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培优02 的取值范围问题
题型1 结合单调性求的取值范围
1 函数的最小正周期是，所以; 2 已知函数在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半； 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围， 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出的取值范围。
1（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由求出，利用图象平移规律求出得到函数，再根据的单调性可得答案.
【详解】由得即，
因为，所以，可得，
将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
得到函数，
由得，
所以的单调递增区间为，
可得，则，
解得，又因为对，在上都不单调，
所以，解得，
综上，.
故选：B.
2（2025·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数图象的特征，可得，，求解即可.
【详解】原函数为，
相当于把位于轴下方的图象翻折到上方，
则有，，
当时，.
故选：D．
3（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由求出的范围，由函数在区间上单调递增，列出不等式，从而求得ω的范围，取的值得到结果.
【详解】当时， ，
则，
即，解得，
当时，，又∵，则，
当时，，
当时，∵，此时无解，
∴.
故选：D.
4（25-26高一上·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先得到函数变换的图像，由定区间上的零点个数判断解出，再由余弦函数递减区间计算得出，取交集得到的取值范围.
【详解】依题意可得，
当时，，
因为在上恰有两个零点，
所以，解得．
令，得，
令，得在上单调递减，
所以，所以又，所以．
综上所述，，即的取值范围是．
故答案为：
题型2 结合对称性求的取值范围
1 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻的对称中心之间的水平距离为，相邻的对称轴和对称中心之间的水平距离为 2 题中含有k个对称轴或对称中心，结合三角函数图象分析出取到k个和k+1个对称轴（或对称中心）时的图象，从而得到关于的不等式。
1（2024·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得到，利用的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又函数在区间恰有3条对称轴，
所以，解得，
故选：D.
2（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由的范围求出的范围，由题意可得，解不等式即可得出答案.
【详解】因为，所以，
要使函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，
所以，解得：.
故选：A.
3（2025·浙江杭州·一模）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据三角函数恒等变换将三角函数化简成余弦型函数，根据自变量的取值范围求解出的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得的取值范围
【详解】函数
，
因为，
所以，
由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，
根据函数的图像：
所以，整理得：．
故选：D．
4（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 .
【答案】.
【分析】结合题意，根据正弦函数的对称中心列出不等式求解即可.
【详解】由，则，
因为函数在上恰有四个对称中心，
所以，解得，
即的取值范围为.
故答案为：.
5（23-24高一下·广东佛山·期中）函数（）在上单调，且在上存在对称轴，则的取值范围是 .
【答案】.
【分析】根据单调区间确定周期范围，可得，求出对称轴方程，根据轴右边第一条对称轴在区间，第二条对称轴大于等于求解可得.
【详解】因为在上单调，所以，即，故，
由得函数的对称轴为，
因为在上存在对称轴，所以，得.
因为，所以，即，
要使在上单调，则，解得.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题关键在于结合周期，考察轴右边第一条对称轴，第二条对称轴的位置，据此列不等式求解即可.
6（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）若函数在处取得最大值，且的图象在上有6个对称中心，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意可求得，代入解析式可得，结合题意列出不等式组，解出即可.
【详解】依题知，
所以，
解得,
所以，
因为，所以当时，，
依题知解得,,
故答案为：.
题型3 结合函数最值求的取值范围
根据题中函数最值信息，结合函数的单调性得到关于的不等式。 【注意】注意临界值的选取，不等式中等号是否取到。
1（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图象变换得出表达式，由图象上的点及它所图象上的位置（增减区间）确定的值，由函数在上恰有一个最大值和一个最小值范围．
【详解】由已知得函数，由图象过点以及点在图象上的位置，
知，
由在上恰有一个最大值和一个最小值，，
.
故选：C．
2（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知函数图像关于原点对称，其中，，而且在区间上有且只有一个最大值1和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】因为函数图像关于原点对称，且，
即函数为奇函数，所以 ，
故 ，
当时，，有且只有一个最大值和一个最小值，
由正弦函数的图象与性质可得.
故选：B.
3（24-25高二下·广东汕尾·期末）函数的图象由向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上均不成立，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦型函数图象的变换性质，结合换元法进行求解即可.
【详解】因为函数的图象由向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，
所以，
当时，令，
因为，所以，，
要想函数在区间上均不成立，
只需，或，
解得，或，
若，，则，
解得，，因为，所以，
所以满足条件的不存在，
故选：D
4（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数 在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据，得到，再由，分， ，由最大值为求解.
【详解】因为函数在区间上的最大值为，
所以，解得，
因为，所以，
当，即时，，
令，在同一坐标系中作出图象：
令，
因为，，
所以存在唯一，使得；
当，即时，，即，解得 .
所以实数的取值个数最多为2.
故选：B.
5（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知函数 在上恰能取到次最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简得，根据题设条件列出不等式求解即可
【详解】
，
令，又，
由 在上恰能取到次最小值，
即在上恰能取到次最小值，
所以，解得，
故选：A
6（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二倍角公式，诱导公式化简函数，通过范围求得范围，由函数单调递增建立不等式，解出的取值范围，通过范围求得范围，由函数在对应区间取一次最大值建立不等式，解出的取值范围，
【详解】，
当时，由在区间上单调递增可得，，解得．
当时，，由恰好在区间上取得一次最大值可得，解得，
综上所述，，
故选：D．
题型 4 结合零点求的取值范围
对于区间长度的定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在区间至多含有k个零点，需要确定含有k+1个零点的区间长度的最小值。
1（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据在上有两个零点列出不等式组，解出取值范围即可．
【详解】由题可知，，
当时，，
因为函数在上有两个零点，
所以，解得，
故选：A．
2（24-25高一下·广东清远·期中）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象的变换可得，即可利用整体法，结合正弦函数的性质求解.
【详解】将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数，
因为函数在上没有零点，
当时，，
所以或，
解得或，
当时，或，
故选：D
3（2025·全国·模拟预测）已知函数在上恰好有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一：换元，由，得到，再结合余弦函数零点即可求解.法二：通过令，得，再结合，求解即可.
【详解】令，由，得，
函数在上恰好有一个零点，等价于函数在上只有一个零点，
所以结合余弦函数的部分图象得，解得.
故选：C
法二：令，得，则，
由，得，得.
因为满足题意的零点只有一个，即满足的整数只有一个，必为，
所以，解得.
故选：C.
4（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角函数图象的变换得出，再根据二次函数的性质得出在上有3个零点，法一、利用整体思想及正弦函数的性质得其零点为，根据定义域取值计算即可；法二、利用整体思想得，解不等式即可.
【详解】将函数的图像向左平移个单位长度，
得到函数，再将函数的横坐标变为原来的倍，
纵坐标不变，得到函数，
所以，因为当时，有2个零点，
所以要使在上有5个零点，则需在上有3个零点.
法一：令，则，
解得，当时，分别对应3个零点，
则，解得.故选A.
法二：因为，所以，
所以，则.
故选:A.
5（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案.
【详解】由题意可得：的最小正周期，
又对任意的恒成立，
所以为的一条对称轴，
所以，解得，
又，则，，
所以．
当时，，
若函数在区间上恰有3个零点，则，解得，
即的取值范围是.
故选：D．
6（24-25高一下·北京·期中）设函数，
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数在是增函数，直接写出实数的最大值；
(3)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用两角和差公式以及辅助角公式化简，再利用周期公式计算即可；
（2）先求出的单调增区间，再令即可；
（3）先求出的范围，再结合正弦函数的图象可得.
【详解】（1）
，
所以的最小正周期为.
（2）令，则，
令，则；令，则；
令，则；
若函数在是增函数，则，
则的最大值为.
（3），
因为，则当时，，
结合正弦函数的图象可知，为使在上恰有两个零点，则，
解得，
则的取值范围为.
题型 5结合图象求的取值范围
结合图象平移求的取值范围 1 平移后与原图象重合 思路1 平移长度即原函数周期的整数倍数； 思路2 平移前的函数平移后的函数; 2 平移后的函数与原函数关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 3平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数平移后的函数； 4 平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
1（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知，在函数与图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到两图象距离最短的两个交点坐标，计算即可.
【详解】由题根据三角函数图象与性质可得距离最短的交点坐标可以为，
，∴.
故选：D
2（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数在上满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由求出的范围，然后结合正弦函数的图象可得，从而可求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，
所以由图象可得，
解得.
故选：D
3（2025高三·全国·专题练习）当时，曲线的图象与曲线的图象有唯一交点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题得，要使的图象与的图象在有唯一交点，两个临界情况分类讨论解得参数范围；
【详解】由题得，要使的图象与的图象在有唯一交点，
两个临界情况分别如图①和图②所示，图①即在只有1个零点为π，
图②即在有2个零点且右边的零点为π，此时对应的不能取到，
当时，，令，
当函数在仅有1个零点时，
，得；
当在仅有2个零点且右边的零点为时，
，得，
则的取值范围为．
故选：C.
4（23-24高二下·湖南张家界·期末）若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出两个函数的图象，然后找出有4,5个交点临界状态的解即可.
【详解】如图所示，画出在的图象，
也画出的草图，
函数与的图象有且仅有4个交点，
则将的第4个，第5个与x轴交点向处移动即可.
满足，解得．
故选：C．
5（24-25高一下·浙江丽水·期末）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由条件，可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质及已知条件列出不等式求解即可.
【详解】依题意，，函数周期，
在同一坐标系内作出函数的图象，如图，
，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，
由对称性知，是以为底边的等腰三角形，，
由，整理得，
又，解得，
于是点，的纵坐标有，即，
要使为锐角三角形，当且仅当，
即，解得，
所以的取值范围是.
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式.
6（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）若函数在上恰好有4个零点和4个最值点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先求出的范围，再结合的图象，即可求解.
【详解】在上恰好有4个零点和4个最值点，
由于，结合的图象，
只需.
故答案为：
题型 6 函数综合性质求的取值范围
求解三角函数中的取值范围需要综合考虑多种因素．通过观察函数形式、确定基本周期、分析振幅和相位偏移、确定边界条件、利用三角恒等变换以及求解不等式等方法，可以逐步缩小的取值范围，最终得到准确的结果．这些方法不仅适用于处理三角函数的取值问题，也适用于其他类型的数学问题．在具体应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法进行处理．
1（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知单调性及零点列式得出，令结合正弦函数的性质，分的值计算求参.
【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增，
所以，解得，所以．
令，则当时，．
则在区间上单调递增且存在零点等价于在上单调递增且存在零点，
所以，解得，
又，当时，得；时，得，其他值，均不合要求，
所以或，所以的取值范围是.
故选：C.
2（2023·吉林长春·一模）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题目的要求伸缩变换得到解析式，然后结合函数在上恰有两个零点以及在上单调递减，列出不等式组，即可求得本题答案.
【详解】依题意可得，
因为，所以，
因为在恰有2个零点，且，，
所以，解得，
令，，得，，
令，得在上单调递减，
所以 ，
所以，又，解得．
综上所述，，故的取值范围是．
故选：C.
3（24-25高一下·北京海淀·期中）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中：
①的图象关于点对称； ②在内恰有5个最值点；
③在内单调递减； ④的取值范围是．
所有真命题的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、最值、单调性逐一判断即可.
【详解】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，
所以函数的解析式为：，
当时，，
因为函数在上有且只有5个零点，，
所以，解得，
因为，，
所以当时，，此时解不等式组，得，
当时，，即，
此时不等式组的解集为空集，故④正确；
①：因为，所以的图象关于点对称，
故本命题是真命题；
②：因为，所以，
又因为，所以，而，
即当时，，此时函数有4个最值点，故本命题是假命题；
③：因为，所以，
又因为，所以，而，故本命题是假命题；
故选：B
4（24-25高一下·上海黄浦·期末）若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）．
A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题
【答案】B
【分析】由已知可得函数的值域应关于原点对称，据此分析命题①②求得的范围，进而可判断命题的真假.
【详解】对于集合D内的任意，都存在，使得，
故函数的值域应关于原点对称，
对于命题①，当时，，要使函数值关于原点对称，
则，所以，
故若函数在上具有性质P，则的取值范围是，
故①为真命题；
对于命题②，，则，
若时，关于对称时值域关于原点对称，，解得，
当时，则，可得，
当时，则即可，解得，
当时，，可满足题意，即时恒成立，
综上所述：函数在上具有性质P，
则的取值范围是或或，故②是假命题．
故选：B.
5（2025·四川广安·二模）若函数的定义域内存在，，使得成立，则称该函数为“完备函数”.已知是上的“完备函数”，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由诱导公式和辅助角公式化简函数，由“完备函数”的定义得到关系式，结合三角函数的有界性，得到，从而得到在上至少存在两个最大值点，即可得中至少存在两个整数，然后求得的取值范围.
【详解】由
，
即是上的“完备函数”，所以存在，，使得成立；
即存在，，使得成立；
又因为，因此，即在上至少存在两个最大值点，
令，则，即，
则至少存在两个整数，
∴，
当，即一定满足题意.
又∵，即，
∴，即
∴当取1，2时，，则，
∴，
综上可知的取值范围为.
故选：D
【点睛】思路点睛，本题定义了“完备函数”，所以先化简函数，然后得到其性质，然后结合三角函数的有界性得到函数在区间内最大值点的个数，然后再转化为整数解的个数问题.
6（24-25高一下·辽宁锦州·期中）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.则 ；若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用伸缩变换易得，由题意，令，可将题设条件转化为在上有唯一解，结合正弦函数的图象，以及，即得，解之即可.
【详解】由题意得，
当时，有，此时，
令，则，因为时，所以，
因为对于的任意取值，在上有唯一解，
即在上有唯一解，因，则，如图所示：
由图可知，，所以.
故答案为：；.
7（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知函数，若在闭区间上存在使成立，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由两角差的正弦公式，可得函数的解析式，满足条件，则和都达到最大值，求出，由的范围，可得的范围.
【详解】，
要使成立，
若闭区间上存在，
则，设，
则，
则，且，
，
可得，显然不成立，即不满足条件；
当时，，
当时，都符合条件，即；
综上所述：的范围为.
故答案为：.
8（24-25高一下·上海·期中）已知函数．
(1)若，求函数的最小正周期；
(2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围；
(3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期；
（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；
（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围．
【详解】（1）由于，且，
所以的最小正周期为.
（2）由，且，得，
若函数在区间上严格递增，
则只需保证，求得，则，
则的范围为．
（3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根，
则关于的方程至少有2024个根，
则至少存在个使得，
因函数的最小正周期为，
故至少包含2023个周期，即
又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则，
得，
所以的取值范围为．
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培优02 的取值范围问题
题型1 结合单调性求的取值范围
1 函数的最小正周期是，所以; 2 已知函数在上单调递增（或递减），求的取值范围 第一步：根据题意可知区间的长度不大于该函数最小正周期的一半； 第二步：以单调递增为例，利用，解得的范围， 第三步：结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出的取值范围。
1（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2（2025·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4（25-26高一上·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ．
题型2 结合对称性求的取值范围
1 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻的对称中心之间的水平距离为，相邻的对称轴和对称中心之间的水平距离为 2 题中含有k个对称轴或对称中心，结合三角函数图象分析出取到k个和k+1个对称轴（或对称中心）时的图象，从而得到关于的不等式。
1（2024·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（2025·浙江杭州·一模）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 .
5（23-24高一下·广东佛山·期中）函数（）在上单调，且在上存在对称轴，则的取值范围是 .
6（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）若函数在处取得最大值，且的图象在上有6个对称中心，则的取值范围为 ．
题型3 结合函数最值求的取值范围
根据题中函数最值信息，结合函数的单调性得到关于的不等式。 【注意】注意临界值的选取，不等式中等号是否取到。
1（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）将函数图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知函数图像关于原点对称，其中，，而且在区间上有且只有一个最大值1和一个最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高二下·广东汕尾·期末）函数的图象由向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后得到的，若函数在区间上均不成立，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数 在区间上的最大值为，则实数的取值个数最多为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
5（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知函数 在上恰能取到次最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
题型 4 结合零点求的取值范围
对于区间长度的定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在区间至多含有k个零点，需要确定含有k+1个零点的区间长度的最小值。
1（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高一下·广东清远·期中）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（2025·全国·模拟预测）已知函数在上恰好有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数，为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6（24-25高一下·北京·期中）设函数，
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数在是增函数，直接写出实数的最大值；
(3)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围.
题型 5结合图象求的取值范围
结合图象平移求的取值范围 1 平移后与原图象重合 思路1 平移长度即原函数周期的整数倍数； 思路2 平移前的函数平移后的函数; 2 平移后的函数与原函数关于轴对称：平移后的函数为偶函数； 3平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数平移后的函数； 4 平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
1（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知，在函数与图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数在上满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（2025高三·全国·专题练习）当时，曲线的图象与曲线的图象有唯一交点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4（23-24高二下·湖南张家界·期末）若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高一下·浙江丽水·期末）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）若函数在上恰好有4个零点和4个最值点，则的取值范围是 ．
题型 6 函数综合性质求的取值范围
求解三角函数中的取值范围需要综合考虑多种因素．通过观察函数形式、确定基本周期、分析振幅和相位偏移、确定边界条件、利用三角恒等变换以及求解不等式等方法，可以逐步缩小的取值范围，最终得到准确的结果．这些方法不仅适用于处理三角函数的取值问题，也适用于其他类型的数学问题．在具体应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法进行处理．
1（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2（2023·吉林长春·一模）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一下·北京海淀·期中）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中：
①的图象关于点对称； ②在内恰有5个最值点；
③在内单调递减； ④的取值范围是．
所有真命题的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④
4（24-25高一下·上海黄浦·期末）若函数满足：对于集合D内的任意，都存在，使得，则称函数在D上具有性质P．对于命题：①若函数在上具有性质P，则的取值范围是；②函数在上具有性质P，则的取值范围是或或．下列判断正确的是（ ）．
A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题
5（2025·四川广安·二模）若函数的定义域内存在，，使得成立，则称该函数为“完备函数”.已知是上的“完备函数”，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6（24-25高一下·辽宁锦州·期中）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.则 ；若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为 .
7（23-24高一下·湖北孝感·期中）已知函数，若在闭区间上存在使成立，则的取值范围为 .
8（24-25高一下·上海·期中）已知函数．
(1)若，求函数的最小正周期；
(2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围；
(3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围．
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