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培优05 一元二次方程根的分布问题
题型1 根在R上的分布
若在上没有实数根，则满足； 若在上有两个相等实数根，则满足； 若在上有两个不相等实数根，则满足； 【注意】形如的方程，不一定是一元二次方程，注意是否等于.
1（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可.
【详解】由已知二次方程有解，
所以，且，
所以且.
故选：D.
2（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知对于实数或：关于的方程有实数根，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】：关于的方程有实数根，
则，解得或.
因为所表示的集合是所表示的集合的真子集，
∴是成立的必要不充分条件，
故选：B．
3（2022高一·全国·专题练习）已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】A
【分析】方程有两个相等的实数根，即，解方程可得或，又，故判断三角形的形状.
【详解】方程有两个相等的实数根，则，
又有，
或，又，故是等腰三角形.
故选：A
4（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的方程有实数根，若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先推出为真命题，再结合二次函数的判别式法求解即可；
【详解】由题意可得为真命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
5（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为
【答案】
【分析】由题意可得，是方程的两个不等实根，由判别式大于0可得范围．再由，取范围交集得解.
【详解】因为，，
所以，是方程的两个不等实根，
则△，解得．
而，即，解得，或（不和题意，舍去），所以.
故答案为：
题型2 根的“0”分布
1若有两个实数根，，则，； 2 一元二次方程根的“0”分布，可以用韦达定理求解，也可以利用二次函数的图象处理，常考虑常数项与开口方向。
1（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令（），原方程转化为，根据一元二次不等式有两个不等的实根求解即可.
【详解】令（），原方程转化为．
关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根，
因此有。解得．
故选：D．
2（23-24高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案
【详解】设两个不等负实数根分别为，
则需满足，
解得，即，
所以是方程有两个不相等负根的充要条件；
是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件；
是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件；
是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件，
故选：B.
3（24-25高二下·天津南开·期末）已知，均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据换元法，将方程进行换元，得到关于的一元二次方程，根据一元二次方程有正根，求出代数式的最大值.
【详解】令，则，
代入得，化简得，
可知，
因为方程有实数根，所以，解得，
当时，根据韦达定理可知两根之和，两根之积，
此时有正数根，符合题意，所以的最大值为.
故选：C.
4（24-25高一上·山西吕梁·阶段练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断函数的单调性，根据条件列方程组，可知是方程在上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令，建立关于的不等式组，求解即可.
【详解】因为在上单调递增，
由题意知，
所以是方程在上的两个不等实根，
令，则，
所以在上有两个不等实根，
令，对称轴，
则，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
5（2024高一上·浙江宁波·专题练习）对实数，. 定义运算 “”为: . 已知关于的方程. 若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ，若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先化简，即可得到方程，再根据计算第一空，由根的判别式及韦达定理得到不等式组，即可得到第二空.
【详解】因为，
所以，
又，所以，
即，
若该方程有两个相等的实数根，则，解得；
若该方程有两个不等负根，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：；
6（2025·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据的正负以及的正负分类讨论，结合图象确定的取值范围.
【详解】（1）当时，方程化为：，此时无解，舍去；
（2）当时，考虑方程正实数根情况，只需研究当时方程解的情况，
即此时方程化为，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（3）当时，因为，
所以方程化为，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（4）当时，函数与轴有两个零点
函数与轴有两个零点
因为，所以即
作出函数与函数图象，
由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程有两个不相等的正实数根，
综上，满足条件的取值范围为或，即
故答案为：
7（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”.
(1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围;
(3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）假设其存在，则为方程的两根，解方程即可；
（2）假设其存在，则为方程的两根，令，则问题转化为一元二次方程在有两个不等的实根，利用和韦达定理即可；
（3）由题意得，可得，再代入原方程组中化简，转化为一元二次方程有两个不等的正实数根．
【详解】（1）因为函数单调递增，
若在定义域区间上存在，使得的值域，
则，，即为方程的两根，又，得，，
又在区间上的值域为，故，符合题意.
（2）因为函数为递增函数，
要使在定义域区间上存在，使得的值域，
则只需有两个不等的非负实根，
令，，则在有两个不等的实根，
故，即，得，
即t的取值范围是.
（3）函数在定义域内单调递减，
依题意得，两式相减，得，
则，
得①
将①式代入方程组得，则是方程的两根，
令，则在上有两个不同的实根，
则，解得，
故实数m的取值范围为
题型3 根的“k”分布
1 一元二次方程根的分布问题，利用二次函数的图象时，我们常常考虑它的开口方向、对称轴、判别式和一些定点等； 2 解题时要等价转化，如何做到呢？用到数形结合时，可画些满足题意的二次函数图象，又画一些不满足题意的，思考它们之间的区别； 3 两根与的大小比较(以为例) 分布情况两根都小于， 即两根都大于， 即一根小于，一根大于，即大致图像得出的结论
1（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解.
【详解】记，则函数为开口向上的二次函数，
要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可，
即，解得，所以实数a的取值范围是.
故选：C.
2（23-24高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围.
【详解】设，开口向上，
由题意知，
即，解得，
所以．
故选：B．
3（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可.
【详解】令，
因为方程的两根都大于，
所以由题意可得，解得．
故选：C．
4（23-24高一上·四川成都·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不动点的定义列出方程，然后根据二次函数零点的分布列不等式求解即可.
【详解】函数在区间上恰有两个不同的不动点，
即在区间上恰有两个解，
即在区间上恰有两个零点，
所以或者，
解得：或，
故选：C
5（2024高三·全国·专题练习）若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由“有点奇函数”可得，方程转化为：，令，，则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，分类讨论可得答案.
【详解】根据“有点奇函数”的定义可知，函数有解即可，
即，
，即有解即可，
令，则问题转化为存在大于等于2的解即可，
设，对称轴，
①若，则，
即，此时；
②若，要使在时有解，
则即
解得.综上，.
故选：B.
6（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）已知，不等式恒成立，实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将不等式恒成立转化为，令，若，等价于；若，等价于，运用一元二次不等式对应的一元二次方程根的分布分类讨论，求出的取值范围即可.
【详解】，，
，即，
令，
若，，等价于，
令，，，
若，，即，
①当，即时，
不等式在上恒成立；
②当，即或时，
要使不等式在上恒成立，
则有，解得， ，
综上所述，实数取值范围是.
故选：A.
题型 4 根在区间外的分布
两根分别在区间外 大致图像得出的结论
1（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解．
【详解】设，
则由题意可知，即，解得，
故实数的取值范围是.
故选：C．
2（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】设，
根据已知结合二次函数性质，作图
则有，
解得.
故选：C.
3（2025高一上·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解.
【详解】显然，关于的方程对应的二次函数
当时，二次函数的图象开口向上，
因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于，
所以，即，解得；
②当时，二次函数的图象开口向下，
因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于，
所以，即，解得；
综上所述，实数的范围是．
故答案为：．
4（24-25高一上·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果.
【详解】在区间内、外各有一个实数根，
令，
当不是方程的根时，
所以，
解得：；
当是方程的根时，
得，
此时方程变为：，
解得：或，
在区间内，在区间外，符合题意；
当是方程的根时，得，
此时方程变为：，
解得：或，
此时方程的两根均在区间外，不符合题意；
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，解题时要注意分析判别式、对称轴以及端点（与根比大小的数）的函数值符号.
5（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值．
【答案】10
【分析】根据一元二次方程根的分布的特征得出满足的条件，进而通过取值范围讨论求解即可.
【详解】由题意得，，即，
因为a，，
由，得，
若，则，即，无解；
若，则，即，无解；
若，则，即，则或，
显然时，取最小值10，
若，由，得，
所以的最小值为10.
题型 5 根在区间上的分布
根在区间上的分布(以为例) 分布情况两根都在内 两根有且仅有一根在内一根内， 另一根在内大致图像得出的结论
1（2025高一·全国·竞赛）若关于x的方程恰有一根在上，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据题意，分，结合二次函数的图象和性质求解即可.
【详解】当时,不符合题意，
所以，记对称轴为，且
①当时，，解得;
②当时，，所以，
综上或．
故选：D.
2（24-25高一上·四川成都·期中）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合二次函数的图象与性质，以及零点存在性定理可得关于m的不等式组，从而可得结果．
【详解】∵方程的一根在区间( 1,0)内,另一根在区间(0,2)内，
∴函数的两个零点一个在区间( 1,0)内,另一个在区间(0,2)内，
则，解得，
∴m的取值范围是.
故选：B.
【点睛】对于一元二次方程根的分布题型，常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.
3（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】根据题意将问题转化为利用二次函数零点的分布，得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】因为，是关于x的方程的解，且满足，
所以在上有两个零点，
所以，解得，则，
所以的取值范围是.
故选：D.
4（23-24高一上·重庆·阶段练习）若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】设，得到，转化为在上有两个不等的实根，设，列出不等式组，即可求解.
【详解】由方程等价于，
设，可得，
即方程等价于在上有两个不等的实根，
设，
则满足，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
5（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知幂函数在上单调递增，当时，方程有两个不同的实数解，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意得到，再根据一元二次方程根的分布列出不等式组，计算可得答案.
【详解】幂函数，则，解得或，
当时，，在上单调递减，舍去；
当时，，在上单调递增，符合题意，
综上，.
由，得，
由题意，当时，方程有两个不同的实数解，
令，图象开口向上，对称轴是，
则，即，解得，
则的取值范围是.
故答案为：.
6（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数．
(1)不等式的解集为，求的取值范围；
(2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得恒成立，分、两种情况讨论；
（2）分、两种情况讨论，结合二次方程根的分布得到方程组，解得即可.
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以恒成立，
当，即时，则，解得，显然不符合题意；
当时，则需满足，解得，
即的取值范围为
（2）若函数的两个零点在区间内，
显然，
当，则需满足，即，解得，
当，则需满足，即，解得，
综上可得.
7（24-25高一上·浙江丽水·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，请完成下列问题.
(1)当，时，求函数图象的对称中心点坐标；
(2)在（1）的条件下，若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）设的对称中心点坐标为，则为奇函数，利用奇函数的定义求解即可；
（2）令，，把问题转化为方程有两个异根，且，利用二次函数的性质列不等式求解；
（3）由题意，不妨设，展开可得的关系，进而可证得结论.
【详解】（1）设的对称中心点坐标为，则为奇函数，
，即，
，
，
，
即，
，，对称中心点坐标为.
（2）由题意得，则，令，，
则原方程可化为，即，
因为关于的方程有三个不同的实数解，
所以方程有两个异根，且，
令，
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上所述：.
（3），
不妨设，
，，
.
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培优05 一元二次方程根的分布问题
题型1 根在R上的分布
若在上没有实数根，则满足； 若在上有两个相等实数根，则满足； 若在上有两个不相等实数根，则满足； 【注意】形如的方程，不一定是一元二次方程，注意是否等于.
1（24-25高一上·全国·课堂例题）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
2（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知对于实数或：关于的方程有实数根，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3（2022高一·全国·专题练习）已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定
4（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的方程有实数根，若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．
5（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为
题型2 根的“0”分布
1若有两个实数根，，则，； 2 一元二次方程根的“0”分布，可以用韦达定理求解，也可以利用二次函数的图象处理，常考虑常数项与开口方向。
1（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
2（23-24高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高二下·天津南开·期末）已知，均为正数，且，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
4（24-25高一上·山西吕梁·阶段练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5（2024高一上·浙江宁波·专题练习）对实数，. 定义运算 “”为: . 已知关于的方程. 若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ，若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 .
6（2025·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 .
7（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”.
(1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围;
(3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围.
题型3 根的“k”分布
1 一元二次方程根的分布问题，利用二次函数的图象时，我们常常考虑它的开口方向、对称轴、判别式和一些定点等； 2 解题时要等价转化，如何做到呢？用到数形结合时，可画些满足题意的二次函数图象，又画一些不满足题意的，思考它们之间的区别； 3 两根与的大小比较(以为例) 分布情况两根都小于， 即两根都大于， 即一根小于，一根大于，即大致图像得出的结论
1（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2（23-24高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．或
4（23-24高一上·四川成都·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5（2024高三·全国·专题练习）若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”，若为定义域上的“有点奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）已知，不等式恒成立，实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型 4 根在区间外的分布
两根分别在区间外 大致图像得出的结论
1（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
2（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3（2025高一上·全国·专题练习）已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ．
4（24-25高一上·湖北武汉·期中）关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是 .
5（23-24高一上·吉林长春·阶段练习）已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值．
题型 5 根在区间上的分布
根在区间上的分布(以为例) 分布情况两根都在内 两根有且仅有一根在内一根内， 另一根在内大致图像得出的结论
1（2025高一·全国·竞赛）若关于x的方程恰有一根在上，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．或
2（24-25高一上·四川成都·期中）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
4（23-24高一上·重庆·阶段练习）若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是
5（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知幂函数在上单调递增，当时，方程有两个不同的实数解，则的取值范围是 .
6（23-24高一上·天津南开·期中）已知函数．
(1)不等式的解集为，求的取值范围；
(2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围．
7（24-25高一上·浙江丽水·期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，请完成下列问题.
(1)当，时，求函数图象的对称中心点坐标；
(2)在（1）的条件下，若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
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