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培优01 函数的概念与性质
题型1 函数的概念
函数的四个特征： 非空性：函数定义中的集合必须是两个非空集合并且是数集.如，就不是函数（定义域为空集）； 任意性：中任意一个数都要考虑到，即中每一个元素都有函数值； 唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应； 方向性：函数是从一个定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应关系就不一定是函数. 函数相等的三个条件： 定义域相等 值域相等 解析式相等
1．（24-25高一上·湖南·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】需要从函数的定义域和对应关系两方面进行分析.如果定义域相同，对应关系也相同，那么这两个函数就是相同函数.
【详解】对于A选项，对于，其定义域为.
对于，当时，；当时，，
它的定义域也是.但是与的对应关系不同，所以选项错误.
对于B选项，的定义域为.
，其定义域满足，定义域与不同，所以选项错误.
对于C选项，，定义域为.
，定义域为，与的定义域相同，对应关系也相同，所以选项正确.
对于D选项，的定义域为.
，其定义域满足，定义域与不同，所以选项错误.
故选：C.
2．（24-25高一上·北京朝阳·期中）下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域
【分析】由同一函数的概念逐一判断，即可求解
【详解】对于A中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误；
对于D中，函数的定义域为，
的定义域为，且，
所以它们是同一函数，故D正确；
故选：D.
3．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列各组中不是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，.
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域
【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同课判断.
【详解】选项A：的定义域为，此时，故两个函数是同一个函数；
选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；
选项C：两个函数的定义域都是，，故是同一个函数；
选项D：函数的定义域为，函数的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，
故选：BD
4．（24-25高一上·江西新余·阶段练习）下列各结论中正确的是（ ）
A．与表示同一函数
B．，则是集合到的一个函数
C．若函数的定义域是，则函数的定义域为
D．若函数的值域是，则函数的值域是
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的定义域、函数关系的判断、判断两个函数是否相等
【分析】根据函数的定义域和解析式相同可判断A；根据函数定义可判断B；由抽象函数的定义域可判断CD.
【详解】对于A，，
因为与定义域，解析式一致，故A正确；
对于B，，
则是集合到的一个函数，故B正确；
对于C，分母不能为0，所以，又，得，
所以的定义域为，故C正确；
对于D，因为函数的值域是，所以的值域是，
所以的值域是，故D不正确.
故选：ABC.
5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．函数的最小值为2
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、抽象函数的定义域、函数关系的判断、判断两个函数是否相等
【分析】A选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B选项，利用函数的定义可判断；C选项，根据抽象函数的定义域求法即可判断；D选项，利用基本不等式进行求解；
【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，
故函数与不是同一个函数，因此A不正确；
对于B，当函数在处无定义时，函数的图象与直线无交点，
当函数在处有定义时，函数的图象与直线只有个交点，
所以，函数的图象与直线的交点最多有个交点，因此B正确；
对于C，函数的定义域为，即，
则对于函数有，则，故函数的定义域为，因此C不正确；
对于D，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，但无解，故等号取不到，
故的最小值不为2，因此D不正确；
故选：ACD.
6．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数为增函数，且，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求函数值
【分析】令，则，令，则，即，又在上，函数为增函数，故，解方程可得值，同理求出的值，利用单调性判断即可求解.
【详解】令，则，
再令，则，
再令，则，
所以，又在上，函数为增函数，
所以，解得或，
所以或，
令，则，
再令，则，
再令，则，
所以，又在上函数为增函数，
所以，解得或，
所以或，
因为在上，函数为增函数，则，所以．
故答案为：
7．（2025高三·全国·专题练习）已知对于任意实数，，函数满足，且，则 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】求函数值
【分析】利用赋值法，分别令；；得到；；；再利用累加法得到即可求解.
【详解】对于，
令，得，解得，
令，得，又，解得，
令，得，即，
所以，，，，
故，
所以．
故答案为：
8．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求函数值
【分析】根据条件，令，得到，再通过累加法，即可求解.
【详解】令，得到，
所以，，，，，
累加得到，
即，
故答案为：.
题型2 具体函数和抽象函数的定义域
求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）如果是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的集合的公共部分. （5）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①任何时候，定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围是相同的； （6）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
1．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域
【分析】根据解析式有意义列出不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，
解得且，
故函数的定义域为，
故选：C
2．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域是（ ）
A．R B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域
【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.
【详解】根据题意，得到，解得且.故定义域是.
故选：D.
3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域
【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果.
【详解】因为函数的定义域为，
所以的定义域需满足：
，解得.
故选：D.
4．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域
【分析】根据的定义域可得，即可根据分式以及根式的性质求解.
【详解】由于的定义域为，故，
因此的定义域满足，解得且，
故定义域为，
故选：C
5．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域
【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解.
【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足：
，解得或，
故定义域为：
故选：D
6．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域
【分析】由的定义域可求得的定义域，再由中的范围，求交集即可．
【详解】由题：的定义域为，即，
所以的定义域为，
又中，
综上：的定义域为，
故选：D．
7．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求．
【详解】在中，，∴，
∴的定义域是，
故在中，解得，
∴的定义域是.
故选：A.
8．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域，求函数的定义域.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域；
（2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可；
【详解】（1）设，由于函数定义域为，
故，即，解得，
所以函数的定义域为；
（2）因为函数的定义域为，即，
所以，所以函数的定义域为，
由，得，
所以函数的定义域为.
9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】答案见解析
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】由函数的定义域为可得出，对实数的取值进行分类讨论，解该不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】由题意，，即.
当或，即或时，不存在，
即的定义域为，不满足函数定义，函数无意义；
当，即时，，的定义域为；
当，即时，，的定义域为；
当时，即时，，故的定义域为；
当时，即时，，故的定义域为．
综上：
①当或时，的定义域为；
②当时，的定义域为；
③当时，的定义域为；
④当或时，函数定义域为，不存在．
题型3 常见函数以及复杂函数（根式型，分式型）的值域
对于复杂型根式型函数的值域的求法，通常采用换元法，得到不含根式的式子，然后根据定义域求解
1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果.
【详解】令，则可得，即，
可得，
当时，取得最大值2，即；
所以其值域为.
故选：A
2．（24-25高一上·北京·期中）函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值
【分析】用换元法转化为求二次函数在某个区间的值域.
【详解】设，则，
所以，
因为，在上单调递增，所以当时，，
当时，，
所以函数，的值域是，
故选：D.
3．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、分段函数的值域或最值
【分析】当时，由换元法结合二次函数的值域即可得到结果，当时，由基本不等式即可得到其值域.
【详解】根据题意，当时，，令，可得，
所以，因此可得，
由二次函数性质可得，当时，取得最大值，
此时；
当时，，当且仅当，即时，等号成立；
所以的最小值为20，因此；
综上可得，函数的值域为.
故选：A.
4．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可.
【详解】结合题意：，
当时，；
当时，，当且仅当，
即，原式取得最小值；
另一方面，因为，所以，即;
当时，，
当且仅当，即，原式取得最大值;
另一方面因为，
令，则，所以，所以
所以，即;
综上所述：函数的值域是.
故选：A.
5．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值
【分析】求出函数的定义域，将函数变形成，再结合二次函数值域求解.
【详解】函数中，，，
则
，
而，因此，
所以函数的值域为.
故选：A
6．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是
D．函数的定义域和值域都是
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的定义域、抽象函数的值域
【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确；
对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；
对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误.
故选：B
7．（24-25高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、函数新定义、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】分类讨论和三种情况，利用基本不等式求得的取值范围，进而利用取整函数的定义即可得解.
【详解】因为，
当时，；
当时，，
又，当且仅当，即时取等号，
所以或2；
当时，，
又，当且仅当，即时取等号，
所以或1，
综上，得的值域为
故选：C.
8．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】由函数解析式得到，再通过换元结合基本不等式求解即可；
【详解】，，
所以，
设，由，可得：，
则，所以，，则
，当且仅当，即，即时等号成立．
故选：D．
9．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解.
【详解】因为，令，则，
则，，
可知开口向上，对称轴为，且，
所以在内的值域为，
即在内的值域为.
故答案为：.
10．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可.
【详解】，
令，则，
得，
当时，取得最小值为，
则函数的值域为
故答案为：
11．（24-25高二下·吉林长春·期末）函数在上的值域为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域.
【详解】当时，；
当时，令，，则，
，当且仅当，即时取等号，此时，
所以所求值域为.
故答案为：
12．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】求出函数的定义域，化简函数解析式为，利用基本不等式可求得函数的值域.
【详解】对于函数，有，可得，
所以函数的定义域为，
所以，
当且仅当即当时等号成立，
故函数的值域为.
故答案为：.
13．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】利用换元法求值域即可.
【详解】函数的定义域为，
令，则，
原函数变为，
当时，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当或时，，
即当时，；
当时，，
因为在上单调递增，所以当时，，
即当时，，
综上所述，函数的值域为.
14．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】先由柯西不等式求出函数的最大值，再由端点处函数值求出最小值，从而得到结果.
【详解】由，解得，
，
当且仅当，即时等号成立，
又，，故．
15．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】令，则，得，当时，得，当时，得，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以定义域为，
令，则，
得，
当时，得，
当时，得，
则，
得，或，等号成立时，分别对应和，
因为，
则，或，
得，或，
则，或，
综上知，函数的值域为：
16．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．
【答案】．
【难度】0.65
【知识点】绝对值三角不等式、复杂（根式型、分式型等）函数的值域
【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式列式求出值域.
【详解】函数的定义域为R，
由，当且仅当时取等号，
因此，
所以函数的值域是.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的值域．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值
【分析】当得，使分子不含，再对分母进行配方求出范围．在执行这一操作前，应注意这一特殊情况.
【详解】当时，
当时，，
因为，所以．
故函数的值域为．
题型4 根据实际问题作出函数图象
根据实际问题作出函数图象，注意定义域的范围限制
1．（23-24高一上·江苏徐州·开学考试）中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】图象法表示函数、二次函数的图象分析与判断
【分析】根据条件，直接求出与之间的函数关系式，根据关系式，利用基本函数图象，结合各个选项，即可求解.
【详解】易知当时，，
当时，交于，交于，如图，
因为，则，在中，，
所以为等腰直角三角形，所以，得到，
所以，故
所以，
故选：C.
2．（24-25高一上·北京丰台·期中）已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】图象法表示函数、函数关系的判断、函数图像的识别
【分析】根据函数的定义可判断；根据图象一一分析函数的定义域和值域，即可判断其它选项.
【详解】对于，直线与图象有两个交点，不符合函数的定义，故不正确；
对于，函数的定义域为，值域为，符合题意，故正确；
对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确；
对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确.
故选：.
3．（2025高一上·浙江杭州·专题练习）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据实际问题作函数图象、求分段函数解析式或求函数的值、三角形面积公式及其应用
【分析】根据题意求与的函数关系式，进而可得结果.
【详解】当动点在正方形边上沿运动时，
则的面积为；
当动点在正方形边上沿运动时，
则的面积为；
当动点在正方形边上沿运动时，
则的面积为；
所以，所以A正确，BCD错误；
故选：A.
=
题型5 已知函数类型求解析式以及求抽象函数的解析式
待定系数法 适用于已知函数解析式形式时，比如一次函数，二次函数，反比例函数等 此时，先设出函数的解析式，代入题中所给条件，根据对应相等思想得到相关的参数等式，从而求出参数的值
1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知函数类型求解析式
【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案.
【详解】设，由，
即，即，
即，解得，所以.
故答案为：.
2．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知函数类型求解析式
【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解.
【详解】由已知设，
因为，所以，
因为，
，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知对任意正实数，总有．
(1)求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求抽象函数的解析式、求函数值
【分析】（1）令，进行赋值求解；
（2）令，和，进行赋值求解.
【详解】（1）令，则，故．
（2）令，则，
故．
令，则，
又，
故．
4．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式.
(1)已知函数是一次函数，若，求的解析式.
(2)已知，求的解析式.
【答案】(1)或
(2)
【难度】0.65
【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式
【分析】（1）利用待定系数法，设，求出即可；
（2）利用换元法，令则，求出即可
【详解】（1）是一次函数，∴设（k）
，∴
∴或或
（2）令则，，
5．（2025高三·全国·专题练习）设是连续函数，且满足：，．求．
【答案】．其中，．
【难度】0.65
【知识点】求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式
【分析】根据给定条件，设，利用赋值法变形可得，再换元利用柯西方程求得答案.
【详解】设，
由题设方程，取，可得．
又，由上式，用替换，
则．
令，代入上式得，
这正是柯西方程，因此，其中，
所以，其中，.
6．（2025高三·全国·专题练习）求所有的函数，使得对任意的实数，都有．
【答案】（是常数）
【难度】0.65
【知识点】求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式
【分析】通过特殊值法求出的值，再通过换元法将原式进行转化，然后根据转化后的式子得出为常数，进而求出函数的表达式，最后进行检验.
【详解】令，得，解得．
设，，那么，
代入得
则有．
若，则上式为．
即对任意非零实数，有，
∴当时，为常数，
可设，其中为常数，则；
当时，也适合上式；
综上所述，对任意，所求函数为，其中为常数，
验证：函数（是常数）满足，
且有
；
故函数（是常数）即为所求函数．
故答案为：（是常数）
题型6 已知复合函数的解析式求解析式
1.换元法 适用于已知的解析式，求的解析式，可以设，注意新元的范围 配凑法 把复合函数的解析式配凑，直接取代
1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、已知f（g（x））求解析式
【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解.
【详解】因为，
且，或，
当且仅当即时取等.
所以.
故选：D.
2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，且函数的定义域为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】复合函数的定义域、已知f（g（x））求解析式
【分析】根据配凑法求出的解析式，并求出定义域判断得解.
【详解】由，则，
又函数的定义域为，即，
，
所以函数的定义域为.
故选：D.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】利用换元法令，求解析式即可．
【详解】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
4．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】对的式子适当变形，即可直接求出.
【详解】因为，
所以，则.
故选：A.
5．（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）已知方程（且），且，则的解为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】利用构造方程组的方法求得，从而得，即可得解.
【详解】∵（且）………①，
易知①中的x与取值范围相同，
于是将①中的x代得，
整理得：
（且）………②，
再将①中的x代替得
,
整理得（且）………③
可消去项得到：
则（且），
由此，解得.
故答案为：．
6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则 ．
【答案】（且）
【难度】0.65
【知识点】已知f（g（x））求解析式
【分析】运用换元法求解即可.
【详解】由于，（且），
则，
所以,且，所以（且）．
故答案为：（且）．
7．（2024高三上·江苏南京·学业考试）已知函数满足，且，则 ．
【答案】或2021.
【难度】0.65
【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式
【分析】，通过赋值法，求出t的值，进而得到，再求解即可.
【详解】令，则，
令，则，解得或.
而，故.因此.
则，
即，
因此或
当时，，时，此时；
当时，.
故答案为：或2021.
题型7 分段函数的定义域和值域以及相关求参数问题
1.分段函数的定义域分段求，求出之后求并集 2.分段函数的值域根据每一段的定义域分别求出每一段的值域，最后求并集 3.若分段函数的值域为R时，当分段函数为单调递增函数时，左边最大值大于右边最小值，当分段函数为单调递减函数时，左边最小值小于右边最大值
1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】分段函数的定义域
【分析】根据题意，结合分段函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】具体函数的定义域、分段函数的定义域
【分析】由分段函数的各段的定义域求并集可得分段函数的定义域．
【详解】因为函数，
所以的定义域为
，即函数定义域为，
故答案为：
3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，若当时，，则的最大值是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、解不含参数的一元二次不等式、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】根据给定条件，按和两种情况求出不等式的解集的并集即可求解.
【详解】当时，由，得，解得，因此；
当时，由，得，解得，因此，
因此等价于，依题意，，
所以的最大值为.
故答案为：
4．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量
【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可.
【详解】设，，，
当时，，，无解，不符合题意；
当时，，；
当时，，，无解，不符合题意；
当时，，．
故答案为：
5．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值
【分析】利用分段函数的性质代入求解即可.
【详解】因为，所以，
则，故B正确.
故选：B
6．（2025高三·全国·专题练习）设函数，使得的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】分段函数的性质及应用、解分段函数不等式
【分析】分和两种情况解不等式即可得解.
【详解】当时，，即显然恒成立，所以；
当时，，解得；
综上，的取值范围是．
故选：A.
7．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）设函数，若，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量
【分析】分析分段函数的单调性，结合单调性化简，求出，由此可求结论.
【详解】当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
又，若，此时，不合题设，
所以，即，
由，可得，
整理得，解得或（舍去），
所以．
故选：C.
8．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求分段函数值、求分段函数解析式或求函数的值、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】先求出的值域，利用换元法求解，的值域即可.
【详解】由题意知，，
当时，是单调递减的一次函数，，取值范围是，
当时，是单调递增的一次函数，取值范围是,
所以的值域为.
令，设，则，，
得，
当时，；当时，的取值范围是，
所以的取值范围是，即的值域为.
故选：B
9．（24-25高二下·辽宁·期末）已知符号函数，，若，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量
【分析】依题意可得，画出的大致图象，从而即可分析出若，则，进而即可求出实数a的取值范围．
【详解】由，则，
所以的图象如下图所示，
若（*），由分段函数可知：
当时，由（*）可得，即，解得；
当时，由（*）可得恒成立；
当时，由（*）可得恒成立.
综上可得.
若，则有，即恒成立；
，则有恒成立；
若，则有，解得，
综上分析，实数a的取值范围是．
故答案为：．
10．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设，若是的最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】根据分段函数分段求其最小值，再根据是的最小值可得答案.
【详解】当时，，当且仅当即时等号成立，
当时，为单调递减函数，所以，
若是的最小值，则，
解得.
故选：B.
11．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】对分情况，分段求函数的值域，再求并集，即可求解.
【详解】当时，函数在单调递减，，
，，，此时函数的值域是，不是，不符合条件，
当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件；
当时，函数的范围为，的范围是，
所以函数的值域是，符合条件；
当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件；
当时，函数的范围为，的范围是，
所以函数的值域不是，不符合条件；
所以.
故选：D
12．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．7 D．5
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】画出的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题.
【详解】根据题意，作出的图象如下所示：
数形结合可知，要使的值域为，且取得最大值，
则只需，即可，故的最大值为.
故选：C.
13．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】根据分段函数两段函数的单调性和最值，即可列式求解.
【详解】由题意可知，若，则时，单调递减，此时函数无最小值；
故需满足，得，
函数，，若函数的最小值为，
则且，解得：
综上可知，.
故答案为：
14．（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】由题知的值域为，可得的值域为的真子集即可求的取值范围.
【详解】易知函数，的值域为，
若函数的值域为，存在实数，则的值域不为，
即使函数，的值域为的真子集即可；
利用二次函数性质可知当或时，函数值为0，如图，
所以根据图象可知，即的取值范围为.
故答案为：.
15．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】根据题意，分，与讨论，结合一次函数与二次函数的值域列出不等式，即可得到结果.
【详解】当时，，
当时，，
若，
则时，，
则在上单调递减，在上单调递增，则，
此时要满足函数的值域为，则，解得；
若，则当时，；
当时，，满足函数的值域为；
若，则时，，
则在上单调递增，则，
此时要满足函数的值域为，则，解得；
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
16．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】根据函数的最小值列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于的最小值是，所以在上单调递减，
所以，此时单调递增，
则，整理得，
解得.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
17．（24-25高三上·广东湛江·期中）若函数存在最小值，则实数的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】根据一次函数、二次函数、分段函数的性质来求得的取值范围.
【详解】当时，，
显然，故只需，则.
故答案为：
18．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，的值域为，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】函数的表达式中含有绝对值，讨论去绝对值化成分段函数，结合函数图象求解.
【详解】由，
可得分段函数，
画出对应函数图象：
的值域为，且，,
所以的值能使得取得最小值；
由图可知：.
故答案为：.
19．（20-21高一上·天津南开·期中）设函数，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、二次函数的图象分析与判断、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果.
【详解】画出函数的图象如下图所示：
由可得，
当时，恒成立；
当时， ，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：
20．（24-25高三上·青海·期末）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量
【分析】根据题意由得，， 得到，构造函数，利用单调性即可求解.
【详解】因为当时，单调递增，当时，单调递减，
所以．由，得，
所以．令，得，
因为在上单调递增，
所以，
故选：A.
题型8 函数方程组法求解析式
若出现两个变量时，令其中一个变量等于另外一个变量，从而得到一个二元一次方程组，解之可得
1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）已知，求；
（3）已知函数，求；
【答案】（1）；（2）；（3）.
【难度】0.65
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式
【分析】（1）根据已知设，结合已知得到多项式相等求参数，即可得解析式；
（2）利用函数关系，列方程组求解析式即可；
（3）根据解析式，讨论的取值，进而写出的分段函数形式.
【详解】（1）令，又，
所以，
所以，故；
（2）由题设，联立，
所以，则，故；
（3）由题设，时，时，时，
所以.
2．（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式.
【答案】（1）或；（2）；（3），.
【难度】0.65
【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式、已知f（g（x））求解析式
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解；
（2）设，利用换元法求解析式即可；
（3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可.
【详解】（1）因为为一次函数，可设.
所以.
所以，解得或.
所以或.
（2）设，则，，即，
所以，
所以．
（3）由①，
用代替，得②，
得：，
即，.
令，则，.
则：，.
所以，.
3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数为一次函数，且对均满足.
(1)求函数的解析式；
(2)已知，，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)最小值为9
【难度】0.65
【知识点】已知函数类型求解析式、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）设，根据题意列式求即可；
（2）根据题意可得，法一：利用基本不等式可得，化简整理即可得结果；法二：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）设，则，
可得，解得，，
所以.
（2）因为，所以，即；
法一：所以，化简得，当且仅当时取等，
所以，
故的最小值为9；
法二：
，
当且仅当且，即，时取等号，
故的最小值为9.
4．（24-25高一上·湖北·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知函数.求的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式.
【答案】（1）或.
（2），.
（3），.
【难度】0.65
【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式、求二次函数的解析式
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.
（2）用换元法求函数解析式.
（3）用代替，得到一个新的关系式，解方程组，可求，再用换元法求的解析式.
【详解】（1）因为为一次函数，可设.
所以.
所以或.
所以或.
（2）设，则，
所以，.
所以，.
（3）由 ①
用代替，得： ②
得：即，.
令，则，.
则：，.
所以，.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足，求的解析式．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数方程组法求解析式、已知f（g（x））求解析式
【分析】用代替原方程中的，构造方程，解方程组，再由换元法得解析式.
【详解】用代替原方程中的，得到，
即．
联立方程组消去，得．
再用换元法，设，则，
∴且．
即．
6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数方程组法求解析式
【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可；
【详解】由，①
将替换成，可得：，②
再将①中替换成：，可得：，③
①②相减可得：，④
③④相加可得：，
所以，
故答案为：
题型9 利用函数性质求函数解析式
分段函数求解析式的一般方法是： 利用分段函数的奇偶性，根据或得到另外一段函数的解析式 在判断时,要特别注意与的范围,然后选择合适的解析式代入. 总结 若,则,把代入上的解析式即可得到. 利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是: 1.“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上; 2.利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到的解析式; 3.利用函数的奇偶性写出或,即可得到函数的解析式. 注意:若是R上的奇函数时,不要遗漏的情形
1．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上单调函数，且，求函数.
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、求函数值
【分析】设，当时得，当时得，进而可得，进而可得.
【详解】设，将代入中得，
故，则，
将代入中得，
得，得，
因函数在定义域上单调函数，，
故，解得，
即.
2．（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值.
【详解】因为函数为奇函数，即，
所以，可得①，
因为函数是偶函数，即，
所以，可得②，
联立①②可得，因此.
故选：C.
题型10 画出具体函数图象
根据基本初等函数的性质，通过平移翻折得到
1．（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的变换
【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象.
【详解】，可得函数的大致图象如图所示，
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象.
故选：C.
2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程）
（2）给定函数．
（i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象；
（ii），用表示中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数．
【答案】（1），图象见解析；（2）（i）图象见解析；（ii）图象见解析，.
【难度】0.85
【知识点】解析法表示函数、图象法表示函数、画出具体函数图象、分段函数的值域或最值
【分析】（1）去掉绝对值，得到分段函数，并画出函数的图象，由图象可写出函数的定义域和值域；
（2）（i）分析出的图象特征，画出函数图象；
（ii）在（i）基础上，画出的图象，并根据图象写出解析式.
【详解】（1），
该函数的图象如下：
由图象可知，定义域为R，值域为；
（2）（i）为一次函数，其图象为一条直线，经过点，
为二次函数，其图象为抛物线，开口向上，顶点坐标为，
故在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象，如下：
（ii）的图象如下：
解析法表示为.
题型11 定义法判断具体函数和抽象函数的单调性
常见函数单调性： ①一次函数，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数； ②反比例函数，当时，在和上分别为减函数；当时，在和上分别为增函数；但不能说在整个定义域内为增函数，因为此函数不连续 ③二次函数，看开口方向和对称轴 ④指数函数，对数函数，当时，在上为减函数；当时，在上为增函数 ⑤对勾函数：叫做双勾函数，在上单调递增；在上是单调递减。 ⑥复合函数单调性：同增异减（注意函数定义域），讨论复合函数的单调性时要注意： 1.若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; 2.若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·开学考试）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】令，且，则，利用函数单调性的定义推导出函数在上单调递减，计算得出，将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】因为函数的定义域为，
对、，满足，
又当时，，
令，且，则，
则，
所以，所以在上单调递减，
因为，所以，，
则不等式可化为，
所以，，解得．
因此，不等式的解集为.
故选：B.
2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．
(1)求的值；
(2)求证：在R上为增函数；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求函数值
【分析】（1）利用赋值法，求；
（2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数.
【详解】（1）由，
故此令，则，
则.
（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，
则，所以，
由得，所以，
故，即，
故此函数为R上增函数.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立．
(1)求的值；
(2)求证：当时，；
(3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由．
【答案】(1)0；
(2)证明见解析；
(3)在上为减函数，理由见解析.
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值
【分析】（1）令并代入关系式，即可得；
（2）利用关系式并结合（1）的结论，即可证；
（3）应用单调性定义，设，则，即可得结论.
【详解】（1）令，则，故；
（2）；
（3）在上为减函数，理由如下：
设，则，
又，故，
所以，即在上为减函数.
4．（2025高三·全国·专题练习）设函数和的定义域为，且单调递增，，，若对任意的，不等式恒成立，试讨论，的单调性．
【答案】，均为增函数．
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性
【分析】设，由函数单调性的定义，根据单调递增，得，由得，再利用函数单调性的定义判断，的单调性．
【详解】设，由于单调递增，则，
由，得，即，
所以，即
则由①得，
由②．
故，均为增函数．
5．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且.
(1)求，的值；
(2)用函数单调性的定义证明在上单调递减；
(3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值
【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案；
（2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得；
（3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可.
【详解】（1）由，取，可得：，
又当时，，则，
再取，可得：；
（2），
，且，则，依题，
则，
即在上单调递减；
（3）由已知，
又由（1）得，则有，
因在上单调递减，则恒成立，
即恒成立，又，
则，解得，
故实数的取值范围为.
6．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．
(1)求的值；
(2)求证：在R上为增函数；
(3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值
【分析】（1）利用赋值法，求；
（2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数；
（3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围
【详解】（1）由，
故此令，则，
则；
（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，
则，所以，
由得，所以，故，即，
故此函数为R上增函数；
（3）由已知条件得：，
故，，，
，由（2）可知在R上为增函数，
，即，
时，可得恒成立，
令，
由对勾函数性质可得在上单调递增，
所以，
所以
综上，.
7．（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，．
(1)求的值；
(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；
(3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，解集为
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求函数值
【分析】（1）令，即可求解；
（2）由，且，得到，再由当时，，即可求证；
（3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可.
【详解】（1）因为，，
令，可得，所以．
（2）对，且，
则，
因为，，则，
又因为，可得，
且当时，，则，即，
所以在定义域上是增函数．
（3）因为函数的定义域为，则，解得．
由，得等价于，
且，可得，
由（2）可知：在定义域上是增函数．
可得，解得，或（舍去），故，
故不等式的解集为．
题型12 根据函数的单调性求参数值或取值范围
根据函数的单调性和相关性质得到参数成立的不等式，从而求出参数的取值范围
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】利用常数分离法将原函数变形，根据参数分类讨论，利用反比例函数的单调性建立不等式，求解即得参数范围.
【详解】当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，由题意得，
①当时，，显然不合题意；
②当且时，，函数在和均为增函数，不合题意；
③当时，，函数在和均为减函数，因在上为减函数，故需使，即，故得.
综上，可得实数的取值范围是.
故答案为：
2.（2025高一·全国·专题练习）设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】令，分、两种情况讨论，可知对任意成立，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围.
【详解】令，分以下两种情况讨论：
（ⅰ）当时，对任意成立，
由于函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数，
所以实数应满足，即；
（ⅱ）当时，对任意成立，
由于函数在区间上是减函数，则在区间上是减函数，
所以实数应满足解得，所以．
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
3．（24-25高一上·湖北·期末）若函数 在单增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】要考虑函数有意义，即根号下的式子恒大于等于0.然后根据复合函数单调性的判断方法来确定实数的取值范围.
【详解】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增.
且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意.
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为.
所以在上单调递增.
要使有意义，则在上恒成立.
当时，，因为，所以，满足，所以符合题意.
当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为.
那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意.
综合以上三种情况，实数的取值范围是.
故选:C.
4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性求参数值
【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案.
【详解】当时，在上单调递增，满足题意，
当时，，满足题意，
当时，，由对勾函数的性质知，
若满足题意则，解得．
综上，.
故选：B．
5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值
【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】由于函数是定义在上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、根据函数的单调性求参数值
【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】当时，
若，则，
若，则，
函数的值域不可能为；
当时，，
在上单调递增，
在上单调递增，，
若函数的值域为，则，解得；
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：B.
7．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值
【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.
【详解】已知函数，
当时，单调递增，所以最大值为；
当且时，在上单调递增；
所以要使函数在上单调递增，
则，解得或(舍去).
故答案为：.
8．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值
【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果.
【详解】因为是上的减函数，所以，
解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
题型13 根据图象判断函数单调性
画出函数的图象，从而得到函数的单调区间 对于绝对值函数来说，IxI通常画出x>0的图象，把图象翻到左边 IyI通常画出y>0的图象，把图象翻到下边 If(x)I通常画出f(x)的图象，把图象从下面翻到上边
1．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 .
【答案】、
【难度】0.65
【知识点】求函数的单调区间
【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间.
【详解】因为，
由此画出函数的图象如图所示，
由图可知，函数的单调递减区间为、.
故答案为：、.
2．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知函数
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)单调递增区间为，函数的值域.
【难度】0.65
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、画出具体函数图象、求函数的单调区间
【分析】（1）对绝对值里面进行分类讨论，去掉绝对值符号即可；（2）运用描点法画图；（3）根据图像，直接写单调区间.
【详解】（1）由题意知
当时，
当时，
所以
（2）函数图象如图：
（3）由（2）知，函数的单调递增区间为，函数的值域.
3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，
(1)画出函数的图象；
(2)求的值；
(3)写出函数的单调区间．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)单调递减区间：和；单调递增区间为：和.
【难度】0.65
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、画出具体函数图象、求函数的单调区间
【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接画出函数的图象.
（2）根据函数的解析式，判断直接代入计算即得.
（3）根据分段函数图象，求出函数的单调区间.
【详解】（1）如图所示：
（2）；
（3）由（1）得到的图象可知，的单调递减区间为和．
单调递增区间为：和.
4．（24-25高一上·北京·期中）已知函数.
(1)当时，直接写出函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求二次函数的值域或最值、求函数的单调区间
【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解，
（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论即可求解
【详解】（1）当时，，
，
由二次函数的性质，作出函数的图象如下：故单调递增区间为
（2）因为，时，
所以，
则在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，；
当，即时，；
综上可得.
4．（23-24高一·上海·课堂例题）作出函数的大致图像，写出它的单调区间，并证明你的结论.
【答案】图象见解析，函数的增区间为，，减区间为，，证明见解析
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、画出具体函数图象、求函数的单调区间
【分析】根据函数作出图象，利用图象写出单调区间，再由函数单调性的定义，即可证明结果.
【详解】因为，其图象如图所示，
由图象可知，函数的增区间为，，减区间为，，
证明如下，
任取，则，
当时，，则，得到，
所以在区间上单调递减，
当时，，则，得到，
所以在区间上单调递减，
当时，，则，得到，
所以在区间上单调递增，
当时，，则，得到，
所以在区间上单调递增.
5．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数
(1)当时，画出函数的图象，根据图象写出单调递增区间；
(2)若函数为上的增函数，求实数的取值范围.
(3)若当，不等式恒成立，求实数的范围；
【答案】(1)作图见解析，.
(2).
(3).
【难度】0.65
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的单调性求参数、画出具体函数图象、根据图像判断函数单调性
【分析】（1）去绝对值化简可得，画出函数的图象，可得单调递增区间；
（2）利用分段函数的单调性即可求解；
（3）当时，，要使不等式恒成立，只需，利用二次函数性质即可求解.
【详解】（1）当时，，
由图可知，函数的单调递增区间为.
（2），因为函数为上的增函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）当时，，
要使不等式恒成立，只需.
当，即时，，所以；
当，即时，，此时无解.
综上，的取值范围为.
题型14 复合函数的单调性
对于复合函数,其单调性如下表所示,简记为“同增异减”: 增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数减函数减函数增函数
1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】复合函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式
【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间.
【详解】对于函数，由可得或
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，
外层函数在上为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为.
故选：A.
2．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可.
【详解】由，解得，
所以函数的定义域为，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故选：C.
3．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】复合函数的单调性
【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可．
【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，
设，
由，解得或，
所以在上单调递减，
所以的单调减区间为.
故选：B.
4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的单调递减区间为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复合函数的单调性
【分析】根据复合函数的定义域和单调性求解即可.
【详解】由，解得，
所以的定义域为，
令，，
因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为，
故答案为：
5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、分段函数的单调性
【分析】分，与三种情况，根据函数的单调性得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】当时，在单调递增，所以无最小值，不满足题意；
当时，令，则，根据双钩函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，所以要想在上有最小值，只需满足 即可；
当时，令，解得，，解得，
所以，
因为单调递增，单调递增，所以单调递增，单调递减，
即函数在上单调递增，在上单调递减，且在处连续，
所以在出取得最小值，
所以要想在有最小值，只需满足 即可；
综上所述：满足题意的的取值范围是.
故答案为：
6．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域
【分析】法1，分类讨论求出二次函数在上的最小值，进而求出的范围；法2，按分段，分离参数求出最值即可求出的范围.
【详解】解法1：设，，则，
（ⅰ）当，即时，，解得，无解；
（ⅱ）当，即时，，解得2，则；
（ⅲ）当，即时，，解得，则，
所以实数的取值范围为．
解法2：若对任意，恒成立，
当时，恒成立，则；
当时，恒成立，则；
当时，恒成立，则，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
题型15 利用函数的单调性求最值或值域
利用单调性法求最值的结论 （1）如果函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么函数在区间上有最大值.（2）如果函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,那么函数在区间上有最小值.
1．（2025高一·全国·专题练习）函数的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域
【分析】先确定定义域，再分别分析定义域内不同区间函数的单调性，进而求出最小值．
【详解】函数的定义域为．
①当时，因为与在上均是增函数，
所以在上是增函数，故；
②当时，，
因为与在上均是增函数，
所以在上是增函数，且最大值为，
故在上是减函数，
所以在上是减函数，
故．
综上，函数的最小值为．
故答案为：．
2．（2025高三·全国·专题练习）若对任意的，不等式恒成立，则m的最大值为 ，n的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域
【分析】讨论、，整理不等式为，研究的区间单调性和值域，求出参数范围即可得.
【详解】当时，恒成立，此时m，，
当时，，，
所以，
令，而在上单调递增，且恒为正，
则在上单调递增，且有，，所以，
综上，，，即（时可取等号），，
故m的最大值为，n的最小值为.
故答案为：；.
3．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为 ．
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值
【分析】首先得出函数单调性，画出函数图象，进一步根据题意列不等式即可求解.
【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以在R上的最小值为0．
因为函数，图象开口向上且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为．
综上，对于，当时，在上单调递减，在，上单调递增，且，
则的大致图象如图所示．
由图可知，若存在最小值，则，解得，故m的最大值为4．
故答案为：4.
4．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域
【分析】先求出函数的定义域，将函数式两边取平方得，利用换元成，，利用函数的单调性求得函数的最值即得函数值域.
【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为，
则，
设，则，显然在上为减函数，
故当时，即时，取到最大值4，则函数的最大值为2；
当时，即时，取得最小值2，则函数的最小值为.
故函数的值域为.
故答案为：.
5．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域
【分析】根据解析式求出函数定义域，再化，应用换元法，令得，结合对勾函数的性质求值域.
【详解】由题设，可得，
又，
令，则，
对于在上单调递减，在上单调递增，且，，
所以，则.
6．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域
【分析】首先确定函数的定义域，再由分类讨论不同区间上函数的单调性并求对应的值域，即可得.
【详解】由题设，函数的定义域为R，
当时，单调递增，则值域为，
当时，单调递增，则值域为，
综上，.
7．（2025高一·全国·专题练习）若存在实数，使得对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、利用函数单调性求最值或值域
【分析】去掉绝对值，先把不等式转化成，根据的存在性和的任意性，进一步将问题转化成，结合对勾函数的单调性求解.
【详解】由题意知存在实数，使得对任意的，都有，
即，
即成立．
设，，则题意等价于存在实数，
使得，所以，
即．
当时，显然在上单调递增，
则，解得，所以．
当时，根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增.
（ⅰ）当时，在上单调递增，
，．
由，解得，所以．
（ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增，
，．
因为，所以，
解得，所以．
（ⅲ）当时，在上单调递减，
，．
由，解得，与矛盾．
综上所述，实数的取值范围为．
题型16 比较函数值的大小关系
比较函数值的大小通常构造函数，通过函数的单调性比较函数值的大小
1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在R上的函数满足，且，，，有，则（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、函数对称性的应用
【分析】先分析出的图象关于直线对称，然后分析出在和上的单调性，最后逐项分析函数值大小关系．
【详解】因为，所以的图象关于直线对称，由条件可知在上单调递减，所以在上单调递增．
对于A，，所以A错误；
对于B，因为，所以，所以B错误；
对于C，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为且，所以，所以D错误．
故选：C.
2．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、比较函数值的大小关系
【分析】根据，知函数周期，利用函数的周期性与对称性将，，转移到同一个单调区间，再利用函数的单调性比较函数值的大小．
【详解】因为定义在上的偶函数在上为增函数，
所以在上单调递减，又因为，，即函数周期，
所以，，又，所以，
故选：B．
3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．在上为增函数
C． D．
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】比较函数值的大小关系、奇偶函数对称性的应用、函数对称性的应用
【分析】根据题意结合偶函数的性质可得图象关于直线对称，且在上为减函数，然后逐个分析判断即可
【详解】对于A，因为函数为偶函数，其图象关于对称，
所以函数的图象关于对称，故A正确；
对于B，函数在上为增函数且函数的图象关于对称，
所以函数在上为减函数，故B错误；
对于C，由于函数的图象关于对称，且函数在上为增函数，
所以，故C错误；
对于D，由于，
因为函数在上为减函数，且，
所以，即，故D正确.
故选：AD
4．（2025·湖北·二模）已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较函数值的大小关系
【分析】将化为便可利用的单调性解决.
【详解】因为，且，
所以，
即.
因为是定义域为的单调递减函数，
所以函数单调递减，
又因，
故，即.
故选：A.
5．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】比较函数值的大小关系、函数对称性的应用
【分析】结合函数的对称性及单调性即可比较大小
【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
即；
故选：D
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】比较函数值的大小关系
【分析】构造函数比较大小
【详解】，构造函数，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，所以.
因为，所以，所以.综上，.
故选：A.
题型17 根据函数的单调性解不等式
构造函数，利用函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解 同时利用函数的奇偶性分析函数的相关特征
1．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性得，解该不等式即可得解.
【详解】因为对任意的a，，都有，，且，
所以，且．
设任意，则，则，又，
所以，若，则当时，，
则，矛盾，所以，所以，所以函数单调递减，
所以不等式等价于，所以，
故，即，解得．
所以不等式的解集是．
故答案为：
2．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意实数满足：，若时，恒成立，则满足不等式的实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】观察抽象函数的特征式，易知其满足指数函数的函数性质，故采用特殊函数求解即可，本题也可以先运用单调性定义求出函数的单调性，再求解．
【详解】令，又，故，
对于任意的，又，
，故函数单调递减，
又不等式等价于，解得或．
故答案为：．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】根据单调性的定义得，在上为减函数，不等式化为，利用单调性得，解一元二次不等式即可．
【详解】对于，，有，，所以．
所以函数在上为减函数．令，易得其在上为减函数．
由，得．
由，得，
所以，即，得或．
故不等式的解集为．
故答案为：
4．（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立．
(1)判断在上的单调性；
(2)解不等式；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增
(2)
(3)或或
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式
【分析】（1）应用单调性定义判断单调性；
（2）根据单调性列不等式计算求解；
（3）根据不等式在给定范围恒成立，分和分别判断计算求解.
【详解】（1）任取，且，
则为奇函数，
，
由已知得，
，即．
在上单调递增．
（2）在上单调递增，
．
所以不等式的解集为．
（3）在上单调递增．
在上，．
问题转化为，
即，对恒成立．
设．
①若，则，对恒成立．
②若，则为的一次函数，若，对恒成立，必须有且，
或．
实数的取值范围是或或．
5．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
(3)当时，，求实数的最小值.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、已知函数类型求解析式、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域
【分析】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可；
（2）由单调性的定义作差即可求证；
（3）利用单调性求得最值，即可求解；
【详解】（1），，
，解得，.
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则，
，，且，
，，，
，即，
所以函数在上单调递增.
（3）由（2）知函数在上单调递增，
由对勾函数性质得在上单调递减，
函数在上的最大值为，
由知，，所以的最小值为.
6.（24-25高一上·福建龙岩·期末）已知函数.
(1)用定义法证明函数在区间上单调递增；
(2)对任意的都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】（1）利用单调性的定义按照步骤证明即可；
（2）结合函数的单调性求出，然后利用基本不等式求得，最后解一元二次不等式即可得解.
【详解】（1）证明：取任意，，且，
有，
由，可得，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）由在上单调递增，
可得在上，，
依题意得，，
又，当且仅当，
即，即时取等号，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
7．（24-25高一下·四川内江·开学考试），其中，若，则得取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、函数对称性的应用
【分析】画出函数图像，结合对称性构造不等式即可求解；
【详解】
画出函数的图像，
当时，，
,
即，
同理：当时，也可得，
所以的图像的图像关于对称；
所以等价于，
即，
解得：或，
又，
所以得取值范围是，
故选：B
8．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】先通过给定特殊值求出的值，再利用函数性质判断单调性，接着对不等式进行转化，结合函数单调性得到关于的不等式，同时考虑函数定义域限制条件，最终确定不等式的解集.
【详解】取时，代入，有，可得，即，所以.
设，因为，又已知时，，
那么，所以函数在上单调递增.
对不等式进行转化求解：
已知，由可得，所以.
因为函数单调递增，所以，移项得，解得.
考虑定义域限制条件：
由，解得；解得.
综合以上结果，不等式的解集为.
故选：B.
9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】根据题设有在定义域上单调递减，结合已知判断的区间符号，进而求不等式的解集.
【详解】由题设，在定义域上单调递减，且，
所以，在上，在上，
所以，当时，当时，当时，
由，可得解集为.
故选：C
10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用
【分析】根据题意可知函数关于直线对称，进而分析单调性和符号，根据符号解不等式即可.
【详解】因为，可知函数关于直线对称，
又因为在上单调递减，，
则在上单调递增，，
可知当时，；当时，；
若，可得或，解得或，
所以的解集是.
故选：D.
11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】由已知得函数单调性，利用函数单调性得不等式解集.
【详解】因为，所以在上单调递减，
又因为，
所以当时，，当时，，
当时，代表同号，
所以等式的解集是.
故选：B.
12．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】先研究的奇偶性和单调性，然后利用适当的变形转化原不等式，再求解.
【详解】设，对任意的有，
故，所以在上单调递增，而原不等式等价于，
即.故原不等式等价于，即，故原不等式的解集为.
故选：C.
13．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）定义在上的函数对，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【分析】构造函数，分析函数的奇偶性和单调性，把不等式转化成代数不等式求解.
【详解】不妨设
所以.
设，则在上单调递减.
又，即，所以为偶函数.
又不等式可化为：，
即，所以.故选：B
【点睛】思路点睛：
题型18 函数不等式恒成立问题
最常见的是二次函数的恒成立问题,分为两种题型: （1）二次函数在R上的恒成立问题; （2）二次函数在给定区间上的恒成立问题. 对于二次函数: ①若≥0在R上恒成立,则; ②若≤0在R上恒成立,则. 函数恒成立问题的求解方法（转化化归思想）分离参数法 函数的恒成立问题,一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题: ①≤恒成立≤; ②≥恒成立≥. 在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法.
1．（24-25高一下·广东·期中）已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】根据函数的奇偶性结合解析式判断其单调性，将原问题转化为关于x的不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，，
此时函数在单调递增，
故时，，则，，此时函数在单调递增，
且，故，在R上单调递增；
，即，即，
即，即，
故对任意，都有，即恒成立，
由此可得，解得，
即实数m的取值范围为，
故选：B
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意，恒成立，则实数t的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数不等式恒成立问题
【分析】由题意可得在上单调递增，由已知可得，可得，进而可求得数t的取值范围.
【详解】因为当时，，所以在上单调递增，
又函数是定义在R上的奇函数，所以，所以，
所以，又在上单调递增，所以在上单调递增，
对任意，，
当时，，可得，
当，，则，所以，
当时，，所以，
则，
从而，，，得．
所以实数t的取值范围为.
故答案为：.
3．（24-25高二下·江西·期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，.
(1)求函数与的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据奇偶函数的定义列方程组求解即可；
（2）换元令，可得原题意等价于在上恒成立，结合基本不等式运算求解即可.
【详解】（1）因为，是奇函数，是偶函数，
则，可得，
联立方程，解得，.
（2）因为，即，
又因为，令，则，
可得，整理可得，
原题意等价于在上恒成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，即，
所以实数的取值范围为.
4．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有
(1)求函数的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明；
(3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上为增函数，证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解；
（2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明；
（3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
则，即，解得，
又因为，即，解得，
经检验可得，符合题意．
所以当时，，
令则，
所以，
则当
综上所述，；
（2）函数在上是增函数．
证明如下：
任取，且，
则
，
因为，
所以，，
则，即，
故在上为增函数；
（3）由（2）可知，函数在区间上单调递增，
所以，
由于对恒成立，
则对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
构造函数，其中，
所以，即，
解得或或，
所以实数的取值范围是.
5．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，.
(1)求的解析式；
(2)证明:在上单调递减；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）由时，，得到，再利用为奇函数求解；
（2）利用函数单调性的定义证明；
（3）利用函数为奇函数，转化为恒成立，再利用（2）在R上单调递减求解.
【详解】（1）解：当时，，
，
∵为奇函数，
∴，
∴；
（2）证明：任取，，且，
，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴在上单调递减；
（3）∵恒成立，
∴恒成立，
又∵为奇函数，
∴恒成立，
由（2）知在上单调递减，且为奇函数，
∴在R上单调递减，
∴恒成立，
∴恒成立，
令，
当时，取得最小值，
∴.
6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题
【分析】由已知求得函数解析式，然后结合对勾函数的性质求得的取值范围（最大值和最小值），再结合不等式有解得参数范围.
【详解】由题意，得解得，，所以．
当时，，因为函数在上单调递减，在上单调递增
（破瓶颈：我们称形如的函数为对勾函数，
该函数的定义域为，在，上单调递减，
在，上单调递增），
当时，；当或时，，
所以，则．
不等式，即，则在上有解，
所以且，即，
则实数m的取值范围为．
故选：A.
题型19 函数不等式能成立有解问题
根据函数不等式能成立问题构造含有参数的不等式，从而求参数的取值范围
1．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得.
【详解】因为，对，有.
同理，对，有.
由，，使得，得
，得.
故选：B.
2．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数．若对，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】先对函数变形，求出它的值域，再求出函数的值域，根据题干中条件求解即可.
【详解】，令，
则令，
m在上单调递减，上单调递增，所以，则，
易知在区间上单调递增，则，
又，使得，
所以,解得：，
故选：A
3．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则该函数在上为增函数，
当时，，
因为对均有，
所以，，则，解得.
故选：D.
4．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据集合的包含关系求参数、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围.
【详解】由题意，函数，，
根据二次函数的性质，当时，，记，
对任意，总存在，使成立，
当，在上是增函数，，记．
所以，则，解得；
当，在上是减函数，，记，
所以，则，解得，
综上，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键.
5．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，若成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】由题意得，再结合单调性讨论的取值即可．
【详解】由题意得，在上是增函数，所以，
因为成立，
所以，即，
，
当时，，不满足题意，舍去；
当时，，
解得或（不合题意，舍去）．
综上，实数的取值范围是．
故答案为：．
题型20 函数的值域求法
求函数最值的常用方法有: （1）配方法 主要用于二次函数或可化为二次中小学教育资源及组卷应用平台
培优01 函数的概念与性质
题型1 函数的概念
函数的四个特征： 非空性：函数定义中的集合必须是两个非空集合并且是数集.如，就不是函数（定义域为空集）； 任意性：中任意一个数都要考虑到，即中每一个元素都有函数值； 唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应； 方向性：函数是从一个定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应关系就不一定是函数. 函数相等的三个条件： 定义域相等 值域相等 解析式相等
1．（24-25高一上·湖南·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·北京朝阳·期中）下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列各组中不是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，.
4．（24-25高一上·江西新余·阶段练习）下列各结论中正确的是（ ）
A．与表示同一函数
B．，则是集合到的一个函数
C．若函数的定义域是，则函数的定义域为
D．若函数的值域是，则函数的值域是
5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．函数的最小值为2
6．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数为增函数，且，则 ．
7．（2025高三·全国·专题练习）已知对于任意实数，，函数满足，且，则 ．
8．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则
题型2 具体函数和抽象函数的定义域
求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （4）如果是由几个代数式通过四则运算构成的，定义域为各部分分别有意义的集合的公共部分. （5）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①任何时候，定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围是相同的； （6）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
1．（24-25高一上·江西宜春·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）函数的定义域是（ ）
A．R B． C． D．
3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域，求函数的定义域.
（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
题型3 常见函数以及复杂函数（根式型，分式型）的值域
对于复杂型根式型函数的值域的求法，通常采用换元法，得到不含根式的式子，然后根据定义域求解
1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·北京·期中）函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是
D．函数的定义域和值域都是
7．（24-25高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
9．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 .
10．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
11．（24-25高二下·吉林长春·期末）函数在上的值域为 .
12．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为 ．
13．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．
14．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．
（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域.
16．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．
（2024高三·全国·专题练习）已知函数，求函数的值域．
题型4 根据实际问题作出函数图象
根据实际问题作出函数图象，注意定义域的范围限制
1．（23-24高一上·江苏徐州·开学考试）中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·北京丰台·期中）已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高一上·浙江杭州·专题练习）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
题型5 已知函数类型求解析式以及求抽象函数的解析式
待定系数法 适用于已知函数解析式形式时，比如一次函数，二次函数，反比例函数等 此时，先设出函数的解析式，代入题中所给条件，根据对应相等思想得到相关的参数等式，从而求出参数的值
1．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数满足，则 .
2．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 .
3．（2025高三·全国·专题练习）已知对任意正实数，总有．
(1)求的值；
(2)求证：．
4．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式.
(1)已知函数是一次函数，若，求的解析式.
(2)已知，求的解析式.
5．（2025高三·全国·专题练习）设是连续函数，且满足：，．求．
6．（2025高三·全国·专题练习）求所有的函数，使得对任意的实数，都有．
题型6 已知复合函数的解析式求解析式
1.换元法 适用于已知的解析式，求的解析式，可以设，注意新元的范围 配凑法 把复合函数的解析式配凑，直接取代
1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，且函数的定义域为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）已知方程（且），且，则的解为 ．
6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则 ．
7．（2024高三上·江苏南京·学业考试）已知函数满足，且，则 ．
题型7 分段函数的定义域和值域以及相关求参数问题
1.分段函数的定义域分段求，求出之后求并集 2.分段函数的值域根据每一段的定义域分别求出每一段的值域，最后求并集 3.若分段函数的值域为R时，当分段函数为单调递增函数时，左边最大值大于右边最小值，当分段函数为单调递减函数时，左边最小值小于右边最大值
1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数 则的定义域为 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为 ．
3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，若当时，，则的最大值是 ．
4．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ．
5．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三·全国·专题练习）设函数，使得的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）设函数，若，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
8．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高二下·辽宁·期末）已知符号函数，，若，则实数a的取值范围是 ．
10．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设，若是的最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数若当时，，则的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．7 D．5
13．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）已知函数的最小值为，则的取值范围为 .
14．（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是 .
15．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）若，则实数的取值范围是 .
16．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为 ．
17．（24-25高三上·广东湛江·期中）若函数存在最小值，则实数的取值范围为 .
18．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，的值域为，则的取值范围是 ．
19．（20-21高一上·天津南开·期中）设函数，若，则实数的取值范围是 .
20．（24-25高三上·青海·期末）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型8 函数方程组法求解析式
若出现两个变量时，令其中一个变量等于另外一个变量，从而得到一个二元一次方程组，解之可得
1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）已知，求；
（3）已知函数，求；
2．（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式.
3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数为一次函数，且对均满足.
(1)求函数的解析式；
(2)已知，，且，求的最小值.
4．（24-25高一上·湖北·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知函数.求的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足，求的解析式．
6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 .
题型9 利用函数性质求函数解析式
分段函数求解析式的一般方法是： 利用分段函数的奇偶性，根据或得到另外一段函数的解析式 在判断时,要特别注意与的范围,然后选择合适的解析式代入. 总结 若,则,把代入上的解析式即可得到. 利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是: 1.“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上; 2.利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到的解析式; 3.利用函数的奇偶性写出或,即可得到函数的解析式. 注意:若是R上的奇函数时,不要遗漏的情形
1．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上单调函数，且，求函数.
2．（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型10 画出具体函数图象
根据基本初等函数的性质，通过平移翻折得到
1．（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）把函数写出分段函数形式，并在答题卡上画出该函数的图象，写上该函数的定义域与值域（不需要过程）
（2）给定函数．
（i）在答题卡上的同一个坐标系画出函数的图象；
（ii），用表示中的较小者，记为，请分别用图象法和解析法表示函数．
题型11 定义法判断具体函数和抽象函数的单调性
常见函数单调性： ①一次函数，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数； ②反比例函数，当时，在和上分别为减函数；当时，在和上分别为增函数；但不能说在整个定义域内为增函数，因为此函数不连续 ③二次函数，看开口方向和对称轴 ④指数函数，对数函数，当时，在上为减函数；当时，在上为增函数 ⑤对勾函数：叫做双勾函数，在上单调递增；在上是单调递减。 ⑥复合函数单调性：同增异减（注意函数定义域），讨论复合函数的单调性时要注意： 1.若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; 2.若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数
1．（24-25高一下·安徽蚌埠·开学考试）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．
(1)求的值；
(2)求证：在R上为增函数；
3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立．
(1)求的值；
(2)求证：当时，；
(3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由．
4．（2025高三·全国·专题练习）设函数和的定义域为，且单调递增，，，若对任意的，不等式恒成立，试讨论，的单调性．
5．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且.
(1)求，的值；
(2)用函数单调性的定义证明在上单调递减；
(3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
6．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．
(1)求的值；
(2)求证：在R上为增函数；
(3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
7．（24-25高一下·江西新余·开学考试）已知定义域为的函数满足，，且当时，．
(1)求的值；
(2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数；
(3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由
题型12 根据函数的单调性求参数值或取值范围
根据函数的单调性和相关性质得到参数成立的不等式，从而求出参数的取值范围
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是 ．
2.（2025高一·全国·专题练习）设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ．
3．（24-25高一上·湖北·期末）若函数 在单增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
8．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 .
题型13 根据图象判断函数单调性
画出函数的图象，从而得到函数的单调区间 对于绝对值函数来说，IxI通常画出x>0的图象，把图象翻到左边 IyI通常画出y>0的图象，把图象翻到下边 If(x)I通常画出f(x)的图象，把图象从下面翻到上边
1．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 .
2．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知函数
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域.
3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，
(1)画出函数的图象；
(2)求的值；
(3)写出函数的单调区间．
4．（24-25高一上·北京·期中）已知函数.
(1)当时，直接写出函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数在区间上的最小值.
4．（23-24高一·上海·课堂例题）作出函数的大致图像，写出它的单调区间，并证明你的结论.
5．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数
(1)当时，画出函数的图象，根据图象写出单调递增区间；
(2)若函数为上的增函数，求实数的取值范围.
(3)若当，不等式恒成立，求实数的范围；
题型14 复合函数的单调性
对于复合函数,其单调性如下表所示,简记为“同增异减”: 增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数减函数减函数增函数
1．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的单调递减区间为 ．
5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
6．（2025高一·全国·专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ．
题型15 利用函数的单调性求最值或值域
利用单调性法求最值的结论 （1）如果函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,那么函数在区间上有最大值.（2）如果函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,那么函数在区间上有最小值.
1．（2025高一·全国·专题练习）函数的最小值为 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）若对任意的，不等式恒成立，则m的最大值为 ，n的最小值为 ．
3．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为 ．
4．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
5．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．
6．（2025高三·全国·专题练习）求函数的值域．
7．（2025高一·全国·专题练习）若存在实数，使得对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
题型16 比较函数值的大小关系
比较函数值的大小通常构造函数，通过函数的单调性比较函数值的大小
1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在R上的函数满足，且，，，有，则（ ）
A．B． C． D．
2．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．在上为增函数
C． D．
4．（2025·湖北·二模）已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
5．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型17 根据函数的单调性解不等式
构造函数，利用函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解 同时利用函数的奇偶性分析函数的相关特征
1．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意实数满足：，若时，恒成立，则满足不等式的实数的取值范围是 ．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为 ．
4．（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立．
(1)判断在上的单调性；
(2)解不等式；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围．
5．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
(3)当时，，求实数的最小值.
6.（24-25高一上·福建龙岩·期末）已知函数.
(1)用定义法证明函数在区间上单调递增；
(2)对任意的都有成立，求实数的取值范围.
7．（24-25高一下·四川内江·开学考试），其中，若，则得取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）定义在上的函数对，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型18 函数不等式恒成立问题
最常见的是二次函数的恒成立问题,分为两种题型: （1）二次函数在R上的恒成立问题; （2）二次函数在给定区间上的恒成立问题. 对于二次函数: ①若≥0在R上恒成立,则; ②若≤0在R上恒成立,则. 函数恒成立问题的求解方法（转化化归思想）分离参数法 函数的恒成立问题,一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题: ①≤恒成立≤; ②≥恒成立≥. 在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法.
1．（24-25高一下·广东·期中）已知是定义在R上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意，恒成立，则实数t的取值范围为 ．
3．（24-25高二下·江西·期末）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，.
(1)求函数与的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
4．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有
(1)求函数的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明；
(3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围．
5．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，.
(1)求的解析式；
(2)证明:在上单调递减；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，．若，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型19 函数不等式能成立有解问题
根据函数不等式能成立问题构造含有参数的不等式，从而求参数的取值范围
1．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数．若对，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ．
5．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，若成立，则实数的取值范围是 ．
题型20 函数的值域求法
求函数最值的常用方法有: （1）配方法 主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围. （2）换元法 用换元法时一定要注意新元的取值范围. （3）图象法 即数形结合的方法. （4）单调性法 利用函数的单调性求最值的方法,要注意函数的单调性对函数最值的影响. 利用函数的单调性求最值
1．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．0
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若定义在的函数满足，且有对恒成立，则的最小值为 ．
3．（23-24高一下·全国·课后作业）函数在区间的最大值为 .
题型21 函数奇偶性的定义与判断
函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； ③可逆性：是偶函数； 是奇函数； ④等价性：； ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
2．（25-26高一上·全国·单元测试）定义在上的函数满足，但不恒等于，则下列说法正确的是（ ）
A．可以是上单调递增的一次函数 B．可以是偶函数
C．可以是奇函数 D．存在非零实数，使得
3．（24-25高一下·湖南长沙·期末）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型22 抽象函数的奇偶性
通过赋值法构造出关于f(x)和f(-x)的相关关系式，从而得到函数的奇偶性
1．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．是偶函数
2．（24-25高二下·河南周口·期末）函数对任意、总有，当时，，，则下列命题中正确的个数是（ ）
①是偶函数；
②是上的减函数；
③在上的最小值为；
④若，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
3．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．的周期为 D．的值域为
题型23 由奇偶性求参数
1. 若函数为奇函数,则在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即. 2.若函数为奇函数,（为常数）,则. 3.通过函数的奇偶性采用赋值法求出函数的参数值
1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 .
2．（2025高二·全国·专题练习）设为实数，.是否存在，使得为奇函数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
3．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数为奇函数，且
(1)求的解析式
(2)求证：在区间上单调递增；
4．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知函数是定义在上的奇函数．
(1)确定的解析式；
(2)用定义法证明：在上是减函数；
题型24 由函数奇偶性解不等式
根据函数的奇偶性和其他性质构造出关于函数的含参不等式，从而求参数的取值范围
1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二下·吉林·期末）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ．
4．（2025高一上·全国·专题练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为 ．
5．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数在单调递增，则关于的不等式的解集为 ．
题型25 函数的对称性
若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”. 图象关于直线对称. 推论1: 的图象关于直线对称. 推论2、的图象关于直线对称. 推论3、)的图象关于直线对称. ⑵的图象关于点对称. 推论1、的图象关于点对称. 推论2、的图象关于点对称. 推论3、的图象关于点对称. 若是两个函数的图象的对称性，则满足以下结论 ⑴与图象关于y轴对称. ⑵与图象关于原点对称函数. ⑶函数与图象关于轴对称. ⑷函数与其反函数图象关于直线对称. ⑸函数与图象关于直线对称. 推论1:函数与图象关于直线对称. 推论2:函数与图象关于直线对称. 推论3:函数与图象关于直线对称. 函数的对称性常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
1．（24-25高二下·青海海南·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．
C． D．
题型26 奇偶函数对称性的应用
根据单调性和对称性综合应用
1．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象关于对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2025高三·全国·专题练习）若对，有，若有最大值和最小值，则的最大值与最小值之和是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．（24-25高一下·海南海口·期末）已知定义在实数集上的函数满足：，，且．下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．在区间上单调递减
C．的周期为3 D．
5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数满足：，，则方程所有实根之和为 .
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