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5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
知识点1 “五点法”作正、余弦函数的图象
1．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）函数的一个对称中心是.
(1)求函数的最值及为何值时取到；
(2)用“五点法”画出函数在上的简图.
2．（24-25高一下·福建宁德·月考）已知
(1)说明该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.
(2)填写下表并用五点法画出在上简图；
3．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数．
(1)用“五点法”填表并作出函数在一个周期上的图象；
x
(2)解不等式．
4．（24-25高一上·陕西榆林·月考）已知函数.
x
0 2 0 0
(1)填写上表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
(2)解不等式.
知识点2 同名三角函数间的图象变换
1．（24-25高一下·北京·月考）要得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
3．（24-25高一下·上海·期中）函数是由（ ）得到的
A．向右平移 B．向右平移
C．向右平移 D．向左平移
4．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向左平移个单位长度
知识点3 异名三角函数间的图象变换
1．（24-25高一下·陕西渭南·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
2．（24-25高一下·山东潍坊·月考）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移2个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，为了得到函数的图象，可以将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
4．（24-25高一下·河南·月考）若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（ ）
A．先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
B．先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
C．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位
D．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位
知识点4 图象变换前后的解析式
1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·湖北恩施·期中）将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·辽宁·月考）将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度．可得到的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点5 根据三角函数部分图象求解析式
1．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25高一下·北京昌平·期末）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点6 根据图象研究三角函数的性质
1．（24-25高一下·河南南阳·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为偶函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·北京顺义·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
3．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选）函数向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，若是周期为的奇函数，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
1．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·吉林四平·期末）函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知
(1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下：
0
0 0 0
根据表格，直接写出函数的表达式
(2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合；
(3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得．
1．（24-25高一下·福建泉州·月考）定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·上海·月考）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·全国·课后作业）如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与能构成“和谐”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知函数，.
(1)若，恒成立，且，求函数的图象的对称轴；
(2)已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是的一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围以及的值.
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5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
知识点1 “五点法”作正、余弦函数的图象
1．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）函数的一个对称中心是.
(1)求函数的最值及为何值时取到；
(2)用“五点法”画出函数在上的简图.
【答案】(1)当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值-2
(2)图象见解析
【解析】（1）由题设知，
则，.∵，，，
∴，其最大值为2，最小值为-2.
当，即时，函数取得最大值2；
当，即时，函数取得最小值-2.
（2）
0
0 0
∴函数在上的简图如下，
2．（24-25高一下·福建宁德·月考）已知
(1)说明该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.
(2)填写下表并用五点法画出在上简图；
【答案】(1)答案见解析；(2)作图见解析.
【解析】（1）法一：①向右平移个单位，②所得各点的横坐标缩短到原来的，
③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍；
法二：①各点的横坐标缩短到原来的，②向右平移个单位，
③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍.
（2）令，利用的图象取点法画图；
列表如下
作在上的图如下：
3．（24-25高一下·辽宁大连·月考）已知函数．
(1)用“五点法”填表并作出函数在一个周期上的图象；
x
(2)解不等式．
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】（1）列表：
0
0 1 0 -1 0
又当时，，当时，，
描点作图，如图所示：
（2）因为，
所以，解得，
故不等式的解集为．
4．（24-25高一上·陕西榆林·月考）已知函数.
x
0 2 0 0
(1)填写上表，用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
(2)解不等式.
【答案】(1)表格见解析，图象见解析；(2)
【解析】（1）列表：
x
0
0 2 0 0
描点，连线得到函数在一个周期上的图象如下.
（2）由得，即，
则，或，，
解得，或，，
所以的解集为.
知识点2 同名三角函数间的图象变换
1．（24-25高一下·北京·月考）要得到的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】因为目标函数，
所以将函数的图象向左平移个单位即可.故选：C
2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】因为，
所以把函数图象上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数
的图象．故选：C.
3．（24-25高一下·上海·期中）函数是由（ ）得到的
A．向右平移 B．向右平移
C．向右平移 D．向左平移
【答案】B
【解析】因为，
所以函数是由向右平移个单位得到，故选：B.
4．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】因为，
所以要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移1个单位长度即可.故选：C
知识点3 异名三角函数间的图象变换
1．（24-25高一下·陕西渭南·期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】A
【解析】因为，
所以，为了得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位长度.故选：A.
2．（24-25高一下·山东潍坊·月考）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移2个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】因为，
所以要得到函数 的图象，
只需将函数 的图象向左平移2个单位长度，故选：A.
3．（24-25高一下·安徽·月考）已知函数，为了得到函数的图象，可以将的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】由函数，
将函数向左平移个单位长度，可得，
即将函数的图象上各点向左平移个单位长度，即可得到图象.故选：B.
4．（24-25高一下·河南·月考）若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（ ）
A．先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
B．先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
C．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位
D．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位
【答案】C
【解析】对于A，先将的图象向右平移个单位，得，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，
得，故A错误；
对于B，先将的图象向左平移个单位，得，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，故B错误；
对于C，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，
再将图象向左平移个单位，得，故C正确；
对于D，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，
再将图象向右平移个单位，得，故D错误.故选：C.
知识点4 图象变换前后的解析式
1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题可知：.故选：B
2．（24-25高一下·湖北恩施·期中）将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数的图象向右平移，得，
再将横坐标伸长为原来的3倍，得，故选：B
3．（25-26高三上·河北保定·月考）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象，
再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得，即.故选：C
4．（24-25高一下·辽宁·月考）将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度．可得到的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数向左平移个单位长度，
得到，
横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到，
向上平移1个单位长度，得到，
则，又，解得，
则.故选：A.
知识点5 根据三角函数部分图象求解析式
1．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数图像可知，所以，又，所以，
将代入得到，因为，所以，
故，解得．故选：C．
2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图象知，，，；
所以，又因为函数图象过点，所以，
所以，所以，结合，得．故选：D.
3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由最高点知，
因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，
所以即，
所以
将代入得，
所以，
因为，所以，所以，
图象上的所有点向左平移个单位长度得到
，故选：D.
4．（24-25高一下·北京昌平·期末）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】观察函数图象，得这个函数的最小正周期，则，
又当时，，则，而，则，
所以.故选：A
知识点6 根据图象研究三角函数的性质
1．（24-25高一下·河南南阳·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为偶函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数，
由函数为偶函数，得，而，则，
所以实数的值为.故选：B.
2．（24-25高一下·北京顺义·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
【答案】A
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，
当，则在区间上单调递减，A选项正确；B选项错误；
当，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
C选项错误；D选项错误；故选：A.
3．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知函数的图象向左平移个单位后与原来图象重合，当，且时，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】函数的图象向左平移个单位后的解析式为，
又平移后的函数图像与原来图像重合，所以，
所以，所以，又，所以，
所以，
当时，则，
又，且时，，
所以，所以，
所以.故选：B.
4．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选）函数向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，若是周期为的奇函数，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，若，依题意，，
其周期为，且为奇函数，故A正确；
对于B，若，依题意，，
其周期为，故B错误；
对于C，若，依题意，将其向左平移个单位，
可得，
再将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，
显然它是周期为的奇函数，故C正确；
对于D，若，依题意，将其向左平移个单位，
可得，
再将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数，
显然该函数不是奇函数，故D错误.故选：AC.
1．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点，
是边长为2的正三角形，，
，，，，，
又，，解得，
，
将点代入得，，
，，，
.故选：A.
2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由最小值为，则，则，
将向右平移个单位长度后恰好过原点，
则，则，
又，则的最大值为.故选：A.
3．（24-25高一上·吉林四平·期末）函数的图象是由向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
因为函数在区间上有且仅有两个零点，
，.故选：A.
4．（24-25高一下·上海浦东新·月考）已知
(1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下：
0
0 0 0
根据表格，直接写出函数的表达式
(2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合；
(3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得．
【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析
【解析】（1）由表格数据可知，，得，
由时，，可知，
所以；
（2）
将函数的图像向右平移个单位长度，
再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，
由，可得，
所以或，
或则函数的零点所组成的集合为或；
（3）若，即，
则可得，
因为，
所以对任意的，都存在正整数，使得，
即存在无穷多个互不相等的正整数，使得．
1．（24-25高一下·福建泉州·月考）定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
将函数的图像向左平移个单位，所得，
因为为偶函数，
则，解得，
可得，结合选项可知：B正确，ACD错误.故选：B.
2．（24-25高三上·上海·月考）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据正弦型函数图象的对称性可知，
阴影部分的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，所以，即，
由图象可知，函数的最小正周期满足，则，又，
所以，，则，
因为，所以，即，
因为，所以.故选：A.
3．（24-25高一上·全国·课后作业）如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与能构成“和谐”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，所求函数与函数的振幅、最小正周期均相等，
由题意可知，函数的振幅为，最小正周期为，
对于A选项，函数的振幅为，最小正周期为，A不满足要求；
对于B选项，函数的振幅为，最小正周期为，B不满足要求；
对于C选项，函数的振幅为，最小正周期为，C不满足要求；
对于D选项，函数的振幅为，最小正周期为，D满足要求.故选：D.
4．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知函数，.
(1)若，恒成立，且，求函数的图象的对称轴；
(2)已知，函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，是的一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围以及的值.
【答案】(1)；(2)，
【解析】（1）函数的最小正周期，
由，，，得函数的最小正周期，
则，而，解得，，
由，，得，
所以函数的图象的对称轴为.
（2）依题意，，
由是的一个零点，得，即，
则，或，，
解得，或，，又，于是，
函数，当时，，
设，则，函数为，即，
依题意，函数在内的图象与直线的图象有3个不同的交点，
作出在上的图象如下图，则当，即时，
与恰有3个不同的交点，因此实数的取值范围为，
设与的3个不同的交点分别为，，，
则，，于是，即，
所以.
1
