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4.5 函数的应用
知识点1 指数函数模型的应用
1．（25-26高一上·江苏盐城·月考）国家速滑馆配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为（为最初污染物数量）.如果前4h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为 .
【答案】4
【解析】根据题意有，，可得，即
设污染物消除至最初的还需要过滤x小时，
则，即
则，即，
则，解之得
2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ）（参考数据：）
A．1 B．3 C．5 D．10
【答案】B
【解析】当时，，解得，
所以.
令，即，
即，
所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为.故选：B.
3．（24-25高一上·福建福州·月考）升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一.把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为，空气的温度为小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有，两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小时后，，两个物体的温度分别为，，假设，两个物体的升温系数分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：，，
则，，
，，
，即.故选：C.
4．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】由题设，可得，
由，则，可得.故选：D
知识点2 对数函数模型的应用
1．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位:）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，，
则当耗氧量的单位数为时，
.故选：C
2．（24-25高一上·广东佛山·月考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（ ）
A．108dB B．81dB C．72dB D．63dB
【答案】D
【解析】设一般两人小声交谈时声音强度为，则，即，
所以，
即老师声音的等级约为63dB.故选：D.
3．（24-25高一上·山东济宁·月考）猪血木是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木500株，已知该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，若使该地的猪血木数量翻一番至少需要经过年，则（ ）（参考数据：）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【解析】设需要经过年翻一番，
则，，
取对数得，即，
所以，又
故至少需要8年，故选：B．
4．（24-25高一上·江西南昌·月考）（多选）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】设，则当时，.
可得，
则，
显然在上是减函数，在上是增函数，
则，且,
则有，解得，
又，故调节参数应控制在内，
结合选项可知：AB正确，CD错误；故选：AB.
知识点3 根据增长率选择函数模型
1．（24-25高一上·河南新乡·月考）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
3 5 7 9 11 13
21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36
在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据表格提供数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长越来越快，
即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合.故选：B.
2．（24-25高一上·山东菏泽·月考）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】根据上表数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数，
而，，，在时，均为单调函数，这与所提供的数据不符，
故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是，故选：B
3．（24-25高一上·陕西汉中·月考）在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将对应得在坐标系中点出，得：
根据图形形状可得，其与指数函数图象最为接近.故选：A.
4．（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据：
0 40 60 80 120
0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；
第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点.
函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误；
函数中0不在函数的定义域中，故D错误；
B选项：满足上述三点，故B正确.故选：B.
知识点4 拟合函数模型的建立
1．（24-25高一下·湖南长沙·月考）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以1个感染者传染人数为，
又1个感染者传染人数不超过1，所以，解得，
即该地疫苗的接种率至少为，故选：D.
2．（24-25高一上·山东菏泽·月考）（多选）某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示：
时间（天） 1 2 3 4
利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99
则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，把代入，可得下表：
对于B，把代入，可得下表：
对于C，把代入，可得下表：
对于D，把代入，可得下表：
显然只有的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意．故选：ACD.
3．（23-24高一上·广东广州·期末）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间/min 0 1 2 3 4
茶水温度/ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由表格中数据可得，茶水温度下降的速度先快后慢，
所以选①，
则即，
解得，所以，
当时，可得，
即.故选：.
4．（23-24高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份
收购价格（元/斤） 8 9 8 7
养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32
现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系.
(1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；
(2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？
【答案】(1)模型①，模型②；(2)答案见解析
【解析】（1）由表中数据可知，收购价格月份变化上下波动，应选模型①，
由表中数据可知，养殖成本逐月递增，应选模型②，
对于模型①，由点及，可得函数周期满足，
即，所以，
又函数最大值为，最小值为，解得，，
所以，又，所以，
又，所以，
所以模型①；
对于模型②，图象过点，，
所以，
解得：，所以模型②；
（2）由（1）设，，
若时则盈利，若则亏损；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
这说明第5，6，7月份可能盈利，8月份生猪养殖户可能出现亏损．
1．（24-25高一下·山东潍坊·月考）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（ ）
参考数据：
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，，则，
因此，整理得，解得或（舍），
因此，解得.
所以大草履虫种群的比增长率约为.故选：C.
2．（24-25高一上·河南·月考）根据某高科技公司多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，.
(1)若该公司想要明年的利润为700万元，则明年的研发投入应该为多少万元？
(2)若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元，则明年的研发投入相比今年应该怎样变化？
【答案】(1)明年的研发投入应该为万元；(2)明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍.
【解析】（1）当时，，所以，解得，
所以，
令，可得，解得，
所以明年的研发投入应该为万元；
（2）设今年的研发投入为万元，利润为万元，明年的研发投入为万元，利润为万元，
所以，，
根据题意可得，
所以，所以，所以，所以.
所以明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍.
3．（24-25高一上·湖北黄冈·月考）某企业现有，两条生产线，根据市场调查，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，．假定且．
(1)求实数，，的值；
(2)该企业现有万元资金全部投入，两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
【答案】(1)；(2)生产线投资万元，生产线投资万元时，
企业获得最大利润，利润的最大值为为万元.
【解析】（1）因为，，
，，
所以，，，
所以，
所以，，
（2）设生产线投入万元，则生产线投入万元，设企业获得利润为,
则，，
所以，
所以，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以生产线投资万元，生产线投资万元时，
企业获得利润最大，利润的最大值为为万元.
1．（24-25高一上·北京·期末）在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c随时间t（单位：）的变化规律可以用函数模型近似表达．在该通风条件下测得当时此会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当时c的值约为（ ）
t 0 5 10
c
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：当时，，
当时，，
当时，，
由得，
由得，
由得，所以，
由得，解得，
所以当时，，
故C正确.故选：C.
2．（24-25高一上·江苏南京·期中）两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为.
(1)将表示成的函数；
(2)判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)存在；出该点到城的距离为
【解析】（1）由为直径，得，所以，
由已知可得，
又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，
即当时，，
代入上式可得，解得，
所以.
（2）存在，
，
令，
则，
因为，当且仅当即时取等号，
所以，此时.
3．（24-25高一上·海南·月考）某中学举行“美丽数学”徽章设计大赛，王同学设计的几何花朵”进入了最后角逐，评委组要对它的制作成本进行预估，“几何花朵”设计灵感来自三个全等的矩形（如图一）的折叠拼凑，其中徽章的六个直角（阴影部分如图二）要用镀金工艺上色．造价是2元，徽章中间六边形部分造价是1元，已知一块矩形材料（如图一）所示，矩形周长为，其中长边为，将沿向折叠，折过去后交于点．
(1)用表示图一中面积，并标出的取值范围．
(2)试求一个徽章的镀金部分面积的最大值，并求出此时该徽章的总造价．
【答案】(1)，；(2)一个徽章的镀金部分面积的最大值为，
总造价为元.
【解析】（1）矩形周长为，其中长边为，
故cm，
设cm，则cm，
因为，所以，
又，故，
所以cm，
在Rt中，由勾股定理得，
即，解得，cm，
故，
其中，解得；
（2）由（1）知，，
故一个徽章的镀金部分面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时cm，
则，
由勾股定理得cm，
设中间六边形部分面积为，
则，
此时该徽章的总造价为元.
1中小学教育资源及组卷应用平台
4.5 函数的应用
知识点1 指数函数模型的应用
1．（25-26高一上·江苏盐城·月考）国家速滑馆配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为（为最初污染物数量）.如果前4h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为 .
2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ）（参考数据：）
A．1 B．3 C．5 D．10
3．（24-25高一上·福建福州·月考）升温系数是衡量空调制热效果好坏的主要依据之一.把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为，空气的温度为小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有，两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温2小时后，，两个物体的温度分别为，，假设，两个物体的升温系数分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·安徽亳州·月考）已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
知识点2 对数函数模型的应用
1．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位:）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·广东佛山·月考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（ ）
A．108dB B．81dB C．72dB D．63dB
3．（24-25高一上·山东济宁·月考）猪血木是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木500株，已知该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，若使该地的猪血木数量翻一番至少需要经过年，则（ ）（参考数据：）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．（24-25高一上·江西南昌·月考）（多选）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．南昌某化工厂每一天中污水污染指数与时刻（时）的函数关系为其中为污水治理调节参数，且规定每天中的最大值作为当天的污水污染指数，则使该厂每天的污水污染指数不超过的的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
知识点3 根据增长率选择函数模型
1．（24-25高一上·河南新乡·月考）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
3 5 7 9 11 13
21.01 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36
在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·山东菏泽·月考）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（24-25高一上·陕西汉中·月考）在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则，的函数关系式与下列哪类函数最接近？（其中为待定系数）（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据：
0 40 60 80 120
0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（ ）
A． B．
C． D．
知识点4 拟合函数模型的建立
1．（24-25高一下·湖南长沙·月考）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为个感染者在每个传染期会接触到个新人，这个人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者传染人数为．已知某种传染病在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·山东菏泽·月考）（多选）某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示：
时间（天） 1 2 3 4
利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99
则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·广东广州·期末）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔测一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间/min 0 1 2 3 4
茶水温度/ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：①，②.选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·四川凉山·期末）某地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月递增.下表是2024年前四个月的统计情况：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份
收购价格（元/斤） 8 9 8 7
养殖成本（元/斤） 5 5.58 6 6.32
现打算从以下两个函数模型：①，（，，）；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系.
(1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；
(2)按照你选定的函数模型，分析今年该地区生猪养殖户在5，6，7，8月份分别是盈利还是亏损？
1．（24-25高一下·山东潍坊·月考）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足逻辑斯蒂模型：，其中常数为环境容纳量，为种群初始数量，为比增长率生态学家高斯（）曾经做过单独培养大草履虫的实验：初始时，在培养液中放入个草履虫，观察到时，种群数量为；时，种群数量为.根据逻辑斯蒂模型，可估算大草履虫种群的比增长率为（ ）
参考数据：
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·河南·月考）根据某高科技公司多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，.
(1)若该公司想要明年的利润为700万元，则明年的研发投入应该为多少万元？
(2)若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元，则明年的研发投入相比今年应该怎样变化？
3．（24-25高一上·湖北黄冈·月考）某企业现有，两条生产线，根据市场调查，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，．假定且．
(1)求实数，，的值；
(2)该企业现有万元资金全部投入，两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
1．（24-25高一上·北京·期末）在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c随时间t（单位：）的变化规律可以用函数模型近似表达．在该通风条件下测得当时此会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当时c的值约为（ ）
t 0 5 10
c
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏南京·期中）两县城和相距，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为.对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为.
(1)将表示成的函数；
(2)判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由.
3．（24-25高一上·海南·月考）某中学举行“美丽数学”徽章设计大赛，王同学设计的几何花朵”进入了最后角逐，评委组要对它的制作成本进行预估，“几何花朵”设计灵感来自三个全等的矩形（如图一）的折叠拼凑，其中徽章的六个直角（阴影部分如图二）要用镀金工艺上色．造价是2元，徽章中间六边形部分造价是1元，已知一块矩形材料（如图一）所示，矩形周长为，其中长边为，将沿向折叠，折过去后交于点．
(1)用表示图一中面积，并标出的取值范围．
(2)试求一个徽章的镀金部分面积的最大值，并求出此时该徽章的总造价．
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