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培优05 分段函数常见考法
题型1 分段函数求函数值
1 由分段函数求函数值要注意的取值范围，若不确定的话，则要分类讨论； 2 若遇到求类似多重函数值，就从里到外逐个求； 3 遇到新定义的分段函数，理解函数的含义是关键。
1（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式可求.
【详解】由分段函数的解析式可得：
，
故选：A.
2（2025·贵州·三模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】因为，则，
所以.
故选：C.
3（24-25高一上·湖南·期末）已知，，其中表示不超过的最大整数，如，则（ ）
A．e B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，所以．
故选：D．
4（2025·全国·模拟预测）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的周期性，奇偶性及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】由，得，则
，所以的周期为，
因为函数是定义在实数集上的偶函数， 所以，
为无理数，所以，
，
所以.
故选：D.
题型2 已知函数值求参数
1 在分段函数中，若已知函数值（如）求参数，需要对进行分类讨论； 2 若遇到求类似多重函数值，就从里到外逐个求，有时候要利用换元法； 3 遇到新定义的分段函数，理解函数的含义是关键。 【注意】由方程求出后还要注意是否在对应分段函数的自变量取值范围内。
1（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A．或2 B．或1 C．1 D．
【答案】D
【分析】对实数a分情况讨论列出等式即可得到结果.
【详解】当时，因为，得到，解得：,
又因为在区间上单调递增，只有这一个根，又因为,故将舍去；
当时，由，得到，解得：，
综上：实数a的值为
故选：D
2（2025高三·全国·专题练习）已知函数若，则实数a等于（ ）
A． B． C．2 D．9
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式，由内而外逐步代入，可得，即可求得的值.
【详解】因为，所以，
，所以，得．
故选：C．
3（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的等式，即可解得实数的值
【详解】当时，，当时，，
因为，所以，即，所以，
所以，即，解得．
故选：
4（2025·江苏泰州·模拟预测）设函数若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，可得，讨论，解方程求，再讨论，解方程可得结论.
【详解】 令，由，得.
①时，，方程无解.
②时，，
或（舍去），
.
时，，则或（舍去）；
时，无解.
综上，.
故选：B.
5（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（ ）
A．或 B．或4
C．或 D．或4
【答案】C
【分析】根据给定的分段函数，先分类讨论求得的值，再分类讨论求得的值，从而得解.
【详解】设，则，
当时，由，解得，当时，由，解得，
于是或，
当时，由或，解得或，因此；
当时，由或，解得或，因此，
所以实数a的值为或.
故选：C
6（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分析在各段区间上的值域，再根据条件由外而内依次求得，从而得解.
【详解】因为，
当时，；
当时，；
当时，；
令，则由，得，
由上述分析可得且，解得，即，
所以且，解得.
故选：D.
题型3 解分段函数不等式
1 在分段函数中，遇到求类似不等式，要对进行分类讨论； 2 若遇到求解类似多重函数的不等式，就从里到外逐个求，有时候要利用换元法； 3 求分段函数的不等式，也可以用数形结合的方法，先把分段函数和不等式中所含的函数的图象画出，再结合图象进行求解。 【注意】由方程求出后还要注意是否在对应分段函数的自变量取值范围内。
1（2025高三·全国·专题练习）设函数，使得的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分和两种情况解不等式即可得解.
【详解】当时，，即显然恒成立，所以；
当时，，解得；
综上，的取值范围是．
故选：A.
2（24-25高一上·山东菏泽·期中）设函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，分类求解可得，可得，再分类求解可得实数的取值范围.
【详解】令，则，
当时，可得，解得，又，所以，
当时，可得，解得，
所以，所以，
当时，得，解得，满足，
当时，得，所以，又，所以，
所以实数的取值范围是或.
故选：C.
3（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数单调性分类讨论即可求解不等式的解集.
【详解】作出的图象如图所示.
当时，，，
所以，，
所以，符合题意；
当时，，，
所以，，
所以，符合题意；
当时，，，
，
令得，解得.
综上，不等式的解集为.
故选：C.
4（24-25高一上·吉林长春·期中）“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如：，． 已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将，转化为分段函数，然后分类解即可.
【详解】当时，，，此时，
当时，，，此时，
若，
当时，，得，故，
当时，，得，故，
所以得解集为，
故选：D.
5（2026高三·全国·专题练习）设函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解.
【详解】因为 ，所以，，
则，即，
的函数图象如图所示：
由函数图象可知当时，且在上单调递减，
所以等价于，即，
解得，即.
故选：A.
6（2025高三·全国·专题练习）已知函数若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数，做出图象，求出函数在原点处的切线及对应的渐近线，数形结合得解.
【详解】当时，，所以，
又当时，，
故，则曲线在原点处的切线方程为；
当时，，即，为双曲线在第四象限的部分，其渐近线方程为，作图如下所示，
若，显然不符合题意，故，所以要使，只需满足，
故a的取值范围是．
故选：C
7（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知函数，若对 ，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一，根据条件，分和两种情况讨论，再利用绝对值不等式的几何意义，即可求解；法二，将特殊值代入体验，利用排除法求解.
【详解】法一，因为，
当时，等价于恒成立，
因为时，恒成立，所以；
当时，等价于恒成立，
当时，，恒成立，所以；
当时，则或恒成立，
也就是或恒成立，
而当时，，，
所以或.
综合（1）（2）可知：或，
法二，可代入选项检验，当时，
当时，单调递减，
把代入发现，
当时，单调递增，则最大值为大于0，不符合，排除包含的选项，即排除ACD.
故选：B.
题型 4 分段函数的单调性
1 判断分段函数的单调性，可以进行分类讨论或者数形结合； 2 若已知分段函数的单调性求参数，可先由已知的单调性得到各段函数单调性求出参数符合的范围，但要注意各段函数之间在端点处也要符合题意中的单调性； 3 利用分段函数的图象，更有利于思考。
1（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可知：
对任意的实数，都有成立，是上的减函数，
，解得，
实数的取值范围是.
故选：B.
2（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，按函数为增函数和减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案．
【详解】因为在上是单调的，
当时，，不满足条件；
当时，若在上单调递增，则，解得，
当时，若在上单调递减，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B.
3（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果．
【详解】函数,
当时，，
当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C；
当时，，
当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，排除D.
故选：A．
4（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）已知函数，在以下四个选项中，错误的选项是（ ）
A．
B．若关于的方程有两解，则
C．在R上是减函数
D．若，则
【答案】C
【分析】代入函数解析式求值判断A，由方程两解得两函数有两个交点，数形结合判断B，画出函数图象知单调性判断C，分段求值判断D.
【详解】对于A，因为，
所以，正确；
对于B，若关于的方程有两解，则图象与图象有两个交点，
作出函数图象，如图：
由图知，，即，正确；
对于C，作出函数图象，如图：
由图知，函数在和上是减函数，但是函数在R上不是减函数，错误；
对于D，当时，，解得，不合题意，
当时，，解得，符合题意，
所以时，有，正确.
故选：C
题型 5 分段函数的奇偶性
1 判断分段函数的奇偶性，可以利用奇偶性的定义或数形结合； 2 若由分段函数的奇偶性求函数值，要注意自变量的取值范围，有时要分类讨论； 3 若已知分段函数的奇偶性，求函数解析式时，利用奇偶性的定义求解就行。 【注意】分段函数是奇函数，且可取，则函数图象是经过原点的。
1（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递增
C．是偶函数，且在上单调递减
D．是奇函数，且在上单调递减
【答案】C
【分析】先判断的奇偶性，然后将表示为分段函数的形式，画出的图象，由此确定正确答案.
【详解】的定义域为，，所以是偶函数，
当时，，
当时，，
所以，
画出的图象如下图所示，
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
故选：C
2（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数则下列结论中正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是偶函数 D．在上单调递减
【答案】D
【分析】根据分段函数的特点，结合二次函数的单调性，奇偶性对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为函数，
对选项A，，故A错误；
对选项B，当时，若，则，即；
当时，若，则，不合题意，故B错误；
对选项C，由可得，
所以，故是奇函数，所以C错误；
对选项D，因为当时，函数单调递减；当时，函数单调递减，
所以函数在上单调递减，所以D正确.
故选：D.
3（24-25高一上·四川内江·期中）已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数 B．方程有四个实数根
C．在区间上单调递增 D．有最大值，没有最小值
【答案】C
【分析】画出函数的图象，结合图象对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为函数，，
由可得：或，
或，解得：或，
所以，
即，
作出函数的图象如下：
由图象可知，关于轴对称，是偶函数，故A正确；
方程有四个实数根，即与的图象有四个交点，由图可知，故B正确；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C错误；
当时，有最大值为，无最小值，故D正确
故选：C.
4（24-25高一上·上海·阶段练习）给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．设函数，
①函数为的严格增函数；
②函数不是偶函数；
③函数的最大值为；
④函数有无数个零点．
其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据新定义得出函数解析式，再取几个特殊值进行画图像，从图像中研究函数的规律进行判断.
【详解】由题意可得，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
画出图像，如图所示：
对于①，由图象可以判断函数在严格递增，所以①正确；
对于②，由以上计算可知，即，则不是偶函数，所以②正确；
对于③，当，由图像可得，所以③正确；
对于④，画出，与在轴右侧图像有交点，
令，，
当时，，，
即，根据零点存在定理，时，一定有零点，
故函数有无数个解，所以④正确．
故选：A
5（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：时，，且关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可判断的单调性，进而可得不等式，分离参数可得参数范围.
【详解】由已知当时，，
则当时，单调递增，且，
又函数为奇函数，，
所以当时，也单调递增，
所以在上单调递增，
所以不等式，即在上恒成立，
即在上恒成立，
又函数在上单调递减，
所以当时，取最大值为，即，
故答案为：.
题型 6 分段函数的值域
1 求分段函数的值域，可以用分类讨论的方法求各段函数的值域再求其并集，也可以利用数形结合的方法； 2 若已知函数的值域或最值求参数，则利用数形结合的方法比较合适，要注意端点处的处理； 【注意】分类讨论中要注意做到不重不漏。
1（24-25高一·浙江杭州·期末）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C． D．是单调函数
【答案】B
【解析】计算函数值域为A错误，根据偶函数定义知B正确，，，C错误，，故D错误，得到答案.
【详解】根据题意：的值域为，A错误；
当为有理数时，为有理数，，
当为无理数时，为无理数，，故函数为偶函数，B正确；
，，C错误；
，故D错误.
故选：B.
【点睛】本题考查了分段函数的值域，奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
2（24-25高一下·云南昆明·期中）已知则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出的值域，利用换元法求解，的值域即可.
【详解】由题意知，，
当时，是单调递减的一次函数，，取值范围是，
当时，是单调递增的一次函数，取值范围是,
所以的值域为.
令，设，则，，
得，
当时，；当时，的取值范围是，
所以的取值范围是，即的值域为.
故选：B
3（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】当时，
若，则，
若，则，
函数的值域不可能为；
当时，，
在上单调递增，
在上单调递增，，
若函数的值域为，则，解得；
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：B.
4（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数
①当时，函数的单调递减区间是 ；
②若存在最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合一次函数单调性和二次函数的单调性分开求解单调性，即可得解；根据题意分三种情况，结合二次函数及一次函数的性质讨论即可．
【详解】当时，，
当时函数单调递减，
当时函数，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
综上，函数的单调减区间为；
因为函数，
① 当时，
当时，单调递减，且，
当时，，
因为存在最小值，所以，即得，所以或，
所以；
② 当时，，
当时，，故函数存在最小值；
③ 当时，
当时，单调递增，且，
所以不存在最小值，不合题意舍；
综上，的取值范围是．
故答案为：；.
5（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数
(1)当时，写出函数的解析式和单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值.
【答案】(1)，递减区间为和，递增区间为；
(2)
【分析】（1）利用分段函数表示出函数，再借助二次函数单调性求出单调区间.
（2）求出函数的单调区间，再按与区间的位置及区间端点离的远近分类，并结合单调性求出最大值.
【详解】（1）当时， ,
所以，
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以函数的单调递减区间为和，递增区间为.
（2）依题意，，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，；
当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，则；
当时，，函数在上单调递减，，
所以函数在上的最大值.
题型 7 max/min型分段函数
1 max/min型分段函数，要正确写出最终函数的解析式； 2 在写解析式时，要求解对应的不等式，此时要注意所求解集确定分段函数分成几段； 3 处理此类分段函数，还是利用数形结合的方法更容易分析。
1（24-25高一上·重庆·期中）给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．-6 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】先利用条件可求得，进而可求的最大值.
【详解】由，得，解得或，
由，得，解得，
又，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以的最大值为.
故选：C.
2（24-25高一上·江苏扬州·期中）定义，设，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C．当时，的最大值为 D．在上单调递减
【答案】B
【分析】把表示为分段函数，作出函数图象，结合图象和函数解析式，对选项进行判断.
【详解】，解得或，
所以，函数图像如图所示，
，A选项正确；
不等式的解集为，B选项错误；
当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确；
时，，在上单调递减，D选项正确.
故选：B.
3（多选）（24-25高一上·湖北襄阳·期中）设函数，其中表示x，y，z中的最小者，下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．不等式的解集为
C．当时，
D．当时，
【答案】ACD
【分析】对AB，作出函数的图象，易判断AB；对C，根据函数图像平移的方法判断即可；对D，根据判断即可.
【详解】对A，作出函数的图象，如图实线部分：
由图可知，且其图象关于轴对称，函数为偶函数，故A正确；
对B，，再计算得，
解集为，故B错误；
对C，再作出函数的图象，为往右平移2个单位，
易得当时，.故C正确；
对D，由图知，当时，，
又因为，故，故选项D正确；
故选：ACD.
4（多选）（24-25高一上·重庆长寿·期末）给定函数，若，用表示，中的较小者，记为函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的单调递减区间为
C．方程有两个根，则
D．若存在常数，使得成立，那么的最小值为
【答案】AB
【分析】求出的解析式并作出图象，代入求值可判断A；利用图象可判断B和C；分和两种情况求出的范围可判断D.
【详解】当时，，则，
因为，所以恒成立，即，
所以当时，；
当时，，则，
令，解得或，即，
令，解得，即，
所以当或时，；当时，；
综上，，作出的图象如下图：
对于A，，故A正确；
对于B，由图知，函数的单调递减区间为，故B正确；
对于C，方程有两个根，即有两个根，
所以和的图象有两个交点，
由图知，当时，和的图象没有交点；
当时，和的图象有两个交点；
当时，和的图象有四个交点；
当时，和的图象有三个交点；
当时，和的图象有两个交点，
所以当或时，方程有两个根，即，故C错误；
对于D， 当时，，由得，，
即，解得或（舍），
当时，，由得，，
即，所以，即当时，恒成立，
综上或，所以的最小值为，故D错误.
故选：AB.
5（25-26高一上·全国·单元测试）定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．
【答案】 3
【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值.
【详解】当时，解得或，
所以，作出的图象如图所示：
由图知：当时有最大值，所以，
当时，令，注意，解得或，
令，注意，解得，
当时，令，注意，解得，
令，注意，解得，
由图知：当，时，的值域为，
此时的最大值为；
当，时，的值域为，此时，
由上知，的最大值为.
故答案为：3，
6（2025高三·全国·专题练习）记函数在区间D上的最大值与最小值分别为与.设函数，..
(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(2)若.令.记.试写出的表达式，并求；
(3)令（其中I为的定义域）.若I恰好为，求b的取值范围，并求.
【答案】(1)
(2)，
(3)，=0
【分析】（1）先写出解析式，由在上单调递减列式解出的范围；
（2）分和两类讨论，分别求出和，然后求出，再结合的单调性求出；
（3）先分、、三类讨论，分别求出解析式，结合I恰好为探讨b的取值范围为，然后再分和求出，并计算其最小值.
【详解】（1）∵在上单调递减，
∴，解得
（2），
当时，，
，
∴
2） 当时，，
，
∴
故，
∵在上单调递减，在单调递增，
∴ ，
故当时，得.
（3）ⅰ）当时，，
ⅱ）当，即时，
ⅲ）当时，即（*），
①若即， 由（*）知，但此时，∴不合题意.
②若即， 由（*）知， 此时，，
∴， 且
于是，当时，
当时，
即
从而可得当时，
题型 8 分段函数模型的应用
1 分段函数模型，在实际问题中的应用理解题意或对所给图象的理解是关键； 2 根据图象判断问题是否正确，要注意图象中的交点、图象的增速、起点终点位置等细节； 3 实际问题中，什么时候是两者的临界值这是很重要，理解题意是关键。
1（24-25高一上·陕西渭南·期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．选择甲厂比较划算
B．选择乙厂比较划算
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算
D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样
【答案】C
【分析】由图象写出甲乙厂费用函数解析式，数形结合判断印制证书数量与甲、乙两厂总费用大小关系，即可判断各项的正误.
【详解】由图知：甲厂费用函数为，乙厂费用函数为，
当时，，可得；当时，，可得；
结合图象知：当或时乙厂划算；当时甲厂划算；当或时甲乙费用相同；
所以A、B、D错，C对.
故选：C
2（24-25高一上·云南红河·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）
A．①④ B．②③ C．④① D．③②
【答案】A
【分析】设行进的速度为，行走的路程为，得出关于的函数，关于的函数解析式，即可判断函数图象．
【详解】设行进的速度为，行走的路程为，则
且，
由速度函数及路程函数的解析式可知，
其图象分别为①④．
故选：A．
3（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可.
【详解】根据题意可知在梯形中，；
当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为；
当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为；
当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即；
所以可得；
根据函数类型对比图象可得A正确.
故选：A
4（23-24高一上·北京·期中）当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数：下列说法不正确的是（ ）
A．时， B．时，函数取得最大值
C．函数的值域是 D．函数在上是增函数
【答案】D
【分析】求出函数值判断A；求出最大值判断；求出值域判断C；取特值计算判断D.
【详解】对于A，当时，，A正确；
对于B，当时，，
当且仅当时取等号，而当时，，
又，因此当时，函数取得最大值，B正确；
对于C，函数在上递增，，
在上递增，，因此函数的值域是，C正确；
对于D，，因此函数在上不单调，D错误.
故选：D
5（24-25高一上·全国·课后作业）某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为 (k，M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是（ ）
A．40分钟 B．35分钟
C．30分钟 D．25分钟
【答案】C
【分析】由工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，求得，可得，代入即可求得答案.
【详解】由题意工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，
所以当时，，
当时，，解得，
所以，
因为，所以，
即可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是30分钟．
故选：C.
6（25-26高一上·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本）
(2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式；
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】(1)200万元
(2)
(3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元
【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可；
（2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示.
（3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值.
【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元.
（2）当时，；
当时，不妨设降价元，则，得到，
所以；
当时，；
所以.
（3）由（2）知，当时，，函数单调递增，
当时，利润最大，此时利润是450万元；
当时，，
当时，利润最大，此时利润是500万元；
当时，，
当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元.
因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元.
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培优05 分段函数常见考法
题型1 分段函数求函数值
1 由分段函数求函数值要注意的取值范围，若不确定的话，则要分类讨论； 2 若遇到求类似多重函数值，就从里到外逐个求； 3 遇到新定义的分段函数，理解函数的含义是关键。
1（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2（2025·贵州·三模）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一上·湖南·期末）已知，，其中表示不超过的最大整数，如，则（ ）
A．e B．1 C．0 D．
4（2025·全国·模拟预测）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
题型2 已知函数值求参数
1 在分段函数中，若已知函数值（如）求参数，需要对进行分类讨论； 2 若遇到求类似多重函数值，就从里到外逐个求，有时候要利用换元法； 3 遇到新定义的分段函数，理解函数的含义是关键。 【注意】由方程求出后还要注意是否在对应分段函数的自变量取值范围内。
1（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A．或2 B．或1 C．1 D．
2（2025高三·全国·专题练习）已知函数若，则实数a等于（ ）
A． B． C．2 D．9
3（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数若，则（ ）
A． B． C．1 D．4
4（2025·江苏泰州·模拟预测）设函数若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5（24-25高二下·福建）设函数，若，则实数a的值为（ ）
A．或 B．或4 C．或 D．或4
6（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型3 解分段函数不等式
1 在分段函数中，遇到求类似不等式，要对进行分类讨论； 2 若遇到求解类似多重函数的不等式，就从里到外逐个求，有时候要利用换元法； 3 求分段函数的不等式，也可以用数形结合的方法，先把分段函数和不等式中所含的函数的图象画出，再结合图象进行求解。 【注意】由方程求出后还要注意是否在对应分段函数的自变量取值范围内。
1（2025高三·全国·专题练习）设函数，使得的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高一上·山东菏泽·期中）设函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高一上·吉林长春·期中）“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如：，． 已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5（2026高三·全国·专题练习）设函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6（2025高三·全国·专题练习）已知函数若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知函数，若对 ，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型 4 分段函数的单调性
1 判断分段函数的单调性，可以进行分类讨论或者数形结合； 2 若已知分段函数的单调性求参数，可先由已知的单调性得到各段函数单调性求出参数符合的范围，但要注意各段函数之间在端点处也要符合题意中的单调性； 3 利用分段函数的图象，更有利于思考。
1（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
3（24-25高一上·江苏宿迁·期末）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）已知函数，在以下四个选项中，错误的选项是（ ）
A．
B．若关于的方程有两解，则
C．在R上是减函数
D．若，则
题型 5 分段函数的奇偶性
1 判断分段函数的奇偶性，可以利用奇偶性的定义或数形结合； 2 若由分段函数的奇偶性求函数值，要注意自变量的取值范围，有时要分类讨论； 3 若已知分段函数的奇偶性，求函数解析式时，利用奇偶性的定义求解就行。 【注意】分段函数是奇函数，且可取，则函数图象是经过原点的。
1（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递增
C．是偶函数，且在上单调递减
D．是奇函数，且在上单调递减
2（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数则下列结论中正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是偶函数 D．在上单调递减
3（24-25高一上·四川内江·期中）已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数 B．方程有四个实数根
C．在区间上单调递增 D．有最大值，没有最小值
4（24-25高一上·上海·阶段练习）给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．设函数，
①函数为的严格增函数；
②函数不是偶函数；
③函数的最大值为；
④函数有无数个零点．
其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：时，，且关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 ．
题型 6 分段函数的值域
1 求分段函数的值域，可以用分类讨论的方法求各段函数的值域再求其并集，也可以利用数形结合的方法； 2 若已知函数的值域或最值求参数，则利用数形结合的方法比较合适，要注意端点处的处理； 【注意】分类讨论中要注意做到不重不漏。
1（24-25高一·浙江杭州·期末）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．是偶函数
C． D．是单调函数
2（24-25高一下·云南昆明·期中）已知则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数
①当时，函数的单调递减区间是 ；
②若存在最小值，则的取值范围是 .
5（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数
(1)当时，写出函数的解析式和单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值.
题型 7 max/min型分段函数
1 max/min型分段函数，要正确写出最终函数的解析式； 2 在写解析式时，要求解对应的不等式，此时要注意所求解集确定分段函数分成几段； 3 处理此类分段函数，还是利用数形结合的方法更容易分析。
1（24-25高一上·重庆·期中）给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．-6 B．2 C．4 D．6
2（24-25高一上·江苏扬州·期中）定义，设，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C．当时，的最大值为 D．在上单调递减
3（多选）（24-25高一上·湖北襄阳·期中）设函数，其中表示x，y，z中的最小者，下列说法正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．不等式的解集为
C．当时，
D．当时，
4（多选）（24-25高一上·重庆长寿·期末）给定函数，若，用表示，中的较小者，记为函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的单调递减区间为
C．方程有两个根，则
D．若存在常数，使得成立，那么的最小值为
5（25-26高一上·全国·单元测试）定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．
6（2025高三·全国·专题练习）记函数在区间D上的最大值与最小值分别为与.设函数，..
(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(2)若.令.记.试写出的表达式，并求；
(3)令（其中I为的定义域）.若I恰好为，求b的取值范围，并求.
题型 8 分段函数模型的应用
1 分段函数模型，在实际问题中的应用理解题意或对所给图象的理解是关键； 2 根据图象判断问题是否正确，要注意图象中的交点、图象的增速、起点终点位置等细节； 3 实际问题中，什么时候是两者的临界值这是很重要，理解题意是关键。
1（24-25高一上·陕西渭南·期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．选择甲厂比较划算
B．选择乙厂比较划算
C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算
D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样
2（24-25高一上·云南红河·期中）某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）
A．①④ B．②③ C．④① D．③②
3（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4（23-24高一上·北京·期中）当产品产量不大时，成本由固定成本和单位产量的可变成本决定，这二者都是常数，因此是产量的一次函数；而当产品产量较大时，决定成本的因素比较复杂，成本不再是产量的一次函数．现有某产品成本是产量的分段函数：下列说法不正确的是（ ）
A．时， B．时，函数取得最大值
C．函数的值域是 D．函数在上是增函数
5（24-25高一上·全国·课后作业）某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为 (k，M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是（ ）
A．40分钟 B．35分钟
C．30分钟 D．25分钟
6（25-26高一上·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本）
(2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式；
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
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