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4.4 对数函数
知识点1 对数函数的概念辨析
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数是对数函数，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25高一上·福建福州·月考）已知函数，若图象过点，则的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
4．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知对数函数（且）的图象过点，则（ ）
A． B． C．2 D．4
知识点2 对数函数过定点问题
1．（24-25高一上·天津河东·月考）函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·四川南充·月考）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·河南·开学考试）已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．8
4．（24-25高一上·云南曲靖·月考）（多选）已知且，则下列函数的图象过定点的有（ ）
A． B． C． D．
知识点3 与对数函数有关的图象问题
1．（24-25高一上·江苏南通·月考）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．（24-25高一上·河北保定·月考）如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）（多选）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点4 对数型复合函数的定义域问题
1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域是 ．
3．（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
知识点5 对数型复合函数的单调性问题
1．（24-25高一上·天津河东·月考）已知函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·江苏南通·月考）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·广东深圳·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
知识点6 对数型函数有关的值域
1．（24-25高一上·广东广州·月考）函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ．
3．（12-13高二上·浙江台州·月考）已知函数，，则函数的值域为 ．
4．（24-25高一上·湖北荆州·月考）求下列函数的值域：
(1)；
(2)
知识点7 利用单调性比较大小
1．（24-25高一上·河北保定·月考）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·贵州毕节·月考）设，则三者的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·辽宁辽阳·一模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点8 利用单调性解对数不等式
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·山东青岛·月考）不等式的解集为 .
3．（24-25高一上·云南昆明·月考）不等式的解集为 .
4．（24-25高一上·河北保定·月考）若函数，则不等式的解集为 ．
知识点9 对数型函数的奇偶性
1．（24-25高一上·天津南开·月考）函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
2．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（24-25高一上·湖北荆州·月考）若是奇函数，则a和b的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（24-25高一下·江西抚州·期中）已知函数是偶函数.则的值（ ）
A． B． C． D．1
知识点10 反函数及其性质的应用
1．（24-25高一上·广东佛山·月考）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．10 C．12 D．
2．（20-21高三上·上海浦东新·期中）设，若的反函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一上·湖南·月考）若函数与（且）互为反函数，且的图象过点，则 ．
4．（24-25高一上·福建莆田·月考）若满足满足则等于 ．
1．（24-25高一上·湖北黄冈·月考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·重庆·月考）已知函数在区间上的最大值是1.
(1)求的值；
(2)若函数的定义域为，求关于的不等式2的解集.
4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明.
1．（24-25高一上·辽宁盘锦·月考）已知 或，则集合中所有元素的和为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（24-25高一下·陕西·月考）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 .
4．（24-25高一下·四川德阳·月考）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的值域.
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4.4 对数函数
知识点1 对数函数的概念辨析
1．下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】形如，且的函数为对数函数，故B正确.故选：B.
2．函数是对数函数，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由解得或，又，且，所以故选：B.
3．（24-25高一上·福建福州·月考）已知函数，若图象过点，则的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由条件可知，，得，
所以.故选：B
4．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知对数函数（且）的图象过点，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为对数函数（且）的图象过点，
所以，即，所以，则.故选：C
知识点2 对数函数过定点问题
1．（24-25高一上·天津河东·月考）函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，当，即时，恒有，
所以A点的坐标为.故选：C
2．（24-25高一上·四川南充·月考）函数（，且）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，此时，
所以图象经过定点P，则点P的坐标为，即点P的横、纵坐标之和为，故选：B.
3．（24-25高一下·河南·开学考试）已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】D
【解析】函数的图象经过点，
则，即，
又，.
当且仅当时取等号，
即时取等号.故选：D.
4．（24-25高一上·云南曲靖·月考）（多选）已知且，则下列函数的图象过定点的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，根据函数，可知当时，，
满足图象过定点，故A正确；
对于B，根据函数，可知当时，，
不满足图象过定点，故B错误；
对于C，根据函数，可知当时，，
不满足图象过定点，故C错误；
对于D，根据函数，可知当时，，
满足图象过定点，故D正确；故选：AD.
知识点3 与对数函数有关的图象问题
1．（24-25高一上·江苏南通·月考）图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【解析】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线，
与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数，
可得，，，的a值从小到大依次为：，，，，
由a取，，，四个值，
故，，，的a值依次为，，，，故选：B.
2．（24-25高一上·河北保定·月考）如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象，
所以曲线对应的函数解析式为，
由曲线与曲线关于直线对称，
所以曲线对应的函数解析式为，
由曲线与曲线关于x轴对称，
所以曲线对应的函数解析式为，即.故选：A.
3．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）（多选）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由函数图象可得在上单调递减，所以，
又时，，即，故A，D正确.故选：AD.
4．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）在同一坐标系下，下列选项中的两个函数的图象与其对应的解析式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，由反函数性质得指数函数与对数函数互为反函数，
则其图象关于直线对称，故A正确；
对于B，对于，由对数函数性质得，
对于，当时，函数变为，当时，函数变为，
由图象可得在上单调递增，在上单调递减，
得到，解得，产生矛盾，故B错误，
对于C，令，，
由换底公式得，
设点在上，则在上，
可得与关于轴对称，故C正确，
对于D，如图，作出的图象，
由反函数性质得函数与函数的图象关于直线对称，
而，设点在上，则在上，
得到函数与函数的图象关于轴对称，故D正确．故选：ACD
知识点4 对数型复合函数的定义域问题
1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数，有，解得，
因此，函数的定义域为.故选：C.
2．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】由对数的性质知，
所以函数定义域为.
3．（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数，
，，
．故选：B.
4．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数，，则，
所以，函数的定义域，
对于函数，有，即，解得.
因此，函数的定义域为.故选：D.
知识点5 对数型复合函数的单调性问题
1．（24-25高一上·天津河东·月考）已知函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得或，
∴的定义域为.
∵对称轴为直线，
∴在上为减函数，
∵在为增函数，
∴根据复合函数单调性可得单调递减区间为.故选：A.
2．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则，
分解因式可得，解得，
所以函数的定义域为，
由函数在上单调递增，在上单调递减，
且函数在上单调递减，
则函数的增区间为.故选：D.
3．（24-25高一上·江苏南通·月考）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为减函数，
又在区间内为增函数，则，
且当时，恒成立，所以，解得，
则，故选：B.
4．（24-25高一下·广东深圳·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，且在区间上恒成立.
所以，解得.故选：A.
知识点6 对数型函数有关的值域
1．（24-25高一上·广东广州·月考）函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，因为，所以，
因为，
所以，，
函数在区间上单调递增，
所以，，
所以函数，的值域为.故选：.
2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，，
所以，即的值域为．
3．（12-13高二上·浙江台州·月考）已知函数，，则函数的值域为 ．
【答案】
【解析】，，
的定义域为，解得，
所以函数的定义域为，
，
又，
又，，
即函数的值域为.
4．（24-25高一上·湖北荆州·月考）求下列函数的值域：
(1)；
(2)
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由于的定义域满足，故，
，进而可得，，
故
（2），
由于，令，则，
故，
故当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
故值域为.
知识点7 利用单调性比较大小
1．（24-25高一上·河北保定·月考）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，
所以．故B正确.故选：B.
2．（23-24高一下·贵州毕节·月考）设，则三者的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
由对数函数图象的性质可得，
所以，即.故选：B
3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，而，
，故，故选：C
4．（2025·辽宁辽阳·一模）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，，
因为，
所以，则.故选：A.
知识点8 利用单调性解对数不等式
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：因为，所以不等式化为，
又在上是增函数，
所以，解得，
即不等式的解集为．
方法二：当时，无意义，排除C，D；
当时，无意义，排除B.故选：A.
2．（24-25高一上·山东青岛·月考）不等式的解集为 .
【答案】或
【分析】根据对数函数的性质，化简不等式，利用一元二次不等式的解法，可得答案.
【解析】由，可得，
，分解因式可得，解得或，
，由方程，解得，则不等式解得，
所以不等式，解得或
故答案为：或
3．（24-25高一上·云南昆明·月考）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为，则，即，解得.
4．（24-25高一上·河北保定·月考）若函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为是定义域为的减函数，
所以，解得．
故答案为：.
知识点9 对数型函数的奇偶性
1．（24-25高一上·天津南开·月考）函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】A
【解析】因为恒成立，所以定义域为，
因为，
所以，
所以函数是奇函数.故选：A.
2．（24-25高一下·河南漯河·期末）若函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】令，解得，可知函数的定义域为，
若函数为奇函数，则，
可得，即，则，
可得，
即，可知函数为奇函数，所以.故选：B.
3．（24-25高一上·湖北荆州·月考）若是奇函数，则a和b的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】函数的定义域需满足，即，
又函数为奇函数，其定义域关于坐标原点对称，
即，解得，
所以，定义域为，
所以，即，
经检验，，满足题意.故选：B.
4．（24-25高一下·江西抚州·期中）已知函数是偶函数.则的值（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为为偶函数，所以；
易知；
即可得，因此，
即.故选：B
知识点10 反函数及其性质的应用
1．（24-25高一上·广东佛山·月考）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．10 C．12 D．
【答案】C
【解析】因为函数的图象与的图象关于直线对称，
所以函数与互为反函数，
所以，
所以.故选：.
2．（20-21高三上·上海浦东新·期中）设，若的反函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为的反函数的图象经过点，
所以，函数的图象经过点，
所以，，可得，解得.故选：A.
3．（25-26高一上·湖南·月考）若函数与（且）互为反函数，且的图象过点，则 ．
【答案】
【解析】因为函数的图象过点，可得，解得，即，
又因为函数与互为反函数，可得，
所以.
4．（24-25高一上·福建莆田·月考）若满足满足则等于 ．
【答案】
【解析】由题意，故有
故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.
根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，
故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.
即点和点构成的线段的中点在直线上，
即，解得.
1．（24-25高一上·湖北黄冈·月考）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，又，所以，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，所以.故选：B
2．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知函数且在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
函数在区间上严格递减，
当，由函数在区间上严格递增，
则在区间上严格递减，且，
对称轴为，
所以，所以；
当，由函数在区间上严格递减，
则在区间上严格递增，且，
对称轴为，
所以，所以无解；
则实数取值范围是.故选：C.
3．（24-25高一上·重庆·月考）已知函数在区间上的最大值是1.
(1)求的值；
(2)若函数的定义域为，求关于的不等式2的解集.
【答案】(1)或；(2)
【解析】（1）已知函数（且）在区间上的最大值是1．
当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，
则有或，解得或.
（2）函数的定义域为，则恒成立，
有，解得，所以，
由（1）可知，则即为
，即，解得，
所以，即不等式的解集为.
4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明.
【答案】(1)；(2)偶函数；(3)单调递减，证明见解析
【解析】（1）由题意得，，解得，
所以函数的定义域为.
（2）由，
则，故函数为偶函数.
（3）由，则，
函数在上单调递减，证明如下：
任取，
则，即，
所以函数在上单调递减.
1．（24-25高一上·辽宁盘锦·月考）已知 或，则集合中所有元素的和为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【解析】由得，
则方程的根是与交点的横坐标，
由得，
则方程的根是与交点的横坐标，
与互为反函数，图象关于直线对称，
与的交点为，如图，
则，即集合中所有元素的和为5．故选：A．
2．（24-25高一下·陕西·月考）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为当时，，则，且函数在上单调递增，
则由可得，利用函数的单调性可得；
又是定义在R上的奇函数，故；
当时，，则，因，则，
函数在上单调递增且，
则由可得，利用单调性可得.
综上可得，不等式的解集是.故选：A.
3．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由在区间单调递增，可知此时函数值域为，
再由，
当时，可知在区间上单调递增，所以此时函数值域为，
因为，使得，
所以有，
即，解得，
由于此时，所以有，
当时，可知在区间上单调递减，所以此时函数值域为，
因为，使得，
所以有，
即，解得，
由于此时，所以有，
当时，可知，
因为，所以对，总能使得，
即，满足题意，
综上所述可得：的取值范围是.
4．（24-25高一下·四川德阳·月考）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为函数为奇函数，为偶函数，
所以．
即，
整理可得
即；
（2）①当，即，即时，
，
由于，则；
②当，即，即时，
，
由于，则；
综合上述可知的值域为
1
