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培优01 一元二次函数和方程以及不等式
题型1 不等式的定义及辨析
利用题中的变量之间的关系列出不等式。
1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（ ）
A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节
C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】用不等式表示不等关系
【分析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，
则，则，解得，
，解得，所以，，
则或或，共种方案．
故选：ABD．
2．（2025高一·全国·专题练习）下列不等式中，与不等式（为常数）解集相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】由，结合不等式的性质求解即可.
【详解】因为，所以和等价，
故选：B.
3．（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项.
【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误．
对于B，当时，满足，但，所以B错误．
对于C，因为，所以，则，所以C正确．
对于D，当时，，不符合，所以D错误．
故选：C.
4．（24-25高一上·云南昆明·期中）如图，直角中，，，，在斜边上，在（包括边界）内，在线段上，，在线段上.四边形和四边形是矩形，，.
(1)试找出与之间的不等量关系式；
(2)求矩形和矩形面积之和的最大值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求二次函数的值域或最值、用不等式表示不等关系
【分析】（1）有两个条件限制了和的范围，在斜边上，，所以，在（包括边界）内，所以，根据这两个限制条件，及平行线分线段成比例就可求得与之间的不等量关系式；
（2）两个矩形的面积可以用和来表示，根据之间的不等关系及二次函数的最值，可求出面积的最大值.
【详解】（1）的延长线交于，交于，如图，
此时，所以，
因为，，
所以，
而由题意，所以，
可得，
因为，所以，解得，即，
所以与之间的不等量关系式为，其中.
（2）矩形和矩形面积之和，
因为，故，故，故，
故，而，故，故，
而，故当时，
5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢.
(1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？
(2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？
【答案】(1)答案见详解
(2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少
【难度】0.65
【知识点】用不等式表示不等关系
【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案；
（2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少.
【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节，
则可列不等式组，
利用不等式即可解得，
，或，或.
共有三种方案：
方案一，安排型货厢28节，型货厢22节；
方案二，安排型货厢29节，型货厢21节；
方案三，安排型货厢30节，型货厢20节.
（2）共有三种方案，运费分别为：
安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元
安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元.
安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元.
易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元.
题型2 作差法和作商法比较代数式的大小
利用作差法和作商法比较代数式的大小 ⑴作差法：对于两个实数，，通过比较与的大小关系，从而得到实数，的大小关系，具体方法如下：；；． ⑵作商法：对于任意两个正数，，通过比较与的大小关系，从而得到正数，的大小关系，具体方法如下：当，时，；；
1．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】利用作差法可得出的大小关系．
【详解】因为，所以．
故选：C.
2．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果.
【详解】由，且可得，即，
则，
又，即，化简可得，
即，其中，
所以，即，所以，
所以，所以，
又，所以，
综上所述，.
故选：A
3．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即.
【详解】这一事实表示为一个不等式为．
证明：，
又，，
，即，
即.
故选：
4．（2025高一·全国·专题练习）若，试比较与的大小．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小
【分析】分组因式分解，得到，结合条件即得.
【详解】
，
因为，所以，
故.
5．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围．
（2）设、均为正实数，试比较和的大小．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小、利用不等式求值或取值范围
【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解.
（2）利用作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果.
【详解】（1）因为， 所以，
又，两个不等式相加可得，即．
因为，所以，
又，两个不等式相加可得，即．
因为，所以，
当时，两个不等式相加乘可得：，即；
当时，两个不等式相加乘可得：，即，
所以．
的取值范围为；
的取值范围为；
的取值范围为.
（2）．
因为，均为正实数，所以．
当，即时，，此时；
当，即时，，此时；
当，即时，，此时．
综上可得：当时，；
当时，；
当时，．
题型3 由不等式的性质比较大小
不等式的性质汇总： 性质不等式性质具体内容1对称性2传递性，3可加性4可乘性5同向可加性6同向同正可乘性7可乘方性（，）8可开方性（，）9取倒数
1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解.
【详解】若，，则，则，
反之，若，则，
又，所以，即，此时不一定成立，
比如，此时，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：D
2．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】利用不等式的性质，结合作差法逐项判断.
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，又，所以，B错误；
对于C，由，得，又，所以，C正确；
对于D，由，得，则，
则，D正确.
故选：ACD
3．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．已知，，则
D．已知，若，，则
【答案】CD
【难度】0.4
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】根据不等式的性质即可求解AB，利用整体法，结合不等式的性质求解C，利用作差法即可求解D.
【详解】对于A,由，故，故A错误，
对于B，由于，所以，
又，所以，
又，故，故，
因此，故B错误，
对于C,由于，结合，，
则，故C正确，
对于D, ，由于，，
故，即，故D正确，
故选：CD
4．（24-25高三下·山西·阶段练习）设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小
【分析】利用不等式性质推理，结合特殊值法验证，逐个判断正误即可.
【详解】因为，，故，所以，故A正确；
不妨取，，则，故B错误；
因为，，所以，即，即，故C正确；
不妨取，，则，故D错误．
故选：AC.
5．（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小
【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可.
【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误；
对于B，，因为且，所以，则即，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，则则故D错误.
故选：ABD.
题型4 由不等式的性质证明不等式
利用不等式的性质证明不等式
1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：．
【答案】证明见解析
【难度】0.85
【知识点】由不等式的性质证明不等式
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证.
【详解】证明：因为，所以，，，
所以，
所以，即，
所以．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由不等式的性质证明不等式
【分析】由，，和，，证明即可.
【详解】由题意知，，，
则有，，，①
，，，
所以．
又根据①的结论可知，，，
所以．
综上所述，.
3．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）比较和的大小；
（2）已知，，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析
【难度】0.85
【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式
【分析】（1）展开后作差比较大小；
（2）根据不等式的性质先证明，然后证明，最后再证明.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）证明：因为，所以，，
于是，即，
由，得.
4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【难度】0.85
【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）应用作差法比较大小，即可证.
【详解】（1）由，则，故，
由，则，故，
所以，得证.
（2）由，而，
所以，即，得证.
题型5 基本不等式的定义辨析
常见的基础不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4） 或（）； （5） 基本不等式成立的条件：一正二定三相等。
1．（2025·重庆·一模）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、基本（均值）不等式的应用、由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义逐项分析判断即得.
【详解】对于A，令，显然有，但，A不是；
对于B，当，时，，B不是；
对于C，，显然有，但，C不是；
对于D，当，则，即，
反过来，令，不等式成立，而， D是.
故选：D
2．（23-24高一上·河北·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．的最小值为2 D．的最小值为2
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小、基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C.
【详解】当时，，
当且仅当时，即时等号成立，故A正确；
当时，，
当且仅当时，即时等号成立，故B正确；
当时，显然不成立，故C错误；
因为，
当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误．
故选：AB
题型6 基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等关系，需要注意： 式子中的数的取值范围 当式子取等号的时候需要满足的条件
1．（24-25高一上·浙江·期中）已知，均为正实数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】由基本不等式证明不等关系、作差法比较代数式的大小
【分析】对A，C，利用基本不等式可判断；对B，D，利用作差比较法判断.
【详解】对于A，，，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，
，故B正确；
对于C，，，则，
当且仅当时，等号成立，故C错误；
对于D，，
，
，即，
所以，即，故D错误.
故选：AB.
2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）应用作差法证明不等式；
（2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以 ，
当且仅当，即，时等号成立．
3．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：．
（2）已知，，，，求证：．
【答案】证明见解析；证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由不等式的性质证明不等式、由基本不等式证明不等关系、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）利用不等式的性质证明；
（2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式.
【详解】（1）证明：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴；
（2）证明：∵，，，且，
∴
，当且仅当时取等号．
.
4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：；
（2）若，，都是正数，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【难度】0.65
【知识点】由基本不等式证明不等关系
【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明；
（2）对分别应用基本不等式即可证明.
【详解】证明 （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，，
当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立.
所以，
即有，当且仅当，时，等号成立.
（2）由，，都是正数，利用基本不等式可知，
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立.
所以，
当且仅当时，等号成立.
5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由基本不等式证明不等关系
【分析】（1）依题意可得，再由基本不等式证明即可；
（2）利用代入得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】（1），
，
当且仅当，即时等号成立．
（2），
，
当且仅当时，即时等号成立．
题型7 基本不等式求积和和的最值问题
积、和”混合同除型原理： 形如与，可以通过同除（乘）ab互化。 从而得到1的关系式，和所要求的相乘构造基本不等式进行求解
1.（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】根据基本不等式可得，再次利用基本不等式即可求解.
【详解】由于，故，
，当且仅当时，取等号，
，当且仅当时，原式取得最小值，
故选：D.
2．（2025·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由x，y均为正数，则，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
故选：D.
3．（24-25高一下·陕西·期末）实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据已知的范围，然后将目标式转化为，利用基本不等式可得.
【详解】因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
4．（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由变形得，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】由有，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：.
5．（24-25高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由等式转化为关于得到一元二次方程，用表示，并表示，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由条件可知，，则，
因为，所以，
所以，当，即时，等号成立.
故选：A
6．（24-25高一·江苏·假期作业）若实数 满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】法一：把用表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令，再化简应用基本不等式计算得出最大值；
【详解】法一：由实数 满足，
设，解得，
则，
当且仅当，及时等号成立，
所以的最大值为.
法二：令，
则
，
由得，
故，
当且仅当即即时，取“=”，
故选：D.
7．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得.
【详解】已知，且，，其中,
，
当且仅当时取等号.
故选：B
8．（2025高一·全国·专题练习）若，，则的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】令，可得，利用均值不等式可求最小值.
【详解】因为，
令，则，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
故答案为：．
9．（2025高一·全国·专题练习）（1）若正数，满足，则的最小值为 ；
（2）设，那么的最小值是 .
【答案】 4
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】（1）将目标式化为，应用基本不等式求得
（2）法一：应用基本不等式有，结合目标式再次应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件；法二：由，结合目标式再次应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
【详解】（1）由正数，满足，知，
又（当且仅当时等号成立），从而，
所以.
（2）法一：由，得，
则，当，时取得最小值.
法二：，
则，当，时取得最小值.
10．（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可.
【详解】由可得：，
因为，所以，
又因为，所以，
则，
因为，所以由基本不等式得：，
当且仅当，即时取等号，此时.
故答案为：.
11．（2025·四川成都·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由题意得，通过换元结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，解得，
所以，令，
则，
等号成立当且仅当，此时，，
所以的最小值为.
故答案为：.
题型8 二次和二次商式的最值
在二次商式中，求最值时常用以下方法： 构造基本不等式求最值 利用判别式法求最值
1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为正实数、、满足，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故选：D.
2．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（ ）
A．函数的最小值为7
B．函数的最小值为7
C．函数的最小值为7
D．函数的最小值为7
【答案】ABC
【难度】0.85
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、对勾函数求最值
【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断.
【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误.
对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，错误；
对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确.
故选：ABC
3．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】由得，根据基本不等式得，即可求得的最小值.
【详解】因为，，，所以，
因为，
所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立，
此时，整理得，
解得，（不符合题意舍去），
即当，时，有最小值为.
故答案为：
4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可.
【详解】，令，所以，
则，
当且仅当，即，时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：.
5．（22-23高三下·上海·阶段练习）若正数，满足，则的最大值为 .
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可.
【详解】，，，所以，即，，
根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2.
故答案为：2.
题型9 条件等式求最值
利用基本不等式 或（）变换得到不等关系 利用一元二次不等式求解集从而得到最值
1．（2025高一·全国·专题练习）已知正实数，满足，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值
【分析】通过“1”的代换让所求式的分子、分母都变为二次，再化简求值.
【详解】
，
当且仅当时取等号.
故选：D
2．（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．5
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值
【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解.
【详解】由可得：.
因为，
所以，，
则，当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可；
法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】已知，且，
法一：由得，
则
，
当且仅当时取等号，则的最小值为；
法二：由得，
则，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为．
故选：B.
4．（24-25高二下·广西梧州·期末）已知正数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】由题意，对于ABC，由二次函数性质即可判断；对于D，由基本不等式即可判断.
【详解】由题意，
对于A，，因为，所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，
当时，有最小值，而，故D错误.
故选：BC.
5．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值
【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可．
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
6．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值
【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，即，即，
且，则，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
7．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值.
【详解】因为，，，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选：C
8．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值
【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值.
【详解】由，得，
则，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
∴的最小值是18.
故选：B
9．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】先化简再应用基本不等式计算求解.
【详解】由，
又因为，所以，
即得，
所以当且仅当时取等号，
所以，所以的最大值是
故选：B.
10．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案.
【详解】正数，，满足，故，
令，故，，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故.
故选：D
11．（24-25高二下·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由，得，
设，其中，则，
从而，
故
记，则，
要求最大值，则只需考虑，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.
故答案为：.
12．（2025高三·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值、柯西不等式求最值
【分析】利用不等式构造定值求解即可.
【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，，
∴
，
则．当且仅当时取等号．
解法二：（均值不等式），，，
所以．
当且仅当时取等号．
解法三：（权方和不等式）．
当且仅当时取等号．
故答案为：
题型10 基本不等式“1”的妙用求最值
在解决此类问题中需要把条件等式同除，得到结果为“1”的等式 和题中所要求的式子相乘，构造基本不等式进行求解
1．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算.
【详解】由，且，
所以，
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，所以的最小值为.
故选：D
2．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知正实数m，n满足，则的最小值为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】先将等式转化为等式右边为常数的形式，然后根据基本不等式的性质进行求解即可.
【详解】可以转化为，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，此时的最小值为.
故选：A．
3．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
三个等号可同时成立，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ，
故选：A.
4．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．8
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据已知有，应用基本不等式“1”的代换求最小值.
【详解】由题意，，
又，当且仅当时取等号，
所以，即目标式最小值为7.
故选：B.
5．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
【详解】，因为，故，
则，当且仅当，也即取得等号，
故的最小值为.
故选：D.
6．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知.则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为 B．的最大值为3
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可.
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，
，当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：ACD
7．（24-25高二下·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】对于A，转换为关于的二次函数即可验算；对于B，由结合基本不等式即可验算；对于C，由基本不等式即可验算；对于D，由乘一法验算即可.
【详解】对于A，因为a，b均为正实数，且，
所以，
因为，所以当时，的最小值为1，故A正确；
对于B，，
等号成立当且仅当，故B错误；
对于C，，等号成立当且仅当，故C正确；
对于D，
，
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
8．（24-25高二下·山东临沂·期末）若，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】运用基本不等式、换元法逐一判断即可.
【详解】因为，所以有.
A：因为，，
所以，当且仅当时，取等号，
即当时，取等号，故本选项结论正确；
B：因为，，
所以有，当且仅当时，取等号，
即当时，取等号，故本选项结论正确；
C：因为，，所以
，
即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故本选项结论不正确；
D：令，所以且，
于是，
，
即，当且仅当时取等号，即时取等号，
因此，即时取等号，所以本选项结论正确，
故选：ABD
9．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 .
【答案】1
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】变形，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】正实数x、y满足，故，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为1.
故答案为：1
10．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为 ．
【答案】7
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据“”的妙用，利用等量代换以及基本不等式，可得答案.
【详解】因为，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为7．
故答案为：.
11．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】结合已知将变形为，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解最小值即可.
【详解】，又，可得，
且，
当且仅当，时等号成立．
即最小值为.
故选：B．
12．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知长为，宽为的长方形面积为，则其周长的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由结合基本不等式即可求出.
【详解】由题意得，则，
则，等号成立时，
故周长的最小值为.
故选：D
13．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案.
【详解】由，则，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：B.
14．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算.
【详解】由，且，
所以，
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，所以的最小值为.
故选：D
15．（24-25高一上·山东枣庄·期中）（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值;
（2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值;
（3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值.
【答案】（1）时函数有最大值为2；（2）时目标式最小值为16；（3），时目标式的最大值为.
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值、对勾函数求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）根据对勾函数最值的求法求函数最大值，并确定取值条件；
（2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件；
（3）由代入目标式，结合基本不等式求最大值，并确定取值条件.
【详解】（1）由题意，则，
当且仅当时等号成立，所以时函数有最大值为2；
（2），
当且仅当，即时取等号，
所以时目标式最小值为16；
（3）由，则，
所以，
当且仅当，对应时取等号，
所以，时目标式的最大值为.
16．（24-25高一上·河北·阶段练习）可利用基本不等式解决下列问题：
(1)已知，求函数的最大值；
(2)已知，且，求的最小值；
(3)已知正数a，b满足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值、对勾函数求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）利用基本不等式求函数最小值；
（2）（3）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
【详解】（1）由，可得，
所以
，
当且仅当，即时取等号；
所以函数的最大值为.
（2）根据题意，且，
则
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为.
（3）因为，，，所以，
则，
又，
当且仅当且，即，时取等号，
则，
所以当，时，的最小值是.
题型11 基本不等式的恒成立问题
在基本不等式里，求解基本不等式更成立问题时，通常采用基本不等式求出最值然后利用恒成立思想进行求解 ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则；
1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式的恒成立问题
【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围.
【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立，
又，当且仅当时取等号，故.
故选：A
2．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式的恒成立问题
【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可.
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故选：A．
3．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题
【分析】根据条件，得到，又，利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为，则，又恒成立，
即恒成立，
又，
当且仅当，即时取等号，所以，
故选：B.
4．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值、基本不等式的恒成立问题
【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果
【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立，
又，当且仅当时取等号，
故.
故选：A
5．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题
【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案．
【详解】，，则，
不等式 恒成立，即恒成立，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数m的最大值为.
故选：B.
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题
【分析】原不等式可转化为，利用均值不等式求最小值即可.
【详解】由，变形可得，，
令，，
则转化为，即，
其中，
当且仅当，即，时取等号，
所以不等式恒成立，只需，
故选：B
7．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，则，
则，
所以
，
当且仅当时，
即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
题型12 基本不等式的实际应用
根据基本不等式的性质和题中的变量关系列出不等式 从而求解
1．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用
【分析】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案.
【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克，
则，解得，
，
当且仅当时，取到等号，而，所以.
故选：B
2．（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）．
(1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
(3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值．
【答案】(1)长为，宽为
(2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
(3)．
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值.
（2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值.
（3）法一：利用基本不等式1的代换可求得的最小值.法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值.
【详解】（1）由题得，即，，，
设每间虎笼的面积为，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为．
（2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，
可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
（3）依题意，得．
方法一， ，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
方法二，，则，，
当且仅当时等号成立．
故，当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
3．（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）．
(1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
(3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值．
【答案】(1)长为，宽为
(2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
(3)．
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值.
（2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值.
（3）法一：利用基本不等式1的代换可求得的最小值.法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值.
【详解】（1）由题得，即，，，
设每间虎笼的面积为，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为．
（2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，
可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为．
（3）依题意，得．
方法一， ，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
方法二，，则，，
当且仅当时等号成立．
故，当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，把一块边长为1m的正方形纸板的各角剪去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线做成一个无盖方底的盒子，要使盒子的容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
【答案】边长为，最大容积为．
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用
【分析】设剪去的小正方形的边长为，则其容积为，利用基本不等式的推广可求得最大值.
【详解】设剪去的小正方形的边长为，则其容积为，
，
当且仅当即时，等号成立．
即当剪去的小正方形的边长为时，盒子的最大容积为．
5．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元，
(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；
(2)求的函数解析式，并求报价的最小值；
(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
【答案】(1)18
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；
（2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；
（3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可.
【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元，
，
所以的值为18.
（2）设底面长为，，
所以墙面面积为，
，，当时取等，
所以，最小值为.
（3）对任意的时，方案二都比方案一省钱，
即时，恒成立，
整理得，
因为，，
设，则，
又由对勾函数性质可得在在上单调递增，
，
又，所以，
所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为.
6．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）.
(1)求的值；
(2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】(1)
(2)
(3)3万元
【难度】0.65
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）由时，代入即可求解；
（2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解；
（3）由（2）结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得；
（2）由（1）可得.
所以每件产品的销售价格为（元），
2024年的利润.
（3）当时，，
，当且仅当时等号成立.
，
当且仅当，即万元时，（万元）.
故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.
7．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，.
(1)当时，求的值；
(2)设的面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用、图形的性质
【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得；
（2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得.
【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，.
，，，
，
.
在中，由勾股定理得，即，解得.
（2）如图，由矩形的周长为，可知，，
，，，
，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，
所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，
面积的最大值为.
8．（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本）
(2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)
(2)150台，万元
【难度】0.65
【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可；
（2）分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可.
【详解】（1）当时，；
当时，
，
则.
（2）当时，，
当时，万元.
当时，
万元.
当且仅当，即时，上式等号成立.
又，则当该产品的年产量为150台时，
该公司所获年利润最大，最大年利润是万元.
9．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）．
(1)求a与b满足的关系式；
(2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值；
(3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值．
【答案】(1)，其中，．
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式；
（2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值；
（3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值；
解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值.
【详解】（1）由题设，则且；
（2）由，得，
易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值．
故仓库占地面积的最小值为，此时．
（3）解法一：由，得．
因为（当且仅当时取等号）．
所以，故，解得，
故（当且仅当时取等号）．
所以仓库容积的最大值为，此时．
解法二：由，得．
故．
因为（当且仅当时取等号）．
所以（当且仅当时取等号）．
故仓库容积的最大值为，此时．
题型13 不含参数和含参数的一元二次不等式的解集
对于一元二次方程的两根为且，设，分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象有两相异实根 有两相等实根 无实根
1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）对于问题“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出一种解法：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为，类比上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式的概念及辨析、分式不等式、高次不等式
【分析】解不等式可得或，将所求不等式变形为，可得出或，解之即可.
【详解】若关于的不等式的解集为，
即解不等式可得或，
由得，
可得或，则，所以或，
解得或，
所以关于的不等式的解集为.
故选：D.
2．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【详解】当时，解得：，不满足条件；
故，关于的不等式可得，
所以，即，
方程的两根为，
当时，不等式可化为，，
解集为：，不满足条件；
当时，不等式可化为，
当时，则，即，不等式的解集为：，
要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；
当时，则，即，不等式的解集为空集，
当时，则，即，不等式的解集为，
要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，
故实数的取值范围是：.
故选：B.
3．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可.
【详解】当时，不等式，即，，
故不等式的解集为，故A可能；
当时，，即，
当时，的解集为，故D可能；
当时，不等式无解；
当时，的解集为，故B可能.
故选：C
4．（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围．
【详解】关于的不等式，而，
由原不等式的解集中的整数恰有3个，得，
解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是，
则，即，于是，又，
因此，解得，
实数的取值范围是，
故选：C
题型14 由一元二次不等式的解确定参数
根据一元二次不等式的解确定一元二次方程的参数，代入求值
1．（24-25高二下·天津南开·期末）已知，均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程根的分布问题
【分析】先根据换元法，将方程进行换元，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程有正根，求出代数式的最大值.
【详解】令，则，
代入得，化简得，
可知，
因为方程有实数根，所以，解得，
当时，根据韦达定理可知两根之和，两根之积，
此时有正数根，符合题意，所以的最大值为.
故选：C.
2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集.
【详解】由题知，方程的两个根分别为，且，
则，
又，即，
所以的解集为.
故选：A.
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求和的最小值
【分析】利用韦达定理得到，再代入利用基本不等式计算可得.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以，
所以
，当且仅当，即时取等号.
故选：B
4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式
【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.
【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，，
不等式等价于，则解集为，
故选：D.
5．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据韦达定理得，，再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】由题意，1和3为方程的两根，且，
所以，即，，
所以.
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
6．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式的概念及辨析、解含有参数的一元二次不等式
【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解.
【详解】不等式的解集为，
则，且分别为方程的两根，
由根与系数的关系，得即.
将代入不等式，
化简得，即.
容易判断或时，均不符合题意，所以.
所以原不等式即为，
依题意应有且，所以.
故答案为：
7．（22-23高一上·福建厦门·开学考试）已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】依题意可得和是方程的两个实根，再根据根与系数的关系得，在分和两种情况讨论即可求解答案．
【详解】由关于的不等式的解是，
则和是方程的两个实根，
由根与系数的关系得，整理得，
则当时，关于的不等式转化为，解得；
当时，关于的不等式转化为，解得．
综上关于的不等式的解为或．
故答案为：或．
8．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数a的取值范围是
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由题意可得集合以及两集合之间的包含关系，分情况讨论，建立不等式，可得答案.
【详解】由题意可得，
，，
当时，，可得；
当时，，显然成立；
当时，，可得；
综上所述，.
故答案为：
9．（2025高三·全国·专题练习）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式
【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求．
【详解】由可得，即，
由可得，
即，
又因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以或，解得，
故答案为：．
10．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得，即可求解.
【详解】因为二次不等式的解集为，
则的两根为，则，
所以，解得或，
故答案为：或.
题型15 一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布情况： 分布情况两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即 图象（a>0时）结论图象（a<0时）结论（不讨论a时）分布情况两根都在内两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，图象（）结论或图象（）结论或（不讨论时）——————
1．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、一元二次方程根的分布问题
【分析】令（），原方程转化为，根据一元二次不等式有两个不等的实根求解即可.
【详解】令（），原方程转化为．
关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根，
因此有。解得．
故选：D．
2．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题
【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解．
【详解】设，
则由题意可知，即，解得，
故实数的取值范围是.
故选：C．
3．（24-25高一上·湖北·阶段练习）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】一元二次方程根的分布问题、探求命题为真的充要条件、根据充分不必要条件求参数
【分析】先求出一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件，再求解即可.
【详解】由一元二次方程的两个根为，
又方程有一个正实数根和一个负实数根，
，，
即“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为，
则其充分不必要条件的范围应为的真子集，
结合选项可得选项C符合题意，
故选：C.
4．（2025·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一元二次方程根的分布问题
【分析】根据的正负以及的正负分类讨论，结合图象确定的取值范围.
【详解】（1）当时，方程化为：，此时无解，舍去；
（2）当时，考虑方程正实数根情况，只需研究当时方程解的情况，
即此时方程化为，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（3）当时，因为，
所以方程化为，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（4）当时，函数与轴有两个零点
函数与轴有两个零点
因为，所以即
作出函数与函数图象，
由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程有两个不相等的正实数根，
综上，满足条件的取值范围为或，即
故答案为：
5．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知关于的方程有两个实根，且一个实根小于，一个实根大于，请写出一个满足条件的实数的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】一元二次方程根的分布问题
【分析】根据二次方程根的分布知识进行求解即可得到的取值范围，写出符合题意的一个即可．
【详解】令
易知有，或，
即：，或，
解得，或，
的取值范围为，
故答案为：（答案不唯一）.
6．（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】一元二次方程根的分布问题
【分析】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数的取值范围.
【详解】设方程的两根为，
则,
∴
∴，
故答案为：
7．（24-25高一上·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程根的分布问题
【分析】根据题意，方程有两个不同的实数根，进而求解出方程的两个解，再根据的不同取值范围，讨论两根的分布情况，从而得出结果.
【详解】恰有两个整数解 方程有两个不相等的实数根
，解得，，且方程的两根可写为
时，，，此时不等式至少有4个整数解，不合题意；
时，，，此时不等式有两个整数解1和2，符合题意；
时，，.
当时，，即，解得，;
当时，不等式最多一个整数解，不合题意.
综上，.
故答案为：.
8．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题
【分析】根据一元二次方程有两个大于个实数根列不等式，结合韦达定理求得正确答案.
【详解】方程有两个大于的实数根，
则，
由题意可得，可得，
代入可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
题型16 一元二次不等式在实数集上恒成立问题
求解恒成立问题时，通常采用分离参数的办法，把参数分离出来，然后利用恒成立的思想求解。 ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则；
1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果.
【详解】不等式可化为：，
当，即时，不等式为，恒成立，满足题意；
当，即时，要使不等式恒成立，则需，
解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
2．（24-25高二下·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可.
【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意；
当，由不等式的解集为，
则，，解得，
即的取值范围为．
故选：A．
3．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案.
【详解】由可得：，
当时，，所以，
则的取值范围为，
满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集,
故其一个充分不必要条件是：.
故选:C.
4．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解.
【详解】因为，不等式恒成立，
当时，不恒成立，不合题意；
当时，满足且，
即，所以，所以，
所以，，
当且仅当即，取的最小值为.
故选：B.
题型17 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，解题步骤： 判断区间和二次函数对称轴的位置（若无法确定，需要进行分类讨论） 判断二次函数的单调性从而确定最大值或者最小值 代入题中关系式内进行求解
1．（24-25高三上·陕西·阶段练习）若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】对分，和讨论，再利用二次函数根的分布得到不等式，解出的范围，再计算得，即可得到其最小值.
【详解】当时，，则需，
当时，恒成立，
当时，，则需.
设，则，
解得或，
所以，当时，取得最小值，且最小值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对的分类讨论，从而得到一元二次方程根的分布情况，得到相关不等式和等式，再换元计算即可.
2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ）
A．32 B．8 C．35 D．7
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】将不等式化为，得到函数与，若对任意的，恒成立，则直线夹在函数与之间，可在平面直角坐标系中作出两函数图象，由图象可知若最大，则恒过点且与曲线相切；联立与，利用求出切线斜率，即为的值，从而求出的最大值.
【详解】∵，恒成立，
∴，直线夹在函数与之间，
直线刚好过点，即，
且直线与曲线相切，
有，.
由此得，，，
故选：A.
【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将不等式转化为三个函数之间的位置关系，通过数形结合的方式找到最大值取得的情况，利用切线的求解方法求得切线斜率，从而得到所求最值.
3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、利用不等式求值或取值范围、根据必要不充分条件求参数
【分析】由必要条件定义可得，由此可得在恒成立，结合二次函数性质列不等式可得的关系，结合不等式性质求结论.
【详解】因为是的必要条件，所以，
所以成立.
令，得在恒成立，
所以，所以，
，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：D.
4．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值
【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可.
【详解】由，得，
则问题转化为对于恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数的取值范围为.
故选：D.
5．（24-25高二下·浙江衢州·期中）对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.15
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】设，，得到，，，根据绝对值不等式的性质，求得，即，进而求得实数的取值范围.
【详解】设，，
则，，，
则
，
同理可得：，
所以，
所以，
因为对任意，都存在，使得成立，
即，所以，即实数的取值范围为.
故选：B.
6．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围.
【详解】由题意，在中，对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增，
∵对于，均有成立，
即对于，均有恒成立，设，则对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增，
当即时，
函数在上单调递减，函数在上单调递减，
，，
，
当，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，
，，
，
当，即时，，
函数在上单调递增，函数在上单调递减，
，，
，故不符题意，舍去.
当即时，
函数在上单调递增，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
，
当即时，
函数在上单调递增，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
此时，，所以符合题意.
当时，
函数在上单调递增，函数在上单调递增，
，，
此时，，所以符合题意.
综上，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，关键在于熟练掌握二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.
7．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、已知命题的真假求参数
【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可；
【详解】命题：，为假命题，
在上无解，
即与，函数图象没有交点，
由图可知：或，
命题：，为真命题，
则，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
8．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，均有，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】求出不等式的解集后，把问题转化为，再利用分类讨论思想进行列不等式求解．
【详解】不等式的解集为．
由题意知，
从而或，
解得或．
所以实数的取值范围为，
故答案为：．
9．（2025高三·上海·专题练习）已知集合，命题 p：：若命题 p 为真命题，则实数 k 的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】直接列出关于的不等式组即可求解.
【详解】命题 p表示“恒成立”.
当且仅当同时满足以下三个不等式：
当时：，解得；
当时：恒成立；
当时：解得；
综合条件得.
∴最终k的范围为.
故答案为：.
题型18 一元二次不等式在某区间上有解问题
一元二次不等式在某区间上有解问题可以转化为存在性问题进行求解
1．（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意，
当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意，
当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得，
综上可得，
故选：A
2．（24-25高一上·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、全称命题的否定及其真假判断、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解.
【详解】因为“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
则在区间上有解，
设，则的图象开口向上，对称轴为，
且，则当时，函数取得最大值为，
所以，即的取值范围是.
故选：C.
3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．，或
C． D．，或
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可.
【详解】因为正实数，满足，
所以，
所以
，
当且仅当且，即时等号成立.
因为不等式有解，
所以只需，即即可，
所以或.
故选：D
4．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值
【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解.
【详解】因为，即，
又因为，则，可得，
原题意等价于，使得成立，
令，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以实数的范围是.
故选：B.
5．（24-25高一上·河北·阶段练习）设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案.
【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立，
等价于当时，，
当时，，
即，所以；
若q为真命题，即存在，不等式成立，
等价于当时，.
由于，，所以，解得.
若p，q都是真命题，则；
所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或.
即,
故选：D.
6．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】利用基本不等式求出的最小值，解一元二次不等式即可求实数的取值范围.
【详解】由两个正实数，满足，
得，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
因为不等式恒成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
7．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果.
【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题，
所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立.
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
8．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）若，满足不等式，求实数的取值范围 .
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】将问题转化为有解问题，再分类讨论、与三种情况，结合判别式与二次函数的性质即可得解.
【详解】因为，满足不等式，即有解，
当时，不等式可化为，显然有解，满足题意；
当时，则，解得或；
当时，由二次函数的性质可知必有解，
综上，或.
故答案为：或.
9．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若对任意实数，总存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】不等式整理为关于的二次不等式恒成立，利用转化为存在，成立，求出的最大值即可得出.
【详解】由得,
因为对任意实数，不等式成立，所以，
即,即存在，成立，
因为在上单调递增，
所以，所以，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
题型19 一元二次不等式与二次函数和一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数： ① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根． ② 当时，图象与轴只有一个交点，交点即为对称轴对应的数值 ③ 当时，图象与轴没有交点. 注意：当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
1．（25-26高一上·全国·单元测试）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】将方程组消去，得到关于的一元二次方程，根据解的个数有求参数值.
【详解】，消去，得，
因为方程组只有一组解，所以只有一个解，
所以，解得．
故选：C
2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、基本不等式求和的最小值
【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可得，分析的取值范围，利用基本不等式可得结果.
【详解】由题意得，，方程的两根为，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为.
故选：C.
3．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、解不含参数的一元二次不等式
【分析】利用一元二次方程有解，可得判别式大于等于零可求解.
【详解】由题意知，关于x的一元二次方程有解，则，
即，解得或.
所以的取值范围是.
故选：C.
4.（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得.
【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且，
所以k的取值范围是且.
故选：C
5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则ab的最大值为 ．
【答案】18
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】设，由得，化成关于的一元二次方程，由方程有实数解得到，解不等式求得的最大值即可.
【详解】设，则，代入已知式得，
化简得，
由，解得或.
因为，，所以，故.
所以.
故答案为：18.
6．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知恒成立，则 ．
【答案】7
【难度】0.85
【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】先将等式转化为，然后根据等式恒成立即可得出结果.
【详解】由恒成立，
即恒成立，
则，解得，
所以.
故答案为：7.
7．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知不等式的解集为，则 .
【答案】4
【难度】0.94
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】利用三个二次的关系，将不等式的解集转化成方程的根，利用韦达定理求出即得.
【详解】依题意，方程有两根为1和2，且，
由韦达定理，，解得，故.
故答案为：4.
8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】根据二次函数的性质，即可求解.
【详解】由于，
不妨将其看作是以为自变量的二次函数，
由于，，
故时，取最大值，而，
当时，根据开口向下，对称轴为，
结合二次函数的性质，且上，处的值最小，
取，此时为（端点值取不到），
取，此时为，
综上，.
故答案为：
题型20 一元二次不等式在生活和实际中的应用
根据题意，和相关知识相结合进行求解
1．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元；
(2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用、一元二次不等式的实际应用
【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值；
（2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论.
【详解】（1）由题设，平均每万套的成本，
当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套；
（2）由题设，该套装每月的利润为，
所以，可得，
所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元.
2．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）.
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价））
(2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？
【答案】(1)，
(2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长
【难度】0.65
【知识点】一元二次不等式的实际应用、函数
【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式；
（2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论.
【详解】（1）设下调电价后新增用电量为，
因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为），
则，所以本年度的用电量为，
所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，.
（2）依题意有：，
整理得：，解得：，
所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长．
3．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
(2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？
(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？
【答案】(1)
(2)单价定为元时利润最大，最大利润为元
(3)
【难度】0.65
【知识点】一次函数的图像和性质、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的实际应用、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案.
（2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价.
（3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值.
【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点，
所以，解得，所以，
由解得.
所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是.
（2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售，
则，
则利润，
其开口向下，对称轴为，
所以当时，利润取得最大值为，
所以当单价为元时，取得最大利润为元.
（3）由（2）得利润，
又该商品每天获得的利润不低于1280元，
则，整理得，
即，解得，
销售量是减函数，所以当时，销售量最小，
且最小值为件.
4．（24-25高一上·河南南阳中小学教育资源及组卷应用平台
培优01 一元二次函数和方程以及不等式
题型1 不等式的定义及辨析
利用题中的变量之间的关系列出不等式。
1．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（ ）
A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节
C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节
2．（2025高一·全国·专题练习）下列不等式中，与不等式（为常数）解集相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·云南昆明·期中）如图，直角中，，，，在斜边上，在（包括边界）内，在线段上，，在线段上.四边形和四边形是矩形，，.
(1)试找出与之间的不等量关系式；
(2)求矩形和矩形面积之和的最大值.
5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢.
(1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？
(2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？
题型2 作差法和作商法比较代数式的大小
利用作差法和作商法比较代数式的大小 ⑴作差法：对于两个实数，，通过比较与的大小关系，从而得到实数，的大小关系，具体方法如下：；；． ⑵作商法：对于任意两个正数，，通过比较与的大小关系，从而得到正数，的大小关系，具体方法如下：当，时，；；
1．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·海南海口·阶段练习）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一·全国·专题练习）若，试比较与的大小．
5．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围．
（2）设、均为正实数，试比较和的大小．
题型3 由不等式的性质比较大小
不等式的性质汇总： 性质不等式性质具体内容1对称性2传递性，3可加性4可乘性5同向可加性6同向同正可乘性7可乘方性（，）8可开方性（，）9取倒数
1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
2．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．已知，，则
D．已知，若，，则
4．（24-25高三下·山西·阶段练习）设，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若，则
题型4 由不等式的性质证明不等式
利用不等式的性质证明不等式
1．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：．
3．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）比较和的大小；
（2）已知，，证明：
4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
题型5 基本不等式的定义辨析
常见的基础不等式 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4） 或（）； （5） 基本不等式成立的条件：一正二定三相等。
1．（2025·重庆·一模）已知 ，则使 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·河北·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．的最小值为2 D．的最小值为2
题型6 基本不等式证明不等式
利用基本不等式证明不等关系，需要注意： 式子中的数的取值范围 当式子取等号的时候需要满足的条件
1．（24-25高一上·浙江·期中）已知，均为正实数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
3．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）（1）已知，，，求证：．
（2）已知，，，，求证：．
4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：；
（2）若，，都是正数，求证：.
5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证：
(1)；
(2)．
题型7 基本不等式求积和和的最值问题
积、和”混合同除型原理： 形如与，可以通过同除（乘）ab互化。 从而得到1的关系式，和所要求的相乘构造基本不等式进行求解
1.（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2025·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
3．（24-25高一下·陕西·期末）实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
5．（24-25高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（24-25高一·江苏·假期作业）若实数 满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）．
A． B． C．2 D．4
8．（2025高一·全国·专题练习）若，，则的最小值为 ．
9．（2025高一·全国·专题练习）（1）若正数，满足，则的最小值为 ；
（2）设，那么的最小值是 .
10．（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ．
11．（2025·四川成都·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为 .
题型8 二次和二次商式的最值
在二次商式中，求最值时常用以下方法： 构造基本不等式求最值 利用判别式法求最值
1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（ ）
A．函数的最小值为7
B．函数的最小值为7
C．函数的最小值为7
D．函数的最小值为7
3．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 .
4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 .
5．（22-23高三下·上海·阶段练习）若正数，满足，则的最大值为 .
题型9 条件等式求最值
利用基本不等式 或（）变换得到不等关系 利用一元二次不等式求解集从而得到最值
1．（2025高一·全国·专题练习）已知正实数，满足，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（24-25高二下·山东日照·期末）已知实数，满足，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．5
C． D．
3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
4．（24-25高二下·广西梧州·期末）已知正数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
8．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．15 B．18 C．24 D．36
9．（24-25高一下·浙江·阶段练习）若正实数满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高二下·浙江丽水·期末）若实数，满足，则的最大值为 .
12．（2025高三·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ．
题型10 基本不等式“1”的妙用求最值
在解决此类问题中需要把条件等式同除，得到结果为“1”的等式 和题中所要求的式子相乘，构造基本不等式进行求解
1．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
2．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知正实数m，n满足，则的最小值为（ ）．
A． B．
C． D．
3．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．7 C． D．8
5．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知.则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为 B．的最大值为3
C．的最小值为 D．的最小值为
7．（24-25高二下·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，且，则下列命题正确的有（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
8．（24-25高二下·山东临沂·期末）若，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
9．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 .
10．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为 ．
11．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知长为，宽为的长方形面积为，则其周长的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
13．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
14．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．
15．（24-25高一上·山东枣庄·期中）（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值;
（2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值;
（3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值.
16．（24-25高一上·河北·阶段练习）可利用基本不等式解决下列问题：
(1)已知，求函数的最大值；
(2)已知，且，求的最小值；
(3)已知正数a，b满足，求的最小值.
题型11 基本不等式的恒成立问题
在基本不等式里，求解基本不等式更成立问题时，通常采用基本不等式求出最值然后利用恒成立思想进行求解 ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则；
1．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． D．
7．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型12 基本不等式的实际应用
根据基本不等式的性质和题中的变量关系列出不等式 从而求解
1．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能
2．（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）．
(1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
(3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值．
3．（25-26高一上·全国·单元测试）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）．
(1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？
(3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值．
4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，把一块边长为1m的正方形纸板的各角剪去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线做成一个无盖方底的盒子，要使盒子的容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
5．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；
方案二：其给出的整体报价为元，
(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值；
(2)求的函数解析式，并求报价的最小值；
(3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
6．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）.
(1)求的值；
(2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
7．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，.
(1)当时，求的值；
(2)设的面积为，求的最大值.
8．（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本）
(2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
9．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）．
(1)求a与b满足的关系式；
(2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值；
(3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值．
题型13 不含参数和含参数的一元二次不等式的解集
对于一元二次方程的两根为且，设，分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象有两相异实根 有两相等实根 无实根
1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）对于问题“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出一种解法：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为，类比上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·全国·专题练习）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型14 由一元二次不等式的解确定参数
根据一元二次不等式的解确定一元二次方程的参数，代入求值
1．（24-25高二下·天津南开·期末）已知，均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）设a，b，c为实数，不等式的解集是或，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是 .
7．（22-23高一上·福建厦门·开学考试）已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ．
8．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数a的取值范围是
9．（2025高三·全国·专题练习）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
10．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
题型15 一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布情况： 分布情况两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即 图象（a>0时）结论图象（a<0时）结论（不讨论a时）分布情况两根都在内两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，图象（）结论或图象（）结论或（不讨论时）——————
1．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
3．（24-25高一上·湖北·阶段练习）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 .
5．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知关于的方程有两个实根，且一个实根小于，一个实根大于，请写出一个满足条件的实数的值 ．
6．（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 .
7．（24-25高一上·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为 .
8．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为 .
题型16 一元二次不等式在实数集上恒成立问题
求解恒成立问题时，通常采用分离参数的办法，把参数分离出来，然后利用恒成立的思想求解。 ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则；
1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
2．（24-25高二下·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
题型17 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，解题步骤： 判断区间和二次函数对称轴的位置（若无法确定，需要进行分类讨论） 判断二次函数的单调性从而确定最大值或者最小值 代入题中关系式内进行求解
1．（24-25高三上·陕西·阶段练习）若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ）
A．32 B．8 C．35 D．7
3．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·浙江衢州·期中）对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，均有，则实数的取值范围为 ．
9．（2025高三·上海·专题练习）已知集合，命题 p：：若命题 p 为真命题，则实数 k 的取值范围是 .
题型18 一元二次不等式在某区间上有解问题
一元二次不等式在某区间上有解问题可以转化为存在性问题进行求解
1．（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．，或
C． D．，或
4．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若，使得成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一上·河北·阶段练习）设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
7．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ．
8．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）若，满足不等式，求实数的取值范围 .
9．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若对任意实数，总存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是
题型19 一元二次不等式与二次函数和一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数： ① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根． ② 当时，图象与轴只有一个交点，交点即为对称轴对应的数值 ③ 当时，图象与轴没有交点. 注意：当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
1．（25-26高一上·全国·单元测试）若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．1
2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．
3．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，则ab的最大值为 ．
6．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知恒成立，则 ．
7．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知不等式的解集为，则 .
8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，若，则的取值范围是 ．
题型20 一元二次不等式在生活和实际中的应用
根据题意，和相关知识相结合进行求解
1．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元；
②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元．
2．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）.
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价））
(2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？
3．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
(2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？
(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？
4．（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
5．（23-24高一上·江苏南通·期中）如图，某小区有一个直角梯形休闲广场，其中，，百米，百米．规划修建两条直道、将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅱ为绿化区域（图中阴影部分），面积分别记为、：Ⅲ为休闲区域，面积记为．其中，区域Ⅲ是以为底的梯形，点、分别在、上．（道路宽度忽略不计）
(1)试确定道路修建方案，使得；
(2)记休闲区域面积与绿化区域面积的比值为“效能比”，求此规划下该广场效能比的最大值．
1
