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3.4 函数的应用（一）
知识点1 一次函数模型
1．（23-24高一上·山东泰安·期中）某工厂生产的产品分正品和次品，正品每个重10g，次品每个重9g，正品次品分别装袋，每袋装50个产品.现有10袋产品，其中有且只有一袋次品，为找出哪一袋是次品，质检员设计了如下方法：将10袋产品从1~10编号，从第i袋中取出i个产品（如：从第1袋取出1个产品），并将取出的所有产品一起用秤称出其重量为wg.设次品袋的编号为n，则下列选项正确的是（ ）
A．w是n的函数
B．时，
C．w的最小值为540
D．时，第1袋为次品袋
【答案】ACD
【解析】由题意且，即w是n的函数，A对；
当时，，B错；
由于递减，故w的最小值为，C对；
令，D对.故选：ACD
2．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）某淘宝网店新年礼盒促销，其中，，，四款礼盒价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒.为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%.在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为 .
【答案】10
【解析】设订单总价为，若，没有优惠，符合题意；
若，则，，而，
所以，的最大值为10.
3．某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器12台和6台，现决定销售给A市10台、B市8台．已知上海调运一台机器到A、B市的运费分别为400元和800元；杭州调运一台机器到A、B市的运费分别为300元和500元．设从上海调运x台机器往A市，求总运费y（单位：元）关于x（单位：台）的函数关系．
【答案】
【解析】设从上海调运台到A市，则从上海调运台到B市，从杭州调运台到A市，
从杭州调运台到B市，
根据题意，，
其中且，解得，
所以．
4．为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元．
(1)求出关于的函数解析式．
(2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用．
【答案】(1)
(2)学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元．
【解析】（1）因为购买A型笔记本电脑台，所以购买B型笔记本电脑（）台，
所以，
所以关于的函数解析式为．
（2）因为学校预算不超过9万元，
购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，
所以解得，
而为整数，故可取，学校共有6种购买方案．
由，因为，所以函数单调递减，
又且为整数，所以当时，有最小值，
最小值，此时．
故学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，
该方案所需费用为84000元．
知识点2 二次函数模型
1．（24-25高一上·河南·月考）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为，
设所建造的禽舍总面积为，
则，
所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值.故选：D.
2．（24-25高一上·福建福州·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设这批灯的销售单价为x元，由题意可得，
由题意可得，
即，解得，
可得x的范围为．故选：C．
3．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本.
(1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？
(2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？
【答案】(1)；(2)元
【解析】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元，
则，即，解得，
所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元.
（2）设杂志提价后的价格是每本（）元，
则 =（），
所以当时，取得最大值.
所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大.
4．（23-24高一上·江苏无锡·月考）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资）
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）依题意，年销量为（万件），
所以.
（2）由（1）知，，当时，，
即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资，
因此第二年的销售单价应定元，年获利万元，
，而，
即，整理得，解得，
所以第二年的销售单价的范围是.
知识点3 幂函数模型
1．（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了，则有，
故，
由题意，2029年的耕地面积为，即.故选：D.
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
（参考数据: ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
【答案】A
【解析】令，，
∵，
∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30.故选：A.
3．（24-25高一上·河北·月考）（多选）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（ ）
A．当气体在半径为3的管道中时，流量为
B．当气体在半径为3的管道中时，流量为
C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4
D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为
【答案】AC
【解析】依题意可设，为常数．
当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得，
则．当时，，故A正确，B错误．
由，解得，故C正确，D错误．故选：AC.
4．（23-24高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．
(1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元.
【解析】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元
由题设，，
由图知，故，又，所以．
从而，．
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元，
则，
令，则，所以，
当时，，此时.
故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元.
知识点4分式型函数模型
1．（24-25高一上·福建莆田·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）．
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
【答案】(1)这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；
(2)当运转3年时，这批机器的年平均利润最大
【解析】（1），
因为，且，所以当时，取得最大值，
故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；
（2）设年平均利润为，
因为，且，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大.
2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
(1)求出的值，并将表示为的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】(1)，
(2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元
【解析】（1）由题知，时，，
于是，，解得.所以，.
根据题意，，即
所以
（2）
当且仅当，即时，等号成立.
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.
3．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．
(1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数；
(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
【答案】(1)，；(2)答案见解析.
【解析】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时，
所以，.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
而，则当，即时，，取得最小值；
当，即时，，取得最小值，
所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小.
4．（24-25高一上·广东东莞·期中）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元．
(1)试求y关于x的函数解析式；
(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
【答案】(1)；(2)公司乙，理由见解析.
【解析】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米，
于是得，，
所以y关于x的函数解析式是.
（2）由（1）知，对于公司甲，，
当且仅当，即时取“=”，
则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，
对于乙，函数在上单调递增，，
即乙公司最高报价为22900元，
因，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，
所以公司乙能竞标成功.
知识点5 分段函数模型
1．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，
且喝茶的最佳口感水温大约是，
当时，由可得，合乎题意；
当时，由，解得，舍去.
综上所述，.
因此，需要等待的时间为.故选：B.
2．（24-25高一上·河北邯郸·期末）某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算.
享受折扣的购物金额 折扣优惠
超过600元不超过1200元的部分
超过1200元的部分
李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为（ ）
A．1600元 B．1540元 C．1400元 D．1340元
【答案】D
【解析】设李女士在商场购物的总金额为x元，
由题意可得：，
则，解得，
即她实际所付金额为元．故选：
3．（24-25高一上·河南信阳·期末）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（ ）
A．60 B．100 C．140 D．180
【答案】B
【解析】当时，设，则，解得，
于是，
设车流量为q，则车流量，
当时，；
当时，，
当且仅当取等号，
所以当时，车流量最大，最大值约为3333辆．故选：B
4．（24-25高一上·吉林·月考）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；
(2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元.
【解析】（1）由题意可得，
，所以
（2）当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴，
所以当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时；
综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元.
知识点6 图象信息综合应用
1．（24-25高一上·广东广州·月考）如图是一幅统计图，根据此图得到的以下说法错误的是（ ）
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是年
C．虽然年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大改善
D．年生活价格指数上涨的速度与年生活价格指数下降的速度相同
【答案】D
【解析】对于A：生活水平可以通过生活收入指数与生活价格指数的差值来衡量，
从图中可以看出，生活收入指数整体高于生活价格指数，且两者差值逐年增大，
说明这几年生活水平逐年得到提高，A正确；
对于B：生活收入指数增长最快的一年是斜率最大的一年，
通过观察图像可知，年的斜率最大，
所以生活收入指数增长最快的一年是年，B正确；
对于C：年生活收入指数仍在增长，虽然增长缓慢，
但生活价格指数略有降低，这使得生活水平有较大改善，C正确；
对于D：年生活价格指数上升的幅度与年生活价格指数下降的幅度不同
且时间间隔相同，上升和下降的速度不同，D错误.故选：D
2．某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（ ）
A．5.6万元 B．4.8万元 C．6万元 D．5万元
【答案】B
【解析】设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元．
由题意设，．
由图知，．又，．
从而，．
设A产品投入万元，则B产品投入万元，
设企业利润为万元，
则，
设，则，
，
时，，此时．
A产品投入16万元，则B产品投入4万元，才能使公司获得最大利润，
最大利润为4.8万元，故选：B.
3．（23-24高一上·山东临沂·月考）(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示.
则下列说法中，正确的有（ ）
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
【答案】BC
【解析】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，
直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，
即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；
由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，
即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，
即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确.故选：BC.
4．（多选）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（ ）
A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水
【答案】AC
【解析】由①②两图知，进水速度是出水速度的，
所以由图③可知，0点到3点不出水，A正确；
3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确；
4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误.故选：AC.
1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（ ）
A．16 B．18 C．24 D．27
【答案】B
【解析】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），
依题意可得，将，代入可得：.
又卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过，
这内卡车行驶的路程为：（）.
由，
所以.
根据速度的意义，所以.
所以卡车行驶的速度应低于.故选：B
2．（24-25高一下·湖南·期末）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.
(1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】(1)，
(2)当时，取得最大值，且最大值为115万元
【解析】（1）将，，三点代入，得，
解得，即
依题意，.
（2）由（1）
当时，，
则当为时，取得最大值60万元；
当时，，
当且仅当时，即时取得等号，
此时取得最大值，且最大值为115万元，
所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元.
3．（24-25高一下·福建宁德·月考）为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③.
(1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由；
(2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳）
【答案】(1)解析式为①和②；(2)时长为
【解析】（1）易知模型③在上单调递减，因此可排除；
因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，
根据二次函数性质可得①符合题意；
又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意；
因此在时，，
当时，；
结合图象可知经过点、；
即，解得，即；
函数经过点、，
即，解得，即；
因此符合题意的两函数解析式为①和②.
（2）因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳，
当时，令，解得；
当时，令，解得；
综上可得，当时，满足题意；
因此该水域生态环境最佳的时长为.
4．（24-25高一上·广西南宁·月考）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，
(1)求的函数解析式，并求报价的最小值.
(2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
【答案】(1)，报价的最小值为元；(2)
【解析】（1）依题意，储物室的长为米，
则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，报价的最小值为元.
（2）依题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即，所以，即，
令，则，
则，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，又，即，
所以的取值范围是.
1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】于D，，
,，且
故当时，重合部分为三角形，
三角形的高，
面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项；
当时，重合部分为直角梯形，
上底长为，
下底长为，高为4，
故，
函数图像为一条直线，故排除D选项；
当时，重合部分可以看作两个直角梯形，
左边直角梯形的上底长为，
高为
两个梯形下底长均为，
右边直角梯形上底长为，
高为，
故，
图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项；故选：C
2．（24-25高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.
记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：
①；②；③；④.
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】A
【解析】函数的对称轴为，
所以，超出了范围，不符合题意；
，时，，
且在上单调递增，
，即，符合题意；
函数在上单调递减，在上单调递增，故不符合题意；
函数为增函数，且时，，
，则，即，符合题意.
故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④.故选：.
3．（23-24高一上·上海·月考）如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．
(1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域.
(2)求：矩形的面积的最大值．
【答案】(1)；(2)当时，，当时，
【解析】（1）如图，作，交于，交于，
因为，，所以，，
由得到，所以，
所以，故，解得，
所以，
（2）设，由二次函数性质得当时，
在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
当时，在上单调递减，当时，，
综上当时，，当时，.
4．（24-25高一上·陕西安康·开学考试）某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的函数关系如下表
月份x（月） 2 3 4 5 6
市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000
7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件．
(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出与x之间的函数关系式；
(2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用．
【答案】(1)（，且x取整数），（，且x取整数）
(2)去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元
【解析】（1）根据表格中数据可以得出定值，则与x之间的函数关系为反比例函数关系
设，将代入得：，
故（，且x取整数）
根据图象可以看出：的图象过，两个点，
代入得：
解得：
故（，且x取整数）
（2）当，且x取整数时：
,
则开口向下，且对称轴为，
当时，（元）
当时，且x取整数时，
为开口向下，对称轴为轴，
当时，W随x的增大而减小，
当时，（元）
去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元．
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3.4 函数的应用（一）
知识点1 一次函数模型
1．（23-24高一上·山东泰安·期中）某工厂生产的产品分正品和次品，正品每个重10g，次品每个重9g，正品次品分别装袋，每袋装50个产品.现有10袋产品，其中有且只有一袋次品，为找出哪一袋是次品，质检员设计了如下方法：将10袋产品从1~10编号，从第i袋中取出i个产品（如：从第1袋取出1个产品），并将取出的所有产品一起用秤称出其重量为wg.设次品袋的编号为n，则下列选项正确的是（ ）
A．w是n的函数
B．时，
C．w的最小值为540
D．时，第1袋为次品袋
2．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）某淘宝网店新年礼盒促销，其中，，，四款礼盒价格分别为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒.为增加销量，一次购买礼盒的总价达到80元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后，店家会得到支付款的80%.在促销活动中，为保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为 .
3．某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器12台和6台，现决定销售给A市10台、B市8台．已知上海调运一台机器到A、B市的运费分别为400元和800元；杭州调运一台机器到A、B市的运费分别为300元和500元．设从上海调运x台机器往A市，求总运费y（单位：元）关于x（单位：台）的函数关系．
4．为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元．
(1)求出关于的函数解析式．
(2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用．
知识点2 二次函数模型
1．（24-25高一上·河南·月考）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（24-25高一上·福建福州·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本.
(1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？
(2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？
4．（23-24高一上·江苏无锡·月考）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资）
(1)试写出y与x之间的函数关系式；
(2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？
知识点3 幂函数模型
1．（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
（参考数据: ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
3．（24-25高一上·河北·月考）（多选）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（ ）
A．当气体在半径为3的管道中时，流量为
B．当气体在半径为3的管道中时，流量为
C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4
D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为
4．（23-24高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．
(1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
知识点4分式型函数模型
1．（24-25高一上·福建莆田·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）．
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
(1)求出的值，并将表示为的函数；
(2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
3．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．
(1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数；
(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
4．（24-25高一上·广东东莞·期中）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元．
(1)试求y关于x的函数解析式；
(2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
知识点5 分段函数模型
1．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·河北邯郸·期末）某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算.
享受折扣的购物金额 折扣优惠
超过600元不超过1200元的部分
超过1200元的部分
李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为（ ）
A．1600元 B．1540元 C．1400元 D．1340元
3．（24-25高一上·河南信阳·期末）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（ ）
A．60 B．100 C．140 D．180
4．（24-25高一上·吉林·月考）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；
(2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？
知识点6 图象信息综合应用
1．（24-25高一上·广东广州·月考）如图是一幅统计图，根据此图得到的以下说法错误的是（ ）
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是年
C．虽然年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大改善
D．年生活价格指数上涨的速度与年生活价格指数下降的速度相同
2．某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2（利润与投资量单位：万元）；该公司已有20万元资金，并全部投入A，B两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（ ）
A．5.6万元 B．4.8万元 C．6万元 D．5万元
3．（23-24高一上·山东临沂·月考）(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示.
则下列说法中，正确的有（ ）
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
4．（多选）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（ ）
A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水
1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（ ）
A．16 B．18 C．24 D．27
2．（24-25高一下·湖南·期末）Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.
(1)求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.
3．（24-25高一下·福建宁德·月考）为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③.
(1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由；
(2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳）
4．（24-25高一上·广西南宁·月考）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，
(1)求的函数解析式，并求报价的最小值.
(2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·北京·期中）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.
记为调度前该水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：
①；②；③；④.
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（ ）
A．②④ B．①④ C．②③ D．③④
3．（23-24高一上·上海·月考）如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．
(1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域.
(2)求：矩形的面积的最大值．
4．（24-25高一上·陕西安康·开学考试）某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的函数关系如下表
月份x（月） 2 3 4 5 6
市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000
7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件．
(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出与x之间的函数关系式；
(2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用．
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