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微专题 分段函数
题型一 分段函数求函数值
看清范围，在那个范围就带入那个解析式，已知函数值求，要讨论范围
1．（河南省2025-2026学年高一学期第二次联考数学试题）已知函数则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（25-26高一·重庆九龙坡·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．8 B． C． D．
3．（25-26高三·江苏南通·期中）已知函数，则 .
4．（2025高一·广东·专题练习）设则（ ）
A． B．0 C． D．
题型二 已知函数值求参数
已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
5．（25-26高一·宁夏银川·阶段练习）已知，若，则的值是（ ）
A．1或或2 B．或2 C．1或2 D．2
6．（25-26高一·山东淄博·阶段练习）设函数，若，则（ ）
A．或2 B．或3 C．2 D．或2或3
7．（25-26高一·陕西咸阳·阶段练习）若设函数，若，则 .
8．（25-26高一·浙江嘉兴·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为 ．
9．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．（25-26高一·广东·阶段练习）设函数，若实数满足，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
11．（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数，若，则实数的值为 ．
12．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ．
13．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的函数则使得成立的整数的集合为 ．
题型三 解分段函数不等式
①求解分段函数不等式，需要对分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可. ②在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案.
14．（25-26高一·广东中山·阶段练习）已知函数，则的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
15．（2025高二·黑龙江大庆·期末）设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
16．（25-26高一·广东佛山·阶段练习）已知函数.
(1)求，的值；
(2)若，求m的值；
(3)求解集．
17．（25-26高一·河南南阳·阶段练习）已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
18．（25-26高一·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 .
19．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．的解集为
20．（2025高一·全国·专题练习）已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四 分段函数的图象
分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
21．（25-26高一·甘肃天水·阶段练习）已知函数
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)画出函数的图像.
22．（25-26高一·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数
(1)画出函数的图象；
(2)求函数的定义域及值域；
(3)若，求的值；
(4)求的值.
23．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数
(1)求，的值；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的大致图象，并求的解集．
24．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，．
(1)在同一坐标系中画出函数的图象；
(2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）．
25．（2025高一·广东惠州·期中）已知函数．
(1)求，，的值；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的大致图象，并求时，的值域．
26．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数.
(1)用分段函数的形式表示函数；
(2)画出函数的图象，并写出函数的值域.
27．（2025高一·天津和平·期中）已知函数.
(1)求 的值；
(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)求关于的方程的实数根．
题型五 分段函数的单调性
1.求单调区间：先分析各分段函数自身的增减性；再验证分界点处的衔接关系，若相邻分段均单调且分界点处函数值满足整体单调趋势，则可合并区间，最终确定整体单调区间， 2.求参数：先确定各分段函数单调时参数的取值范围，再结合分界点处满足整体单调性的不等式，联立求解得参数范围。
28．（25-26高一·山东枣庄·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B． C． D．
29．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，设，则是（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在上单调递减，上递增
D．在上单调递增，上递减
30．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数.
(1)写出的单调区间；
(2)解不等式.
31．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
32．（2026高三·全国·专题练习）设函数则不等式的解集为 .
33．（2025·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
34．（广西壮族自治区贵港市2025-2026学年高一学期10月月考数学试题）已知函数在上单调，则的取值范围为 ．
35．（25-26高一·江苏无锡·阶段练习）已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
36．（25-26高一·黑龙江绥化·阶段练习）莱布尼茨是17世纪的德国数学家，他与牛顿在函数研究上的贡献都是跨时代的，他在1673年首先使用了“函数”这个词并且提出了单调性的概念，已知在上为减函数，则实数的取值范围为
37．（25-26高一·福建·阶段练习）已知函数满足，对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．（25-26高一·湖北·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
39．（25-26高一·广东东莞·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围为
40．（25-26高三·上海·阶段练习）已知函数是上的减函数，则a的取值范围是 ．
题型六 分段函数的奇偶性
1.判断分段函数奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再验证对定义域内任意x，f(-x)与-f(x)（奇函数）或f(x)（偶函数）是否相等。 注（1）定义域验证：确认定义域对称，不对称则非奇非偶。 分段验证：对x在不同区间，求f(-x)，对比是否符合奇偶性定义，如x>0时用x<0的解析式推导。 求值：借奇偶性f (-x)=-f (x) 或f (-x)=f (x)转化所求值， 求参数：依据奇偶性定义，列等式，解等式得参数。 4.求解析式：已知某区间解析式，设所求区间x，用- x转化到已知区间，如求x<0时解析式，由奇函数 f (x)=-f (-x)，代入-x>0 时的解析式，化简得所求区间解析式。
41．（2025高一·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 .
42．（2025高一·广东·阶段练习）若函数为奇函数，则 .
43．（2025高一·全国·课后作业）已知是奇函数，则 ； ．
44．（2025高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的偶函数，则 .
45．（2025·全国·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．6
46．（2025·河北邢台·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（ ）
A．B． C． D．
47．（2025高一·北京丰台·期中）已知是定义域为的偶函数，当时，.
(1)求的值；
(2)的部分图象如下图，请将的图象补充完整，并写出的单调递减区间；
(3)若关于的方程恰有6个实数根，则实数的取值范围是________．
48．（2025高一·安徽安庆·期中）若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是
题型七 分段函数的值域或最值
①分别求出不同定义域下函数值域，求并集即可 ②在同一坐标系画出函数解析式，直接观察值域
49．（2025高二·北京·学业考试）已知函数则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
50．（2025高一·全国·专题练习）已知函数则的值域为 ．
51．（25-26高三·山东淄博·阶段练习）已知函数，求：
(1)求的值；
(2)当时，求的值域.
52．（25-26高一·福建龙岩·开学考试）代数式的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
53．（2025高三·北京·专题练习） ，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为 .
54．（2025高一·全国·专题练习）已知函数则函数的最小值为 ；若函数满足，则的取值范围是 ．
55．（25-26高一·湖南永州·阶段练习）已知，定义运算“”， ，设则的值域是（ ）
A． B． C． D．
56．（2025高二·江苏徐州·期末）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
57．【多选】（2025高一·陕西·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．若，则的值是或
C．的值域为 D．的解集为
题型八 根据分段函数的值域求参数范围
①首先分别求解两段函数解析式对应的值域，然后结合题干的整体值域求出参数的取值范围，即可得到答案. ②在同一坐标系下画出函数图象分析，研究端点处函数值，结合题干的整体值域求出参数
58．（25-26高一·湖南长沙·阶段练习）已知，若的值域是，则实数的取值范围是 .
59．（25-26高三·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若是的最小值，则实数的取值范围为 .
60．（25-26高三·河南·开学考试）已知函数若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
61．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则正数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
62．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
63．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型九 max/min型分段函数
表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个，分别联立方程求得交点坐标，画出函数的图像，数形结合即可得解.
64．（25-26高一·江苏·阶段练习）记表示x，y，z中的最小者，设函数，则等于
65．【多选】（25-26高一·山东泰安·阶段练习）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则（ ）
A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为
C．不等式的解集为 D．既无最大值也无最小值
66．【多选】（2025高一·广东·期中）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （ ）
A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为
C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为
67．【多选】（2025高一·吉林·阶段练习）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（ ）
A．1 B． C． D．2
68．（河南省2025-2026学年高一学期第二次联考数学试题）对于实数，我们用符号表示两数中较大的数，如．若函数在上有最小值，则的取值范围为 ．
69．（2025高一·湖北·期中）以表示数集中最大的数，表示数集中最小的数，则 .
70．（25-26高一·吉林长春·阶段练习）用表示，中的较小者，记为，已知函数．
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，
①求使得成立的的取值范围；
②求在区间上的最大值．
71．（25-26高一·浙江舟山·阶段练习）定义，已知函数，.
(1)设函数，当，时，求函数的解析式，并求函数的值域；
(2)已知，当时，恒有成立，求的最大值.
72．【多选】（25-26高三·陕西商洛·阶段练习）设表示p，q两者中较小的一个，表示p，q两者中较大的一个．已知函数，且在上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ）
A．只有一个零点
B．在上的最小值为0
C．在上的最大值为4
D．m的取值范围为
题型十 狄利克雷函数
狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数
73．【多选】（2025高一·河南开封·期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（ ）
A．是偶函数
B．任意非零有理数都是的周期
C．，
D．若，则
74．（2025高一·广东·期中）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 .
75．【多选】（2025高一·广东佛山·阶段练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为 B．的定义域为
C． D．存在是无理数，
76．【多选】（2025高一·广西玉林·期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为 B．满足
C． D．存在x，y是无理数，使得
77．（2025高一·江苏扬州·期中）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且，Qc是Q的补集），以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
78．【多选】（2025高一·湖北黄冈·期中）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，秋利克雷函数就以其名命名，其解析式为，则关于秋利克雷函数.下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．，
C．函数是偶函数 D．的值域为
79．【多选】（2025高一·浙江·期中）历史上第一个给出函数的一般定义的是十九世纪德国数学家狄利克雷，在1837年他提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”狄利克雷在1829年给出了著名函数：,以下说法正确的是（ ）
A．的图像关于轴对称 B．的值域是
C． D．
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微专题 分段函数
题型一 分段函数求函数值
看清范围，在那个范围就带入那个解析式，已知函数值求，要讨论范围
1．（河南省2025-2026学年高一学期第二次联考数学试题）已知函数则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入求值.
【详解】依题意，.
故选：B
2．（25-26高一·重庆九龙坡·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得，再代入即可求解.
【详解】因为函数，
所以可得，
则，
故选：B
3．（25-26高三·江苏南通·期中）已知函数，则 .
【答案】5
【分析】根据解析式，将自变量代入求值即可.
【详解】由解析式知，则.
故答案为：5
4．（2025高一·广东·专题练习）设则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】由函数解析式及分段函数的定义可求解.
【详解】当时，，故，当时，．
故．
故选：C.
题型二 已知函数值求参数
已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
5．（25-26高一·宁夏银川·阶段练习）已知，若，则的值是（ ）
A．1或或2 B．或2 C．1或2 D．2
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式列方程，由此求得的值.
【详解】当时，则，解得，不满足，所以无解；
当时，则，解得，
不满足，满足，所以；
当时，则，解得，不满足，所以无解；
故选：D.
6．（25-26高一·山东淄博·阶段练习）设函数，若，则（ ）
A．或2 B．或3 C．2 D．或2或3
【答案】A
【分析】由分段函数列方程直接求解即可.
【详解】因为函数，由，
所以或，解得：或.
故选：A.
7．（25-26高一·陕西咸阳·阶段练习）若设函数，若，则 .
【答案】3
【分析】利用分段函数的性质并结合题意建立方程，求解参数即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
则，解得.
故答案为：3
8．（25-26高一·浙江嘉兴·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为 ．
【答案】5
【分析】根据可知，再结合即可求出a的值．
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
9．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式结合已知条件，求得参数，再求函数值即可.
【详解】由，是减函数，可知当时，，
所以，则，
由，得，解得，
所以.
故选：B.
10．（25-26高一·广东·阶段练习）设函数，若实数满足，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【分析】先确定的定义域，然后根据条件求解出的值，由此可计算出的值.
【详解】由条件可知的定义域为，所以，
当时，，此时无解；
当时，，解得；
所以，
故选：C.
11．（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】按照从内到外的顺序求，并根据的取值分类讨论函数的解析式，求解即得.
【详解】①当，即时，，由解得（舍），
②当，即时，，
（Ⅰ）若，即时，有，解得；
（Ⅱ）若时，即时，有方程无解.
综上，．
故答案为：
12．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ．
【答案】
【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可.
【详解】设，，，
当时，，，无解，不符合题意；
当时，，；
当时，，，无解，不符合题意；
当时，，．
故答案为：
13．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的函数则使得成立的整数的集合为 ．
【答案】
【分析】应用分段函数计算结合解为整数计算求解.
【详解】设，则由解得或．
当时，，即．
当时，，则或，
又因为为整数，所以为0，1，3，4.
综上所述，整数的取值集合为．
故答案为：．
题型三 解分段函数不等式
①求解分段函数不等式，需要对分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可. ②在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案.
14．（25-26高一·广东中山·阶段练习）已知函数，则的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的定义域，分别在不同区间内求解不等式，然后取并集即可.
【详解】当时，，解得；
当时，，
即，即，解得或（舍去），
所以的解集为.
故选：.
15．（2025高二·黑龙江大庆·期末）设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合函数解析式分两段得到不等式，分别解两个不等式取并集即可.
【详解】根据题意，由于函数，
那么可知当，则，解得；
当，则，即，解得或，
综上，不等式的解集是.
故选：A.
16．（25-26高一·广东佛山·阶段练习）已知函数.
(1)求，的值；
(2)若，求m的值；
(3)求解集．
【答案】(1)，；
(2)或1或；
(3).
【分析】（1）根据给定分段函数，判断代入计算即得.
（2）根据给定分段函数，分类讨论求得值.
（3）根据给定分段函数，分类讨论求得不等式的解集.
【详解】（1）由，得，.
（2）当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
当时，，解得或，则，
所以的值为或1或.
（3）当时，恒成立，则；
当时，恒成立，则；
当时，，即，解得，则，
所以不等式的解集为．
17．（25-26高一·河南南阳·阶段练习）已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数，分，，分类讨论结合一元二次不等式解函数不等式．
【详解】因为，
当时，，不合题意；
当时，，
不等式可得，解得，所以；
当时，，
所以不等式等价于，即得解得，
所以.
综上可得.
故选：A
18．（25-26高一·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据分段函数分类讨论，解不等式即可得解.
【详解】当时，，即，
解得，
当时，，即，
解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
19．【多选】（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．的解集为
【答案】BD
【分析】根据分段函数的解析式直接计算求解可判断答案.
【详解】，故A选项错误；，故B选项正确；
当时，，解得，当时，，解得，
即的解集为，故C选项错误；
当时，，解得，当时，，解得，
综上，的解集为，故D选项正确；
故选：BD.
20．（2025高一·全国·专题练习）已知函数若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】讨论自变量a的范围，选择正确的解析式带入，并解不等式求a范围.
【详解】，
若，则，即，
解得，所以；
若，则，
即，解得，所以；
综上，实数的取值范围为．
故选：D.
题型四 分段函数的图象
分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
21．（25-26高一·甘肃天水·阶段练习）已知函数
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)画出函数的图像.
【答案】(1)1
(2)或
(3)函数图象见详解
【分析】（1）先求，再求，最后求；
（2）根据，，分类求解即可；
（3）根据题中分段函数解析式作图，注意端点.
【详解】（1）由题意知，，则，
所以.
（2）因为，则有：
当时，，解得，不满足舍去；
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得或舍去，即；
综上，当时，或.
（3）函数的图象如图所示：
22．（25-26高一·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数
(1)画出函数的图象；
(2)求函数的定义域及值域；
(3)若，求的值；
(4)求的值.
【答案】(1)图象见解析
(2)定义域为，值域为
(3)或
(4)
【分析】（1）根据函数解析式画出函数图象；
（2）由解析式得到定义域，结合图象求出值域；
（3）由解析式分段计算；
（4）根据解析式由内到外依次计算即可.
【详解】（1）因为，所以函数的图象如下所示：
（2）因为，所以的定义域为，
由的图象可知，当时取得最大值，即，
所以的值域为；
（3）因为，
令，则或或，
解得或或，
综上可得所对应的的值为或.
（4）因为，
所以，则，，
所以.
23．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数
(1)求，的值；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的大致图象，并求的解集．
【答案】(1)，
(2)或1或
(3)作图见解析，
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集.
【详解】（1）因为，
所以，．
（2）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得或（舍去）．
综上所述，的值为或1或．
（3）作出函数的图象如图所示：
当时，恒成立；当时，恒成立；
当时，，即，得．
综上所述，的解集为．
24．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，．
(1)在同一坐标系中画出函数的图象；
(2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析，，的值域为
【分析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线，作出相应图象.
（2）令，分段讨论得出和，结合图象和已知条件讨论得出，作出函数图象，根据图象得出的值域.
【详解】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线.
所以图象如图所示．
（2）令，即，
当时，，得；
当时，，得；
则当时，；
当时，；
当时，．
图象法表示的图象如图．
由图象可知，和时函数取得最大值，即，
所以的值域为．
25．（2025高一·广东惠州·期中）已知函数．
(1)求，，的值；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的大致图象，并求时，的值域．
【答案】(1)，，
(2)或1或
(3)图象见解析，
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域.
【详解】（1）因为，
所以，，
.
（2）当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴或（舍）.
综上所述，m的值为或1或.
（3）函数的图象，如图所示：
当，，
当，，
综上所述：结合图象可得的值域为.
26．（2025高一·江苏·专题练习）已知函数.
(1)用分段函数的形式表示函数；
(2)画出函数的图象，并写出函数的值域.
【答案】(1)
(2)作图见解析，
【分析】（1）利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可；
（2）根据一次函数图象性质进行画图，根据图象求最值即可.
【详解】（1）当时，；
当时，；
所以
（2）由（1）得
由此画出的图象如下图所示：
由图象知，的值域为.
27．（2025高一·天津和平·期中）已知函数.
(1)求 的值；
(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)求关于的方程的实数根．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的解析式由内到外计算可得出的值；
（2）根据函数的解析式可作出函数的图象；
（3）分、两种情况解方程，可得其实数根.
【详解】（1）因为，则，.
（2）作出函数的图象如下图所示：
（3）当时，由，可得，
当时，，此时，方程无解.
综上所述，方程的实数根为.
题型五 分段函数的单调性
1.求单调区间：先分析各分段函数自身的增减性；再验证分界点处的衔接关系，若相邻分段均单调且分界点处函数值满足整体单调趋势，则可合并区间，最终确定整体单调区间， 2.求参数：先确定各分段函数单调时参数的取值范围，再结合分界点处满足整体单调性的不等式，联立求解得参数范围。
28．（25-26高一·山东枣庄·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】分段去绝对值符号将化简并画出的图象，根据图象写出单调递增区间.
【详解】,
图象如图所示
函数的单调递增区间为
故选：D.
29．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数，设，则是（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在上单调递减，上递增
D．在上单调递增，上递减
【答案】B
【分析】首先判断与的奇偶性，再画出的图像即可求出的单调性.
【详解】的定义域为，
因为，则，
所以为奇函数.
又，则也是奇函数.
由，可得图象如图所示：
所以函数在上单调递增.
故选：B
30．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数.
(1)写出的单调区间；
(2)解不等式.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2).
【分析】（1）分段去绝对值符号，再结合二次函数单调性求出单调区间.
（2）分段求解一元二次不等式即可.
【详解】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）当时，，由，得，则；
当时，，由，得无实数解，
所以不等式的解集为.
31．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，从而有为偶函数，上单调递增，据此可解不等式.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
当时，则，，
当时，则，，
综上所述：对，都有，
所以为偶函数，又时，，所以在上单调递增，
由，可得，
所以，平方得，
令，可得，整理得，解得或，
又，所以或，即或，
解得或或或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
32．（2026高三·全国·专题练习）设函数则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】把不等式化为这种形式，再利用函数单调性求解.
【详解】由函数解析式知在上单调递增，
且，
则，
由单调性知，解得.
故答案为：
33．（2025·河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解.
【详解】因为 ，所以，，
则，即，
的函数图象如图所示：
由函数图象可知当时，且在上单调递减，
所以等价于，即，
解得，即.
故选：A.
34．（广西壮族自治区贵港市2025-2026学年高一学期10月月考数学试题）已知函数在上单调，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分函数在区间上单调递增和在区间上单调递减两种情况，列不等式求解即可.
【详解】当函数在区间上单调递增时，，解得；
当函数在区间上单调递减时，，解得．
故的取值范围为．
故答案为：.
35．（25-26高一·江苏无锡·阶段练习）已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用分段函数的单调性列出不等式组求解即得.
【详解】因为函数是上的单调递增函数，
函数在上为增函数，则，解得；
函数在上为增函数，
由于，则函数的图象开口向上，对称轴为直线，且，
此时函数在上为增函数，合乎题意；
因为函数在上为增函数，故，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
36．（25-26高一·黑龙江绥化·阶段练习）莱布尼茨是17世纪的德国数学家，他与牛顿在函数研究上的贡献都是跨时代的，他在1673年首先使用了“函数”这个词并且提出了单调性的概念，已知在上为减函数，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】根据函数的单调性的定义以及二次函数的性质进行求解即可
【详解】因为在上为减函数，
则，解得.
故答案为：.
37．（25-26高一·福建·阶段练习）已知函数满足，对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式，求出参数范围即可；
【详解】由题意得，对于任意实数，都有成立，
不妨设，则，所以在上单调递减，
所以，解得．
故选：C.
38．（25-26高一·湖北·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，题中条件转化为判断在上是增函数，进而再由题意列出不等式组求解即可.
【详解】由对任意，当时，都有，成立，
得.
令，
则在上是增函数.
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
39．（25-26高一·广东东莞·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】根据题意判断出函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】依题意，对任意当时，都有，
所以在上单调递增，
所以，
解得，所以实数的取值范围为.
故答案为：
40．（25-26高三·上海·阶段练习）已知函数是上的减函数，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数图象对称轴和两函数端点值得到不等式组，求出答案.
【详解】显然当时，为单调减函数，
当时，，其图象对称轴为，，
若是上的减函数，则，解得．
故答案为：
题型六 分段函数的奇偶性
1.判断分段函数奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再验证对定义域内任意x，f(-x)与-f(x)（奇函数）或f(x)（偶函数）是否相等。 注（1）定义域验证：确认定义域对称，不对称则非奇非偶。 分段验证：对x在不同区间，求f(-x)，对比是否符合奇偶性定义，如x>0时用x<0的解析式推导。 求值：借奇偶性f (-x)=-f (x) 或f (-x)=f (x)转化所求值， 求参数：依据奇偶性定义，列等式，解等式得参数。 4.求解析式：已知某区间解析式，设所求区间x，用- x转化到已知区间，如求x<0时解析式，由奇函数 f (x)=-f (-x)，代入-x>0 时的解析式，化简得所求区间解析式。
41．（2025高一·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 .
【答案】
【分析】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值.
【详解】因为，.
所以.
故答案为：
42．（2025高一·广东·阶段练习）若函数为奇函数，则 .
【答案】3
【分析】根据奇函数定义可得，代入运算求解即可.
【详解】设，则，则，，
因为是奇函数，则，即，可得，
即，所以.
故答案为：3.
43．（2025高一·全国·课后作业）已知是奇函数，则 ； ．
【答案】
【分析】利用函数奇偶性得到，计算出，结合函数奇偶性得到的值.
【详解】因为函数是奇函数，所以，
，故．
故答案为：；.
44．（2025高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的偶函数，则 .
【答案】4
【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以.
故答案为：4.
45．（2025·全国·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据函数是奇函数应用定义列式计算求参.
【详解】因为为奇函数，定义域为，
则，
所以，则，
此时，
则，满足题意
故.
故选：B.
46．（2025·河北邢台·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】结合奇函数的性质可得在上的解析式，再作出的图象，数形结合计算即可得解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数且，
所以当时，，则；
当时，，则，
所以；
函数的图象可由函数的图象向左严移1个单位长度得到，
作出函数在上的图象，如图所示，
由图可知不等式在上的解集为．
故选：A．
47．（2025高一·北京丰台·期中）已知是定义域为的偶函数，当时，.
(1)求的值；
(2)的部分图象如下图，请将的图象补充完整，并写出的单调递减区间；
(3)若关于的方程恰有6个实数根，则实数的取值范围是________．
【答案】(1)
(2)作图见解析，，，
(3)
【分析】（1）结合分段函数，根据由内到外的计算方法求值即可；
（2）根据偶函数的图象特征作图即可，结合函数图象得出函数的单调递减区间；
（3）关于的方程恰有个实数根，函数的图象与函数的图象有个公共点，结合图象即可求解.
【详解】（1）由已知，得，
所以；
（2）
的单调递减区间为，，；
（3）
关于的方程恰有个实数根，
所以函数的图象与函数的图象有个公共点，
结合图象可知的取值范围为.
48．（2025高一·安徽安庆·期中）若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意分类讨论，时，其中有部分具有偶函数性质，不符合题意；时，根据分段函数的解析式通过方程的解，确定的范围．
【详解】根据题意，函数是“2阶准偶函数”，
则集合中恰有2个元素，
当时，函数一段部分为，
注意到函数本身具有偶函数性质，
故集合中不止有两个元素；
当时，根据“2阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，
为，，故，方程无解，
当 ，解得或，
故要使得集合中恰有2个元素，
则需要满足，即，
当时，函数的取值为，为，
根据题意得：，
解得或，满足恰有两个元素，故满足条件.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
题型七 分段函数的值域或最值
①分别求出不同定义域下函数值域，求并集即可 ②在同一坐标系画出函数解析式，直接观察值域
49．（2025高二·北京·学业考试）已知函数则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解.
【详解】根据题意，画出函数的图象如下：
由图可知，的最小值是.
故选：C
50．（2025高一·全国·专题练习）已知函数则的值域为 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，先求每一段函数的值域，再取并集，求整体函数的值域.
【详解】当时，，所以；
当时，，所以；
综上，的值域为．
故答案为：．
51．（25-26高三·山东淄博·阶段练习）已知函数，求：
(1)求的值；
(2)当时，求的值域.
【答案】(1)11
(2)
【分析】（1）根据分段函数解析式运算求解；（2）根据分段函数的条件进行分类讨论，将各段值域取并集.
【详解】（1）.
所以.
故.
（2）当时，.
因，所以，即.
当时，.
当时，.
因，所以，即.
综上，当时，的值域为.
52．（25-26高一·福建龙岩·开学考试）代数式的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】讨论和的正负，去掉绝对值符号，根据不等式的性质，求出代数式的最小值.
【详解】因为，且,
所以，当时，；
当时，；
当时，.
综上所述，代数式的最小值为3.
故选：A.
53．（2025高三·北京·专题练习） ，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为 .
【答案】2
【分析】出函数的图象，利用图象求出其最大值.
【详解】在同一坐标系内作出直线，，，
由取，，三个函数值中的最小值，
得的图象为下图中实线构成的折线图，
则的最大值即为的图象最高点对应的纵坐标值，
观察图象知，的图象最高点是直线与的交点，
由，得，因此的图象最高点是，
所以的最大值为2.
故答案为：2.
54．（2025高一·全国·专题练习）已知函数则函数的最小值为 ；若函数满足，则的取值范围是 ．
【答案】 0
【分析】根据分段函数图像易得最小值为0；分段解不等式即可.
【详解】作出的图象如图所示：
所以当时，函数取得最小值0．
当时，即，解得，又，所以；
当时，即，
即，解得，又，所以．
综上，的取值范围是.
故答案为：.
55．（25-26高一·湖南永州·阶段练习）已知，定义运算“”， ，设则的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由新定义写出分段函数，再分段求出函数值的范围后可得.
【详解】由题意得，
时，，时，，
所以的值域为
故选：C.
56．（2025高二·江苏徐州·期末）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项.
【详解】当时，，
而当时，，当且仅当时等号成立，
故函数的值域为，
故选：D.
57．【多选】（2025高一·陕西·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．若，则的值是或
C．的值域为 D．的解集为
【答案】AC
【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得.
【详解】对A：因为，则，故A正确；
对B：当时，，解得（舍去），
当时，，解得或（舍去），故B错误；
对C：当时，的取值范围是，
当时，的取值范围是，
因此的值域为，故C正确；
对D：当时，，解得，
当时，，解得，
所以的解集为；故D错误
故选：AC.
题型八 根据分段函数的值域求参数范围
①首先分别求解两段函数解析式对应的值域，然后结合题干的整体值域求出参数的取值范围，即可得到答案. ②在同一坐标系下画出函数图象分析，研究端点处函数值，结合题干的整体值域求出参数
58．（25-26高一·湖南长沙·阶段练习）已知，若的值域是，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据给定的分段函数值域，结合反比例函数及二次函数值域分段求出值域，进而求出c的范围.
【详解】函数的值域是，由当时，，得，
则，于是，
当时，，而，且，
因此，解得，则，
所以实数c的取值范围是.
故答案为：
59．（25-26高三·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若是的最小值，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据得出，再分、两种情况讨论在上的最小值即可.
【详解】因在上单调递减，在上单调递增，
欲使是的最小值，则需，即，得，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时不是最小值，不符合题意；
若，则在上单调递减，此时是最小值，
符合题意，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：
60．（25-26高三·河南·开学考试）已知函数若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由分段函数的单调性及最值列出不等式求解即可.
【详解】因为，
所以当时，函数取得最小值，
所以需满足：当时，，当，在取得最小值，
即，
解得：，
故选：D
61．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则正数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.
【详解】当时，由二次函数的图象与性质知，.
令，解得，则的最大值为4.
故选：D.
62．（25-26高一·全国·单元测试）已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】由区间，考虑函数的第二个分段和第三个分段，再根据单调区间分，和三种情况讨论．
【详解】由已知，
函数在上单调递减，在和上单调递增，
当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合；
当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合；
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
此时的最大值为，则，即，解得．
综上所述，.
故选：D
63．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据是函数的最小值可得，再由求解即可.
【详解】当时，，因为的最小值为，
所以在单调递减，故，且，在上恒成立.
又，当且仅当时等号成立，所以，解得.
综上，的取值范围是.
故选：A.
题型九 max/min型分段函数
表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个，分别联立方程求得交点坐标，画出函数的图像，数形结合即可得解.
64．（25-26高一·江苏·阶段练习）记表示x，y，z中的最小者，设函数，则等于
【答案】
【分析】只需在同一平面直角坐标系中，画出函数和的图象，算出交点坐标即可得解.
【详解】在同一平面直角坐标系中，画出函数和的图象，如图所示，
由图可知.
故答案为：.
65．【多选】（25-26高一·山东泰安·阶段练习）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则（ ）
A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为
C．不等式的解集为 D．既无最大值也无最小值
【答案】BCD
【分析】作出函数的图象，利用图象判断各选项.
【详解】由得，作出函数的图象，如图，由图可知无最大值，也无最小值，当的最大值为，
时，，所以不等式的解集为，
所以A错，BCD均正确，
故选：BCD.
66．【多选】（2025高一·广东·期中）对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （ ）
A．有最大值，无最小值 B．当的最大值为
C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为
【答案】BC
【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C.
【详解】作出函数的图象， 如图：
对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误；
对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确;
对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确;
对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误.
故选：BC.
67．【多选】（2025高一·吉林·阶段练习）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】ABC
【分析】利用绝对值和二次函数的性质，分区间表示，根据定义作出函数的图象，根据
在区间上的值域为，结合图象讨论区间的长度，得出选项.
【详解】利用绝对值和二次函数的性质，分区间表示：
根据定义作出函数的图象（实线部分），其中，.
已知在区间上的值域为：
最小值：仅在的顶点处取得.
最大值：在上解得（），
或在上解得（）.
故区间的最小长度：区间包含顶点和上的，
即，其长度为，故A对；
中间长度：区间左端点扩展到，此时，即，区间长度为，故B对；
最大长度：区间左端点扩展到，此时，因为时单调递增，
所以区间为，长度为，故C对；
当区间长度为2时，由图象可知，区间包含或的点，故D错.
故选：ABC.
68．（河南省2025-2026学年高一学期第二次联考数学试题）对于实数，我们用符号表示两数中较大的数，如．若函数在上有最小值，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数和绝对值函数画出图象，求出特殊交点的坐标，进而求得结果.
【详解】令，
当时，化简方程为，解得；
当时，化简方程为，解得，作出函数的图象，如图所示，
所以．又函数的图象关于直线对称，
所以，即．
若函数在上有最小值，则的取值范围为．
故答案为：.
69．（2025高一·湖北·期中）以表示数集中最大的数，表示数集中最小的数，则 .
【答案】
【分析】根据函数，，的图象可求出的解析式，进而求出最大值.
【详解】在同一坐标系下画出函数，，的图象，
联立，解得或，所以；
联立，解得或，所以；
由图可知，
所以当时，有最大值，
则，
故答案为：
70．（25-26高一·吉林长春·阶段练习）用表示，中的较小者，记为，已知函数．
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，
①求使得成立的的取值范围；
②求在区间上的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）将问题转化为“恒成立”，然后根据与的大小关系求解出的取值范围；
（2）①分别考虑和时不等式的解集，由此确定出成立的的取值范围；②先将写成分段函数的形式，然后分段考虑的最大值，其中时注意借助二次函数的单调性进行分析.
【详解】（1）因为恒成立，即恒成立，
可得恒成立，则，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为，
①若，且，
当时，则，可得，解得；
当时，，可得，
因为，则，
所以无解；
综上所述：的取值范围是；
②由①可知：，且，
当时，则，
可得，所以；
当时，则的对称轴为，
可得为的最大值，且，
令，解得；令，解得；
所以；
综上可知：.
71．（25-26高一·浙江舟山·阶段练习）定义，已知函数，.
(1)设函数，当，时，求函数的解析式，并求函数的值域；
(2)已知，当时，恒有成立，求的最大值.
【答案】(1)；值域
(2)
【分析】（1）当，时，令，求得或，得到与，结合函数的新定义，求得的解析式，进而求得函数的值域；
（2）根据题意，当时，；当时，，设函数其零点分别为，且设，得到且，由韦达定理，求得，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：当，时，，，
令，即，即，解得或，
当或时，；当时，，
因为，所以；
当时，函数为递减函数，所以；
当时，为递增函数，且，所以；
当时，函数为递增函数，所以；
所以，所以函数的值域为.
（2）解：因为，可得函数为单调递增函数，
且，
当时，，要使得恒有成立，则需；
当时，，要使得恒有成立，则需，
由的开口向上，设其零点分别为，
设，则的解集为，的解集为，
要使得当时，恒有成立，则满足且，
令，可得，可得，
又由，可得，可得，
则，
因为，可得，
当且仅当时，即，所以，
所以的最大值为.
72．【多选】（25-26高三·陕西商洛·阶段练习）设表示p，q两者中较小的一个，表示p，q两者中较大的一个．已知函数，且在上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ）
A．只有一个零点
B．在上的最小值为0
C．在上的最大值为4
D．m的取值范围为
【答案】BC
【分析】根据题意先得到，进而再得到图像和解析式即可得答案.
【详解】根据题意，设，则作函数和的图像如下：
由，解得或，得交点，，
所以.
同理再由，由，解得或，
得交点，，所以，图像如下：
又在上既有最大值，又有最小值，，
可得m的取值范围为，且在有最大值4，有最小值0，故BC正确，D错误，
而函数有两个零点0和8，故A错误.
故选：BC.
题型十 狄利克雷函数
狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数
73．【多选】（2025高一·河南开封·期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（ ）
A．是偶函数
B．任意非零有理数都是的周期
C．，
D．若，则
【答案】ABC
【分析】选项A根据偶函数的定义可判断；选项B根据周期函数的定义可得；选项C根据函数解析式分类代入可得；选项D举反例若，，可判断.
【详解】选项A：当为有理数时，则也是有理数，则，
当为无理数时，则也是无理数，则，
故当时，，故A正确；
选项B：，当为有理数时，则也是有理数，，
当为无理数时，则也是无理数，，故B正确
选项C：当为有理数时，，，
当为无理数时，，，故C正确；
选项D：若，，则，但，故D错误，
故选：ABC
74．（2025高一·广东·期中）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得 .
【答案】1
【分析】根据函数表达式计算（注意判断自变量的值是有理数还是无理数）．
【详解】由题意，
故答案为：1.
75．【多选】（2025高一·广东佛山·阶段练习）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为 B．的定义域为
C． D．存在是无理数，
【答案】BCD
【分析】根据函数解析式即可得值域、定义域，即可判断AB；可知，代入运算即可判断C；举反例判断D即可.
【详解】因为函数，
所以的定义域为，值城为，故A错误；B正确；
因为，所以，故C正确；
例如取，则，故D正确；
故选：BCD.
76．【多选】（2025高一·广西玉林·期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为 B．满足
C． D．存在x，y是无理数，使得
【答案】BCD
【分析】根据函数解析式得值域、定义域，可判断AB；代入运算可判断C；举特例可判断D.
【详解】对于A，的函数值只可能是0或1，所以的值域为，故A错误；
对于B，若，则，可得；
若，则，可得．
综上所述，对于任意，总有成立，故B正确；
对于C，若，则，可得，
若，则，可得，
综上所述，，故C正确；
对于D，取，则，故D正确．
故选：BCD．
77．（2025高一·江苏扬州·期中）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且，Qc是Q的补集），以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
【答案】B
【分析】根据函数的定义域可判定A；由函数的奇偶性可判定B；由函数的值域可判定C；由函数的单调性可判定D．
【详解】对于A：因为（其中，且，
其中，所以的定义域为，故A正确；
对于B，根据函数的对应法则，是有理数时，当是无理数时，
所以的值域是，故B错误；
对于C：若，则，有，
若，则，有，
综合可得，所以函数为偶函数，故C正确；
对于D：由于实数的稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间都有有理数，
其函数值在和之间无间隙转换，所以无单调性，故D正确．
故选：B
78．【多选】（2025高一·湖北黄冈·期中）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，秋利克雷函数就以其名命名，其解析式为，则关于秋利克雷函数.下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．，
C．函数是偶函数 D．的值域为
【答案】BCD
【分析】根据奇偶性定义、函数解析式和值域定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若是有理数，则是有理数，此时；
若是无理数，则是无理数，此时；
是偶函数，A错误；
对于B，当时，，，则；
当时，，，则；
，，B正确；
对于C，由A知：，，
为偶函数，C正确；
对于D，当为有理数时，；当为无理数时，，
的值域为，D正确.
故选：BCD.
79．【多选】（2025高一·浙江·期中）历史上第一个给出函数的一般定义的是十九世纪德国数学家狄利克雷，在1837年他提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”狄利克雷在1829年给出了著名函数：,以下说法正确的是（ ）
A．的图像关于轴对称 B．的值域是
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据定义结合分段函数的相关概念一一判定即可.
【详解】易知同为有理数或同为无理数，
所以，故A正确；
由题意可知，故B错误；
易知同为有理数或同为无理数，
所以，故C正确；
由题意可知均为有理数，所以，故D正确.
故选：ACD
1
