中小学教育资源及组卷应用平台
5.5.2 简单的三角恒等变换
知识点1 半角公式与万能公式
1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·甘肃定西·期中）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·安徽·月考）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点2 积化和差与和差化积
1．（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则 ．
3．24-25高一下·江西宜春·期末）若，则 ．
4． ．
知识点3 辅助角公式的应用
1．（24-25高一下·四川资阳·期末）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·上海·月考）函数，的值域是
4．（24-25高一下·北京房山·期中）函数的单调递减区间 ．
知识点4 三角恒等变换综合应用
1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则实数（ ）
A． B．2 C．1 D．
2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（24-25高一下·江苏盐城·期中） 的值 .
4．（23-24高一下·广东河源·月考）化简： ．
知识点5 三角形中的三角恒等变换
1．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
2．（24-25高一下·浙江湖州·月考）若中，，则此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，已知，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形
4．（24-25高一下·江西南昌·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
知识点6 三角恒等变换与三角函数结合
1．（24-25高一下·山东烟台·月考）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)当时，求的最大值及取得最大值时的集合．
2．（24-25高一下·辽宁·月考）已知函数．
(1)求图象的对称中心和在上的单调区间；
(2)已知，求的值．
3．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)若函数为奇函数，求的最小值.
4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知.
(1)将改写为的形式;
(2)求的最小正周期，并写出单调递增区间;
(3)若，求的值.
1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·四川德阳·月考）（多选）下列关于三角恒等变换正确的有（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知函数.
(1)求的图象的对称轴、单调递增区间；
(2)当时，求的最值，以及取得最值时的取值；
(3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
1．（25-26高三上·河北保定·期中）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”，有序数对称为函数的“平衡点对”.
(1)若为函数的“平衡点对”，求的值；
(2)若，当且成立时，求的最大值.
4．（24-25高三上·山东·月考）世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式．
积化和差：
，
．
和差化积：
，
．
运用上面的公式解决下列问题：
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)若函数，判断的零点个数，并说明理由．
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5.5.2 简单的三角恒等变换
知识点1 半角公式与万能公式
1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故，故，
所以.故选：D
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
是锐角，则，
，故选：B．
3．（24-25高一下·甘肃定西·期中）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
所以
.故选：D.
4．（24-25高三上·安徽·月考）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
得，
则，而．故选：B
知识点2 积化和差与和差化积
1．（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先，我们先对合理变形，
得到，
，
由积化和差公式得，
同理可得，
，
则，
得到，故A正确.故选：A
2．若，则 ．
【答案】
【解析】已知积化和差公式
则
．
3．24-25高一下·江西宜春·期末）若，则 ．
【答案】
【解析】因为
，所以.
4． ．
【答案】/0.75
【解析】解法一：原式
．
解法二：原式
.
知识点3 辅助角公式的应用
1．（24-25高一下·四川资阳·期末）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
所以函数的周期为，故选：B．
2．（24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
其中，，，
依题意得，，，
，，，，
，故选：C．
3．（24-25高一下·上海·月考）函数，的值域是
【答案】
【解析】，
，，则，
所以函数的值域为.
4．（24-25高一下·北京房山·期中）函数的单调递减区间 ．
【答案】
【解析】函数，
由，解得，
所以所求单调递减区间是.
知识点4 三角恒等变换综合应用
1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则实数（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】，
即
.
故.故选：C
2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】
.故选：D.
3．（24-25高一下·江苏盐城·期中） 的值 .
【答案】1
【解析】
.
4．（23-24高一下·广东河源·月考）化简： ．
【答案】
【解析】由题
.
知识点5 三角形中的三角恒等变换
1．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】由,
所以：.
因为为三角形内角，所以.
所以为等腰三角形.故选：A
2．（24-25高一下·浙江湖州·月考）若中，，则此三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】中，，
已知等式变形得，
，
即，
整理得，即，
或（不合题意，舍去）．
，，
则此三角形形状为直角三角形．故选：A
3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，已知，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形
【答案】C
【解析】因为，故，
故，故，
而，故即，故三角形为等腰三角形，故选：C.
4．（24-25高一下·江西南昌·期末）在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】C
【解析】因为
所以，
因为
则
又，所以,
所以，所以.
又为△ABC的内角，所以.
所以，故△ABC为等腰三角形.故选：C.
知识点6 三角恒等变换与三角函数结合
1．（24-25高一下·山东烟台·月考）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)当时，求的最大值及取得最大值时的集合．
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 ，
(2)最大值为2，取得最大值时的集合为
【解析】（1）
，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的单调递增区间为 ，；
（2）当时，，
所以当，即时，取得最大值2，
故的最大值为2，取得最大值时的集合为．
2．（24-25高一下·辽宁·月考）已知函数．
(1)求图象的对称中心和在上的单调区间；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)对称中心为，递增区间是，递减区间是；(2)
【解析】（1）依题意，
，
令，解得，
所以图象的对称中心为；
由，得，
当，即时，单调递减，
当，即时，单调递增，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由（1）及，得，由，得，
而，因此，，
则，
，
所以
.
3．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)若函数为奇函数，求的最小值.
【答案】(1)；(2)，；(3)
【解析】（1）因为，
所以的最小正周期.
（2）当时，则，
所以当，即时，，
当，即时，.
（3），
若为奇函数，则，，
解得，
当时，，当时，，
所以的最小值为.
4．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知.
(1)将改写为的形式;
(2)求的最小正周期，并写出单调递增区间;
(3)若，求的值.
【答案】(1)；(2)，；(3)
【解析】（1）.
（2）的最小正周期为，
令，得，
单调递增区间为
（3）因为，所以，即，
因为，所以，所以，
所以
.
1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
，
由于在上单调递增，所以，
即，故选：D
2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，
原式可化为，
由，
故.故选：C
3．（24-25高一下·四川德阳·月考）（多选）下列关于三角恒等变换正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A，正确；
对于B，
正确；
对于C，由和差化积公式有错误；
对于D，
，错误；
故选：AB.
4．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知函数.
(1)求的图象的对称轴、单调递增区间；
(2)当时，求的最值，以及取得最值时的取值；
(3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)对称轴，增区间为；
(2)当时，取最小值，当时，取最大值2；
(3).
【解析】（1）依题意，，
令，解得，
所以函数的对称轴方程为；
由，得，
所以的单调递增区间为.
（2）当时，，则，
当，即时，函数取得最小值；
当，即时，函数取得最大值2，
所以当时，取最小值；当时，取最大值2.
（3）依题意，当时，有解，
而，即当时，有解，
，当时，令，
函数在上单调递减，当时，，即，而，
所以实数的取值范围是.
1．（25-26高三上·河北保定·期中）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：C
2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由三角形为斜三角形且，故，
又，，，
则，而，
所以，则，
所以
令，则，
所以，故.故选：D
3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”，有序数对称为函数的“平衡点对”.
(1)若为函数的“平衡点对”，求的值；
(2)若，当且成立时，求的最大值.
【答案】(1)或者；(2)1.
【解析】（1）由题，可得，对任意的成立，
即，
化简整理得，
即，对任意的成立，
，即，
或，.
（2）由，均为的“平衡点对”，
则有，
，
，又，则，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以的最大值为1.
4．（24-25高三上·山东·月考）世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式．
积化和差：
，
．
和差化积：
，
．
运用上面的公式解决下列问题：
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)若函数，判断的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)仅有个零点，理由见解析
【解析】（1）根据二倍角公式与和差化积恒等式得：
.
（2）左边
，
右边
.
由，得，
所以.
（3）仅有一个零点.
显然，下面证明当时，.
.
当时，，
因此，
即当时，.
所以仅有1个零点.
1
