培优02 分式不等式、高次不等式、含绝对值不等式解法（技巧解密+4考点）（含解析）高一数学同步培优备课学案（人教A版2019必修第一册）

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培优03 分式不等式、高次不等式、含绝对值不等式解法
题型1 简单分式不等式的解法
1 求解简单分式不等式，可转化为整式不等式； 常见的形式有：，， ，， 【注意】当遇到分式不等式右侧不是0时，比如，通过移项使得右侧为0，。
1（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.
【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，，
不等式等价于，则解集为，
故选：D.
2（23-24高二下·吉林通化·期末）不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】根据不等式的性质解分式不等式即可.
【详解】由不等式可得，，则不等式转化为，
解得或，故解集为或.
故选：D.
3（2025高三·新疆内蒙古·专题练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】移项后再转化为求一元二次不等式的解即可
【详解】由，得
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
题型2 一元高次不等式的解法
1 解一元高次不等式一般采取“穿针引线法”， 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. Eg 解，如图所示，解集为. 解，如图所示，解集为. 【注意】尽量使得每个的系数都为正。
1（24-25高二下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果.
【详解】因为关于的不等式的解集为或，
所以的两根是和，所以，，
所以可转化为，
等价于或，解得或．
所以原不等式的解集为或.
故选：B．
2（24-25高一上·江西景德镇·期中）不等式的解集为 .
【答案】
【分析】将不等式转化为或，再根据集合交集即可求解.
【详解】根据题意原不等式可转化为或，
则即，
则即，
综上可得不等式的解集为.
故答案为：
3（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由，可得或，从而可得答案.
【详解】解：由，
可得或，
解得且，
所以不等式的解集为.
故答案为：
4（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集．
【答案】或或.
【分析】将给定不等式移项通分，再转化为不等式组，结合数轴标根法求解.
【详解】不等式，
，
借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图所示（数轴标根法）：
由此得到原不等式的解集是：或或．
5（23-24高二上·广东湛江·期中）已知不等式的解集是．
(1)求实数的值．
(2)解不等式．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定的解集，结合赵大宝列式计算即得.
（2）由（1）的结论，化不等式为不等式组求解即可.
【详解】（1）由不等式的解集是，得是方程的二根，且，
于是，解得，
所以.
（2）由（1）知，不等式化为，即或，
解，得或，解，无解，
所以原不等式的解集是.
题型3 含绝对值不等式的解法
1 对于含绝对值的不等式，要去掉绝对值可平方或利用; 2 含绝对值不等式与型的解法。 当时，不等式的解集是或, 不等式的解集是; 当时，不等式的解集是;不等式的解集是; 3 当绝对值里是个含的式子，把它看成个整体再求解便可。
1（24-25高二·浙江杭州·期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接利用绝对值不等式的公式求解即可.
【详解】解：因为，
，
解得，
故选：B.
2（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以，
当时，原不等式等价于，解得，所以，
综上，原不等式的解为，
故选：A.
3（24-25高二上·甘肃张掖·期中）不等式的解集为 .
【答案】
【分析】把不等式化为，解得，再结合绝对值的定义，即可求解.
【详解】由题意，不等式可化为，解得，
所以或，
即不等式的解集为.
故答案为：.
4（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，则A∪B＝
【答案】
【解析】先解不等式得集合A，B,再根据并集概念得结果.
【详解】
所以
故答案为：
5（23-24高一上·上海普陀·期中）不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】把不等式两边平方，化为一元二次不等式求解.
【详解】不等式，即，
化简得，解得或.
故答案为：.
6（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式．
【答案】答案见解析
【分析】分类讨论参数即可解.
【详解】解：因为，故分以下两种情况讨论：
①当，即时，原不等式无解，即不等式的解集为．
②当，即时，原不等式可变为．
所以．
综上可知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
7（2025高一·上海·专题练习）已知不等式的解集为．设实数，证明：．
【答案】证明见解析
【分析】首先求得，则有，，证法一：作差法证明即可；证法二：根据不等式性质分析证明即可.
【详解】当时，原不等式可化为，即，所以；
当时，原不等式可化为，即，所以；
当时，原不等式可化为，即，所以；
综上可知；
证法一：因为，，所以，.
而，所以；
证法二：要证，只需证：，
只需证：，
因为，，所以，.
所以成立，所以成立.
题型 4 根据不等式解集求参数
1 若不等式是一元二次不等式，其解集为空集或全体实数或只有一个解，此时要结合对应二次函数的开口方向与判别式进行分析；若对应的一元二次方程有两个解,，则要比较,的大小，从而求出参数或其范围； 2 若不等式是分式不等式，则把其转化为一元二次不等式再求解； 3 若是高次不等式，则注意对应方程的解的大小比较。 【注意】求解的时候，要注意等号是否能够取到的问题。
1（24-25高二下·辽宁·期末）如果不等式与不等式有相同的解集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式，求得解集，进而可得是方程的两根，且，求解即可.
【详解】由，可得，所以，
所以不等式的解集为，
又因为不等式与不等式有相同的解集，
所以是方程的两根，且，
所以，解得.
故选：B.
2（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）若不等式的解集为R，则的范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】将问题转化为等式在R上恒成立，讨论的范围即可得到结果.
【详解】由题意得不等式在R上恒成立.
当时，不等式恒成立，符合题意.
当时，由不等式恒成立得，解得，
综上得，.
故选：A.
3（24-25高一上·江西赣州·期中）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系求解.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以，
，
因为，所以，解得或1（舍去）.
故选：B.
4（24-25高一上·安徽宣城·阶段练习）关于的不等式的解集中有且仅有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件得到的解集中有且仅有个整数解，令，利用二次函数的图象可得，即可求解.
【详解】由，得到，
因为关于的不等式的解集中有且仅有个整数解，
即的解集中有且仅有个整数解，则，
令，对称轴，
因为，，
要使的解集中有且仅有个整数解，
则有，即，解得，
故选：C.
5(多选)（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知不等式解集中的整数恰有个，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用不等式性质，整理不等式为一元二次不等式，结合分类讨论思想，可得答案.
【详解】由，则，，
易知，可得，
当时，解得，
由，则，
可得，解得；
当时，解得，由，则，
可得，解得.
故选：BD.
6（24-25高一上·上海徐汇·期中）关于x的不等式的解集是，则实数 .
【答案】
【解析】先根据绝对值不等式的解法得出不等式的解集为与已知解集比较可得，即可求解.
【详解】由可得，
解得： ，
因为不等式的解集是，
所以，解得：
故答案为：
7（24-25高二上·天津和平·期中）已知函数，
（1）解关于a的不等式；
（2）若不等式的解集为，求实数a，b的值；
（3）对任意的，不等式恒成立，求实数a的取直范围．
【答案】（1）（2）或（3）或
【分析】（1）由得：，解一元二次不等式即可；
（2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系，利用根与系数的关系，即可求出a、b的值
（3）对，恒成立等价于，转求最值即可．
【详解】（1）由得：.
∴
解集为
（2）由即，
可知1与3是方程两实根
故或
（3）对，恒成立等价于
即，满足
设，，
，
当且仅当
即时“=”成立
故，
或
【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的关系以及根与系数的应用问题，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与计算能力，是中档题．
8（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式．
(1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式（解集用表示）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的性质对的范围进行分类讨论即可求解；
（2）由恒成立，不等式可化为，然后结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求．
【详解】（1）若，且不等式对一切恒成立，
又恒成立，
所以恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为；
（2）当时，又恒成立，
不等式可化为，
即，
当时，，
当时，不等式可化为，
解得，
当时，不等式可化为，
当时，解得或；
当时，；
当时，解得或，
故当时，解集为；
当时，解集为，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
1