中小学教育资源及组卷应用平台
5.1.2 弧度制
知识点1 角度制与弧度制的概念辨析
1．（24-25高一下·北京海淀·月考）亲爱的同学，本场考试需要1小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 ．
【答案】
【解析】钟表的时针为顺时针旋转，所以所求角的弧度数为.
2．（24-25高一上·重庆万州·月考）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将钟表的分针拨快20分钟，时针顺时针旋转，
所以时针转过的角度为.故选：B.
3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为相互啮合的两个齿轮，大轮48齿，小轮20齿，
所以当大轮转动一周时时，大轮转动了48个齿，所以小轮此时转动周，
即小轮转动的角度为.故选：B
4．（多选）关于弧度制说法正确的是（ ）
A．角的度数和弧度数是一一对应的
B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关
C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
D．用弧度制度量角，该角必为正角
【答案】AC
【解析】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确；
无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误；
1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确；
用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误，故选：AC
知识点2 角度制化为弧度制
1．（24-25高一下·安徽·月考）将75°化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据角度制与弧度制的互化公式，可得.故选：A.
2．（24-25高一上·河北衡水·月考）体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则化成弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B.
3．（24-25高一上·山东·月考）将化为弧度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.故选：D.
4．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】用弧度制可表示为，
所以与角的终边相同的角构成的集合为故选：D．
知识点3 弧度制化为角度制
1．（24-25高一上·山东菏泽·月考）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，．故选：C．
2．（24-25高一上·天津河西·期末）将化成角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故选：B
3．（24-25高一下·江西·月考）把化成度的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解:根据角度制与弧度制的互化关系得故选：B
知识点4 扇形弧长的相关计算
1．（24-25高一下·安徽·月考）已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】设扇形的圆心角为，由扇形的弧长公式可得故选：B.
2．（24-25高一下·陕西汉中·月考）若一个扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】设这个扇形的弧长、半径、圆心角分别为，
由，得，解得．故选：C.
3．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】手表分针转动的弧度数为：，
又分针长2cm，所以分针尖端所走过的弧长为：.故选：B
4．（24-25高一下·河南驻马店·月考）从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，
可得，，
故，解得．故选：C．
知识点5 扇形面积的相关计算
1．（24-25高一下·贵州·月考）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设扇形的半径为，
因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，
则，所以
则该扇形的面积为.故选：B.
2．（25-26高一上·河北保定·月考）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】圆心角，由弧长，得，
所以该扇形的面积为．故选：C.
3．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设扇形的圆心角为，
可得扇形的面积为，扇形的面积为，
因为，所以，即，
所以图形的面积与扇形的面积的比值.故选：D.
4．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 .
【答案】
【解析】如图，取优弧所在圆的圆心，连接，
则，则，
所以，则，
故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为．
而，
故，
所以该“水滴”的面积为．
知识点6 扇形周长、面积的最值问题
1．（24-25高一下·山西吕梁·月考）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角 ．
【答案】2
【解析】设扇形的半径为，弧长为，则周长为，
所以扇形面积，
当且仅当时取等号，此时，所以圆心角，
2．（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】设扇形的圆心角为，半径为，
则由题意可得，
∴ ，
当且仅当时 , 即时取等号，
∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8.故选：D.
3．（24-25高一上·江苏·月考）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由扇形弧长公式可得，即，
又，
所以
，
所以当时，最大为，故选：C.
4．（24-25高一下·江西景德镇·期中）如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）涂上颜色，已知厘米，厘米，扇形环面区域面积为100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环的周长为厘米，的最小值为（ ）
A．最小值为20厘米 B．最小值为40厘米
C．最小值为60厘米 D．最小值为80厘米
【答案】B
【解析】依题意可得弧长，弧长，
所以扇环的周长的长度，
因为扇形的面积公式可得，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以扇环的周长的最小值为40米.故选：B.
1．（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，设和的交点为，
因点是以为直径的半圆的三等分点，则，
因，则，即为等边三角形，
因，则，
因，则四边形为平行四边形，
因，则四边形为菱形，则，
设圆的半径为，则，，
则，
扇形的面积为，，
则图中阴影部分的面积为，
因弧的长为，，则，则图中阴影部分的面积为.故选：A
2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）如图，在扇形AOB中，，m，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为 m2.
【答案】
【解析】设，则，且，
由，则，
在中，则，
所以，可得，故，
所以，则，且，
故，
所以，
，
扇形面积为，
所以阴影部分面积为.
3．（24-25高一下·江西南昌·月考）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.
(1)当米时，求的长；
(2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值.
【答案】(1)；(2)当时取等号，栅栏长度的最小值为40米.
【解析】（1）利用扇形的面积公式可得，
所以，
于是米.
（2）依题意可得弧长，弧长，
所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得，
当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米.
1．（24-25高一上·江西宜春·期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ．
【答案】
【解析】由题意易知以点为圆心，圆弧所对的扇形面积各为，
中间等边的面积为，
所以莱洛三角形的面积是，周长为，
故面积与周长之比为．
2．（24-25高一下·辽宁·期中）受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【解析】由题意可得圆弧六边形的面积为：
①，
圆弧六边形的周长为：
，即②，
联立①②，解得，，所以.故选：D
3．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则
(1)求关于x的函数关系式；
(2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由题意可知：，
则，即，
又，所以即，
所以；
（2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：，
所以扇环的面积为，
结合（1）得，
则砖雕面积与雕刻费用之比为，
整理得，
当且仅当时等号成立，
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5.
1中小学教育资源及组卷应用平台
5.1.2 弧度制
知识点1 角度制与弧度制的概念辨析
1．（24-25高一下·北京海淀·月考）亲爱的同学，本场考试需要1小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 ．
2．（24-25高一上·重庆万州·月考）将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）关于弧度制说法正确的是（ ）
A．角的度数和弧度数是一一对应的
B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关
C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
D．用弧度制度量角，该角必为正角
知识点2 角度制化为弧度制
1．（24-25高一下·安徽·月考）将75°化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·河北衡水·月考）体操中有“前空翻转体540度”这样的动作名称，则化成弧度是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·山东·月考）将化为弧度为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 弧度制化为角度制
1．（24-25高一上·山东菏泽·月考）（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·天津河西·期末）将化成角度为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·江西·月考）把化成度的结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（ ）
A． B． C． D．
知识点4 扇形弧长的相关计算
1．（24-25高一下·安徽·月考）已知扇形的半径为，弧长为，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ）
A． B． C． D．2
2．（24-25高一下·陕西汉中·月考）若一个扇形的圆心角为，弧长为，则这个扇形的半径为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·河南驻马店·月考）从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（ ）
A． B． C． D．
知识点5 扇形面积的相关计算
1．（24-25高一下·贵州·月考）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·河北保定·月考）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 .
知识点6 扇形周长、面积的最值问题
1．（24-25高一下·山西吕梁·月考）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角 ．
2．（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（24-25高一上·江苏·月考）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·江西景德镇·期中）如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）涂上颜色，已知厘米，厘米，扇形环面区域面积为100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环的周长为厘米，的最小值为（ ）
A．最小值为20厘米 B．最小值为40厘米
C．最小值为60厘米 D．最小值为80厘米
1．（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）如图，在扇形AOB中，，m，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为 m2.
3．（24-25高一下·江西南昌·月考）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.
(1)当米时，求的长；
(2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值.
1．（24-25高一上·江西宜春·期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ．
2．（24-25高一下·辽宁·期中）受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（ ）
A．2 B． C． D．3
3．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则
(1)求关于x的函数关系式；
(2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.
1
