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培优03 指数型与对数型复合函数
题型1 判断复合函数的单调性
1 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 【注意】要先讨论函数的定义域；判断单调性时，要在的值域范围内讨论。
1（24-25高一上·全国·单元测试）函数单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3(多选)（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．的最小值为9
4(多选)（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，则（ ）
A．，
B．，
C．，则
D．，则
题型2 根据复合函数的单调性求参
1 留意函数的定义域； 2 先分析好复合函数的构造确定好外部函数与内部函数，再由“同增异减”得到一简单函数的单调性，结合其定义域求出参数。
1（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2（23-24高一下·河北保定·期中）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4（2025·河南·模拟预测）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高二下·天津南开·期末）已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 .
题型3 求复合函数的最值或值域
1 求指数型复合函数值域 形如的函数，令，将求原函数的值域转化为求的值域。 形如的函数，令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 2求对数型复合函数值域 形如的函数，令，将求原函数的值域转化为求的值域。 形如的函数，令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
1（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增且值域为
B．在上单调递减且值域为
C．在上单调递增且值域为
D．在上单调递减且值域为
2（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
5（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为
A． B． C． D．
6（多选）（22-23高二上·湖南·期中）已知函数，则（ ）
A．函数图像关于y轴对称
B．当时，函数在上单调递增
C．当时，函数有最大值，且最大值为
D．若恒成立，则实数a的取值范围为
题型 4 根据复合函数的最值或值域求参
先分析好复合函数的构造确定好外部函数与内部函数，分别了解它们的单调性和值域，把问题转化为单个简单函数的值域问题，结合其定义域求出参数。 【注意】留意函数的定义域。
1（2023·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（ ）
A．在单调递减，在单调递增 B．在单调递减
C．的图像关于直线对称 D．有最小值，但无最大值
2（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3（24-25高一上·北京·期末）已知函数的单调区间是，那么函数在区间上（ ）
A．当时，有最小值无最大值 B．当时，无最小值有最大值
C．当时，有最小值无最大值 D．当时，无最小值也无最大值
4（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6（24-25高一上·江西南昌·期末）已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7（23-24高一上·河北·期末）已知函数是偶函数，若函数无零点，则实数的取值范围为 .
8（24-25高一下·广东广州·期中）设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1．
(1)求函数，在上的增长系数；
(2)若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围；
(3)若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围．
题型 5 复合函数的奇偶性及应用
1 利用函数奇偶性的定义判断复合函数的奇偶性； 2 复合函数奇偶性经常与其单调性一起结合进行考察，理解奇函数在轴两边的单调性相反，偶函数在轴两边的单调性相同。
1（22-23高一上·山东枣庄·期中），若实数，满足，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2（2024·全国·模拟预测）若函数是偶函数，则的最小值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
3（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）已知则（ ）
A．值域为
B．为偶函数
C．在R单调递增
D．为奇函数
5（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（为常数）是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．在上单调递减
C．的值域为
D．的解集为
题型 6 与复合函数有关的不等式
求解与复合函数有关的不等式，往往要用上函数的奇偶性与单调性；先由“同增异减”研究复合函数的单调性，有时候辅助函数的奇偶性使得问题变得简单些，确定单调性后再求解不等式。 【注意】注意复合函数本身的定义域。
1（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4（2025·安徽·模拟预测）已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）定义在上的函数满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6（2024·吉林·二模）已知函数，则关于的不等式解集为（ ）
A． B．
C． D．
7（25-26高一上·全国·单元测试）已知2026是不等式的最小整数解，则a的取值范围为 ．
8（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数．
(1)求实数a的值：
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围．
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培优03 指数型与对数型复合函数
题型1 判断复合函数的单调性
1 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 【注意】要先讨论函数的定义域；判断单调性时，要在的值域范围内讨论。
1（24-25高一上·全国·单元测试）函数单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复合函数同增异减，即可判断出单调递增区间．
【详解】由，设，则为减函数，
求的单调递增区间，等价于求的单调递减区间，
因为在单调递减，
所以函数的单调递增区间是，
故选：C．
2（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出定义域，确定由复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数“同增异减”可得到答案.
【详解】由题意知函数，
令，所以，
则由复合而成，
由于在上单调递减，
要求的单调递减区间，
即求，的单调递增区间，
而的对称轴为，
则，的单调递增区间为，
则函数的单调递减区间为.
故选：B.
3(多选)（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．的最小值为9
【答案】ACD
【分析】由偶函数的性质可得A正确；令，先分析其单调性再由复合函数的单调性可得B错误，C正确；由单调性可得D正确；
【详解】对于A，由题知，的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确；
对于B，C，D，令，则当时，，当且仅当时取最小值2，
易证当时，为增函数，当时，为减函数，
又函数为增函数，由复合函数的单调性可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，最小值为，
又函数为偶函数，所以在上单调递增，最小值为9，故B错误，C，D正确，
故选：ACD.
4(多选)（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数，则（ ）
A．，
B．，
C．，则
D．，则
【答案】BC
【分析】分析函数的奇偶性，可判断A的真假，求导，分析函数的单调性，求函数的最值，可判断BCD的真假.
【详解】因为，，所以与不恒相等，故A错误；
设，.
则在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数单调性的判定方法“同增异减”得：在上单调递减，在上单调递增，且，所以.故B正确；
对C：当，则，就是说在上单调递减，正确；
对D：，则，是说在上单调递增，错误.
故选：BC
题型2 根据复合函数的单调性求参
1 留意函数的定义域； 2 先分析好复合函数的构造确定好外部函数与内部函数，再由“同增异减”得到一简单函数的单调性，结合其定义域求出参数。
1（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增，
可得在区间上单调递增，所以.
故选:D.
2（23-24高一下·河北保定·期中）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将命题等价转化为研究在上的性质，然后分类讨论即知使得命题成立的充要条件是，最后比较选项即可得出答案.
【详解】由于是定义在上的递减函数，故命题等价于在上单调递增且取值恒为正.
若，则，从而在上取值不恒为正，不满足条件；
若，则对任意都有，
且由知对任意都有.
故在上单调递增且取值恒为正，满足条件.
所以使得原命题成立的充分必要条件是，从而观察选项可知A是充分不必要条件，B是充要条件，C，D是既不充分也不必要条件.
故选：A.
3（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围.
【详解】由题设，函数在上单调递增，
易知在上单调递减，
当时，满足题设，
当时，或，
综上，.
故选：B.
4（2025·河南·模拟预测）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的单调性，结合对数函数、二次函数的性质列不等式求参数范围.
【详解】由在上单调递增，则值域为，
由对称轴为，
当时，开口向上，则，显然成立；
当时，在上单调递增，且，显然成立；
当时，开口向下，则，则；
综上，.
故选：D
5（24-25高二下·天津南开·期末）已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用函数的单调性和复合函数的单调性,来判断二次函数的对称轴的范围以及分段点处的取值大小，从而可求解参数范围.
【详解】由对任意的且，不妨假设，
因为恒成立，所以，
则在上单调递减，
根据复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递减，
需满足在上单调递增，故需，
还需满足且，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
题型3 求复合函数的最值或值域
1 求指数型复合函数值域 形如的函数，令，将求原函数的值域转化为求的值域。 形如的函数，令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 2求对数型复合函数值域 形如的函数，令，将求原函数的值域转化为求的值域。 形如的函数，令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。
1（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（ ）
A．在上单调递增且值域为
B．在上单调递减且值域为
C．在上单调递增且值域为
D．在上单调递减且值域为
【答案】B
【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可.
【详解】令，
则视为由和构成的复合函数，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
由指数函数性质得在上单调递增，
由复合函数性质得在上单调递减，
而，故，故B正确.
故选：B
2（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果.
【详解】依题意可知，解得；
易知函数的定义域为；
又是由函数和复合而成的，
由对数函数单调性可知在定义域内单调递减，
而二次函数开口向上，关于对称，
因此在上单调递增，在上单调递减；
由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增；
因此在处取得最大值，即，
可得的值域为.
故选：C
3（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】令，因为，所以，
则，
令，，
所以当时取得最小值，且，又，，
所以，即函数的值域是.
故选：C
4（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】令，因为，所以，
因为
，
所以，，
函数在区间上单调递增，
所以，，
所以函数，的值域为.
故选：.
5（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值结合对称性求出a的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】依题意，，其图象关于直线对称，
则，
所以，所以，解得，
所以，此时，满足题意；
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
故选：B．
6（多选）（22-23高二上·湖南·期中）已知函数，则（ ）
A．函数图像关于y轴对称
B．当时，函数在上单调递增
C．当时，函数有最大值，且最大值为
D．若恒成立，则实数a的取值范围为
【答案】ACD
【分析】判断函数是否为偶函数，验证选项A；根据条件，判断复合函数单调性，求取最值，验证选项BC；恒成立转化为，利用BC选项的结论计算实数a的取值范围，验证选项D.
【详解】对于A，的定义域为，则，故是偶函数，因此图像关于y轴对称，故A正确；
对于B，当时，，令，则，当时，单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函教的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C，当时，当时，由于单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为，故C正确；
对于D，由题可知，恒成立，即，当时，不合题意，故，只要，又，故，即，D正确.
故选：ACD．
题型 4 根据复合函数的最值或值域求参
先分析好复合函数的构造确定好外部函数与内部函数，分别了解它们的单调性和值域，把问题转化为单个简单函数的值域问题，结合其定义域求出参数。 【注意】留意函数的定义域。
1（2023·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（ ）
A．在单调递减，在单调递增 B．在单调递减
C．的图像关于直线对称 D．有最小值，但无最大值
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性的判断方法，可判断A，B；推得可判断C；根据二次函数的性质结合对数函数的单调性可判断D.
【详解】由题意可得函数的定义域为，
则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
且在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，A，B错误；
由于，故的图像关于直线对称，C正确；
因为在时取得最大值，且在上单调递增，
故有最大值，但无最小值，D错误，
故选：C
2（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知命题的值域为，命题的定义域为，则是的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对于命题，要使能取到所有大于的数，需分和两种情况讨论，时根据二次函数图象性质确定的取值范围；
对于命题，要使在上恒成立，同样分和两种情况，时根据二次函数图象性质确定的取值范围.
最后根据充分不必要条件的定义判断与的关系.
【详解】对于命题可以取到所有大于0的数显然成立；
时，，解得，所以.
对于命题在上恒成立.时显然成立；
时，，解得，所以.
所以是的充分不必要条件，
故选：B.
3（24-25高一上·北京·期末）已知函数的单调区间是，那么函数在区间上（ ）
A．当时，有最小值无最大值 B．当时，无最小值有最大值
C．当时，有最小值无最大值 D．当时，无最小值也无最大值
【答案】D
【分析】依题意不等式的解集为（1，+∞），即可得到且 ，即，再根据二次函数的性质计算在区间（-1，2）上的单调性及取值范围，即可得到函数的最值情况．
【详解】因为函数的单调区间是，
即不等式的解集为（1，+∞），
所以且 ，即，
所以 ,
当 时， 在上满足，
故此时为增函数，既无最大值也无最小值，由此A,B错误；
当 时， 在上满足，
此时为减函数，既无最大值也无最小值，故C错误，D正确，
故选：D.
4（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分段求函数的值域，再根据函数的值域为，列式求得到取值范围.
【详解】当时，，
当时，，函数的值域，不成立，
当时，，，单调递减，，
函数的值域，不成立，
当时，，，单调递增，，
函数的值域是，所以，解得，
所以.
故选：A
5（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的图象和性质可得当时的值域，进而可得当时，的值域，分类讨论指数的取值范围即可.
【详解】因为当时，，，
设的值域为，
若函数的值域为，则当时，，
令，设的值域为，则当时，，
当时，，不符合题意，
当时，是开口向下的抛物线，有最大值，不符合题意，
当时，是开口向上的抛物线，对称轴，
所以，只需，解得，
综上实数的取值范围是，
故选：B
6（24-25高一上·江西南昌·期末）已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法求得的值域为，利用基本不等式可得的值域为，根据题意可知，根据包含关系列式求解即可.
【详解】因为，，
设，，
令，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
则，所以的值域为，
又因为，当且仅当时取等号，
可得，所以的值域为，
根据题意可知：，则，
即，解得且，
所以实数的取值范围．
故选：C.
【点睛】结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
7（23-24高一上·河北·期末）已知函数是偶函数，若函数无零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求出k的值，即得的表达式，函数无零点，即无实数解，令，即将问题转化为的图象与直线无交点，进而求出的范围，即可求得答案.
【详解】由题意知函数是偶函数，
故对于，有，
即，
故，
故，由于，故；
函数无零点，即无实数解，
即无实数解，
令，则的图象与直线无交点；
而，
由于在R上单调递减，故在R上单调递减，
当x趋向于无穷大时，无限趋近于0，且，故，且可无限接近于1，
当x趋向于负穷大时，趋近于正无穷大，
故，
故要使得的图象与直线无交点，需满足，
即实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了函数奇偶性的应用以及零点问题，解答的关键在于将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可解决.
8（24-25高一下·广东广州·期中）设函数的定义域为，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为．例如，若函数满足，恒有，则称函数在区间上的增长系数为1．
(1)求函数，在上的增长系数；
(2)若3和4都是函数在上的增长系数，求的取值范围；
(3)若函数，在上的增长系数仅为，求的最小值及此时的取值范围．
【答案】(1)在上的增长系数为1；在上的增长系数为2；
(2)；
(3)的最小值为5；.
【分析】（1）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义求解即可；
（2）令，根据增长系数的定义得到，根据不等式求解即可；
（3）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义得到，进而得到，根据不等式有解且求解即可.
【详解】（1）因为函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以，
而，所以函数在上的增长系数为1；
因为函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以，
而，所以函数在上的增长系数为2；
（2），
因为，令，则，
因为3和4都是函数在上的增长系数，
所以，
所以，即，整理得，
因为，所以，所以；
（3）令，易知函数在上单调递增，
又在单调递增，
根据复合函数的单调性知函数在上单调递增，
，，
则，
因为函数在上的增长系数仅为，
所以，
则，即，
故，
由题设可得存在唯一的正整数，
且，
所以，解得，故，即的最小值为5，
此时且，即，
所以的最小值为5，此时.
题型 5 复合函数的奇偶性及应用
1 利用函数奇偶性的定义判断复合函数的奇偶性； 2 复合函数奇偶性经常与其单调性一起结合进行考察，理解奇函数在轴两边的单调性相反，偶函数在轴两边的单调性相同。
1（22-23高一上·山东枣庄·期中），若实数，满足，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，且为增函数，由奇函数的定义可求出的值.
【详解】对任意，，函数的定义域为，
，则函数为奇函数，
当时，由于函数为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由于该函数为奇函数，则函数在上也为增函数，
所以，函数在上为增函数，由，得，
可得出，故A正确.
故选：A.
2（2024·全国·模拟预测）若函数是偶函数，则的最小值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】由偶函数的定义，可得，从而可得a的值，再由不等式的性质和函数的单调性即可求得的最小值.
【详解】，
由于函数是偶函数，
所以，即，
所以，所以.
所以，当且仅当时，等号成立，即当时，函数取得最小值，且最小值为2.
故选：A．
3（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据为上的奇函数，其图象关于原点对称，得到关于点对称，即可求解.
【详解】由题意，函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，
又由函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以函数关于点对称，所以.
故选：C.
4（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）已知则（ ）
A．值域为 B．为偶函数
C．在R单调递增 D．为奇函数
【答案】D
【分析】由表达式求出值域判断．根据复合函数单调性判断；、D
根据奇偶函数定义判断；即可求解.
【详解】解：,
对于,因为
所以的值域为,故A错.
对于，因为，根据奇函数定义知，是奇函数，所以错，D对；
对于，因为是递减的，所以是递减的，所以错；
故选：D.
5（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知函数（为常数）是定义域为的奇函数，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．在上单调递减
C．的值域为 D．的解集为
【答案】BCD
【分析】A选项，根据函数为奇函数得到，得到；B选项，利用定义法判断函数的单调性；C选项，先得到当时，，结合函数的奇偶性得到函数值域；D选项，由，解不等式即可.
【详解】A选项，由题意得，即，解得，
经检验，当时，为奇函数，所以，故A不正确；
B选项，，
因为在R上单调递增，所以在定义域R上单调递减，故B正确；
C选项，当时，，∴，
故，，
由为奇函数，故时，，
又，故函数的值域为，故C正确；
D选项，由，，解得，故D正确.
故选：BCD.
题型 6 与复合函数有关的不等式
求解与复合函数有关的不等式，往往要用上函数的奇偶性与单调性；先由“同增异减”研究复合函数的单调性，有时候辅助函数的奇偶性使得问题变得简单些，确定单调性后再求解不等式。 【注意】注意复合函数本身的定义域。
1（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，由换元法转化为在区间上恒成立，进而可得.
【详解】设，当时，，
故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立，
设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减，
故，得，
故选：D
2（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解.
【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为，
可得，且，
所以在上单调递增，所以
因为存在，满足，
则，
所以，
故 ，解得：，
故选：D.
3（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件分析函数的单调性和奇偶性，不等式等价变形可得，解不等式可得结果.
【详解】由题意得，的定义域为，
∵，∴为奇函数，
∵，且在上为减函数，
∴在上为增函数.
∵，∴，
∴，解得，即的取值范围为.
故选：B.
4（2025·安徽·模拟预测）已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的定义，结合对数运算公式得到，又知对数底数且，可得；利用复合函数的单调性判断和奇函数的性质可得在上单调递减，再将恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立，联立二次函数图像的性质得恒成立，求解即可.
【详解】是奇函数，恒成立，
即恒成立，
化简得，，即，
则，解得，又且，，
则，所以，
由复合函数的单调性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，
所以在上单调递减；由恒成立得，
恒成立，
则恒成立，
所以恒成立，解得.
故选：B.
5（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）定义在上的函数满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用换元，得到函数是奇函数，且，思路一，将不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解；思路二，证明图象关于点对称，不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解；思路三，利用平移规律说明函数图象关于点对称，后面思路同思路二.
【详解】令，则，
设，，
所以是奇函数，，
思路一：，
，
等价于，
即，即，
又在R上单调递增，
所以，解得，即，解得：.
思路二：，，
所以，所以图象关于点对称，则，
所以可得，
即，，解得.
思路三：，
令，是单调递增的奇函数，图象关于原点对称，
将向右平移一个单位可得：（图象关于对称），
再向上平移一个单位可得：（图象关于对称），
即图象关于对称，
则，所以，可得，
即，，解得.
故选：C
6（2024·吉林·二模）已知函数，则关于的不等式解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，然后得到，所以函数是偶函数，判断出函数在上的单调性得出距离轴越远函数值越大，并且注意函数的定义域，得出，解不等式组即可.
【详解】由函数知：，解得：或，
所以函数的定义域为：，
因为
，
所以函数是偶函数，
因为当时，
令，则在上单调递增，
且在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
因为，所以，解得：或，
所以不等式解集为.
故选：C
7（25-26高一上·全国·单元测试）已知2026是不等式的最小整数解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】化简原式子得，再分类讨论，若，根据2026是不等式的最小整数解求出，若，代入推出矛盾.
【详解】由题意可得，即，
则，
①当，即时，有，则，
即，即，解得，从而，
又时，所以要使2026是不等式的最小整数解，则，解得；
②当，即时，若，注意到，此时，不符合题意．
综上，a的取值范围为．
故答案为：
8（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数．
(1)求实数a的值：
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若对任意的不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)在上是增函数，证明见解析；
(3)
【分析】（1）由求得，再检验是否为奇函数；
（2）由单调性的定义证明；
（3）由奇偶性变形不等式，再上单调性化简，用分离参数法转化为求函数的最值．
【详解】（1）函数 是定义域在R上的奇函数，
由，得，即有，
下面检验：，
且定义域为R关于原点对称，所以为奇函数，故符合．
（2）在上是增函数．证明如下：
设任意，
由于，则，即有，则有，
故在上是增函数．
（3）因为对任意的，不等式恒成立，
所以对于恒成立，
因为是定义域在R上的奇函数，所以对于恒成立，
又在R上是增函数，所以，即对于恒成立，
而函数
，
，当且仅当，即时等号成立，
所以在上的最大值为，所以，
所以实数的取值范围为．
1
