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微专题 单调性及应用
题型一 对单调性定义的理解
增、减函数的定义 （1）函数在区间上是增函数 对任意都有； 对任意都有； 对任意都有 函数在区间上的图像从左往右看，图像逐渐上升； 函数在区间上的图像上任意两点连线的斜率都大于零； （2）函数在区间上是减函数 对任意都有； 对任意都有； 对任意都有 函数在区间上的图像从左往右看，图像逐渐下降； 函数在区间上的图像上任意两点连线的斜率都小于零； 注：（1）函数在某区间上具有单调性，则函数在该区间的子区间上具有相同的单调性； （2）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；
1．（2025高一·安徽·阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（25-26高三·北京顺义·阶段练习）对于定义域为的连续函数，“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高一·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，区间，设，其中，则“”是“函数在区间I上单调递增”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高一·北京东城·期中）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
题型二 判断函数的单调性
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
5．（2025高一·全国·周测）下列函数为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高一·全国·课前预习）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一·山西忻州·开学考试）下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
题型三 定义法判断或证明函数的单调性
定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。 注：1、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性． 2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解； （2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化．
8．（2025高一·全国·课前预习）已知函数.
(1)求证：函数在上是增函数；
(2)求在上的最大值和最小值.
9．（2025高一·江西·阶段练习）已知函数.
(1)判断在上的单调性，并用定义证明；
(2)判断命题“，”的真假，并说明理由.
10．（2025高一·贵州六盘水·期中）设函数，且.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上单调递增.
11．（2025高三·山东泰安·阶段练习）已知函数．
(1)试用单调性定义判断在上的单调性；
(2)求函数在上的最值．
12．（2025高一·浙江·期中）已知函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义证明；
题型四 图象法求函数的单调区间
对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
13．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
14．（25-26高一·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2025高二·浙江温州·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ．
16．（2025高一·上海·阶段练习）函数的严格减区间是 .
17．（2025高一·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ．
18．（2025高一·湖南邵阳·阶段练习）函数的单调递减区间为 .
题型五 复合函数的单调性区间
对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.
19．（2025高一·全国·专题练习）函数的单调减区间为 .
20．（2025高一·湖北武汉·阶段练习）函数的单调递减区间是 .
21．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的单调递增区间为 .
22．（2025高一·江苏·课后作业）函数的单调增区间为 .
23．（2025高一·河南南阳·阶段练习）函数的单调递减区间是 .
24．（2025高一·全国·课前预习）函数的单调增区间为 ．
题型六 利用函数的单调性求参数范围
利用函数单调性求参数的取值范围． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。 ③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，
25．（2025高一·云南昭通·开学考试）“”是函数在上是增函数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
26．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
27．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
28．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．（2025高一·四川攀枝花·阶段练习）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．（2025高一·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
31．（2025·山西·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．（2025高三·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
33．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．（25-26高二·云南·阶段练习）已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
36．（2025高一·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．（2025高一·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七 利用函数的单调性比较大小
比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。 注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
38．（25-26高一·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
39．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
40．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ．
41．【多选】（2025高一·安徽亳州·阶段练习）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2025高一·全国·课后作业）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．
43．（2025高一·黑龙江大庆·期中）定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A． B．
C． D．
题型八 利用函数的单调性解不等式
解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)44．（25-26高一·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
45．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ）
A． B． C． D．
46．（2025高一·全国·课后作业）已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是 .
47．（2025高一·宁夏·期中）已知函数是定义在上的增函数，且，求x的取值范围.
48．（2025高一·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
49．（2025高一·浙江·期中）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
50．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）定义在R上的函数，对任意的（），都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
51．（2025高一·云南·期末）已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为 .
52．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
53．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
54．（2025高一·全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是 ．
55．（2026高三·全国·专题练习）设函数则不等式的解集为 .
题型九 利用单调性求解析式
利用函数单调性求解析式时,若遇定值,可设(为常数),则定值,再结合表达式推导出关于的式子,代入的等式求解,进而得到函数解析式。
56．（2025高三·湖南衡阳·阶段练习）已知函数是单调函数，且时，都有，则（ ）.
A．-4 B．-3 C．-1 D．0
题型十 利用单调性求最值
（1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值． 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值．
57．（2025高二·河北·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
58．【多选】（25-26高一·广东佛山·阶段练习）下列关于函数，下列结论正确的有（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．当时， D．在上是增函数
59．（25-26高一·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值 最小值分别为（ ）
A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为
C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为
60．（25-26高一·广东·阶段练习）已知函数，且．
(1)求a；
(2)用定义证明函数在上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值和最小值．
61．（25-26高一·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
62．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（ ）．
A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8
C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值
63．（2025高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知，设函数，存在最小值，则实数的取值范围是 .
题型十一 抽象函数的单调性
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来解决抽象函数单调性的判定或证明等相关问题.通过抽象函数的分析,结合函数单调性的定义,以及对应的条件加以判断对应抽象函数的单调性问题.解决此类问题的关键是把写成或者把写成(对应字母的顺序可以结合实际条件加以变换). 具体如下： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 ; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或.
64．（25-26高三·安徽·阶段练习）已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 .
65．（2025高一·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．
(1)求，；
(2)判断并证明的单调性；
(3)解不等式：．
66．【多选】（2025高一·广东江门·期中）定义在的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．函数在上是增函数 D．不等式的解集为
67．（2025高一·广东·期中）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
(1)证明：对任意实数，，；
(2)求证：是上的增函数；
(3)若命题，为假命题，求实数的取值范围.
68．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是上的增函数；
(2)若，解不等式．
69．（2025高一·广东广州·期中）已知定义在的函数满足，①对，，；②当时，；③.
(1)判断并证明的单调性；
(2)若，使得，对成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式.
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微专题 单调性及应用
题型一 对单调性定义的理解
增、减函数的定义 （1）函数在区间上是增函数 对任意都有； 对任意都有； 对任意都有 函数在区间上的图像从左往右看，图像逐渐上升； 函数在区间上的图像上任意两点连线的斜率都大于零； （2）函数在区间上是减函数 对任意都有； 对任意都有； 对任意都有 函数在区间上的图像从左往右看，图像逐渐下降； 函数在区间上的图像上任意两点连线的斜率都小于零； 注：（1）函数在某区间上具有单调性，则函数在该区间的子区间上具有相同的单调性； （2）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；
1．（2025高一·安徽·阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接利用函数的单调性和函数的值的关系，利用充分条件和必要条件的应用求出结果．
【详解】由题意，函数的定义域为的偶函数，当“”时，
根据偶函数，，“在不一定单调递增”；
当“在上单调递增”时，有，
故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件．
故选：B．
2．（25-26高三·北京顺义·阶段练习）对于定义域为的连续函数，“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】应用特殊函数举反例结合充分性定义判断不充分条件，应用单调性及值域性质结合必要性定义判断必要性.
【详解】当时，函数在上的值域为即，但是函数在上不是单调递增，
所以“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的不充分条件；
若函数在上单调递增，则函数在上的值域为，
所以“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的必要条件；
“函数在上的值域为”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件；
故选：B.
3．（2025高一·湖南株洲·期末）已知函数的定义域为，区间，设，其中，则“”是“函数在区间I上单调递增”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数单调性与充分必要条件定义判断即可.
【详解】函数在区间I上单调递增的充要条件是，当时，都有，或当时，都有，
即对与同号，也即．
故选：A．
4．（2025高一·北京东城·期中）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用增函数的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A项，因为在上是增函数，
所以对于任意的，（），
当时，，所以，，所以，
当时，，所以，，所以，
综述：，故A项正确；
对于B项，因为在上是增函数，
所以对于任意的，（），
当时，，所以，，所以，
当时，，所以，，所以，
综述：，故B项不成立；
对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立.
故选：A.
题型二 判断函数的单调性
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
5．（2025高一·全国·周测）下列函数为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合基本函数的单调性，进行判断即可.
【详解】在单调递减，故A错误；
定义域为，且在上单调递增，故B正确；
在上单调递减，故C错误；
在上单调递减，故D错误．
故选：B
6．（25-26高一·全国·课前预习）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别判断函数的单调性即可．
【详解】为反比例函数，在上单调递减；
为一次函数，在上单调递减；
为开口向下的二次函数，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
故选：D
7．（2025高一·山西忻州·开学考试）下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】选项分别为反比例函数，一次函数，正比例函数，根据函数性质选出答案.
【详解】选项：可看作是反比例函数向左平移一个单位得到的，在和上都是增函数，
但不能说在整个定义域内随的增大而增大，因为在处函数不连续，不符合条件.
选项：是一次函数，在定义域上是减函数，随的增大而减小，不符合条件.
选项：是反比例函数，在和上都是减函数，不符合条件.
选项：是正比例函数，在定义域上是增函数，随的增大而增大，符合条件.
故选：.
题型三 定义法判断或证明函数的单调性
定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。 注：1、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设，为该区间内任意的两个值，且； ②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； ④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性． 2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解； （2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化．
8．（2025高一·全国·课前预习）已知函数.
(1)求证：函数在上是增函数；
(2)求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值是，最小值是
【分析】（1）根据函数的增函数定义进行证明即可.
（2）结合（1）中证明的递增函数性质直接求出最大值和最小值.
【详解】（1）证明：设是区间上的任意两个实数，且，
则，
，，，，
，即.
函数在上是增函数.
（2）由（1）知函数在上是增函数，
则在上的最大值是，最小值是.
9．（2025高一·江西·阶段练习）已知函数.
(1)判断在上的单调性，并用定义证明；
(2)判断命题“，”的真假，并说明理由.
【答案】(1)单调递增；证明见解析
(2)真命题，理由见解析
【分析】(1)利用定义法证明函数在上单调性步骤，取点，作差，判号，下结论；
(2)由(1)可知在上单调递增，且，所以，然后整理判断即可.
【详解】（1）判断：在上单调递增.
证明：，且，有，
因为，所以，，，
因此，即，
所以函数在上单调递增；
（2）判断：命题“，”真命题.
因为根据题意可知，，且，
由(1)可知在上的单调递增，所以，即.
所以命题“，”是真命题.
10．（2025高一·贵州六盘水·期中）设函数，且.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上单调递增.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接由列方程即可得解；
（2）直接由单调性的定义即可得证.
【详解】（1）由题意得，解得.
（2）由（1）知，
任取，，且，有
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
11．（2025高三·山东泰安·阶段练习）已知函数．
(1)试用单调性定义判断在上的单调性；
(2)求函数在上的最值．
【答案】(1)答案见详解；
(2)最小值为，最大值为.
【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断；
（2）利用单调性求最值.
【详解】（1）任取，且，
则
因为，且，所以，，，
所以，所以，
所以，即.
所以在上单调递减.
（2）由（1）知在上单调递减，
所以，
.
所以函数在上的最小值为，最大值为.
12．（2025高一·浙江·期中）已知函数的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义证明；
【答案】(1)；
(2)函数在上为减函数，证明见解析
【分析】（1）代入两点坐标，得到方程组，求出，得到解析式；
（2）利用定义法证明函数单调性步骤为取值，作差，判号，下结论.
【详解】（1）∵函数过点，
∴，解得，
.
（2）函数在上为减函数，理由如下：
设任意，且，
则．
，
，
，即，
函数在上为减函数．
题型四 图象法求函数的单调区间
对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
13．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据题干图象求出单调递增区间即可.
【详解】由题图可知，函数的单调递增区间为.
故选：C
14．（25-26高一·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解.
【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是，
又由图知，而，所以A不正确，
故选：D.
15．（2025高二·浙江温州·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ．
【答案】
【分析】将写成分段函数的形式，作出函数的图象，结合图象即可得解.
【详解】因为
所以，函数的图象如下：
由图象可知，函数的单调递减区间为
故答案为：
16．（2025高一·上海·阶段练习）函数的严格减区间是 .
【答案】和
【分析】画出函数图象，数形结合得到严格减区间.
【详解】函数，
可作出函数的图像，如图，
由图可知，函数的严格减区间为：和.
故答案为：和
17．（2025高一·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ．
【答案】和
【分析】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间.
【详解】作出的图象如下图所示，
由图象可知，的单调递增区间是和，
故答案为：和.
18．（2025高一·湖南邵阳·阶段练习）函数的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】将绝对值函数转化为分段函数形式，作出函数图像，结合图像可知单调递减区间.
【详解】
画出函数图象，如图可知，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
综上所述函数的单调递减区间为.
故答案为：
题型五 复合函数的单调性区间
对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.
19．（2025高一·全国·专题练习）函数的单调减区间为 .
【答案】/
【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.
【详解】函数是由函数和组成的复合函数，
，解得或，
函数的定义域是或，
因为函数在单调递减，在单调递增，
而在上单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．
故答案为：.
20．（2025高一·湖北武汉·阶段练习）函数的单调递减区间是 .
【答案】（开闭都对）
【分析】首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质即可求解.
【详解】，解得，
所以函数的定义域为，
令，
二次函数开口向下，对称轴为，
由为增函数
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：（开闭都对）
21．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性同增异减以及函数的定义域来求得额单调递增区间.
【详解】，
解得.
函数的对称轴为，开口向下，
根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间为.
故答案为：
22．（2025高一·江苏·课后作业）函数的单调增区间为 .
【答案】
【解析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解即可.
【详解】由得，函数的定义域是 R，
设，则在上是减函数，在 上是增函数，
∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是
故答案为：
23．（2025高一·河南南阳·阶段练习）函数的单调递减区间是 .
【答案】
【解析】先求出，再求出的单调区间即得解.
【详解】由题得.
设，函数的对称轴为，在单调递增，在单调递减.
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查复合函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
24．（2025高一·全国·课前预习）函数的单调增区间为 ．
【答案】（或）
【分析】换元得，则，分别判断这两个函数的单调性，利用复合函数同增异减的法则判断函数的单调增区间即可.
【详解】由，得函数的定义域为．
令，则.
因为函数在上为增函数，函数在上为增函数.
所以函数的单调增区间为．
故答案为：（或）
题型六 利用函数的单调性求参数范围
利用函数单调性求参数的取值范围． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。 ③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，
25．（2025高一·云南昭通·开学考试）“”是函数在上是增函数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数单调性可求得，再根据不等式范围大小可判断出结论.
【详解】因为在上是增函数，可得，即，
显然“”能推出“”，反之则不成立，
所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件.
故选：A.
26．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案.
【详解】当时，在上单调递增，满足题意，
当时，，满足题意，
当时，，由对勾函数的性质知，
若满足题意则，解得．
综上，.
故选：B．
27．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果.
【详解】充分性：当时，，
易知函数在区间上单调递减．
必要性：若在区间上单调递减，
则需，即，
故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件．
故选：A.
28．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过，，三种情况讨论即可.
【详解】当，，显然符合，
当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合，
当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ，
即，
综上实数的取值范围是，
故选：C
29．（2025高一·四川攀枝花·阶段练习）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围.
【详解】依题意，在区间上单调递减，
所以，即，解得，
所以的取值范围是.
故选：C
30．（2025高一·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解.
【详解】当在上单调递减，
设任意，且，
则，
又，所以可得，
故“”是“在上单调递减”的充要条件，
故选：C
31．（2025·山西·模拟预测）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解.
【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意，
当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，
当时，在单调递增，在单调递减，
故在上单调递减，则，
故选：C
32．（2025高三·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解.
【详解】由题意，，
在中，函数在上是增函数，
，
解得.
故选：A.
33．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可.
【详解】因为对任意，当时，都有成立，
所以函数在上单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
34．（25-26高二·云南·阶段练习）已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为对于任意的，且，都有成立，
在不等式两边同时除以可得，
移项有，构造函数，
则，所以函数在上单调递减，
当时，在上单调递增，不符合题意；
当时，若使得函数在上单调递减，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
35．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据函数奇偶性求的解析式，再由转化为，设，由在上单调递增求参数的取值范围.
【详解】由题意，，
因为，所以，即有，
两式相加可得，.
因为，，所以，
设，所以在上单调递增，
所以或或，解得或或，
所以，
故选：C.
36．（2025高一·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案.
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以，
则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则.
故选：A.
37．（2025高一·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数.
【详解】由，得，则，
设函数，则对都有成立，
所以函数在区间上单调递增，
所以，解得，则.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数.
题型七 利用函数的单调性比较大小
比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。 注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
38．（25-26高一·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据增函数的定义求解即可．
【详解】因为在上是增函数，且，所以．
故选：．
39．（25-26高一·全国·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性，结合和的符号的可能性即可得解.
【详解】由题意得，即，
由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立．
故选：D
40．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ．
【答案】
【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以．
41．【多选】（2025高一·安徽亳州·阶段练习）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据不等式的性质，整理不等式，利用减函数的性质，可得答案.
【详解】由，则，
因为函数在上是减函数，所以，
则，.
故选：CD.
42．（2025高一·全国·课后作业）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可.
【详解】因为，当时；当时；
所以函数在实数上单调递增，又，所以.
故选：A
43．（2025高一·黑龙江大庆·期中）定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．
【详解】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，
可得函数是定义域在上的增函数，
所以（1）（3）．
故选：．
题型八 利用函数的单调性解不等式
解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)44．（25-26高一·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或．
45．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案.
【详解】因为函数是定义在上的增函数，
由，得，
解得，即，
故选：B
46．（2025高一·全国·课后作业）已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是 .
【答案】x＜
【分析】将不等式化为，再根据函数的单调性可解得结果.
【详解】因为，所以和化为，
又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，
所以，解得.
故答案为：.
47．（2025高一·宁夏·期中）已知函数是定义在上的增函数，且，求x的取值范围.
【答案】.
【解析】根据定义域和单调性即可列出不等式求解.
【详解】是定义在上的增函数
∴由得，解得，即
故 x的取值范围.
48．（2025高一·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可.
【详解】因为当时单调递增，且时，，
当时单调递增，且时，，
所以分段函数是一个单调递增函数，
由可得，解得或.
故选：B.
49．（2025高一·浙江·期中）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出的图象，数形结合得到，且，求出x的取值范围.
【详解】画出的图象，如下：
显然要满足，则要，且，
解得：.
故选：C
50．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）定义在R上的函数，对任意的（），都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】因为对任意的（），都有，所以在R上单调递增．因为，所以的解集为，则的解集为．
故选：C
51．（2025高一·云南·期末）已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据定义判断函数单调性，再根据单调性解不等式.
【详解】由已知对任意两个不相等的实数，都有成立，
不妨设，则，
即函数在上单调递增，
又，则，
即，
则，即，
解得，
故答案为：.
52．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设函数，判断的单调性，然后对不等式进行变形化简，进而得出结果.
【详解】设函数，因为是上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增.
不等式，即不等式.
因为，所以，所以，
则不等式等价于不等式，
所以，解得.
故选：A.
53．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】由可得，设函数，，
则在上单调递增，
又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减，
而不等式，
又因为，所以，
所以不等式的解集为.
故选：B
54．（2025高一·全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出函数的图象，分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】函数的定义域为，，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，在上是增函数．
又因为，所以，即，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
55．（2026高三·全国·专题练习）设函数则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】把不等式化为这种形式，再利用函数单调性求解.
【详解】由函数解析式知在上单调递增，
且，
则，
由单调性知，解得.
故答案为：
题型九 利用单调性求解析式
利用函数单调性求解析式时,若遇定值,可设(为常数),则定值,再结合表达式推导出关于的式子,代入的等式求解,进而得到函数解析式。
56．（2025高三·湖南衡阳·阶段练习）已知函数是单调函数，且时，都有，则（ ）.
A．-4 B．-3 C．-1 D．0
【答案】C
【分析】函数是单调函数，是一个定值，因此可以设为常数k，那么，且，由此可解得k，即得的值。
【详解】由题得，设，k是一个常数，，，，则有，，解得，，.
故选：C
【点睛】本题考查求函数解析式，解题关键是根据是定值，设，进而求出。
题型十 利用单调性求最值
（1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值． 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值．
57．（2025高二·河北·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设，分，，三种情况去掉绝对值符号得到的解析式及值域，即可得解.
【详解】设，.
所以当时，；
当时，；
当时，.
所以当时，的最小值为3，
故选：C
58．【多选】（25-26高一·广东佛山·阶段练习）下列关于函数，下列结论正确的有（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．当时， D．在上是增函数
【答案】ABD
【分析】化，结合定义域、值域和单调性逐选项判断即可.
【详解】由，
对于A，的定义域为，A正确；
对于B，的值域为，B正确；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递增，
而，，则时，，C错误；
对于D，由C知知C在上单调递增，D正确．
故选：ABD．
59．（25-26高一·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值 最小值分别为（ ）
A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为
C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为
【答案】B
【分析】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值.
【详解】因为，
由反比例函数性质可得在上单调递增，
当时，，当时，.
故选：B.
60．（25-26高一·广东·阶段练习）已知函数，且．
(1)求a；
(2)用定义证明函数在上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）将代入函数，求解即可.
（2）利用函数的单调性的定义和判定方法，即可求解.
（3）由（2）知，得到函数在上为单调递增函数，进而求得函数的最值.
【详解】（1）因为函数，且，可得，解得.
（2）由（1）知，任取，，且，
则，
因为，且，可得，，则，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数.
（3）由（2）知，函数在上为单调递增函数，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
61．（25-26高一·全国·课前预习）已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值．
【详解】由题意得函数的定义域满足，且，
解得，则函数的定义域为．
由得，
则在区间内的最大值为，最小值为．
易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，
则函数在处取得最大值，即，
又，
所以函数的最小值为6，即．
所以．
故选：A
62．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（ ）．
A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8
C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值
【答案】B
【分析】先根据二次函数求出的最小值，无最大值，再根据反比例函数的单调性求解函数的最值，即可得解.
【详解】令，则．
又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值.
故选：B．
63．（2025高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知，设函数，存在最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分和两种情况对函数进行单调性分析即可得出答案.
【详解】当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时当时，，当时，，
所以要想有最小值，只需满足即可，解得；
当时，函数在上单调递增，在上单调递增，
此时当时，，即不可能有最小值，所以 不满足题意.
综上所述，的取值范围为.
故答案为：
题型十一 抽象函数的单调性
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来解决抽象函数单调性的判定或证明等相关问题.通过抽象函数的分析,结合函数单调性的定义,以及对应的条件加以判断对应抽象函数的单调性问题.解决此类问题的关键是把写成或者把写成(对应字母的顺序可以结合实际条件加以变换). 具体如下： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 ; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或.
64．（25-26高三·安徽·阶段练习）已知的定义域为，且，对于任意正数x，y，都有，若当时，，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】利用赋值法先求，进而得，利用定义法证单调性，最后利用单调性即可解不等式，进而求解.
【详解】由题意有：令有：，
令有：，
对任意的且，所以，即，
所以，
即，所以，
所以在上单调递增，
又，所以，
所以，
故答案为：.
65．（2025高一·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．
(1)求，；
(2)判断并证明的单调性；
(3)解不等式：．
【答案】(1)；
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用赋值法即可求，的值；
（2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性并证明；
（3）结合函数单调性将不等式进行转化，即，可解不等式.
【详解】（1）令，则，，
令，则，
又，；
（2）任取，且，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
所以在上单调递增．
（3）由，
即，
也就是，
即，因为在上是增函数，
所以，
可得不等式解集为或.
【点睛】关键点点睛：由，即，也就是，即，再结合函数单调性即可解不等式.
66．【多选】（2025高一·广东江门·期中）定义在的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．函数在上是增函数 D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】对于A，分别令和求解；对于B，由，利用赋值法求解；对于C，易得为偶函数，再利用函数单调性定义判断；对于D，由C函数在上是增函数，再由结合求解.
【详解】对于A，令，则，则 ，
令，则，则，A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，由于函数定义域为，取，则，
即为偶函数；
任取且，则，
因为，故，则，则，
故函数在上是减函数，C错误；
对于D，由C的分析可知函数在上是增函数，
故由结合可得，且，
解得，且，即的解集为，D正确
故选：ABD
67．（2025高一·广东·期中）已知函数对任意实数，，都有成立，且当时，.
(1)证明：对任意实数，，；
(2)求证：是上的增函数；
(3)若命题，为假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【分析】（1）根据题目中的等式，利用特殊值研究新的等式，可得答案；
（2）根据函数单调性的定义，假设参数的大小关系，利用作差法，可得答案；
（3）根据题目中的等量关系，结合函数的单调性，化简不等式，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）因为对任意实数，，，
所以，所以，在中，
令得，，
所以，
在中，用替换得，，
因为，所以，
所以，对任意实数，，成立.
（2）任意取，，且，则，因为当时，，所以，
所以，即，所以是上的增函数.
（3）命题，为假命题，
等价于，为真命题.
在中，令得，，
所以
由（2）的结论得，，
即，
令，
因为，成立，所以，所以，
所以实数的取值范围是.
68．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是上的增函数；
(2)若，解不等式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明；
（2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式．
【详解】（1）设，且，则，即，
∴，
∴，∴是上的增函数；
（2）任意的，都有，
在上式中取，则有，
∵，∴，
于是不等式等价于，
又由（1）知是上的增函数，
∴，解得，
∴原不等式的解集为．
69．（2025高一·广东广州·期中）已知定义在的函数满足，①对，，；②当时，；③.
(1)判断并证明的单调性；
(2)若，使得，对成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)详见解析；
(2)或
(3)详见解析
【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明；
（2）由（1）得到的最小值为，将，使得成立，转化为，对成立求解；
（3）令，得，即，再利用赋值法得到，然后将，转化为，利用是R上的减函数求解.
【详解】（1）解：任取，且，
则，
因为当时，，
所以，
所以是R上的减函数；
（2）由（1）知：的最小值为，
因为，使得成立，
所以，对成立，
，对成立，
则，解得或；
（3）令，得，即，则，
所以，，
因为，所以，
即，则，
因为是R上的减函数，
所以，即，即，
当时，，则或；
当时，则；
当时，，则或；
当时，则；
当时，则；
综上：当时，不等式的解集为：或；
当时，不等式的解集为：；
当时， 不等式的解集为：或；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
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