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4.2 指数函数
知识点1 指数函数的概念辨析
1．下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断：
对于A：为幂函数，故A错误；
对于B：中不能作为底数，故B错误；
对于C：中系数不为1，故C错误；
对于D：是指数函数，故D正确；故选：D
2．（23-24高一上·吉林延边·月考）给出下列函数，其中是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，是幂函数，故错误，
对于B，显然前面系数不为1，故错误，
对于C，显然前面系数不为1，故错误，
对于D，符合指数函数定义，故正确.故选：D
3．判断函数是指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．（，且）
【答案】D
【解析】指数函数是指形如且的函数.
则四个选项中，只有D满足条件.故选：D
4．（24-25高一上·湖南·月考）“”是“为指数函数”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，是指数函数
若是底数为的指数函数．则，且，解得，
故“”是“为指数函数”的充分不必要条件．故选：C.
知识点2 利用指数函数的概念求参数
1．函数是指数函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由指数函数的定义得，解得，且，
故的取值范围是．故选：C
2．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知函数（且），若，则 .
【答案】4
【解析】因为函数，，所以，解得，
又∵且，∴，
3．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知指数函数，则的值为 .
【答案】27
【解析】因为为指数式，则，解得或，
又因为且，可得，即，
所以.
4．（24-25高一上·广东湛江·月考）（多选）是指数函数，则的值不可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为函数是指数函数，
则，解得.故选：ACD.
知识点3 求指数函数的解析式
1．（24-25高一上·新疆·月考）若指数函数的图象过点，则的解析式为 .
【答案】
【解析】由题意设，且，
∵的图象过点，∴，解得，
则的解析式为.
2．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ．
【答案】
【解析】设（且），将代入得，解得，负值舍去，
故该指数函数的解析式为.
3．（23-24高一上·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则 .
【答案】
【解析】因为函数且的图象经过点，
所以，解得，所以.
4．已知指数函数的图象过点，则函数的解析式为 ．
【答案】
【解析】设（且），将点代入，得到，
解得，所以，
知识点4 指数函数过定点问题
1．（24-25高一上·吉林通化·月考）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是 .
【答案】
【解析】根据指数的性质有，即函数的图象过定点.
2．（24-25高一下·山西朔州·月考）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】令，解得，此时，
所以函数（，且）的图象恒过定点.
3．（24-25高一上·北京顺义·期中）函数（且）的图象必过定点的坐标是 .
【答案】
【解析】令，则，所以，
所以图象所过定点坐标为.
4．（24-25高一上·浙江·期中）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 .
【答案】16
【解析】根据指数型函数定点问题，求，再结合基本不等式求最值.
因为且过定点，
则，，
若且，
则 ，
当且仅当 且，即， 时取等号．
所以的最小值为16.
知识点5 指数函数的图象辨析
1．（24-25高一上·安徽六安·月考）设指数函数：，：，：的图象如图，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图：
做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，
由图可知：.故选：A
2．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数（，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数（，且），
当时，是增函数，并且恒过定点，
又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；
当时，是减函数，并且恒过定点，
又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.故选：C.
3．（24-25高一上·广东佛山·月考）二次函数与指数函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由选项中指数函数图象可知：，
令，解得：或，
，，可排除ABC.故选：D.
4．（25-26高三上·四川绵阳·零诊）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图得，，所以.
因为函数（，且）的图象与函数（且）的图象关于轴对称，
如图所示，
由图可知：，则.故选：A.
知识点6 比较指数幂的大小
1．（24-25高一上·重庆·月考）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由单调递减可得：，
且，又，
所以.故选：C
2．（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，则.故选：D.
3．（24-25高一上·河北张家口·月考）已知，，，则三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为单调递增，，所以，即，
，所以.故选：A
4．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）下列各式比较大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A错误，
对于B，，因为在上单调递减，且，
所以，即，所以B正确，
对于C，，因为在上单调递增，且，
所以，即，所以C正确，
对于D，因为在上单调递增，且，所以，
因为在上单调递减，且，所以，
所以，所以D正确.故选：BCD
知识点7 解指数型不等式
1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因，则，
即，解得，
所以的取值范围为．故选：B．
2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则的取值范围为 ．
【答案】.
【解析】由题意，即，根据指数函数单调性可得.
3．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ．
【答案】(1,2)
【解析】设且，所以有，解得，即，
因此函数为R上的增函数，
因为，所以，解得，
4．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 .
【答案】
【解析】，
当时，，所以此时不等式无解；
当时，；
当时，，所以此时不等式无解.
综上可知，原不等式的解集为.
知识点8 指数型复合函数的单调性
1．（24-25高一上·江苏连云港·月考）函数单调递减区间是 ．
【答案】
【解析】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间.
2．（24-25高一下·河北保定·月考）函数的单调递减区间是 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为R，令，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在R上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.故选：
3．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，对称轴为，又是R上增函数，
因为是上的增函数，
所以，即，
所以实数的取值范围为.故选：A.
4．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，函数在上单调递增，
易知在上单调递减，
当时，满足题设，
当时，或，
综上，.故选：B.
知识点9 指数型复合函数的奇偶性
1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，则 ．
【答案】
【解析】法一：由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立，
即恒成立，即恒成立，
又不恒为0，所以，则；
法二：，，因为函数是定义域为R的偶函数，
所以，即，解得，
经检验，此时为偶函数，故，
所以．
2．（24-25高二下·上海·开学考试）已知函数是奇函数，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】对任意的，，即函数的定义域为，
因为函数是奇函数，则，解得，
此时，，则,
故函数为奇函数，故.
3．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知函数是奇函数，则的值为 .
【答案】
【解析】因函数的定义域为，
由，可得
，解得.
4．（24-25高一上·福建福州·月考）已知函数（且）是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为函数是奇函数，定义域为，
所以，即，即，
又，故解得，此时，
则，
所以函数是奇函数，满足题意，
所以.故选：B.
知识点10 指数型复合函数的值域
1．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·月考）函数的值域为 .
【答案】
【解析】令，则，
因为在上单调递减，所以，且当时，，
所以的值域为，
2．（24-25高一上·山东青岛·月考）函数的值域是 .
【答案】
【解析】由题意可得：，
因为时，则，
根据二次函数的单调性知，
时，y取得最小值为；时，y取得最大值为；
所以函数y的值域是
3．（24-25高一上·河北沧州·月考）函数在上的值域是 ．
【答案】
【解析】令，因为，所以，
则，
令，，
所以当时取得最小值，且，又，，
所以，即函数在上的值域是.
4．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，则原函数可化为
，
因为，所以，当且仅当即时取等号，
所以当时，；当时，，
所以函数的值域为；故选：C.
1．（24-25高一下·云南·月考）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数，
此时要使得函数在区间上单调递增，
则满足二次函数在区间上单调递减，
即满足对称轴，解得，结合，可得；
当时，，所以外函数是单调递增的指数函数，
此时要使得函数在区间上单调递增，
则满足二次函数在区间上单调递增，
即满足对称轴，解得，结合，可得；
综上可得a的取值范围是或，故选：A.
2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，可知有解，且无最大值，
即有解，且无最大值，
当时，有解，无最大值，符合题意；
当时，有解，但有最大值，不符合题意；
当时，有解需满足，解得，
此时无最大值，满足题意.
综上，实数a的取值范围是.故选：A
3．（24-25高一上·河南驻马店·期末）（多选）已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】A选项，令，即，此时，故，
由题意得，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，，故，解得，
则，
故当时，取得最小值，最小值为，B错误；
C选项，，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，C正确；
D选项，因为，，
所以，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：ACD.
4．（24-25高一下·贵州都匀·月考）已知函数．
(1)证明：函数为奇函数；
(2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)单调递增，证明见解析；(3)或
【解析】（1）由题意可知：的定义域为R，
且，所以是奇函数．
（2）因为，
设且，
则，
因为，则，可得，，
则，即，
故在R上的单调递增．
（3）由（2）知在R上的单调递增，且
因为，则原不等式等价于，
即，可得且，解得或
所以实数m的取值范围为：或．
1．（24-25高一上·山东青岛·月考）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的为偶函数，为自然对数的底数，…，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，是定义在上的为偶函数，
所以，所以，
则函数，
因为，所以，
令，
根据二次函数的性质可知，当时，函数取得最大值，
当时，函数取得最小值，即，故选：B.
2．（24-25高一上·福建三明·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由奇函数的定义域为，则，所以，，
当时，，则，
由函数为奇函数，则，则，，
可得，根据指数函数的图象以及函数图象变换，可得：
由图象可得的值域为，
由，令，由，则，
则，
由题意可得，则，解得.故选：A
3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数，若，则m的取值范围 .
【答案】
【解析】令，则的定义域为，
且，
所以为奇函数，
又，，均在上单调递减，所以在上单调递减，
则在上单调递减，又为连续函数，所以在上单调递减，
又，
所以不等式，即，
即，即，
所以，即，解得，
所以的取值范围为.
4．（24-25高一下·黑龙江绥化·开学考试）设函数，．
(1)解方程：；
(2)令，求的值
(3)若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围
【答案】(1)；(2)9；(3)
【解析】（1）因为，，，
所以，即，即，
解得，或（舍），所以．
（2）由，
则，
故
．
（3）由题知
因为是实数集上的奇函数，
所以，所以，解得，
所以，
又因为，
所以，即解得．
即，经检验是实数集上的奇函数，
所以，在实数集上单调递增．
由得，
又因为是实数集上的奇函数，所以，
又因为在实数集上单调递增，所以，
即对任意的都成立，
即对任意的都成立，
因为，当且仅当时取等号，所以．
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4.2 指数函数
知识点1 指数函数的概念辨析
1．下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·吉林延边·月考）给出下列函数，其中是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．判断函数是指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．（，且）
4．（24-25高一上·湖南·月考）“”是“为指数函数”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点2 利用指数函数的概念求参数
1．函数是指数函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知函数（且），若，则 .
3．（24-25高一上·青海西宁·月考）已知指数函数，则的值为 .
4．（24-25高一上·广东湛江·月考）（多选）是指数函数，则的值不可以是（ ）
A． B． C． D．
知识点3 求指数函数的解析式
1．（24-25高一上·新疆·月考）若指数函数的图象过点，则的解析式为 .
2．（24-25高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为 ．
3．（23-24高一上·云南红河·期末）函数且的图象经过点，则 .
4．已知指数函数的图象过点，则函数的解析式为 ．
知识点4 指数函数过定点问题
1．（24-25高一上·吉林通化·月考）函数，（，且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是 .
2．（24-25高一下·山西朔州·月考）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为 .
3．（24-25高一上·北京顺义·期中）函数（且）的图象必过定点的坐标是 .
4．（24-25高一上·浙江·期中）已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 .
知识点5 指数函数的图象辨析
1．（24-25高一上·安徽六安·月考）设指数函数：，：，：的图象如图，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数（，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·广东佛山·月考）二次函数与指数函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高三上·四川绵阳·零诊）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
知识点6 比较指数幂的大小
1．（24-25高一上·重庆·月考）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·河北张家口·月考）已知，，，则三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选）下列各式比较大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点7 解指数型不等式
1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则的取值范围为 ．
3．（23-24高一上·江西上饶·期中）已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ．
4．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 .
知识点8 指数型复合函数的单调性
1．（24-25高一上·江苏连云港·月考）函数单调递减区间是 ．
2．（24-25高一下·河北保定·月考）函数的单调递减区间是 ．
3．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点9 指数型复合函数的奇偶性
1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是定义域为R的偶函数，则 ．
2．（24-25高二下·上海·开学考试）已知函数是奇函数，则实数的值为 ．
3．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知函数是奇函数，则的值为 .
4．（24-25高一上·福建福州·月考）已知函数（且）是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
知识点10 指数型复合函数的值域
1．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·月考）函数的值域为 .
2．（24-25高一上·山东青岛·月考）函数的值域是 .
3．（24-25高一上·河北沧州·月考）函数在上的值域是 ．
4．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25高一下·云南·月考）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏盐城·月考）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·河南驻马店·期末）（多选）已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
4．（24-25高一下·贵州都匀·月考）已知函数．
(1)证明：函数为奇函数；
(2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
1．（24-25高一上·山东青岛·月考）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的为偶函数，为自然对数的底数，…，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·福建三明·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数，若，则m的取值范围 .
4．（24-25高一下·黑龙江绥化·开学考试）设函数，．
(1)解方程：；
(2)令，求的值
(3)若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围
1
