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培优02 集合中的参数问题
题型1 根据元素与集合的关系求参数
1 看清楚集合的元素类型和符合的特征； 2 由元素属于或不属于集合，得到参数的关系式，从而得到参数值； 3 把求出的参数值代回集合，由集合的互异性检验是否可以构成集合； 4 根据结果得出最后答案。 【注意】分类讨论的时候做到不重不漏；要根据集合互异性进行检验。
1（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（ ）.
A． B．或 C．1 D．
【答案】B
【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可.
【详解】，集合，
得或或，
解得或或，
当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去；
当时，，，，满足题意；
当时，，，，满足题意.
故选：B.
2（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（ ）
A．对任意实数a， B．对任意实数a，
C．当且仅当时， D．当且仅当时，
【答案】C
【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可．
【详解】对A，若，则，
将代入不全部满足，此时可知，故A错误；
对B，当时，则，
将代入全部满足，此时可知，故B错误；
对C，若，，解之可得，所以C正确；
对D，当，则，将代入不全满足，
所以，故D错误.
故选：C
3（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出.
【详解】对于，有，所以；
因为，则或，
而是方程的根，
当时，故，而不是方程的根，
故是方程的唯一根，则，
经检验，当时满足；
当时，则方程有三个不同根，
则当满足，即，
当，则满足；当，则满足；
当满足，即，
必有为方程的根，即，得，
当时，则满足；
当，则满足；
则，故.
故选：A.
4(多选)（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ）
A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1
C．若，则 D．若n=1，则
【答案】BC
【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可
【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.
∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；
同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： .
对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；
对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；
对于C: 若，有，解得：，故C正确；
对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.
5（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 .
【答案】
【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解.
【详解】因为，，且，
若，解得或，
当时，此时，
此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
当时，此时，
此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
若，，解得或，
前面已经分析不满足要求，
当时，此时，
此时集合，，满足集合元素的性质，
综上，，所以的取值集合为.
故答案为：.
6（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 .
【答案】
【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可.
【详解】因为，则只需考虑下列三种情况：
因为，，则，
又因为，则，
因为，则且，
可得，
所以，，解得，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解.
题型2 根据集合中的元素的个数求参数
1 注意集合的元素类型和符合的特征； 2 若集合涉及到一元一次方程，要讨论一次项系数是否等于0； 3若集合涉及到一元一次不等式，要讨论一次项系数大于等于小于0三种情况； 4若集合涉及到一元二次方程，要讨论二次项系数是否等于0三种情况. 【注意】注意不要漏了集合是空集的情况。
1（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．1或2
【答案】C
【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值.
【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素.
当时，方程是一元二次方程.
因为集合有且只有一个元素，
所以.解得.
综上，实数的值为或.
故选：C.
2（24-25高一上·河北·期中）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ．
【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可）
【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解.
【详解】依题意可得，解得，
则．
所以集合的8个整数元素为,
所以，解得．
故答案为：7（答案不唯一）.
3（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）集合有且仅有2个子集，则的取值集合为
【答案】
【分析】根据集合子集个数确定集合中元素个数，分和求解即可.
【详解】因为集合有且仅有2个子集，所以集合只有一个元素，
所以方程即只有一个根，
当时，方程为即，此时，符合题意；
当时，方程为即，此时，符合题意；
当时，原方程化为，所以，
解得，经检验，符合题意，所以的取值集合为.
故答案为：.
题型3 根据集合的相等关系求参数
1 两集合相等，即各元素都相同；若集合是离散型的，则要注意分类讨论； 2 求出参数还要注意集合的互异性，进行检验。 【注意】分类讨论做到不重不漏。
1（2025·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可.
【详解】当，时，，或任意，（舍去）；
当，时，，，不成立，
所以，，.
故选：A.
2(多选)（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误.
【详解】集合且，，
对于A，，即，则，A错误；
由，
得，即，
由，得，即，则，
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
3(多选)（24-25高一上·云南·阶段练习）已知集合，，若，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．12
【答案】ABD
【分析】根据，得到或，分类讨论得到的值，根据元素的互异性，舍去不合要求的解，求出的值.
【详解】因为，所以或.
①当时，，，
所以或，得或4.
当时，不合题设，舍去.
当时，，，此时.
②当时，，，
所以或，解得：或或
当时，不合题设，舍去.
当时，，此时.
当时，，此时.
故选：ABD
4（24-25高一上·天津·阶段练习）设是两两不相等的正整数，已知集合，集合，若，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】不妨设，由条件可得，，，由此证明为奇数且，证明时，都最小，由此可得结论.
【详解】不妨设，则，
因为，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
，
，
因为为正整数，，
所以，，都为奇数，，
故为大于等于的奇数，
又当时，函数，，都随的增大而增大，
所以当时，同时取最小值，此时取最小值，
当时，，，，，
所以的最小值是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在与通过假设，由此求出的表达式，结合整除知识，证明为大于等于的奇数.
题型 4根据集合间的包含关系求参数
1 弄清楚集合间的关系，是子集还是真子集；谁是谁的子集； 2 若，注意A是空集的情况； 3 由集合间的关系转化为方程（组）或不等式（组），求出参数或取值范围。 【注意】集合是连续性的，常常要用到数轴数形结合；不等式的时候，要注意等号是否能取到，利用假设法就行。
1（24-25高三上·福建泉州·期末）设集合，，若，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】D
【分析】由求解并验证即可；
【详解】由题意可得：，解得：或，
当时，，，不符合舍去，
当时，，，符合，
故 ，
故选：D
2（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，，若，则k的值不可能为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】先求出，再根据，分，，求解.
【详解】因为，
当时，即；
当，所以，即；
当，所以，即，
所以的可能取值为，，0，不可能为.
故选：C.
3（24-25高一上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的解法化简集合A，根据二次函数值域求解集合B，然后利用集合关系列不等式求解.
【详解】集合，
集合，
因为，所以，解得.
故选：A.
4（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知，集合，且，则不可能的值是（ ）
A．4 B．9 C．16 D．64
【答案】A
【解析】先设是方程 的根，，再依题意分析根均为整数，列举根的所有情况，确定和的可能情况，得到的最小取值和其他可能的情况，即得结果.
【详解】设是方程 的根，则由根和系数的关系知，又，说明方程 有一个方程是两个相等的根，其他三个方程是两个不同的根，由于根均为整数且和为4，则方程的根有以下这些情况：…，，乘积分别为…，-60，-45，-32，-21，-12，-5，0，3，4.
因为，故，来自于4前面的任意可能三个不同的数字，最小，故当时最小，等于9，故不可能取4，能取9；当或时可以取16，64.
故选：A.
【点睛】本题解题关键是能依据题意分析方程 的根的可能情况，既是整数又满足和为4，判断，再根据的可能情况，确定的可能结果，以突破难点.
5（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 .
【答案】16
【分析】先根据中的数除以的余数将集合进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案.
【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组：
，则，
，则，
，则，
，则，
，则，
A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个，
∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16.
故答案为：
【点睛】两数之和能被整除，则两数分别除以的余数之和能被整除.本题的分析方法是先求得中所有数除以的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被整除的知识来求得正确答案.
题型 5根据集合并集的结果求参数
1 若集合是离散型的，留意元素与集合的关系，进行分类讨论，最后要检验； 2 若集合是连续性的，多采取数轴进行数形结合。 【注意】要确定不等式解集的端点是否能够取到等号；有时候留意集合是否可以取到空集。
1（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，且，
所以，则或，
解得或或，
当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，，满足，符合题意.
故选：D.
2（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可.
【详解】方程的两根为或
，.
可能为
(1) 时，，符合
(2) 时，，符合
(3) 时，，符合
综上，实数m组成的集合为
故选：D
3（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由得，根据集合是否为空集分类可得.
【详解】
因为，所以，
若，此时，得，
若，由得，得，
故的取值范围是，
故选：D
4 (多选)（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）（多选），，且，则的可能值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】BCD
【分析】根据，，得到，分类讨论解决即可.
【详解】由题知
由，解得或
所以，
因为，所以
当时，，满足题意，
当时，，，即，或，即；
故选：BCD
题型 6根据集合交集的结果求参数
1 若集合是离散型的，留意元素与集合的关系，进行分类讨论，最后要检验； 2 若集合是连续性的，多采取数轴进行数形结合。 【注意】要确定不等式解集的端点是否能够取到等号；有时候留意集合是否可以取到空集。
1（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可；
【详解】，
因为，所以，
所以，
对应实数的值分别为，
其组成集合的子集个数为个.
故选：D.
2（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围.
【详解】由得，.
由得，，
∴或，
∴，解得.
故选：A.
3（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可.
【详解】因为，所以，
若，则，得，满足；
若，即时，要使，则有，
所以，此时.
综上所述.
故选：C．
4（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（ ）
A．8 B．6 C．7 D．4
【答案】A
【分析】根据可得，可得，再根据 可得，分和两种情况来讨论即可得解.
【详解】由得，所以，
，所以，
（1）若，由，所以，
所以，，
所以，即，
从而，
所以，所以，
即或，与矛盾；
（2）若，
则，从而，
所以，即，
从而，
所以，，
所以或，又，
所以，，
又，
所以，
由代入可得：
，所以或（舍），
所以，
故选：A
5（2024高一上·全国·专题练习）若集合A满足对任意，，都有，则称A为“S集”．若，，，为四个S集，且，则正整数的最大可能值为（ ）
A．66 B．67 C．68 D．69
【答案】B
【分析】首先观察本题中A集合中只考虑整数，故首先考虑A集合中所含最小正整数1，其次考虑第二个整数2．则第三个整数应为4，以此类推得到后续整数满足规律．同理当A集合中所含第一个整数1，第二个整数3，发现后续整数为所有正奇数．从而发现规律．
【详解】考虑到最后与取交集，则集合A中只考虑整数．
①假设A集合中所含第一个整数为1，第二个整数为2，
则以此类推后续整数为,
故观察规律发现从第三个数开始满足，；
②假设A集合中所含第一个整数为1，第二个整数为3，
则后续整数为
故观察规律发现从第一个数字开始满足，；
则最大整数可能值既满足又满足，
令，
则可发现我们需要寻找的最大整数为，
其中即是2的倍数，又是3的倍数，
故为6的倍数，
由此可得最大整数，，代入选项发现B选项满足题意．
故选：B．
6（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】记，依题意求出，即可得到，分、两种情况讨论，分别求出的最大值，即可得解.
【详解】记，由，解得，又，
所以，则；
当时，，又，所以，此时的最大值为；
当时，，此时或，
于是，此时的最大值为；
综上可得的最大值为.
故答案为：
题型 7根据集合补集的结果求参数
1 若集合是离散型的，留意元素与集合的关系，进行分类讨论，最后要检验； 2 若集合是连续性的，多采取数轴进行数形结合。 【注意】要确定不等式解集的端点是否能够取到等号；有时候留意集合是否可以取到空集。
1（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异.
【详解】由题意集合，，
又因为，且全集，
所以，解得，
但当时，集合违背了元素之间的互异性，
而当时，集合，，满足题意,
综上所述：.
故选：A.
2（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为，且满足， ，
所以当时满足，
此时，解得，
当时，则有，
解得,综上，，
即实数的取值范围为．
故选：A．
3(多选)（22-23高一上·浙江杭州·期中）已知集合A中含有6个元素，全集中共有12个元素，中有m个元素，已知，则集合B中元素个数可能为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
【答案】BC
【分析】根据中有m个元素，中有个元素，设集合B中元素个数为x，再根据集合A中含有6个元素，中共有12个元素，由求解.
【详解】解：因为中有m个元素，
所以中有个元素，
设集合B中元素个数为x，
又集合A中含有6个元素，
则，即，
因为，
所以，
又中共有12个元素，
所以，
则，
故选：BC
4（2020高一·上海·专题练习）则= ．
【答案】-1或5
【分析】由题意可得，一点有，再由，可得，进而可得结果.
【详解】设
两边同除，可得，所以
由，一定有，，即
，则 或
代入可得或
所以或5
故答案为：-1或5
【点睛】关键点点睛：通过两个方程的关系可得，一点有，是解题的关键.本题考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题.
题型 8 根据交并补混合运算的结果求参数
1 若集合是离散型的，留意元素与集合的关系，进行分类讨论，最后要检验； 2 若集合是连续性的，多采取数轴进行数形结合。 【注意】要确定不等式解集的端点是否能够取到等号；有时候留意集合是否可以取到空集。
1（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（ ）
A．或 B．或0 C．或0 D．或或0
【答案】D
【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可．
【详解】由题可知，，则或，
因为，
所以当时，，则，符合题意；
当时，，
由知，或，即或，
综上所述，实数为0或1或，
故选：D．
2（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据集合与集合的交集和并集运算结果，确定集合与集合中元素，再根据元素与集合的关系求解参数即可.
【详解】，，
得，解得.
故.
又因为，所以得.
代入得，解得：，
综上可得：.
故选：C.
3(多选)（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
【答案】AD
【分析】由交集、并集和补集的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，集合，集合，则A，
若 ，则实数的取值范围是；
若 ，则实数的取值范围是，
故选：AD.
4（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解.
【详解】
当时，，满足题意.
当时，时，解得
综上所述，.
故答案为：
5（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知集合，，，若，，则 ．
【答案】4
【分析】求出集合，根据集合关系可得，求出的值，然后验证可得.
【详解】，，
因为，，所以，，
由得，即，解得或，
当时，解得，此时，不满足题意；
当时，解得，满足题意.
所以.
故答案为：4
6（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，.
(1)求集合；
(2)求集合；
(3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)集合能满足，实数的取值范围为.
【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解；
（2）根据新定义运算可得，代入即可求解；
（3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可.
【详解】（1）因为对任意的，有，，
全集且，
所以
因为，所以，或，或.
当时，；
当时，；
当时，，
所以.
（2）,
因为且，所以，
所以
所以.
（3）因为，，所以.
假设集合能满足，
则，或且.
又，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得.
所以若且，则且.
综上所述，实数的取值范围为.
所以集合能满足，实数的取值范围为.
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培优01 集合中的参数问题
题型1 根据元素与集合的关系求参数
1 看清楚集合的元素类型和符合的特征； 2 由元素属于或不属于集合，得到参数的关系式，从而得到参数值； 3 把求出的参数值代回集合，由集合的互异性检验是否可以构成集合； 4 根据结果得出最后答案。 【注意】分类讨论的时候做到不重不漏；要根据集合互异性进行检验。
1（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，，则a的值为（ ）.
A． B．或 C．1 D．
2（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（ ）
A．对任意实数a， B．对任意实数a，
C．当且仅当时， D．当且仅当时，
3（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
4(多选)（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ）
A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1
C．若，则 D．若n=1，则
5（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 .
6（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 .
题型2 根据集合中的元素的个数求参数
1 注意集合的元素类型和符合的特征； 2 若集合涉及到一元一次方程，要讨论一次项系数是否等于0； 3若集合涉及到一元一次不等式，要讨论一次项系数大于等于小于0三种情况； 4若集合涉及到一元二次方程，要讨论二次项系数是否等于0三种情况. 【注意】注意不要漏了集合是空集的情况。
1（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．0或2 D．1或2
2（24-25高一上·河北·期中）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ．
3（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）集合有且仅有2个子集，则的取值集合为
题型3 根据集合的相等关系求参数
1 两集合相等，即各元素都相同；若集合是离散型的，则要注意分类讨论； 2 求出参数还要注意集合的互异性，进行检验。 【注意】分类讨论做到不重不漏。
1（2025·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2(多选)（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3(多选)（24-25高一上·云南·阶段练习）已知集合，，若，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．12
4（24-25高一上·天津·阶段练习）设是两两不相等的正整数，已知集合，集合，若，则的最小值是 ．
题型 4根据集合间的包含关系求参数
1 弄清楚集合间的关系，是子集还是真子集；谁是谁的子集； 2 若，注意A是空集的情况； 3 由集合间的关系转化为方程（组）或不等式（组），求出参数或取值范围。 【注意】集合是连续性的，常常要用到数轴数形结合；不等式的时候，要注意等号是否能取到，利用假设法就行。
1（24-25高三上·福建泉州·期末）设集合，，若，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
2（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，，若，则k的值不可能为（ ）
A． B． C． D．0
3（24-25高一上·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
4（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知，集合，且，则不可能的值是（ ）
A．4 B．9 C．16 D．64
5（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 .
题型 5根据集合并集的结果求参数
1 若集合是离散型的，留意元素与集合的关系，进行分类讨论，最后要检验； 2 若集合是连续性的，多采取数轴进行数形结合。 【注意】要确定不等式解集的端点是否能够取到等号；有时候留意集合是否可以取到空集。
1（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
3（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4 (多选)（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）（多选），，且，则的可能值为（ ）
A． B． C．0 D．
题型 6根据集合交集的结果求参数
1 若集合是离散型的，留意元素与集合的关系，进行分类讨论，最后要检验； 2 若集合是连续性的，多采取数轴进行数形结合。 【注意】要确定不等式解集的端点是否能够取到等号；有时候留意集合是否可以取到空集。
1（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
2（24-25高三下·甘肃张掖·阶段练习）已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一上·上海·单元测试）若集合，，则能使成立的所有a的集合是（ ）．
A． B．
C． D．
4（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为56，求（ ）
A．8 B．6 C．7 D．4
5（2024高一上·全国·专题练习）若集合A满足对任意，，都有，则称A为“S集”．若，，，为四个S集，且，则正整数的最大可能值为（ ）
A．66 B．67 C．68 D．69
6（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ．
题型 7根据集合补集的结果求参数
1 若集合是离散型的，留意元素与集合的关系，进行分类讨论，最后要检验； 2 若集合是连续性的，多采取数轴进行数形结合。 【注意】要确定不等式解集的端点是否能够取到等号；有时候留意集合是否可以取到空集。
1（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3(多选)（22-23高一上·浙江杭州·期中）已知集合A中含有6个元素，全集中共有12个元素，中有m个元素，已知，则集合B中元素个数可能为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．12
4（2020高一·上海·专题练习）则= ．
题型 8 根据交并补混合运算的结果求参数
1 若集合是离散型的，留意元素与集合的关系，进行分类讨论，最后要检验； 2 若集合是连续性的，多采取数轴进行数形结合。 【注意】要确定不等式解集的端点是否能够取到等号；有时候留意集合是否可以取到空集。
1（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（ ）
A．或 B．或0 C．或0 D．或或0
2（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3(多选)（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
4（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 .
5（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知集合，，，若，，则 ．
6（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，.
(1)求集合；
(2)求集合；
(3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由.
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