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5.3 诱导公式
知识点1 利用诱导公式给角求值
1．（24-25高一上·广东汕头·期末）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A
2．（24-25高一下·广东中山·月考）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数的诱导公式，可得.故选：B.
3．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A.
4．（24-25高一下·江苏苏州·月考）和相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.故选：D
知识点2 利用诱导公式给值求值
1．（24-25高一下·湖北·期中）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以.故选：B.
2．（24-25高二下·云南玉溪·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.故选：B
3．（24-25高一上·广东深圳·期末）是第四象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由为第四象限角，，
由诱导公式，，故选：B．
4．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知，则 .
【答案】
【解析】，
所以.
知识点3 利用互余、互补关系求值
1．（24-25高一下·安徽·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由.故选：B.
2．（24-25高一下·广东湛江·月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.故选：D.
3．（24-25高一下·河北保定·月考）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，.故选：B
4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知，则的值等于 .
【答案】
【解析】因为，所以.
知识点4 诱导公式综合化简求值
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考） .
【答案】
【解析】原式.
2．（24-25高一下·河南驻马店·月考）化简 .
【答案】
【解析】
.
3．（24-25高一上·山东济南·月考）（1）化简；
（2）化简.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）原式；
（2）原式.
4．（24-25高一下·陕西汉中·月考）化简求值：
(1)；
(2)；
(3)若，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）；
（2）
；
（3）由，得，
所以，又，
所以.
知识点5 利用诱导公式证明恒等式
1．求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】左边==–tanα=右边，
∴等式成立．
2．求证：＝．
【答案】证明见解析
【解析】左边
.
右边.
∴左边＝右边，故原等式成立．
3．求证：当或3时，.
【答案】证明见解析
【解析】当时，左边=；
当时，左边=；
综上，或有原等式恒成立.
4．（21-22高一上·全国·课后作业）（1）求证：；
（2）设，求证.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）左边=
=右边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边=
===右边，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左边=
===右边，等式成立.
知识点6 三角形中的诱导公式应用
1．（24-25高一下·河北邢台·期末）已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论一定不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在非等腰中，，，由，
得或或或，
即或或或，
当时，，则，，即AC可能正确；
当时，，B可能正确；
对于D，要，而，则必有，即，不成立，D错误.故选：D
2．（24-25高一下·四川内江·月考）在中，下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】已知，则，那么.
根据诱导公式，可得，所以A选项错误.
由上述可知.
根据诱导公式，可得，所以B选项正确.
因为.
根据诱导公式，可得，
所以C选项错误.
由于.
根据诱导公式，可得，
所以D选项错误. 故选：B.
3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）（多选）在中，下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由已知，所以，A正确；
，所以B错误；
因为，，
，故C错误D正确．故选：AD．
4．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）在中，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A项，，正确；
对于B项，，错误；
对于C项，，正确；
对于D项，因为，
所以，不一定等于1．故错误．故选：AC
1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【解析】根据诱导公式可得 ，
即 ，所以 ，
则，
因为，则，而又因为，
所以，
将 代入得： ；故选：D
2．（24-25高一下·北京·期中）若为第二象限角，且，则的值是 ．
【答案】
【解析】由得，
因为为第二象限角，则，
则
．
3．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，且点的坐标为，单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是面积的．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）因为在单位圆上，且位于第一象限，
所以且，解得，所以，
所以，；
（2）因为的面积是的面积的倍，
所以，
又，所以，即，
又，解得或（舍去）；
所以.
1．（24-25高一下·江西赣州·月考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：因为，所以或，
当时，或，，
当时，
或，，
可得或，所以充分性不成立，
必要性：若，
当为偶数时，设，则，
则，满足，
当为奇数时，设，则，
则，满足，
所以必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
2．（24-25高一下·河北承德·月考）（多选）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，满足下列条件的角中，可能与角广义互余的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】对于选项A，若角和广义互余，则，即．
，故A错误；
对于选项B，，解得，
则，故B错误；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，
即满足的角可能与角广义互余，故D正确．
故选：CD．
3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为 .
【答案】或
【解析】根据单位圆，若集合中恰有2个元素，则满足以下两钟情况：
当角的终边在一条直线上，此时，可取除的任意角；
当角的终边在上来回跳，此时，取值只能为，
故的取值为或.
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5.3 诱导公式
知识点1 利用诱导公式给角求值
1．（24-25高一上·广东汕头·期末）=（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·广东中山·月考）的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·江苏苏州·月考）和相等的是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 利用诱导公式给值求值
1．（24-25高一下·湖北·期中）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·云南玉溪·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·广东深圳·期末）是第四象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知，则 .
知识点3 利用互余、互补关系求值
1．（24-25高一下·安徽·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·广东湛江·月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·河北保定·月考）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知，则的值等于 .
知识点4 诱导公式综合化简求值
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考） .
2．（24-25高一下·河南驻马店·月考）化简 .
3．（24-25高一上·山东济南·月考）（1）化简；
（2）化简.
4．（24-25高一下·陕西汉中·月考）化简求值：
(1)；
(2)；
(3)若，求的值．
知识点5 利用诱导公式证明恒等式
1．求证：．
2．求证：＝．
3．求证：当或3时，.
4．（21-22高一上·全国·课后作业）（1）求证：；
（2）设，求证.
知识点6 三角形中的诱导公式应用
1．（24-25高一下·河北邢台·期末）已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论一定不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·四川内江·月考）在中，下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）（多选）在中，下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）在中，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（ ）
A． B． C．4 D．6
2．（24-25高一下·北京·期中）若为第二象限角，且，则的值是 ．
3．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，且点的坐标为，单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是面积的．
(1)求的值；
(2)求的值．
1．（24-25高一下·江西赣州·月考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高一下·河北承德·月考）（多选）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，满足下列条件的角中，可能与角广义互余的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为 .
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