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5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
知识点1 正、余弦函数的周期性
1．下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·北京石景山·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·河南驻马店·月考）（多选）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·山西运城·月考）若函数的最小正周期为，则 ．
知识点2 正、余弦函数的奇偶性
1．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
2．（24-25高一下·辽宁·月考）下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·江西上饶·月考）已知函数是奇函数，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
知识点3 正、余弦函数的对称性
1．（25-26高一·江西南昌县·月考）函数的图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的对称中心的坐标是 .
4．（24-25高一下·广东中山·月考）写出函数的一个对称中心 ．
知识点4 正、余弦函数的单调性
1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）的单调增区间
2．（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为 .
3．（25-26高一上·安徽合肥·月考）函数在上的单调递减区间是 ．
4．（24-25高一下·陕西渭南·月考）函数的单调增区间为 .
知识点5 根据正、余弦函数的单调性求参数
1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）若函数在上单调递减，在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 .
4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
知识点6 比较正、余弦函数值的大小
1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）下列不等式中，正确的有（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
2．（24-25高一下·山东日照·月考）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（多选）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点7 求正、余弦函数的最值
1．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·广西桂林·月考）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·天津红桥·月考）函数 在区间 上的最大值为 .
4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）若，求的值域．
（2）求函数的值域．
知识点8 函数y=Asin(ωx+φ)的综合
1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数.
(1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心.
(2)求函数在区间上的值域.
(3)求函数时，x的取值范围？
2．（24-25高一上·安徽合肥·月考）设a为常数，函数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
3．（24-25高一下·湖北宜昌·月考）已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为.
(1)求和的值；
(2)若，求的单调递增区间；
(3)若，且方程有解，求的取值范围.
1．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（ ）
A．为偶函数，且在上单调递增
B．为偶函数，且在上单调递减
C．为奇函数，且在上单调递增
D．为奇函数，且在上单调递减
2．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（25-26高三上·河北邢台·月考）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ．
4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数的周期为，为它的一个对称中心.
(1)求函数的解析式及其单调增区间；
(2)若关于的方程在上有实数根，求实数的取值范围.
1．（24-25高一下·江西抚州·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知曲线与垂直于y轴的条直线：，，且为常数，在区间内共有2025个交点，则（ ）
A． B．1013 C． D．1012
3．（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知函数，则函数的最小正周期为 ．
4．（24-25高一下·河北保定·期末）平面直角坐标系中，将函数的图象上满足，的点，称为的“正格点”．若，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点，则 ．
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5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
知识点1 正、余弦函数的周期性
1．下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点.
四个选项中的函数周期分别为，，，，故选：D．
2．（24-25高一下·北京石景山·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A：为偶函数，故A错误；
对于B：的最小正周期为，故B错误；
对于C：，最小正周期，且为奇函数，故C正确；
对于D：，则，故为偶函数，故D错误；故选：C
3．（24-25高一下·河南驻马店·月考）（多选）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，因，而，而，故A错误；
对于B，因，则函数的最小正周期为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为偶函数，则，其最小正周期为，故D错误．
故选：BC．
4．（24-25高一下·山西运城·月考）若函数的最小正周期为，则 ．
【答案】
【解析】因的最小正周期为，则，结合可得，
则，得.
知识点2 正、余弦函数的奇偶性
1．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】A
【解析】令，，
又，
所以函数是偶函数.故选：A.
2．（24-25高一下·辽宁·月考）下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A项，由可得，，
所以，函数的定义域为关于原点对称.
又，所以函数为偶函数.故A错误；
对于B项，易知函数的定义域为R关于原点对称.
又，所以函数为奇函数.
又，所以.
正弦函数在上既有增区间又有减区间，不满足题目要求，故B错误；
对于C项，易知函数的定义域为R关于原点对称.
又，
所以，函数为偶函数.故C错误；
对于D项，易知函数的定义域为R关于原点对称.
又，所以函数为奇函数.
又，所以.
正弦函数在上单调递增，故D正确.故选：D.
3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为奇函数，
则，则.故选：D
4．（24-25高一下·江西上饶·月考）已知函数是奇函数，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由是奇函数，则是偶函数，
所以，即，
故当时，，故选：A．
知识点3 正、余弦函数的对称性
1．（25-26高一·江西南昌县·月考）函数的图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得，解得，
则函数图象对称轴为，
结合选项得为函数图象的一条对称轴．故选：A
2．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】已知,则，可得，
根据余弦函数对称轴方程得，解得得．故选：B.
3．（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的对称中心的坐标是 .
【答案】，
【解析】方法一：图象变换法：
函数的对称中心是形如的点，其中为整数.
变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、
向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的.
对称中心的变换：
横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为
向左平移个单位后，横坐标变为 .
向上平移1个单位后，纵坐标变为1.
函数 的图像的对称中心的坐标为：,.
方法二：利用正弦函数的性质直接求解法:
求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ，
解得,纵坐标恒为1.
最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,.
故答案为：,.
4．（24-25高一下·广东中山·月考）写出函数的一个对称中心 ．
【答案】（答案不唯一，）
【解析】函数中，令，解得，
取，则该函数的一个对称中心为.
知识点4 正、余弦函数的单调性
1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）的单调增区间
【答案】
【解析】由，解得，
所以所求单调增区间为.
2．（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为 .
【答案】和
【解析】由题意知，
所以函数的单调减区间就是的单调增区间，
已知得单调增区间为，
得，解得，
当时，增区间为，当时，增区间为，
所以在上的单调增区间为和，
即在上的单调减区间为和，
故答案为：和.
3．（25-26高一上·安徽合肥·月考）函数在上的单调递减区间是 ．
【答案】，
【解析】当时，.注意到在上递减，
又，，
则在上的单调递减区间是：，.
4．（24-25高一下·陕西渭南·月考）函数的单调增区间为 .
【答案】
【解析】函数，即，
则，解得，
所以函数的单调增区间为.
知识点5 根据正、余弦函数的单调性求参数
1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）若函数在上单调递减，在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，函数的图象经过原点，且在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
又，，解得.故选：B.
2．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】，
又函数在单调递增，
所以，解得.
3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 .
【答案】
【解析】当时，，
函数在上是严格减函数，则，
则，解得，所以的最大值为.
4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，
由函数在区间上单调递减，可知，解得.
综上可知，的取值范围是.故选：D
知识点6 比较正、余弦函数值的大小
1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）下列不等式中，正确的有（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【解析】由于，且函数在区间内单调递减，则，①正确；
由于，且函数在区间内单调递减，
则，②错误；
由于，则，③正确；
由于，且函数在区间内单调递增，则，④错误．故选：B
2．（24-25高一下·山东日照·月考）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对A，，故A错误；
对B，，，
因为，则，即，故B错误；
对C，，，
故，故C错误；
对D，，
，
因为，则，即，故D正确.故选：D.
3．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，
，又，
因为在单调递减，
所以，即，所以.故选：D.
4．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（多选）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因，故A正确；
对于B，因，因，函数在上单调递减，
故，故B正确；
对于C，因，
因，函数在上单调递增，则，
故，即C错误；
对于D，因，
故，即D正确.故选：ABD.
知识点7 求正、余弦函数的最值
1．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，则，
故，故的值域为.故选:C.
2．（24-25高一下·广西桂林·月考）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
令，由，得，变为．
该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减．
当时，时，，所以值域为.故选：C.
3．（24-25高一下·天津红桥·月考）函数 在区间 上的最大值为 .
【答案】3
【解析】当，则，则，
则的值域为，所以函数的最大值为3.
4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）若，求的值域．
（2）求函数的值域．
【答案】；
【解析】（1）因为，所以，则令，
所以.
又二次函数的图象开口向上，对称轴为，
所以时，函数单调递增，
则当时，，
当时，.
综上，函数的值域为.
（2）因为，所以，且.
又因为，所以，即，
整理得，解得或，
综上，函数的值域为.
知识点8 函数y=Asin(ωx+φ)的综合
1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数.
(1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心.
(2)求函数在区间上的值域.
(3)求函数时，x的取值范围？
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心为；(2)
(3)
【解析】（1）的最小正周期为，
令，解得，故对称轴方程为，
令，解得，故对称中心为，
（2），则，故，
因此，故值域为
（3）由可得，继而，
所以，解得，
故时，.
2．（24-25高一上·安徽合肥·月考）设a为常数，函数．
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意，
令，则，
当时，，
所以当时，取最大值；
当时，取最小值，
所以的值域为；
（2）由题意函数在区间上有两个不同的零点，
即函数在上仅有一个零点，因为，
由零点存在性定理，只需，得；
所以实数a的取值范围为.
3．（24-25高一下·湖北宜昌·月考）已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为.
(1)求和的值；
(2)若，求的单调递增区间；
(3)若，且方程有解，求的取值范围.
【答案】(1)，；(2)；(3).
【解析】（1）依题可得：，则，
又函数图像的一个对称中心为，
所以，则，，
又，则；
（2）由（1）知，
当时，由，得，，
得函数单调递增区间为；
（3）若，，
由得，
，，，
要在时有解，则.
1．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（ ）
A．为偶函数，且在上单调递增
B．为偶函数，且在上单调递减
C．为奇函数，且在上单调递增
D．为奇函数，且在上单调递减
【答案】A
【解析】因为的定义域为，并且
，
又，
所以为偶函数；
设、，并且，则，，
所以，，，
于是，
即，所以在上单调递增，所以A正确，BCD错误.故选：A.
2．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】，且，
，分别为最大值点和最小值点，
又，，，整理得，
又，，，整理得，，
又，的最小值为4.故选：B
3．（25-26高三上·河北邢台·月考）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由可得：，
因为正弦函数的单调递增区间是，
所以，解得：，
由解得：，
因为，所以当时，有，
当时，有，
故答案为：
4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数的周期为，为它的一个对称中心.
(1)求函数的解析式及其单调增区间；
(2)若关于的方程在上有实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)，单调增区间： ；(2)
【解析】（1）由，得，
当时，因为为它的一个对称中心,所以，
所以，
又，所以，所以；
当时，因为为它的一个对称中心,所以，
所以，
又，所以，所以；
令，，
所以单调增区间： ；
（2）由，得，故，
因此函数的值域为.
设，则，
要使关于的方程在上有实数根，
即在时有实数根，令，
则在时有实数根，
即与在有交点，由图像可知.
1．（24-25高一下·江西抚州·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，
则，即．故选：D
2．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知曲线与垂直于y轴的条直线：，，且为常数，在区间内共有2025个交点，则（ ）
A． B．1013 C． D．1012
【答案】A
【解析】由题意知，曲线与直线在区间内共有2025个交点，
由曲线在区间内的图象，
可得当时，方程分别有两个不同的实根，且各根均不同，
要使得在区间内共有2025个交点，则满足，
解得．故选：A．
3．（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知函数，则函数的最小正周期为 ．
【答案】
【解析】由正弦函数的图象与性质，可得的最小正周期为，的最小正周期为，
可得，
，
所以函数的一个正周期为.
设是函数的正周期，
则，
当时，，
当时得，无解.
所以的最小正周期只能是的任意正整数倍，
但上面已经证明不是函数的周期，是函数的周期，
所以函数的最小正周期为.
故答案为：．
4．（24-25高一下·河北保定·期末）平面直角坐标系中，将函数的图象上满足，的点，称为的“正格点”．若，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点，则 ．
【答案】
【解析】因为，，的图象
与函数，的图象存在“正格点”交点，
所以（为正整数）有正整数解，
因为值域内的正整数只有1和2，
当时，由，解得，
则为方程的正整数解，
所以，即，因为，所以，
则，；
当时，由，解得不是正整数，故舍去，
综上，.
1
