中小学教育资源及组卷应用平台
5.4.3 正切函数的性质与图象
知识点1 正切函数的定义域
1．（24-25高一下·四川·期中）函数的定义域为 ．
2．（24-25高一下·陕西汉中·月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 正切函数的最值或值域问题
1．（24-25高一上·湖南衡阳·月考）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．函数（且）的值域是 ．
3．（24-25高一下·四川南充·期中）函数的值域是 .
4．（24-25高一下·四川德阳·月考）求函数，的值域.
知识点3 正切函数的周期性
1．（24-25高一下·广东湛江·月考）函数的最小正周期为 ．
2．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ．
3．（24-25高一下·上海宝山·月考）设常数，已知函数的最小正周期为2，则的值为 ．
4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）“函数的最小正周期为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点4 正切函数的奇偶性
1．（24-25高二下·河北·期末）（多选）下列函数是奇函数的有（ ）
A． B． C． D．
2．判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1)； (2)； (3)； (4)．
3．（24-25高一下·上海·月考）已知，，若，则 ．
4．（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）若函数为奇函数，则的最小值为 .
知识点5 正切函数的对称性
1．（24-25高一下·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·云南丽江·月考）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·湖北襄阳·月考）函数的对称中心为 .
4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ．
知识点6 正切函数的单调性
1．（2025·陕西榆林·模拟预测）函数的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调递增区间为
4．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 .
知识点7 比较正切函数值的大小
1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·江西·月考）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·四川成都·期中）若锐角满足，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．以上说法均不对
4．（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点8 利用正切函数解不等式
1．（24-25高一下·广东·月考）利用三角函数图象，求出中的取值范围（ ）
A．， B．，
C． D．，
2．（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·辽宁·月考）的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·广东清远·期中）若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为 .
1．（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上单调递增.
(1)求的取值范围；
(2)若，求的单调递增区间；
(3)若，求的最小正周期.
1．（24-25高一下·山西·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域是
B．是奇函数
C．是的一个周期
D．是曲线的一个对称中心
2．（24-25高一下·广东·月考）（多选）已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．在上不单调 D．，有4个零点
3．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数，则函数的定义域是
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5.4.3 正切函数的性质与图象
知识点1 正切函数的定义域
1．（24-25高一下·四川·期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】由，得，
所以函数的定义域为.
2．（24-25高一下·陕西汉中·月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，可得．
所以函数的定义域为.故选：A.
3．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，可得.故选：D.
4．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，
∴，
∴，
∴函数的定义域为.故选：B.
知识点2 正切函数的最值或值域问题
1．（24-25高一上·湖南衡阳·月考）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】故选：C.
2．函数（且）的值域是 ．
【答案】
【解析】当时，，∴；
当时，，∴．
即当时，函数的值域是．
3．（24-25高一下·四川南充·期中）函数的值域是 .
【答案】
【解析】令，，
在上单调递增，.
4．（24-25高一下·四川德阳·月考）求函数，的值域.
【答案】
【解析】因为，令，可得，
因为二次函数在上单调递增，故.
因此，函数，的值域为.
知识点3 正切函数的周期性
1．（24-25高一下·广东湛江·月考）函数的最小正周期为 ．
【答案】
【解析】函数的最小正周期为.
2．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为 ．
【答案】或
【解析】由，解得.
3．（24-25高一下·上海宝山·月考）设常数，已知函数的最小正周期为2，则的值为 ．
【答案】
【解析】由题设及正切函数的性质，有且，则.
4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）“函数的最小正周期为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由函数的最小正周期为，得，得，
故“函数的最小正周期为”推不出“”，
“”可推出“函数的最小正周期为”，
所以“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件．故选：B
知识点4 正切函数的奇偶性
1．（24-25高二下·河北·期末）（多选）下列函数是奇函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，，定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，故A正确；
对于B，，定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，故B正确；
对于C，，定义域为，关于原点对称，
，所以为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故D错误，故选：AB.
2．判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)偶函数，理由见解析；(3)奇函数，理由见解析；(4)偶函数，理由见解析
【解析】（1）是奇函数，理由如下：
设，由解得，
所以的定义域为，
，
所以是奇函数.
（2）是偶函数，理由如下：
设，则的定义域是，
，
所以是偶函数.
（3）是奇函数，理由如下：
设，则定义域是，
，
所以是奇函数.
（4）是偶函数，理由如下：
设，则的定义域是，
，
所以是偶函数.
3．（24-25高一下·上海·月考）已知，，若，则 ．
【答案】1
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以
4．（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）若函数为奇函数，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为函数为奇函数,所以
由得,,
即,
所以，解得,
因为,取,得,所以的最小值为.
知识点5 正切函数的对称性
1．（24-25高一下·湖南·期末）函数图象的对称中心坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，解得，
所以函数图象的对称中心坐标为.故选：C.
2．（24-25高一下·云南丽江·月考）若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，即，
又，则时最小，最小值是，即．故选：C
3．（24-25高一下·湖北襄阳·月考）函数的对称中心为 .
【答案】
【解析】令，解得，
所以的对称中心为，
4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数关于点中心对称，则 ．
【答案】
【解析】令，可得：，结合，
令，可得，得，解得，
所以，
所以
.
知识点6 正切函数的单调性
1．（2025·陕西榆林·模拟预测）函数的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由可得：.故选：C.
2．（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数，
则有，解得，又因，故.故选：C.
3．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调递增区间为
【答案】
【解析】对于函数，由，
可得，
所以，函数的单调递增区间为.
4．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 .
【答案】1
【解析】由函数在区间内单调递增，
可得，且，解得，
所以的最大值为1.
知识点7 比较正切函数值的大小
1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
因为函数在上单调递增，且，
所以，即.故选：D
2．（24-25高一下·江西·月考）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据诱导公式，可得.
因为函数在上单调递增，所以.
又在上单调递增，所以，
所以.故选:D
3．（24-25高一下·四川成都·期中）若锐角满足，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．以上说法均不对
【答案】B
【解析】锐角满足，又在上单调递增，
所以，
对于：在上单调递减，所以，故错误；
对于：在上单调递增，所以，故正确；
对于：，由不等式的性质可得，故错误.故选：.
4．（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，因为，函数在上单调递增，
所以．故A正确；
对于B, ．故B不正确；
对于C，，．
又，函数在上单调递增，
所以，即．故C不正确；
对于D，，．
又，函数在上单调递增，
所以，即．故D正确.故选：AD.
知识点8 利用正切函数解不等式
1．（24-25高一下·广东·月考）利用三角函数图象，求出中的取值范围（ ）
A．， B．，
C． D．，
【答案】D
【解析】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是，
所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，.故选：D
2．（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的最小正周期为，所以，得．
所以，
由，得，
解得．故选：A．
3．（24-25高一下·辽宁·月考）的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】要使函数有意义，
则应有.
由正切函数的图象与性质解可得，，
所以，函数的定义域为.故选：A.
4．（24-25高一下·广东清远·期中）若是斜三角形的一个内角，则函数的定义域为 .
【答案】
【解析】的定义域需要满足，故，
因此或，
故定义域为.
1．（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期，
且函数与函数图象的对称中心完全一致，
所以函数与的周期相等，
则函数的周期，即，所以，
则，
令，故，
令，则，
故，解得，
因为，所以．故选：D．
2．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】令得，，
当或或时，，但，故不是函数零点，
当且且时，，
同一坐标系内画出与在上的图象，如下：
可以看出上，与在上共有3个交点，
故零点个数为3个，分别为.故选：D
3．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知函数在上单调递增.
(1)求的取值范围；
(2)若，求的单调递增区间；
(3)若，求的最小正周期.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】（1）当，，
因为在上单调递增，
所以，所以，
所以的取值范围为.
（2）若，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为：.
（3）若，则，得
则，，解得，，
又因为，所以，
的最小正周期为.
1．（24-25高一下·山西·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域是
B．是奇函数
C．是的一个周期
D．是曲线的一个对称中心
【答案】BCD
【解析】对于A中，由有定义，可得，
又由，可得，即，
所以函数的定义域是，且，所以A错误；
对于B中，因为，所以，即，
又因为定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以B正确；
对于C中，由，即，
所以是的一个周期，所以C正确；
对于D中，函数的定义域关于点对称，
又由，可得，
即，所以曲线关于点中心对称，所以D正确．故选：BCD．
2．（24-25高一下·广东·月考）（多选）已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是周期函数
C．在上不单调 D．，有4个零点
【答案】ABD
【解析】对于A，易得的定义域为.
，
所以是偶函数，故A正确；
对于B，因为
，所以的一个周期是，故B正确；
对于C，看成由，和复合而成，
又，单调递增且，单调递减，
所以在上单调递减，故C错误；
对于D，同理可得在上单调递增，易得简图如下：
又的最大值为，
所以，与有4个交点，
故选项D正确.故选：ABD.
3．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数，则函数的定义域是
【答案】
【解析】要使函数有意义，则根号下的，且有意义，即的分母.
因为，所以（）.
那么等价于.
由可得.
由可得.
因为，即.
综合以上条件，取交集可得或.
故答案为：.
1
