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4.3 对数
知识点1 对数的概念及辨析
1．下列选项中可以求对数的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．使式子有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·河北邢台·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 对数式与指数式互化
1．（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为 ．
2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．（24-25高一上·广东深圳·期中）若（且），则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·四川南充·月考）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
知识点3 利用对数性质解对数方程
1．（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·北京·月考）方程的解为 .
3．（24-25高一上·上海奉贤·月考）方程的解是 .
4．求下列各式中的值．
(1)；
(2)；
(3)．
知识点4 利用对数运算性质化简
1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考） .
2．（24-25高一下·北京·期中）计算 ．
3．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）求值：
(1)；
(2)．
4．（24-25高一上·四川南充·月考）求值：
(1)；
(2)；
(3)
知识点5 用已知对数表示其他对数
1．（24-25高一上·山东菏泽·月考）已知，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一上·江苏常州·月考）已知，，用含、的式子表示 ．
4．（24-25高一上·天津·月考），则用和表示的结果为
知识点6 利用换底公式证明等式
1．已知：，求证：．
2．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：．
3．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知.
(1)求的值；
(2)设，求证：.
4．（23-24高一上·河北石家庄·月考）设，且，利用对数的换底公式证明：
(1)；
(2)；
(3)计算：若，求的值．
1．（24-25高一下·广东茂名·月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．12
2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知 则 ．
4．（24-25高一下·江苏扬州·月考）计算：
(1)；
(2)已知，试用表示.
1．（24-25高一上·河南·月考）用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·河北保定·月考）一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要 年（）
3．（24-25高三上·江苏淮安·一调）已知，，则的值为 .
4．（24-25高一上·天津·月考）（1）对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答：
由，可得，所以，即，解得，或，所以或.由于或均满足，故的值为1或4.
该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）.
（2）计算：.
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4.3 对数
知识点1 对数的概念及辨析
1．下列选项中可以求对数的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】因为0和负数没有对数，
又，所以D正确．故选：D.
2．使式子有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由对数的概念得，解得或，
故的取值范围是.故选：D.
3．（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要使对数式有意义，
需满足，解得或，
所以实数的取值范围是．故选：D.
4．（24-25高一上·河北邢台·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，解得或，
故实数的取值范围为．故选：D
知识点2 对数式与指数式互化
1．（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为 ．
【答案】
【解析】因为，所以.
2．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，，∴，故选：A．
3．（24-25高一上·广东深圳·期中）若（且），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为（且），所以.故选：A.
4．（24-25高一上·四川南充·月考）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，B正确；
对于C，由，得，C错误；
对于D，由，得，D正确；故选：ABD
知识点3 利用对数性质解对数方程
1．（24-25高一上·北京大兴·期末）方程的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，解得或，
由，得，则，解得，
所以方程的解集为.故选：D.
2．（24-25高一上·北京·月考）方程的解为 .
【答案】
【解析】由，解得.
，
所以，整理得，解得或（舍去），
所以原方程的解为.
3．（24-25高一上·上海奉贤·月考）方程的解是 .
【答案】
【解析】由题意知，解得或.
当时，，，所以舍去，
当时，，，符合题意.
故答案为：
4．求下列各式中的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）因为，所以，
所以，解得；
（2）因为，所以，
所以，解得；
（3）因为，所以，
所以，解得.
知识点4 利用对数运算性质化简
1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考） .
【答案】
【解析】.
2．（24-25高一下·北京·期中）计算 ．
【答案】
【解析】
，
3．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3；(2)2
【解析】（1）
.
（2）
.
4．（24-25高一上·四川南充·月考）求值：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）原式.
（2）原式
.
（3）原式
.
知识点5 用已知对数表示其他对数
1．（24-25高一上·山东菏泽·月考）已知，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以.故选：A.
2．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，则，
即.故选：C.
3．（25-26高一上·江苏常州·月考）已知，，用含、的式子表示 ．
【答案】
【解析】，，
则，故，，
则.
4．（24-25高一上·天津·月考），则用和表示的结果为
【答案】
【解析】由，得，而，
所以.
知识点6 利用换底公式证明等式
1．已知：，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】设，显然，
则，可得，
所以.
2．设，其中，，均大于，且都不为，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】依题意、、均不为，
令，且，
则，，．
因为，所以，
即，
所以，即．
3．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知.
(1)求的值；
(2)设，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）将两边同取对数得，，则，所以.
（2）由，得，.
所以，，
则，故.
4．（23-24高一上·河北石家庄·月考）设，且，利用对数的换底公式证明：
(1)；
(2)；
(3)计算：若，求的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）因为，所以命题得证.
（2）因为，所以命题得证.
（3）因为，所以，
故，即的值为.
1．（24-25高一下·广东茂名·月考）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【解析】由可得，
由，
故，
故，由于，故，故选；B
2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，取，，，
，，
则，故A错误；
对于B，取，，，
，，
则，故B错误；
对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确；
对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误；故选：C.
3．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知 则 ．
【答案】1
【解析】由可得，
所以，.
4．（24-25高一下·江苏扬州·月考）计算：
(1)；
(2)已知，试用表示.
【答案】(1)3；(2)
【解析】（1）原式
；
（2）由，得，由得，
.
1．（24-25高一上·河南·月考）用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，即，所以，
设，又因为，所以，
由对数加法公式得：，
由对数换底公式得：，
所以可化为：，
即，解得或，
又因为，所以，
即的值所在的区间为，故选：C
2．（24-25高一上·河北保定·月考）一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要 年（）
【答案】23
【解析】设经过年后的一万只兔子有只，
根据倍增期为21个月，可得，
令，则，则，
则，故大约需要23年，
3．（24-25高三上·江苏淮安·一调）已知，，则的值为 .
【答案】或
【解析】由得：，
由得：，
，
，
或，或.
4．（24-25高一上·天津·月考）（1）对于问题：已知，求的值，有同学给出如下解答：
由，可得，所以，即，解得，或，所以或.由于或均满足，故的值为1或4.
该同学的解答过程是否正确？若不正确，分析错因，试举例说明，并予以更正（写出正确的解答过程及结果）.
（2）计算：.
【答案】（1）不正确，答案见解析；（2）2.09
【解析】（1）不正确，理由如下：
由已知可得，，即，
则可化简为，
等价于，即，解得，或，
所以（舍）或.故的值为4.
（2）
.
1
