】函数为偶函数，所以即得
的定义域为，
在 或其子集上，即得，
所以恒成立，所以,，可得.故选：A.
3．（24-25高一上·河南·月考）已知是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【解析】易知的定义域为，由奇函数的定义可知，，
则，
整理得恒成立，所以，解得．故选：D
4．（24-25高一下·湖南长沙·月考）若函数是奇函数，则 ．
【答案】3
【解析】因为函数为奇函数，所以，
设，则，所以，
所以，则，
所以.
知识点5 利用奇偶性求解析式
1．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，即有，
再由是定义在上的奇函数，所以，
即有，
所以当时，，
当时，，
综上可得：，故选：C.
2．（24-25高一下·河北保定·月考）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 .
【答案】
【解析】因为为奇函数，且当时，，
所以当时，时，
所以，即，所以.
3．（24-25高一上·江西·期中）已知函数是上的偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，所以.
当时，，
所以当时，.故选：A.
4．（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为奇函数和偶函数满足，
则，
即，解得，
因此，.故选：C.
知识点6 利用奇偶性与单调性比较大小
1．（24-25高一上·天津北辰·月考）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数是定义域为的偶函数，，，
因为，且在上单调递减，
所以，即.故选：D.
2．（24-25高一上·四川南充·月考）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数是定义在上的偶函数，得，解得，
则，，，，
二次函数的图象开口向下，对称轴为，则，
所以的大小关系为.故选：C
3．（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义域为的偶函数，所以，
又在区间上单调递增，所以在单调递减，
因为，
所以，即，故选：C.
4．（24-25高一上·江西上饶·月考）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 .
【答案】
【解析】因为是偶函数，
所以函数关于直线对称，即.
所以，，
又在上是增函数，且，故.
知识点7 利用奇偶性与单调性解不等式
1．（24-25高一下·云南大理·月考）设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知的解集是
的解集是．
因为不等式等价于不等式组或
所以不等式的解集是．故选：B.
2．（24-25高一下·广东·月考）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以.
因为函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增，
当时，，由可得，解得；
当时，，由可得，可得，此时不存在；
当时，，由可得，解得.
综上所述，不等式的解集为.故选：A.
3．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，不等式即，
又偶函数在区间单调递增，
故不等式即，即，解得.故选：B
4．（24-25高一上·山东菏泽·月考）若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，
则在区间上单调递减，且，
由，得或，
即或，解得或，
综上所述，满足原不等式的的取值范围是.故选：A.
1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（ ）
A． B．-1 C． D．0
【答案】D
【解析】对任意实数x，y，都有，，
取，得，即，解得，
取，得，即，解得，
任意，则，因此，
取，得，则，，
所以.故选：D
2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，
定义域为，在上单调递减；
对于B，，
定义域为，在上单调递减；
对于C，，
定义域为，在上单调递增，
设，则，
所以函数不为奇函数；
对于D，，
定义域为，在上单调递增，
设，则，
所以函数为奇函数，符合题意.故选：D.
3．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，即，
设，则有，因，则在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数.
由可得，
而，即，
由函数的单调性和奇偶性，可得，解得.故选：A.
4．（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
(1)求证：是奇函数；
(2)判断的正负，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析
【解析】（1）因为函数的定义域为，
令，得，即，
令，可得，即，
所以在上为奇函数.
（2），理由如下：
因为在上为奇函数，
则，
当时，，即，
所以.
1．（24-25高一下·广东河源·月考）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．3 B． C． D．0
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，，
所以有，
由为偶函数可得，
故有，，
即，，
故，所以周期，且.
故答案：D
2．（24-25高一上·山西太原·月考）已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在单调递减，设函数，则对任意，均有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，则为偶函数，图象关于轴对称，
又在上单调递减，则在上单调递增；
函数满足且在上单调递减，
则图象关于对称，在上单调递增，
由题意得，则有：
①当恒成立时，，图象关于对称，
此时，；
②当恒成立时，，的图象关于y轴对称，且在上单调递减，
因为当时，；当时，；
即A，B两项均错误；
又当，即时，，则，
当，即时，，
因此，若，则必有，故D错误；
③若，均能成立，则不妨作示意图如下：
因对应的点关于直线对称，且，
由图知，故C正确.故选：C.
3．（24-25高一上·江苏南通·月考）（多选）高一课外兴趣小组通过对课本的习题的研究，探究到函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是是偶函数.则下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称中心为点
B．的图象关于直线对称
C．图象的对称中心为点
D．的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】对于A，
，
由于为奇函数，故图象的对称中心为点，A正确，
对于B，
，
由于不是偶函数，
故的图象不关于直线对称，故B错误，
对于C, 由于，
则为奇函数，
故图象的对称中心为点，C正确，
对于D，，
故，
故为奇函数，
因此的图象关于点对称，D正确，故选：ACD
4．（24-25高一上·河南驻马店·月考）已知是定义在上的连续函数，给出下列四个命题：①是奇函数；②是偶函数；③满足；④的图象关于点对称．若其中只有两个真命题，则符合题意的一组真命题的序号为 ．
【答案】②③（或②④）
【解析】若①②为真，则函数为，此时也满足③④，故不符合题意；
若①③为真，则，则，
则关于对称，④为真，不符合题意；
若①④为真，则，
则，则，③为真，不符合题意；
若②③为真，则，则，
则关于对称，④为假，①为假,符合题意；
若②④为真，则，，
则，
③为假，①为假符合题意；
若③④为真，则由可得，又，
所以，则是奇函数，①为真，不符合题意.
综上，正确的组合为②③或②④．
故答案为：②③（或②④）.
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