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4.5.1 函数的零点与方程的解
知识点1 求函数的零点（方程的根）
1．（25-26高一上·江苏·月考）函数的零点为（ ）
A．1 B．－3 C．1和－3 D．和
2．（24-25高一上·江西上饶·月考）函数的零点为 .
3．（24-25高一上·上海·月考）函数的零点是 ．
4．（24-25高一上·新疆·月考）求函数的零点；
知识点2 判断函数零点所在区间
1．（24-25高一上·广东阳江·期末）下列区间中，一定包含函数的零点的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知函数，在下列选项中，包含零点的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·江苏扬州·月考）（多选）已知函数有两个零点，则零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
知识点3 由函数零点所在区间求参数
1．（24-25高一上·山西朔州·期末）已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·山东济宁·月考）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为 .
3．（24-25高一下·湖北随州·月考）已知函数的零点位于区间上，则 .
4．（24-25高一上·湖南岳阳·月考）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
知识点4 判断函数零点的个数
1．（24-25高一上·安徽亳州·月考）函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
2．（24-25高一上·河南·月考）函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25高一上·天津河东·月考）函数 的零点的个数为
4．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，则函数的零点个数是 .
知识点5 已知函数零点个数求参数
1．（24-25高一上·福建莆田·月考）已知函数，函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·湖南永州·月考）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ．
3．（24-25高一上·天津·月考）已知函数，若有4个零点，则的取值范围是 ．
4．（24-25高一上·甘肃张掖·月考）已知，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为 .
知识点6 函数零点的分布
1．（24-25高一上·广东·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·河北·月考）若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高一上·江苏南通·月考）若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·江苏·月考）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
2．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）若关于的方程（，且）有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·广东湛江·月考）（多选）若函数有个零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的零点为，的零点为，则 .
1．（25-26高一上·浙江绍兴·月考）已知函数，则在区间（ ）上一定存在零点.
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·福建三明·月考）已知函数，记，若与的图象恰有两个不同的交点则实数的取值范围是 .
3．（25-26高一上·广东·月考）已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的所有解之和是 ．
4．（24-25高一上·山东聊城·月考）对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是 .
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4.5.1 函数的零点与方程的解
知识点1 求函数的零点（方程的根）
1．（25-26高一上·江苏·月考）函数的零点为（ ）
A．1 B．－3 C．1和－3 D．和
【答案】C
【解析】令，，即，解得或．故选：C.
2．（24-25高一上·江西上饶·月考）函数的零点为 .
【答案】
【解析】由得或，
即或或.
由得或，则不合题意，
故函数的零点为.
3．（24-25高一上·上海·月考）函数的零点是 ．
【答案】或
【解析】令，即，解得或，
所以函数的零点是或.
4．（24-25高一上·新疆·月考）求函数的零点；
【答案】和
【解析】当时，，得；
当时，，得，
所以函数的零点为和.
知识点2 判断函数零点所在区间
1．（24-25高一上·广东阳江·期末）下列区间中，一定包含函数的零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的定义域为R，且连续，
，
所以函数的零点所在区间为故选：C.
2．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，，，则，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.故选：B.
3．（24-25高一下·云南昭通·月考）已知函数，在下列选项中，包含零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数为减函数，也为减函数，
函数为连续递减函数，
，，
由零点判断定理可得函数的零点所在区间为，故选：C.
4．（24-25高一下·江苏扬州·月考）（多选）已知函数有两个零点，则零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为的定义域为，所以函数是连续不间断函数，
又，，
，，
，
且，，
所以由零点存在性定理可知函数在和上有零点.故选：AD.
知识点3 由函数零点所在区间求参数
1．（24-25高一上·山西朔州·期末）已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故即.
所以在R单调递增，且在内存在零点，
故，即，解得.故选：C.
2．（24-25高一上·山东济宁·月考）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在区间上为增函数，
因为函数在区间上存在零点，
则，解得，
因此，实数的取值范围是.
3．（24-25高一下·湖北随州·月考）已知函数的零点位于区间上，则 .
【答案】
【解析】函数的是减函数，
，
所以，所以函数的零点位于区间上，所以.
4．（24-25高一上·湖南岳阳·月考）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为在上均为增函数，
所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，
故若在区间上存在零点，
则，解得．
故常数a的取值范围为．
知识点4 判断函数零点的个数
1．（24-25高一上·安徽亳州·月考）函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【解析】依题意，，
，与的图象关于轴对称，
在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，
由图可知，两函数的图象的交点个数为2．故选：C．
2．（24-25高一上·河南·月考）函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】令，则，
在同一坐标系下分别画出函数的图象，
因为，
，
在定义域上都是增函数，
且随着自变量的增大，函数的增长速度远大于的增长速度，
所以的图象有两个交点，
所以的零点个数为2.故选：C.
3．（24-25高一上·天津河东·月考）函数 的零点的个数为
【答案】2
【解析】令，得，即，
作出与的图象，可知它们只有2个交点.
4．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，则函数的零点个数是 .
【答案】
【解析】由，或，
函数的图象如下图所示：
由数形结合思想可知：函数的图象与函数、的图象一共有个交点，
所以函数的零点个数是，
知识点5 已知函数零点个数求参数
1．（24-25高一上·福建莆田·月考）已知函数，函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，即，
因为有两个零点，则函数和有两个交点，
画出函数的图象，如图，
由图可知，要使函数和有两个交点，
则，即，则的取值范围是.故选：A.
2．（25-26高一上·湖南永州·月考）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】或，
【解析】由于为单调递增函数，且时，，
当时，，当时，，
作出的图像如下所示：
故只有一个交点，则直线与函数的图像只有一个交点，
故或.
3．（24-25高一上·天津·月考）已知函数，若有4个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令，，
所以有4个零点等价于函数与图象有4个交点，
作出图象：
当时，，所以由图可知.
故答案为：
4．（24-25高一上·甘肃张掖·月考）已知，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，
当时，，所以在上单调递减，且；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，又，
可得的图象如下所示：
因为方程有三个不同的实数解，即与有三个交点，
则，解得或，
即实数的取值范围为.
知识点6 函数零点的分布
1．（24-25高一上·广东·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为方程有两相异实根，且，
则，解得.故选：C.
2．（24-25高一上·河北·月考）若二次方程在上有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，
因为二次方程在上有两个不相等的实根，
所以函数在上有两个不同的零点，
则，即，解得，
所以的取值范围是.故选：C.
3．（25-26高一上·江苏南通·月考）若二次函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】二次函数的对称轴为，开口向下，
要想满足区间上有且仅有一个零点，
需当时，，解得.故选：A
4．（25-26高一上·江苏·月考）已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，即，解得或，
令，则，令，解得，符合题意；
令，则，令，解得，不合题意.
当时，由题意可得，则，解得；
令，则，令，解得或，显然不合题意；
令，则，令，解得或2，显然符合题意.
综上所述，的取值范围为或.故选：D
1．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【解析】设，则，
若，则，解得或，
则或，
当时，，不合题意，
则，或，解得，
此时方程仅一个根；
若，则，解得或，即或，
当时，或，
方程即在仅一个根，
方程，即，
，且，，两根均为负，合题意，
当时 ，，解得或，方程有两根，
综上，方程的实根个数为6.故选：C.
2．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）若关于的方程（，且）有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，若有解，
等价于，即有解，
换元整理得方程有解
∵，∴，当且仅当时取等号，
∴所以若要有解，需，
∴即，
∴的取值范围是．故选：A
3．（24-25高一下·广东湛江·月考）（多选）若函数有个零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】依题意可得，令，即或，
即或或或，
解得，，，，
所以，故A正确；
，故B正确；
（，等号不成立），故C正确；
当且仅当时取等号，
因为，故D错误.故选：ABC
4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的零点为，的零点为，则 .
【答案】2
【解析】依题意，，
而函数在R上单调递增，则函数在R上单调递增，
而，即，因此，
则，所以.
1．（25-26高一上·浙江绍兴·月考）已知函数，则在区间（ ）上一定存在零点.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
当时，函数开口向上，且，则函数必然有两个零点，
可设，要使在上存在零点，
则，即，
而的取值不确定，则在上不一定存在零点；
要使在上存在零点，
则，即，
而的取值不确定，则在上不一定存在零点；
要使在上存在零点，
则或，
即或，则，
所以在上一定存在零点；
要使在上存在零点，
则或，
即或，而的取值不确定，
所以在上不一定存在零点.
同理，当时，函数开口向下，且，
要使在上存在零点，
则，即，
而的取值不确定，则在上不一定存在零点；
要使在上存在零点，
则，即，
而的取值不确定，则在上不一定存在零点；
要使在上存在零点，
则或，
即或，则，
所以在上一定存在零点；
要使在上存在零点，
则或，
即或，而的取值不确定，
所以在上不一定存在零点.
综上所述，函数在一定存在零点.故选：C.
2．（24-25高一上·福建三明·月考）已知函数，记，若与的图象恰有两个不同的交点则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，即，
则或，解得或，
由，解得或，
令，则，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，当或时，直线与函数的图象有2个交点，
所以实数的取值范围是或.
3．（25-26高一上·广东·月考）已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的所有解之和是 ．
【答案】2
【解析】因为，
作出函数的图象，
（空心点表示不包括端点）
其与直线的交点，观察图象有，，共3个交点，
所以方程所有解之和是2.
4．（24-25高一上·山东聊城·月考）对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以在R上为增函数，
又，所以有唯一零点为1，
令的零点为，依题意知，即，
即函数在上有零点，
令，则在上有解，即在上有解，
因为，
当且仅当，即时，取等号，所以，
故答案为：.
1
