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5.2.1 三角函数的概念
知识点1 由终边上的点求三角函数值
1．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】B
【解析】由题意，得.故选：B.
2．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知角的终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，角的终边上有一点，可得，
根据三角函数的定义，可得，，
所以.故选：C
3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知角终边上一点坐标，则 .
【答案】
【解析】由题设.
4．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知角α的终边在直线上，则＝
【答案】
【解析】在直线上任取点，
所以，
所以.
知识点2 由三角函数值求终边上点的参数
1．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．
【答案】A
【解析】依题意，，解得.故选：A
2．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】由余弦函数定义可得，所以，解得.故选：D
3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）（多选）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意角的终边经过点，且，
可知，解得，故A正确，B错误；
所以角的终边经过点，所以，故C正确，D错误.故选：AC.
4．（24-25高一下·河南·期中）已知角的终边经过点，且，则 ．
【答案】-24
【解析】因为，且角的终边经过点，
所以，解得．
知识点3 判断三角函数值的符号
1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）在下列三角函数值中，为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误.故选：C.
2．（24-25高一下·北京西城·期中）在中，，则点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】在中，，所以，所以，
所以点所在象限为第二象限.故选：B
3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若是第四象限角，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由于是第四象限角，故，
故在第三象限，故选：C
4．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）（多选）已知，则函数的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】AC
【解析】是第一象限角时，，
是第二象限角时，，
是第三象限角时，，
是第四象限角时，，故选：AC．
知识点4 由符号确定角所在的象限
1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若且，则的终边在所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上，
因为，则α的终边在第二、三象限或轴负半轴上，
因此，的终边所在象限为第三象限.故选：C.
2．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，则可能为（ ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角
C．第一或三象限角 D．第三或四象限角
【答案】A
【解析】因为，所以或，
所以可能为第一象限角或第二象限角．故选：A．
3．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【解析】由点位于第三象限，得，
由，得角是第二、四象限角；
由，得角终边在及左侧，
所以角为第二象限角.故选：B
4．（24-25高一下·北京·月考）已知，，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】由可知，是第一或第三象限角，
由可知，是第二或第三象限角，
所以是第三象限角.故选：C
知识点5 圆上的动点与旋转点
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知圆的半径为1，点位于第二象限，且，
则点的纵坐标为，横坐标为.故选：A.
2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三角函数定义可知，
所以.故选：A
3．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，以轴的非负半轴为始边，
以所在的射线为终边的最小正角为，
由任意角的三角函数的定义可得，
的坐标为，即，故选：D.
4．（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】相遇时间为秒，
故转过的角度为，
其对应的坐标为，即.故选：C
知识点6 诱导公式一的应用
1．（24-25高一下·福建·期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C
2．（24-25高一上·山东济宁·月考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.故选：D.
3．（24-25高一下·河南南阳·期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
4．（24-25高一上·广东深圳·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】；故选：A
1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点的坐标为，所以由三角函数的定义可得，
因为，即，
由图知，对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错；
对于B，在第三象限，且，不满足题意，故B错；
对于C，在第三象限，且，满足题意，故C正确；
对于D，在第四象限，且，不满足题意，故D错.故选：C.
2．（25-26高一上·福建厦门·期中）（多选）如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ）
A．在起始位置，扇形的面积为
B．经过，点的坐标为
C．经过，扇形的弧长为
D．经过，点在单位圆上第二次重合
【答案】ABD
【解析】对于A，由点，可得，扇形的面积为，所以A正确；
对于B，经过，点转过了，所以点的坐标为，所以B正确；
对于C，经过，在的终边上，在的终边上，
所以扇形的弧长为，所以C错误；
对于D，要使得第二次相遇，则有走过的弧长减去走过的弧长=，
即设经过秒后，有，解得，所以D正确.
故选：ABD.
3．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为 .
【答案】0
【解析】由可知，都存在，
因为角的终边上的点与关于轴对称，
所以，则，
而角的终边上的点与A关于直线对称，
所以，则，，
则.
故答案为：0.
1．（23-24高三上·广东揭阳·月考）（多选）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若,则下列各式的符号不能确定的是( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由三角函数的定义可知：，
当时，，，
当时，，，
当时，，，故符号不确定；
因为，所以，符号确定；
，
当时，，，
当时，，，
当时，，，故符号不能确定；
，故符号确定.
故选：AC
2．（24-25高一上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，若，则符合条件的点的坐标可以是 .
【答案】或（写出一个即可）
【解析】由三角函数的定义可知，角的终边与单位圆相交于点，
当时，，则的坐标满足，
当时，，则的坐标满足，
故符合条件的点的坐标是和.
3．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在 （填入坐标）
【答案】
【解析】由题知：第1秒末：珍珍，花花，
第2秒末：珍珍，花花，此时第1次相遇，
第3秒末：珍珍，花花，
第4秒末：珍珍，花花，
第5秒末：珍珍，花花，
第6秒末：珍珍，花花，此时第2次相遇，
第7秒末：珍珍，花花，
第8秒末：珍珍，花花，此时第3次相遇，
第9秒末：珍珍，花花，
第10秒末：珍珍，花花，
第11秒末：珍珍，花花，
第12秒末：珍珍，花花，此时第4次相遇，
第13秒末：珍珍，花花，
第14秒末：珍珍，花花，此时第5次相遇，
第15秒末：珍珍，花花，
第16秒末：珍珍，花花，
第17秒末：珍珍，花花，
第18秒末：珍珍，花花，此时第6次相遇，
第19秒末：珍珍，花花，
第20秒末：珍珍，花花，此时第7次相遇，
第21秒末：珍珍，花花，
第22秒末：珍珍，花花，
第23秒末：珍珍，花花，
第24秒末：珍珍，花花，此时第8次相遇，
此后二人的走向与最开始一致，
由此可知相遇的坐标顺序为，，，，
，，，，，如此循环往复，
而，所以2025次相遇在，
故答案为：.
1中小学教育资源及组卷应用平台
5.2.1 三角函数的概念
知识点1 由终边上的点求三角函数值
1．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
2．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知角的终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知角终边上一点坐标，则 .
4．（24-25高一下·上海虹口·月考）已知角α的终边在直线上，则＝
知识点2 由三角函数值求终边上点的参数
1．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．
2．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）（多选）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·河南·期中）已知角的终边经过点，且，则 ．
知识点3 判断三角函数值的符号
1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）在下列三角函数值中，为负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·北京西城·期中）在中，，则点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若是第四象限角，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）（多选）已知，则函数的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．3
知识点4 由符号确定角所在的象限
1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若且，则的终边在所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，则可能为（ ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角
C．第一或三象限角 D．第三或四象限角
3．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．（24-25高一下·北京·月考）已知，，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
知识点5 圆上的动点与旋转点
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）单位圆上一点从出发，逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
知识点6 诱导公式一的应用
1．（24-25高一下·福建·期中）（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·山东济宁·月考）（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·河南南阳·期中）（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·广东深圳·期末）（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·福建厦门·期中）（多选）如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ）
A．在起始位置，扇形的面积为
B．经过，点的坐标为
C．经过，扇形的弧长为
D．经过，点在单位圆上第二次重合
3．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为 .
1．（23-24高三上·广东揭阳·月考）（多选）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若,则下列各式的符号不能确定的是( )
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，若，则符合条件的点的坐标可以是 .
3．（24-25高一下·上海·期中）如图，已知，花花和珍珍玩游戏，游戏规则如下：（1）花花只在单位圆上运动，速度为每秒个单位长度；（2）珍珍只在两条线段上运动，速度为每秒1个单位长度；（3）若珍珍运动到原点，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；若珍珍运动到，则按照其前进方向顺时针旋转改变方向；（4）若花花遇到珍珍，则花花运动方向由顺时针变为逆时针，或者由逆时针变为顺时针.已知花花和珍珍同时从出发，花花按照逆时针运动，珍珍面朝前进.此后，花花和珍珍第2025次相遇在 （填入坐标）
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