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培优04 函数图象变换及应用
题型1 函数图象变换的判断
1平移变换 口诀：左加右减，上加下减 例：的图像可以看成由先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到。 2 对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 3 翻折变换 例：的图像可看成由图像对称变换得到.
1（2023·河南·模拟预测）已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数与图象关于轴对称判断B，判断函数，的奇偶性，再结合其与函数的图象关系，判断AC，再根据函数关于原点对称判断D，
【详解】函数的图象与函数的图象关于轴对称，不满足要求，B错误；
设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，A正确；
设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，C错误；
函数的图象与函数的图象关于原点对称，D错误；
故选：A.
2（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，其图象通过平移或翻折后不能与函数的图象重合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对A，利用反函数的性质即可求解；对B和D，利用换底公式即可求解，对于C，，不能由的图象变换得到，即可求解.
【详解】对于A，因为与互为反函数，图象关于对称，所以A不符合题意；
对于B，因为与关于轴对称，所以B不符合题意；
对于C，因为，其图象不能由函数的图象变换得到，所以C正确，
对于D，因为，
其图象只需将函数的图象向上平移一个单位，即可得到，所以D不符合题意；
故选：C.
3（24-25高一上·北京昌平·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度
【答案】D
【分析】变形函数解析式，再与指定函数比对即得.
【详解】函数化为：，显然把函数的图象下移2个单位长度即得的图象，
所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向下平移2个单位长度.
故选：D
4（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【答案】A
【分析】先求的对称中心，结合图象变换可得答案.
【详解】因为，所以，即的图象关于原点对称，
函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
所以函数的图象关于点对称.
故选：A.
5（24-25高一上·四川内江·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点
A．向左平移1个单位长度再向下平移个单位长度
B．向左平移1个单位长度再向下平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度
D．向右平移1个单位长度再向下平移个单位长度
【答案】B
【分析】先根据对数函数的运算法则进行化简，结合函数图象变换关系进行判断即可．
【详解】解：，
则把函数的图象上所有的点，向左平移1个单位长度得到，
然后向下平移2个单位长度，得到，
故选B．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换，根据对数的运算法则结合图象左加右减，上加下减的原则是解决本题的关键．
6（2023·北京丰台·二模）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
【答案】D
【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案.
【详解】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误；
B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，错误；
C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，错误；
D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，正确.
故选：D
题型2 利用图象变换画函数图象
1 画函数图象的方法 （1） 直接法 当函数时我们熟悉的函数的一般形式，可以直接出出函数图象； （2） 转化法 含有绝对值的函数，可去掉绝对值符号，把函数化为分段函数； （3） 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数经过平移、翻转、对称变换得到，可以利用图象变换作出。 2 利用图象变换法时，分析函数的结构是关键，函数变化的次序也很重要。
1（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果.
【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示：
再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象，
故图②所示图象对应的函数为.
故选：D.
2（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】求出函数定义域，转化为的交点个数问题，数形结合得到答案.
【详解】由题意知，函数的定义域为．令，
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示．
由图得两个函数图象有2个交点，故函数有2个零点.
故选：C．
3（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】画出函数图像即可求解.
【详解】在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，
由图可知，两函数的图象的交点个数为4.
故选：C.
4（2025高二下·天津南开·学业考试）若函数有一个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令有，即与的图像只有一个交点，作出的图像，利用数形结合即可求解.
【详解】令有，所以与图像只有一个交点，
作出的图像，
由图可有或，即或，
所以，
故答案为：.
5（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数．
(1)在图中画出函数的图象；
(2)设，若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)作图见解析；
(2)或.
【分析】（1）借助指数函数图象，利用变换法作出函数图象.
（2）由零点的意义，结合（1）的图象，求出直线与的图象有两个交点的范围.
【详解】（1）作出函数的图象，并沿轴负方向平移2个单位得的图象，
再将所得的图象在轴下方部分沿轴翻折到轴上方与在轴上方的图象
合在一起得的图象，如图中实线：
（2）由，得，由函数有两个零点，
得直线与的图象有两个交点，
由（1）知，，解得或，
所以实数的取值范围是或.
6（2025高三·全国·专题练习）已知．
(1)求的定义域、值域；
(2)讨论的对称中心和单调性.
【答案】(1)，
(2)对称中心为；在上单调递减，在上单调递减
【分析】（1）令，可得到定义域；用表示出来，利用，可得到值域.
（2）通过的三条渐近线作出的图象，利用图象可得到的对称中心和单调性.
【详解】（1）令，得，所以的定义域为；
由，可得，由，可得或，
所以的值域为.
故的定义域为，值域为．
（2）当时，；
当时，，
所以两条水平渐近线为．
再令得竖直渐近线，如图：
的对称中心为两条水平渐近线的对称轴与竖直渐近线的交点．
即对称中心为在上单调递减，在上单调递减．
题型3 根据函数解析式选图象
1 根据函数解析式判断其图象，可以先研究其定义域、奇偶性、单调性等基本函数性质，从而判断其图象； 2 若题目是选择题，可以采取“取特殊值描点”的方法进行排除选项；也可以令取向无穷大或无穷小，利用函数模型排除选项。
1（2025高一·全国·专题练习）函数的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性，然后结合函数在时函数值的符号，排除法确定答案.
【详解】定义域是，定义域关于原点对称，
且，即是奇函数，
因此函数图象关于原点对称，所以选项A，C错误．
又当时，，从而，
故选：D
2（24-25高一下·江苏南通·期末）下列可能是函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图象特征先根据定义域排除A,B,再根据特殊值排除D即可得出选项.
【详解】函数定义域为R，排除选项A,B，
当时，，排除选项D.
故选：C.
3（25-26高一上·全国·单元测试）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用的奇偶性与特殊区间处的函数值正负排除错误选项.
【详解】方法一：易知函数定义域是，又，
故是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，
当时，，排除B；
方法二：当时，，则，排除B，D，
当时，，则，排除C，
故选：A
4（24-25高二下·浙江温州·期中）函数（为自然常数）的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性可排除D；由，可排除B；当趋近正无穷时，趋近可排除C，即可得出答案.
【详解】因为的定义为，
所以，所以为奇函数，排除D，
又因为，所以排除B，
当趋近正无穷时，趋近，故C错误.
故选：A.
5（2025高一·全国·专题练习）函数的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由奇偶性定义判断函数的奇偶性，结合时，应用排除法即可得.
【详解】由，则，
所以是奇函数，排除B，C，又时，，排除A.
故选：D
6（2025·全国·模拟预测）（5分）函数的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题可得函数的定义域为，因为 ，所以函数为奇函数，排除选项B；又，，所以排除选项A、C，故选D．
题型 4 根据函数图象选解析式
1 根据函数解析式判断其图象，可以先研究其定义域、奇偶性、单调性等基本函数性质，从而判断其图象； 2 若题目是选择题，可以采取“取特殊值描点”的方法进行排除选项；也可以令取向无穷大或无穷小，利用函数模型排除选项。
1（23-24高一上·贵州黔西·期末）函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合图象，根据定义域与特殊值应用排除法得到答案.
【详解】由图象可知，的定义域为，
对于C，D选项，，定义域为，排除C，D；
对于B选项，，定义域为，
当时，，排除B，
对于A，的定义域为，且其在上单调递减，在上单调递增，故A正确.
故选：A.
2（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根据函数的定义域、符号性逐项分析判断.
【详解】由题意可知：的定义域为，
对于选项A：因为的定义域为，不合题意，故A错误；
对于选项B：因为，不合题意，故B错误；
对于选项C：当x趋近于时，趋近于0，不合题意，故C错误；
故选：D.
3（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若曲线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根据函数值的符号以及函数单调性分析判断.
【详解】由图象可知，
对于选项A：因为，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
由图象可知：存在，使得在内单调递减，
对于选项C：因为在内单调递增，且在内单调递增，
可知在内单调递增，故C错误；
故选：D.
4（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D.
【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且，
对于A，，为偶函数，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，为奇函数，当时，，
因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确；
对于D，当时，，，所以时，，
单调递增，当时，，单调递减，故D错误，
故选：C.
5（24-25高三上·河北沧州·期末）如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由时，，可排除B，D；再由可排除C.
【详解】由图可知当时，，故排除B，D；
设，则，故排除C．
故选：A．
6（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察函数的图象，确定函数的性质，再判断选项.
【详解】由图象可知，函数的定义域为，函数是奇函数，
A.函数的定义域为，故A错误；
B.函数的定义域为，故B错误；
C.函数的定义域为，且，函数是奇函数，没有除0之外的其他零点，且当时，，，，故C正确；
D.函数的定义域为，且，函数是偶函数，故D错误.
故选：C
题型 5 图象在实际问题中的应用
1 图象在实际问题中，理解题目中实际情景是关键； 2 在实际问题中，要注意自变量的取值范围； 3 注意图象在一些临界点在实际问题中的解释； 4 在实际问题的变化速度问题，要理解常见函数的增长速度比较：指数型函数>幂型函数>对数型函数。
1（23-24高一上·贵州贵阳·期末）某池塘野生水葫芦的覆盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（ ）
A．此指数函数的底数为2
B．在第5个月时，野生水葫芦的覆盖面积会超过
C．野生水葫芦从蔓延到只需1.5个月
D．设野生水葫芦蔓延至所需的时间分别为，则有
【答案】C
【分析】A选项，设出解析式，将代入，求出；B选项，由A选项知，，计算出；C选项，由得到C错误；D选项，列出方程，求出答案.
【详解】A选项，设，将代入得，，解得，A正确；
B选项，由A选项知，故，
故在第5个月时，野生水葫芦的覆盖面积会超过，B正确；
C选项，，令，解得，
由于
野生水葫芦从蔓延到大于1.5个月，C错误；
D选项，由题意得，
故，即，则有，D正确.
故选：C
2（22-23高一下·浙江杭州·期末）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度随时间变化的下降速度.
【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，
燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，
燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，
结合所得的函数图象，A选项较为合适.
故选：A.
3（22-23高一上·浙江杭州·期中）秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）（）成正比；药物释放完毕后，与t的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前 小时进行消毒工作.
【答案】1
【分析】根据题意求出参数a，当时,令，解不等式即可.
【详解】由图中一次函数图象可得，图象中线段所在直线的方程为，
又点在曲线上，所以，
解得，
因此含药量与时间 之间的函数关系式为，
当时，令，即，即，解得
故答案为：1.
4（24-25高一上·辽宁抚顺·期末）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①，②，③.
(1)请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由：
(2)根据所给信息求出函数的解析式；
(3)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）.
【答案】(1)选模型③
(2)
(3)37分钟
【分析】（1）根据幂函数，指数型函数以及对数型函数的图象性质即可求解，
（2）代入，即可联立方程求解，
（3）根据对数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③.
（2）所求函数过点，，
则，解得，
故所求函数为
经检验，当时，，符合题意.
综上所述，函数的解析式为.
（3）∵每天得分不少于分，∴，即，
∴，即，
∴至少需要锻炼37分钟.
5（24-25高一上·山东烟台·阶段练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：
（1）函数的图象接近图示；
（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；
（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：
①； ②； ③.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
【答案】(1)选，理由见解析；
(2)答案见解析；
(3)55分钟
【分析】（1）根据图象和函数性质选择即可；
（2）将代入求解系数，再结合题设每天最多得分不超过6分条件完善解析式即可；
（3）解对数不等式即可.
【详解】（1）选模型三：，理由如下：
对于模型一，时匀速增长；对于模型二，时，先慢后快增长；对于模型3，时，先快后慢增长，
由图象可知应选择先慢后快增长的函数模型，故选择模型三比较合适.
（2）将代入得，
所以.
当时，，满足每天最多得分不超过6分条件，
所以函数解析式为.
（3）由，
所以，解得，
所以每天运动时间不少于4.5分，则每天至少运动55分钟.
题型 6 函数图象变换的综合运用
对于一些复杂函数，我们有时候要用到函数的变换画出函数图象得到函数基本性质，数形结合的方法分析问题，这样使得问题能做到一目了然。
1（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A． B．ln2 C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解.
【详解】∵，
∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的.
根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增，
故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示.
由图可知：函数与函数的图象共有两个交点，
不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.
若是方程的解，即.
又，∴是方程的解，
∴，则.
故选：C.
2（24-25高二下·福建·期末）已知函数，当时，关于的方程的实数解的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式画出函数图象，令，则，结合函数图象可得与有个交点，则问题转化为， 的解得个数，结合函数图象即可判断.
【详解】因为的图像如图所示：
令，则，因为，由图像可知，关于的方程有三个解分别为，
，从图像中可以看出，，令，所以，
所以方程无解，有两解，有两解，故关于的方程有四个解.
故选：C
3（24-25高二下·河北·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】并画出图象，设，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，列式求解即可.
【详解】∵，
当时， 在上为减函数，
当时，即在上为增函数，，
当时，在上为增函数，
作出函数的图象如图所示：
设，
当时，方程有1个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有3个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有1个解，
当时，方程有0个解，
方程等价为，
要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，
等价为方程有两个不同的根，且当时，方程有1个解，
所以时，方程有3个解，所以，即得.
故选：A．
4（24-25高二下·山东日照·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出的图象，确定的范围，再根据对数的运算以及二次函数的对称性得和，进而利用二次函数的性质求出范围.
【详解】作出函数的图象，且，
方程有四个不同的实根，则，
由，得，即，由，得，
，，
函数在上单调递增，当时，，
则的取值范围为，所以的取值范围为.
故选：C
5（多选）（24-25高一下·湖北·期中）已知函数，若方程有三个不相等的实根，，，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．方程有三个不相等的实数根
【答案】BCD
【分析】根据方程有三个不相等的实根计算判断各个选项即可.
【详解】由函数，作出图象：
若方程有三个不相等的实根，，，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以当时方程有一个不相等的实根，则，
又因为关于对称，
所以，且，
则，
因为时，，因此可以取到1，所以A错误；
则，所以B正确；
又因为，所以，所以，，知，所以C正确，
当方程有三个不相等的实根时，，则，所以D正确.
故选：BCD.
6（多选）（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数，若函数有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】将问题转化为与的图象交点问题，再利用对数函数与二次函数的性质作出的大致图象，数形结合逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】令，可得，
若有4个不同的零点，且，
可知与的图象有4个不同的交点，其横坐标从左到右依次为，
又，
利用对数函数与二次函数的性质作出的大致图象，如图，
结合图象可知，，且，
故B错误，C正确；
对于选项AD：因为，且，
即，则，
可得，
即，故A正确；
所以，故D正确；
故选：ACD.
7（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数使得函数恰有3个零点”问题转化为函数与直线有三个交点的问题，结合图象即可求得的取值范围.
【详解】当时，，求导得，
所以在上单调递增，最大值为.
当时，.
当时，；当时，，
画出的图象如下：
因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题.
由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意.
当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意.
当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意.
故答案为：.
1中小学教育资源及组卷应用平台
培优04 函数图象变换及应用
题型1 函数图象变换的判断
1平移变换 口诀：左加右减，上加下减 例：的图像可以看成由先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到。 2 对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 3 翻折变换 例：的图像可看成由图像对称变换得到.
1（2023·河南·模拟预测）已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，其图象通过平移或翻折后不能与函数的图象重合的是（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一上·北京昌平·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度
4（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
5（24-25高一上·四川内江·期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点
A．向左平移1个单位长度再向下平移个单位长度
B．向左平移1个单位长度再向下平移2个单位长度
C．向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度
D．向右平移1个单位长度再向下平移个单位长度
6（2023·北京丰台·二模）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
题型2 利用图象变换画函数图象
1 画函数图象的方法 （1） 直接法 当函数时我们熟悉的函数的一般形式，可以直接出出函数图象； （2） 转化法 含有绝对值的函数，可去掉绝对值符号，把函数化为分段函数； （3） 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数经过平移、翻转、对称变换得到，可以利用图象变换作出。 2 利用图象变换法时，分析函数的结构是关键，函数变化的次序也很重要。
1（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4（2025高二下·天津南开·学业考试）若函数有一个零点，则实数的取值范围是 .
5（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数．
(1)在图中画出函数的图象；
(2)设，若函数有两个零点，求实数的取值范围．
6（2025高三·全国·专题练习）已知．
(1)求的定义域、值域；
(2)讨论的对称中心和单调性.
题型3 根据函数解析式选图象
1 根据函数解析式判断其图象，可以先研究其定义域、奇偶性、单调性等基本函数性质，从而判断其图象； 2 若题目是选择题，可以采取“取特殊值描点”的方法进行排除选项；也可以令取向无穷大或无穷小，利用函数模型排除选项。
1（2025高一·全国·专题练习）函数的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
2（24-25高一下·江苏南通·期末）下列可能是函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
3（25-26高一上·全国·单元测试）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高二下·浙江温州·期中）函数（为自然常数）的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
5（2025高一·全国·专题练习）函数的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
6（2025·全国·模拟预测）（5分）函数的图象大致为
A． B．
C． D．
题型 4 根据函数图象选解析式
1 根据函数解析式判断其图象，可以先研究其定义域、奇偶性、单调性等基本函数性质，从而判断其图象； 2 若题目是选择题，可以采取“取特殊值描点”的方法进行排除选项；也可以令取向无穷大或无穷小，利用函数模型排除选项。
1（23-24高一上·贵州黔西·期末）函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
2（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若曲线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
4（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
5（24-25高三上·河北沧州·期末）如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则可以是（ ）
A． B． C． D．
题型 5 图象在实际问题中的应用
1 图象在实际问题中，理解题目中实际情景是关键； 2 在实际问题中，要注意自变量的取值范围； 3 注意图象在一些临界点在实际问题中的解释； 4 在实际问题的变化速度问题，要理解常见函数的增长速度比较：指数型函数>幂型函数>对数型函数。
1（23-24高一上·贵州贵阳·期末）某池塘野生水葫芦的覆盖面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，其中说法错误的是（ ）
A．此指数函数的底数为2
B．在第5个月时，野生水葫芦的覆盖面积会超过
C．野生水葫芦从蔓延到只需1.5个月
D．设野生水葫芦蔓延至所需的时间分别为，则有
2（22-23高一下·浙江杭州·期末）杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为，则关于时间的函数的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3（22-23高一上·浙江杭州·期中）秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）（）成正比；药物释放完毕后，与t的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前 小时进行消毒工作.
4（24-25高一上·辽宁抚顺·期末）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①，②，③.
(1)请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由：
(2)根据所给信息求出函数的解析式；
(3)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）.
5（24-25高一上·山东烟台·阶段练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：
（1）函数的图象接近图示；
（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；
（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：
①； ②； ③.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
题型 6 函数图象变换的综合运用
对于一些复杂函数，我们有时候要用到函数的变换画出函数图象得到函数基本性质，数形结合的方法分析问题，这样使得问题能做到一目了然。
1（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A． B．ln2 C．0 D．1
2（24-25高二下·福建·期末）已知函数，当时，关于的方程的实数解的个数为（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高二下·河北·期末）已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高二下·山东日照·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5（多选）（24-25高一下·湖北·期中）已知函数，若方程有三个不相等的实根，，，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．方程有三个不相等的实数根
6（多选）（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数，若函数有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
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