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培优03 三角函数的最值与值域问题
题型1 求正弦型三角函数的值域
1 理解正弦函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正弦函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。
1（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
2（25-26高一上·全国·单元测试）函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后，所得图象关于原点中心对称，则原函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高二下·浙江宁波·期末）若对，不等式恒成立，则（ ）
A． B．2 C． D．3
4（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为，
D．在上的最小值为
5（24-25高一下·江西抚州·期中）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ）
A．若，则的值域为
B．
C．，都有
D．
题型2 求余弦型三角函数的值域
1 理解余弦函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由余弦函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。
1（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
3（2023·湖南·一模）设函数，若函数与的图象关于直线对称，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．0
4（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为 ．
题型3 求正切型三角函数的值域
1 理解正切函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正切函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。
1（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．点是图象的一个对称中心
D．不等式的解集为
2（2023·陕西咸阳·模拟预测）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的定义域为
C．函数在上的最大值是
D．函数的单调递增区间为
4（25-26高一下·河南南阳·期末）若不等式在恒成立，则的取值范围是 .
题型 4利用辅助角公式求值域
1 辅助角公式 ，其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配： 型，配：， 2 遇到类似型函数，通过三角恒等变换的方法把函数形式变成，再利用三角函数的性质求解最值或值域。 【注意】函数转化过程中自变量的范围变化。
1（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数为奇函数，则在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高一下·广西钦州·期末）函数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
3（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中，且.记的最大值与最小值之和为，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则其最大值与最小值之差为（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，．
(1)求；
(2)求函数在上的值域；
(3)求不等式组的解集．
题型 5 与二次函数复合函数的值域
遇到求类似或型函数的最值，可利用，把函数中三角函数名变成一样的，把问题转化为二次函数的最值问题 【注意】函数转化过程中自变量的范围变化。
1（24-25高二下·浙江·阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高二下·浙江温州·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
3（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．－4 B．2 C． D．－2
4（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知，则函数的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
6（2022·四川·模拟预测）已知函数，给出下列结论：
①的最小正周期为： ②是奇函数：
③的值域为； ④在上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④
题型 6 的值域
1 ； 2 遇到求的最值，可令（或），利用表示，从而把函数转化为二次函数的最值问题。 【注意】不要忽略t的取值范围。
1（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3（25-26高三上·河南·阶段练习）若对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数.
(1)若，且，求的值；
(2)设函数，若，求的最大值.
5（25-26高三上·河南·阶段练习）如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且．
（1）若的周长为，求的解析式及的取值范围；
（2）求的最值．
题型 7 求分式型三角函数的值域
1 遇到求分式型三角函数的最值，可利用分离参数法把函数形式转化为的最值问题； 2遇到求分式型三角函数的最值，可利用换元法。
1（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）函数在的值域为（ ）
A． B． C． D．
2（2025高三·全国·专题练习）当时,函数的最小值是
A． B． C． D．4
3（2025高三·全国·专题练习）设，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4（2025高三·全国·专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5（25-26高三下·海南海口·期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在区间上的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
6（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7（2025·河北邯郸·二模）当时，函数的最大值为 ．
题型 8 根据三角函数的值域求参数
若已知含参的三角函数最值或值域，先把函数进行变形成常见的模式（，或等），再求参的最值（有时候要分类讨论），从而得到含参的等式求出参数。
1（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）函数在区间上的最小值为，则a的取值为（ ）
A． B． C． D．
2（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的最大值为4，则正实数的值为（ ）
A． B．2 C．或2 D．2或
3（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高一下·四川成都·阶段练习）设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（），且函数图象的一个对称中心为.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)若在区间上的值域是，求m的取值范围.
6（23-24高一下·江西宜春·期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求的值.
(3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围.
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培优03 三角函数的最值与值域问题
题型1 求正弦型三角函数的值域
1 理解正弦函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正弦函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。
1（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据最小正周期可以求出参数，再结合函数的单调性求出最值.
【详解】化简原函数得，即
由函数的最小正周期为，可得，所以.
因为，所以时，则，
由，得，，
所以，故选A.
2（25-26高一上·全国·单元测试）函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后，所得图象关于原点中心对称，则原函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件求出，进而得出函数的解析式，再利用函数性质求解即可.
【详解】因为函数的最小正周期是以及，
所以由，则，
设图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，
则，
由图象关于原点中心对称可知，，
又，所以，
所以，
当时，，
所以
所以原函数在区间上的值域为，
故选：D.
3（24-25高二下·浙江宁波·期末）若对，不等式恒成立，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的值域可得当时，，当时，，设，由的单调性及对称性可知，继而即可求解.
【详解】，所以，，
所以当，
即时，，
当，即时，，
所以当时，，
当时，，
设，
则在上单调递减，在上单调递增，
且的图象关于直线对称，
所以，
所以，即，
又，故.
所以.
故选：.
4（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为，
D．在上的最小值为
【答案】D
【分析】由题意先求，再逐项验证即可.
【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴，
所以，
又在上单调递增，所以，
所以当时，，故A正确；所以，
由为奇函数，故B正确；
由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，
令，解得，，故C正确；
由，所以，当，即时，故D错误；
故选：D.
5（24-25高一下·江西抚州·期中）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ）
A．若，则的值域为
B．
C．，都有
D．
【答案】A
【分析】先由图象确定的值，再根据周期求出，然后结合特殊点求出，得到函数表达式后逐一分析选项.
【详解】由函数图象可知，函数的最小值为，因为，所以.
观察图象可知，（为函数的周期），那么.
根据正弦函数的周期公式，可得.
此时函数为，已知函数图象过点，将其代入函数可得，即.
因为，所以，解得，故选项D正确.
综上，函数.
分析选项A，当时，，则.
令，函数，.
当，即，时，；
当，即，时，.
所以的值域为，选项A错误.
分析选项B，将代入可得：，选项B正确.
分析选项C，因为，所以，.
对于，，选项C正确.
故选：A.
题型2 求余弦型三角函数的值域
1 理解余弦函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由余弦函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。
1（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据的范围直接去求的范围即可.
【详解】，，，
，，
，即，
函数，的值域为.
故选：D.
2（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用弦函数的性质分类去绝对值符号，进而可求值域.
【详解】，
所以函数的值域为.
故选：B.
3（2023·湖南·一模）设函数，若函数与的图象关于直线对称，则当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】根据对称可得，进而根据整体方法求解最值即可.
【详解】在的图象上任取一点，它关于的对称点为.
故点在的图象上，从而.
当时，，由在上单调递减可知：
在区间上的最大值为，
故选：B.
4（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为 ．
【答案】1
【分析】根据已知条件得出，从而得出，平移变化得到，分析在上的单调性，得到最大值点在区间左端，从而求解.
【详解】已知函数，最小值，最大值，
且的最小值为.
函数取最大值和最小值时，相位差为的奇数倍，
故最小相位差为，对应最小距离：
.
验证：时，取最大值时，如；
取最小值时，如.
距离为，符合条件.
所以
的图象向右平移,得.
纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，
得.
当时，计算角的范围：，
在上，在上递减，在上单调递增，
，故.
故答案为：1.
题型3 求正切型三角函数的值域
1 理解正切函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正切函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。
1（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．点是图象的一个对称中心
D．不等式的解集为
【答案】D
【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.
【详解】，
作出的图象，如图，观察图象，
对于A， 的最小正周期为，故A错误；
对于B，的值域为，B错误；
对于C，的图象没有对称中心，C错误；
对于D，不等式，
即时，得，
解得，
所以的解集为，故D正确.
故选：D.
2（2023·陕西咸阳·模拟预测）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象变换以及三角函数的奇偶性求得，根据三角恒等变换以及三角函数值域的知识求得正确答案.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到，
由于是偶函数，所以，
由于，所以，
所以，
由于，所以，所以.
故选：A
【点睛】求解三角函数图象变换有关的题目，关键点有两个，一个是“左加右减”的理解，另一个是的影响.求解三角函数值域有关的题目，需要先按照三角恒等变换的公式进行化简，然后再根据角的范围求得相应的值域.
3（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的定义域为
C．函数在上的最大值是
D．函数的单调递增区间为
【答案】ABD
【分析】由三角函数的周期公式可判断A；由正切函数的定义域可判断B；由正切函数的性质可判断C；通过求正切函数的单调区间可判断D.
【详解】对于A，由周期公式得到函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，由，得，所以函数的定义域为，故B正确；
对于C，由得，，故此时函数单调递增，
故最大值为，故C错误；
对于D，由，得，
所以函数的单调递增区间为．故D正确.
故选：ABD.
4（25-26高一下·河南南阳·期末）若不等式在恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断的符号，再去绝对值化简得：，故问题转化为在上恒成立问题，再根据函数性质求解即可得答案.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 不等式在恒成立
∴ ，
∴.
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的性质，三角函数的符号等，考查运算呢管理，是中档题.
题型 4利用辅助角公式求值域
1 辅助角公式 ，其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配： 型，配：， 2 遇到类似型函数，通过三角恒等变换的方法把函数形式变成，再利用三角函数的性质求解最值或值域。 【注意】函数转化过程中自变量的范围变化。
1（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数为奇函数，则在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先化简函数的解析式，然后根据是奇函数求出的值，然后根据正弦函数的性质和的范围确定的最大值.
【详解】因为，
所以.
因为为奇函数，所以.
所以.
当时，，
所以，
所以的最大值为.
故选：D.
2（24-25高一下·广西钦州·期末）函数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】由题可将化为，其中，然后可得答案.
【详解】
，其中，
则当时，取最大值.
故选：C
3（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中，且.记的最大值与最小值之和为，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用放缩可知最小值，利用辅助角公式可知最大值，然后计算即可.
【详解】因为，，所以
，当且仅当时，取最小值.
又，
其中，，.
所以当且仅当时，取最大值.
所以.
故选：C.
4（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则其最大值与最小值之差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简函数的解析式，利用正弦函数、余弦函数的基本性质可求出的最大值和最小值，即可得解.
【详解】因为，
当时，即当时，
，即，
此时，；
当时，即当时，
，则，
此时，，
所以，函数的值域为，即，，
因此，函数最大值与最小值之差为.
故选：C.
5（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，．
(1)求；
(2)求函数在上的值域；
(3)求不等式组的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先由周期求出，再结合可得；
（2）通过的范围求出的范围，进而求出的值域；
（3）根据正切函数的图象解不等式即可.
【详解】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴，
又∵，∴．
（2）∵，∴当时，，
∴函数在上的值域为.
（3）∵，∴，
∴，其中，∴，
即不等式的解集为．
题型 5 与二次函数复合函数的值域
遇到求类似或型函数的最值，可利用，把函数中三角函数名变成一样的，把问题转化为二次函数的最值问题 【注意】函数转化过程中自变量的范围变化。
1（24-25高二下·浙江·阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦二倍角公式整理函数，利用换元法，根据二次函数的性质，可得答案.
【详解】由，令，则，
由，则函数的值域为.
故选：C.
2（24-25高二下·浙江温州·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由正弦二倍角公式，即换元得到，即可求解.
【详解】
，
令，
可得： ，易知对称轴为，
所以当时，取到最小值0，
故选：A
3（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．－4 B．2 C． D．－2
【答案】A
【分析】根据诱导公式以及余弦的二倍角的公式化简得，由二次函数的性质即可求解最值.
【详解】由得，
令 则， ，对称轴为，
故当时，取最小值,
故选：A
4（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分离参数得，结合的取值范围，求式子的值域即可.
【详解】令，
得．
因为，所以.
所以，
当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为：.
所以.
故选：C
5（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知，则函数的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化简的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质求得最大值.
【详解】
，
设，
则的开口向下，对称轴，
所以函数在上单调递增，
所以，
也即的最大值为.
故选：A
6（2022·四川·模拟预测）已知函数，给出下列结论：
①的最小正周期为： ②是奇函数：
③的值域为； ④在上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①，画出函数图象可以判断最小正周期；②，利用定义判断奇偶性；③，配方后求出最值，求出值域；④代入检验判断单调性.
【详解】，画出函数图象如下：
显然的最小正周期为，①正确；
，故，且，
所以是非奇非偶函数，②错误；
，
因为，所以在取得最大值，，
当时，取得最小值，，所以的值域为，③正确；
当时，，由复合函数单调性知单调递增，④正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是作出函数的大致图象，数形结合分析，考查了学生转化与化归的能力.
题型 6 的值域
1 ； 2 遇到求的最值，可令（或），利用表示，从而把函数转化为二次函数的最值问题。 【注意】不要忽略t的取值范围。
1（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的基本关系可借助换元法将原函数化为，借助辅助角公式可得的范围，结合二次函数性质即可得其最大值.
【详解】令，则，
由，
故，
即，
由，故的最大值为.
故选：B.
2（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解.
【详解】因为，则，则，
令，
所以，，则，
则，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
当时，；当时，，则.
因此，当时，则函数的值域为.
故选：D.
3（25-26高三上·河南·阶段练习）若对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】先分离参数，将恒成立问题转化为最值问题，再换元求出最值，即可得到答案.
【详解】和在均大于0，∴在上大于0，得.令，则.令，则，且，于是，且在上为减函数，所以，所以.
故选D.
4（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数.
(1)若，且，求的值；
(2)设函数，若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，根据已知有，且，利用与关系求值；
（2）法一：根据，应用基本不等式求函数的最大值；法二：令，利用三角恒等变换及三角函数性质得且，进而求其最大值.
【详解】（1）由题知，
因为，所以，且，
所以.
（2）法一：因为，所以且.
由题设，
当且仅当时取等，故的最大值为.
法二：令，
首先，所以，
其次，当且仅当时取等，
所以，
所以，
当时，，即的最大值为.
5（25-26高三上·河南·阶段练习）如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且．
（1）若的周长为，求的解析式及的取值范围；
（2）求的最值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】(1)根据给定条件解直角三角形可得EF，EG，再借助勾股定理求出FG即可得，由点F与G的位置探求的最大、最小值得解；
(2)利用(1)的结论，令结合同角公式变形成关于t的分式函数，再借助单调性求解即得.
【详解】(1)在中，则，又，即有，
同理有，
显然为锐角，
因此，，
因为分别为线段上的点，当与点重合时，最大，此时，而为锐角，则，
当点与重合时，最大，此时最小，同理可得最大值为，则，于是得的取值范围为，
所以；
(2)由(1)知，令，则，
因，则， ，
于是得，又，
则，因在上单调递减，当，即时，，
当，即或时，，
所以.
【点睛】思路点睛：同角三角函数的基本关系中，使用平方关系时注意方程思想的应用，对于sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以知一求二．
题型 7 求分式型三角函数的值域
1 遇到求分式型三角函数的最值，可利用分离参数法把函数形式转化为的最值问题； 2遇到求分式型三角函数的最值，可利用换元法。
1（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）函数在的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先换元令，再令，得到关于的二次函数表达式，然后结合二次函数的性质求解.
【详解】令，则，
则，
令，，则，
所以，，
由二次函数的性质可得当，取得最大值，
又，所以.
故选：B.
2（2025高三·全国·专题练习）当时,函数的最小值是
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答
【详解】分子与分母同除以，得，
时，的最大值为
综上，的最小值为4
故选D
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题
3（2025高三·全国·专题练习）设，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，原函数转化为求的值域，利用反比例函数的性质即可求解.
【详解】令，则，
.
故选：D
4（2025高三·全国·专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将原式进行化简，然后根据正弦函数的范围列出不等式，然后求得一元二次不等式的解集即可.
【详解】原式可化为．
由辅助角公式，得，
∴，整理得，
解得.
故选：B．
5（25-26高三下·海南海口·期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在区间上的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数，进而求出函数并化简，再利用换元法借助函数单调性求解作答.
【详解】依题意，，则
，
当时，，令，则，
而函数在是都是增函数，则函数在上单调递增，
函数在上单调递减，则当时，，
所以所求最小值为.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的函数的最值问题，可以换元或整体思想转化为单变量函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.
6（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】利用正切函数的性质求出的范围，再利用和角的正切及二倍角的正切公式化简并分离参数，借助对勾函数性质求出范围即得.
【详解】当时，，则，
于是，而，令，
函数在上单调递减，因此，即
依题意，，所以实数的最大值为2.
故选：C
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，
①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；
③若，使得成立，则；④若，使得成立，则.
7（2025·河北邯郸·二模）当时，函数的最大值为 ．
【答案】-4
【分析】化简函数得，再换元，利用二次函数和复合函数求函数的最值.
【详解】由题意得
所以，
当时，，
设
所以，
所以当时，函数取最大值.
所以的最大值为-4．
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对已知函数的化简，由于已知函数分子分母都是“二次式”，所以可以同时除以，得到单变量函数.
题型 8 根据三角函数的值域求参数
若已知含参的三角函数最值或值域，先把函数进行变形成常见的模式（，或等），再求参的最值（有时候要分类讨论），从而得到含参的等式求出参数。
1（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）函数在区间上的最小值为，则a的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过换元将关于的函数转化为关于的二次函数，利用二次函数单调性求解的范围，再根据以及余弦函数图象的对称性求出的范围.
【详解】令，因为的值域是，所以，此时函数可转化为.
对于二次函数，对称轴为.
所以在区间上为增函数.
令，移项可得.解得，.
因为，所以取.
又因为在上递增，要使，则的范围是，即.
已知，根据函数图像的对称性可知，在一个周期内，满足的的范围是.结合区间性质知道，a的取值为.
故选：C.
2（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的最大值为4，则正实数的值为（ ）
A． B．2 C．或2 D．2或
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换的知识化简，根据二次函数的性质求得正数的值.
【详解】
.
令，则，，
开口向下，对称轴为，
当时，则，无解.
当时，则.
综上所述，的值为.
故选：B
3（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数，由函数在上单调列式求解作答.
【详解】依题意，，函数的单调区间为，
由，而，得，
因此函数在区间上单调，
因为函数在区间内没有最值，则函数在区间内单调，
于是，则，解得，
由，且，解得，又，从而或，
当时，得，又，即有，当时，得，
所以的取值范围是.
故选：B
4（24-25高一下·四川成都·阶段练习）设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知及函数的对称中心得、，即可得解析式，再由余弦函数的区间值域，结合其图象得，即可得解.
【详解】由函数的图象关于点对称，则且，
所以，，则，即，
当，则，此时，
所以，结合余弦函数的图象知，可得.
故选：B
5（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（），且函数图象的一个对称中心为.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)若在区间上的值域是，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据即可求出；
（2）令即可求出；
（3）先求出，再结合函数图象可得.
【详解】（1）
，
因函数图象的一个对称中心为，则，
则，即，
因，则当时，.
（2）由（1）可知，，
令，得，
故的单调递增区间为；
（3），则，
因，结合函数图象可知，
欲使在区间上的值域是，
则，即，
故的取值范围为.
6（23-24高一下·江西宜春·期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求的值.
(3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算；
（2）根据得到，然后利用同角三角函数基本关系和和差公式计算；
（3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，然后利用函数单调性求最值即可得到的取值范围.
【详解】（1）解：由
可得函数的最小正周期.
（2）因为，，
所以.
因为，所以，
所以，
所以
.
（3）由（1）知，函数，
可得asinasin，
因为对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
1
