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微专题 对称性及应用
题型一 函数对称性的证明
1.证轴对称：设函数上两点(x,y)与(2a - x,y),代入解析式验证是否相等,相等则关于 对称。 2.证中心对称：设两点(x,y)与(2a - x,2b - y),代入验证,相等则关于(a,b)对称。
1．（2025高一·江苏·课后作业）设a为给定实数，函数的定义域为A.
（1）若对于任意，都有，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由.
（2）若对于任意，都有，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由.
【答案】（1）关于直线成轴对称．（2）关于点成中心对称，
【分析】（1）由已知性质得出函数图象上的点关于直线对称，即证明图象上任一点关于直线的对称点仍然在函数图象上；
（2）由已知性质得出函数图象上的点关于点成中心对称，即证明图象上任一点关于点的对称点仍然在函数图象上．
【详解】（1）设是图象上任一点，又
则，
所以也是函数图象上的点，
又的中点坐标为在直线上，且与直线垂直，即关于直线对称，而是函数图象上任一点，即图象上任一点关于直线的对称点仍然在函数图象上，
所以函数的图象关于直线成轴对称．
（2）设是图象上任一点，又
则，，
所以也是函数图象上的点，
又的中点坐标为，即关于点成中心对称，而是函数图象上任一点，即图象上任一点关于点的对称点仍然在函数图象上，
所以函数的图象关于点成中心对称．
2．（2025高一·全国·课后作业）证明：函数的图象关于点对称．
【答案】证明见解析
【分析】先对函数变形，然后根据反比例函数图象对称的性质证明即可
【详解】证明：函数的定义域为，
因为，
所以的图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
因为的图象关于对称，
所以函数的图象关于点对称
3．（2025高一·江苏·课后作业）证明函数的图象关于y轴对称.
【答案】证明见解析.
【分析】先证明函数为偶函数，利用偶函数的性质即得证
【详解】由题意，函数的定义域为R，
且.
故函数为偶函数，偶函数的图象关于y轴对称.
故函数的图象关于y轴对称，即得证.
4．（2025高一·全国·课后作业）求证:二次函数的图像关于对称.
【答案】见解析
【解析】验证与相等即可证出.
【详解】证明:任取,因为,
,所以,
因此函数的图像关于对称.
【点睛】本题考查函数对称性的证明，只需验距相等的自变量的函数值相等即可证出，此题属于基础题.
5．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数的图象过点.
(1)求实数的值；
(2)求证：函数的图象关于点对称.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）点代入即可求出结果；
（2）将进行变形得到，利用平移规律进行证明。
【详解】（1）解：由得，所以.
（2）证明：由（1）知，
因为，
所以函数的图象是由的图象先向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到，
因为是奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称.
6．（2025高二·江苏徐州·期末）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）原不等式可变形为，分类讨论后可求不等式的解集；
（2）根据函数解析式可得，故可证函数图象中心对称；
（3）根据函数的单调性和对称性可得在上有解，参变分离后可求的取值范围.
【详解】（1）易得不等式即．
当时，，解得，
当时，，解得．
综上可知，不等式的解集为．
（2）因为的定义域为，
对任意的，都有，
且，
从而，
即的图象关于点对称，所以曲线是中心对称图形．
（3）因为（），所以，
所以在，上单调递增．
由（2）可知，，所以，
所以在上有解，
即在上有解．
又因为，所以，，
所以在上有解，即．
由，得，故，即或．
所以的取值范围是．
7．（2025高一·广东佛山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数.
(1)求曲线的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析
【分析】（1）首先设函数，判断函数是奇函数，即可判断函数的对称中心；
（2）根据函数单调性的定义，结合作差法，即可证明.
【详解】（1）设，
则函数的定义域为，其定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数，
所以函数的对称中心为.
（2）函数在上单调递减.
证明：，且，
则
，
因为，所以，
又，所以，所以，即，
所以函数在上单调递减.
8．（2025高一·北京顺义·期末）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，.
(1)求的值；
(2)设函数.
（i）证明函数的图象关于点对称；
（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)2
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）直接将和代入的表达式求出与，再求和.
（2）（i）要证明函数的图象关于点对称，需利用函数图象关于点对称的性质进行证明.（ii）先求出在的值域，再根据条件得出在的值域与在的值域的关系，进而求出的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数的图象关于点对称，
所以，所以
（2）（i）因为，
所以.
所以，
即对任意，都有成立.
故的图象关于点对称；
（ii）因为，所以在区间上单调递增，
所以在区间上的值域为.
记在上的值域为集合在上的值域为集合.
由于对任意，总存在，使得成立，
所以.
由的对称性可知，只需
①当，即时，函数在上单调送增，
因为，所以
所以.
②当，即时，在上单调遂减，在上单调递增，
因为，所以，即
解得，又因为
所以.
③当，即时，函数在上单调递减，
所以，
结合，得.
综上，实数的取值范围为.
题型二 由对称性求函数的解析式
根据对称性求解析式,核心是用对称性质列等式转化变量。若函数关于 对称,则 ；若关于点(a,b)对称,则 。先确定已知区间,将待求区间的改写为 ( 在已知区间),代入已知解析式,结合对称等式化简,即得待求区间解析式。
9．（2024·辽宁）与曲线关于原点对称的曲线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，可知点在曲线，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得结果.
【详解】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，
则点关于原点的对称点在曲线上，所以，，
化简得，
因此，与曲线关于原点对称的曲线为.
故选：A.
10．（2025高一·安徽合肥·期末）已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ．
【答案】
【分析】依题意得到，再代入化简，进而即可得到的解析式．
【详解】由是定义在R上的函数的对称轴，则，
又当时，，
则当时，即，则，
所以的解析式是．
故答案为：．
11．（2025高二·全国·课后作业）已知函数的图像与函数的图像关于对称，求的解析式．
【答案】，
【分析】设是函数的图象上的任意一点，点关于的对称点，即可得到，再根据在函数的图像上，代入即可得到所求函数解析式；
【详解】解：设是函数的图象上的任意一点，点关于的对称点，则，所以，因为在函数的图像上，所以，则，即，所以的解析式为，；
12．（2025高三·上海浦东新·阶段练习）已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)若在上时单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；
（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.
【详解】（1）解：因为，
所以函数的对称轴为：，
函数的对称轴为：，所以有，
即.
（2）解：，
该函数的对称轴为：，
当时，函数在上单调递减，解得 ；
当时，函数在上单调递增，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
13．（2025·江西·模拟预测）已知函数的定义域为，图象关于点对称，且当时，.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题首先可以根据当时的函数解析式求出当时的函数解析式，作出函数图象，判断函数单调递减且，由可得，解不等式即可得出结果.
【详解】函数图象关于点对称，可得，
令，则，，
因为，
所以，，
即 ，函数图象如下：
由图象可得函数在上单调递减， 且
，则，解得，
实数的取值范围为，
故选：B.
题型三 自对称中的轴对称
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
14．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A． B．
C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性和周期性定义，赋值计算，对各选项逐一进行分析判断.
【详解】对于A选项，已知是定义域为的奇函数，则.
令，代入可得：，将代入得，即，所以A选项错误.
对于B选项，因为是奇函数，则.
由可得.
用代替可得，又因为，所以，即.
那么.
同理.
.
.
令，则，所以B选项正确.
对于C选项，由可知，所以的最小正周期不是，C选项错误.
对于D选项，由，得不是曲线的对称轴，D选项错误.
故选：B.
15．【多选】（2025高三·全国·专题练习）下列关于函数的正确结论有（ ）
A．无对称轴 B．无对称中心
C．有对称轴 D．有对称中心
【答案】BC
【分析】根据图象的平移变换判断.
【详解】的图像关于对称的折线，
函数的图像是由向下平移2个单位，
再把轴下方的部分沿轴对称翻折到轴上方，函数的对称轴仍为，无对称中心．
故选：BC.
16．【多选】（2025高二·浙江金华·期末）定义在上的非常数函数满足，且，则（ ）
A．
B．是的一条对称轴
C．
D．
【答案】BCD
【分析】赋值即可求解判断A；赋值即可判断B；赋值，可得，进而结合重要不等式即可判断C；赋值可得，进而得到函数是周期为4的周期函数，进而求解判断D.
【详解】A选项，由，，
令，得，
因为不为常数函数，则不恒为0，故，故A错误；
B选项，令，得，
所以是的一条对称轴，故B正确；
C选项，令，得，
则，
当且仅当时等号成立，故C正确；
D选项，令，得，
因为，所以，
则，即，
则，故，
所以函数是一个周期为4的周期函数，
由，，，
则，，，
则，
则，
故D正确.
故选：BCD.
17．【多选】（2025高一·江西南昌·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．图象的对称轴为直线
C． D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】由题意可得图象的一条对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性及单调性即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D．
【详解】因为为偶函数，所以，
所以图象关于直线对称，又函数在上单调递增，
所以在上单调递减，故A错误，B正确；
因为在上单调递减，所以，故C正确；
由不等式结合的对称性及单调性，得，
即，即，解得或，
所以不等式的解集为，故D正确，
故选：BCD．
题型四 自对称中的中心对称
函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点成中心对称.
18．（2025高一·辽宁丹东·期末）已知函数的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的对称性即函数图象的变换可确定函数的对称中心.
【详解】因为：.
由的图象关于原点对称，将向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得的图象.
所以的对称中心为：.
故选：C
19．（2025高一·浙江杭州·阶段练习）已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式确定求得函数的对称中心，由此得到，化简，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由，
可得，
，
所以，
即，所以函数的对称中心为，
又因为在直线上，所以，所以，
所以，
因为，所以，，
根据基本不等式有：，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
20．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数
【答案】BCD
【分析】由奇函数性质知，根据函数对称性并代入判断A；且，应用周期性求函数值判断B；根据及对称中心判断C；奇偶性定义判断D.
【详解】A：是定义在上的奇函数，所以，
又满足，令，所以，错；
B：由，可知，
所以，
所以，对；
C：因为，所以是图象的对称轴，
又为图象的一个对称中心，所以是图象的一个对称中心，对；
D：因为，所以，即为偶函数，对.
故选：BCD
21．（2025高一·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（ ）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．
【答案】D
【分析】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D．
【详解】A选项，因为奇函数，则，
令，得，可得，故A正确；
B选项，因为偶函数，则，
即为函数图象的一条对称轴，故B正确；
C选项，由，得为图象的一个对称中心，
又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增，
所以在当单调递增，
又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确；
D选项，由B选项，，令，可得，故D错误．
故选：D．
22．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于直线对称
C．函数为奇函数 D．函数的图象关于点对称
【答案】D
【分析】根据为偶函数可得函数图象的对称性，故可判断BCD的正误；根据可得函数的周期，故可判断A的正误.
【详解】对于A，由，得，
则，函数的周期为4，
取，则，
为偶函数，
而最小正周期为，故A错误；
对于B， 由为偶函数，得，
故，
所以函数的图象关于直线对称且关于点对称，B错误；
对于C，由选项B知，，则函数为偶函数，C错误；
对于D，由，，得，
则，函数的图象关于点对称，D正确.
故选：D
23．（2025高一·江西赣州·阶段练习）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心
【答案】D
【分析】对中分别赋值，得出，进一步研究函数的奇偶性与对称性，对选项逐一分析即可.
【详解】对于A选项，由题，令，则
，故A不正确；
对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确；
对于C选项，令，则，
故，两式相加整理得：即
故，故的一个周期为6，
则，故的一个周期为8不成立，C不正确，
对于D选项，由且为偶函数，故，
所以是的一个对称中心，故D正确；
故选：D.
题型五 互对称问题
①轴对称：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称. 推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称. ②中心对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)成中心对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称. 推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称. ③函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． ④互为反函数的两个函数关于直线对称。
24．（2025高二·安徽·阶段练习）已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象（ ）
A．关于x＝1对称B．关于x＝3对称 C．关于y＝3对称 D．关于(3，0)对称
【答案】A
【解析】设为图象上任意一点，说明点在函数的图象上，根据点关于直线对称得解.
【详解】设为图象上任意一点，
则，
所以点在函数的图象上，
而与关于直线对称，
所以函数与的图象关于直线对称.
故选：A
【点睛】本题主要考查函数图象的对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
25．（2025高三·辽宁沈阳·阶段练习）设函数的定义域为R，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线x＝－1对称B．直线x＝－2对称C．直线x＝2对称 D．直线x＝1对称
【答案】C
【分析】根据函数图象的平移关系，结合与的对称性，即可求解.
【详解】是函数的图象向右平移1个单位，由于与的图象关于轴对称，所以与的图象关于对称，是函数向右平移2个单位，所以函数与函数的图象关于直线x＝2对称，
故选：C
26．（2025高三·全国·竞赛）函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求函数关于直线对称的函数解析式，再利用解析式相等，求的值.
【详解】设点在函数的图像上，则点关于直线的对称点，则，则，则，即与关于直线对称，则，得.
故选：D
题型六 双函数对称问题
解双函数对称题，先分别分析每个函数的对称性再结合的关系式，通过代换、变形推导选项结论。
27．【多选】（25-26高三·四川内江·开学考试）已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）.
A．的图象关于直线对称
B．是以4为周期的周期函数
C．的图象关于点对称
D．
【答案】BC
【分析】由已知可判断是偶函数，是奇函数.由及是奇函数，可得，判断C对；由C及是偶函数可判断的周期为4，进而求和判断D错；由，可判断关于对称，A错；由，及是奇函数，可得，B对.
【详解】对于C，由①，得，
因为，所以，故②，
①＋②，得，所以的图象关于点对称，
且，故C正确；
对于D，因为关于对称，所以关于对称，所以偶函数，
所以，
所以，
故，所以的周期为4，
在中，令，得，
所以，
结合的周期性得，，，
所以，故D错误；
对于A，①－②，得，
所以，
所以的图象关于对称，而不是关于直线对称，故A错误；
对于B，由得，
因为是奇函数，所以，
所以是以4为周期的周期函数，故B正确.
故选：BC.
28．（2025高三·河南南阳·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设条件利用赋值法可得为周期函数且周期为，再结合赋值法可求、、，从而可求的值.
【详解】因为的图象关于直线对称，故，
因为，故，
因为，故，
所以，故，
所以，故，
所以为周期函数且周期为.
因为且，故，
又，故即，
而即，
故，
而且，故，
故.
故，
故选：A.
29．【多选】（2025高三·广东深圳·期末）已知函数和是定义域为的函数.若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．
C．函数的图像关于直线对称
D．
【答案】BC
【分析】先由判断选项C；得出，再令为结合已知可判断B选项；由BC的计算可判断A选项；最后得出4是的周期，并计算出，最终判断D选项即可.
【详解】由可知的图象关于直线对称，C正确；
所以，则①，
令为，则②.
的图象关于点对称，，令，故B正确；
由①②可知，所以的图象关于直线对称.故错误；
所以4是的周期，由，得，令，由①得是的周期.有2024项，故，故D错误.
故选：BC.
题型七 函数对称性的应用
1.求函数值：利用对称关系将未知区间值转化到已知区间计算。 2.解不等式 / 方程：结合对称性简化表达式，或利用图象对称性确定解的范围。
30．【多选】（2025高二·广西南宁·期末）定义在上的函数满足，，为奇函数，函数满足，若与恰有7个交点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为的对称轴
C． D．
【答案】ACD
【分析】由已知可推得，关于直线对称以及关于点中心对称，进而得出函数有周期4，即可得出A项；根据的对称性推导，可判断B、C项；由已知可知与有共同的对称中心，进而即可得出得出D项.
【详解】由为奇函数，可得也为奇函数，则关于点中心对称，
则，
因，则，即，
则，则，故是的一个周期.
对于A项，由，故A选项正确；
对于B项，因，，则，
即关于点成中心对称，故B选项错误；
对于C项，因为关于对称，故，故C选项正确；
对于D项，由已知可得，关于点中心对称.
又关于点中心对称，
所以与有一个共同交点，其他交点关于中心对称.
所以，故D选项正确.
故选：ACD.
31．（2025高一·黑龙江大庆·期中）已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ．
【答案】48
【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值.
【详解】函数满足，则函数的图像关于点对称，
函数，函数的图像关于原点对称，则函数的图像关于点对称，
与的图象的8个交点，也两两关于点对称，
则.
故答案为：48
32．（2025高一·辽宁大连·期中）已知函数，函数满足对任意实数，都有成立，且与的图象有个交点，分别记为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，求出函数的对称中心，进而根据对称性求得答案.
【详解】由题意，，其对称中心为（1,2）；
由，设函数图象上任意一点，它关于（1,2）对称的点为，则，即也在函数的图象上，于是函数的对称中心为（1,2）.
所以与图象的交点关于点（1,2）对称，于是对称点的横坐标之和为2，纵坐标之和为4，所以.
故选：C.
33．【多选】（2025高三·福建·阶段练习）已知函数满足，，且与的图象交点为，则集合元素有（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【答案】AB
【分析】依题意可得与均关于点中心对称，从而得解；
【详解】解：函数满足，所以函数关于点中心对称，
化简，所以函数关于点中心对称，
所以与的图象交点，，…，关于点中心对称，所以，．
故选：AB
【点睛】本题考查函数的对称性的应用，属于中档题.
34．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】由函数的对称性易得和的图象都关于直线对称，从而根据对称性求解两个图象所有交点横坐标的和.
【详解】由知的图象关于直线对称，
又的图象也关于直线对称，
所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称，
每对交点的横坐标之和为4，所以.
故选：D.
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微专题 对称性及应用
题型一 函数对称性的证明
1.证轴对称：设函数上两点(x,y)与(2a - x,y),代入解析式验证是否相等,相等则关于 对称。 2.证中心对称：设两点(x,y)与(2a - x,2b - y),代入验证,相等则关于(a,b)对称。
1．（2025高一·江苏·课后作业）设a为给定实数，函数的定义域为A.
（1）若对于任意，都有，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由.
（2）若对于任意，都有，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由.
2．（2025高一·全国·课后作业）证明：函数的图象关于点对称．
3．（2025高一·江苏·课后作业）证明函数的图象关于y轴对称.
4．（2025高一·全国·课后作业）求证:二次函数的图像关于对称.
5．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数的图象过点.
(1)求实数的值；
(2)求证：函数的图象关于点对称.
6．（2025高二·江苏徐州·期末）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
7．（2025高一·广东佛山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数.
(1)求曲线的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明.
8．（2025高一·北京顺义·期末）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，.
(1)求的值；
(2)设函数.
（i）证明函数的图象关于点对称；
（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
题型二 由对称性求函数的解析式
根据对称性求解析式,核心是用对称性质列等式转化变量。若函数关于 对称,则 ；若关于点(a,b)对称,则 。先确定已知区间,将待求区间的改写为 ( 在已知区间),代入已知解析式,结合对称等式化简,即得待求区间解析式。
9．（2024·辽宁）与曲线关于原点对称的曲线为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一·安徽合肥·期末）已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是 ．
11．（2025高二·全国·课后作业）已知函数的图像与函数的图像关于对称，求的解析式．
12．（2025高三·上海浦东新·阶段练习）已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)若在上时单调函数，求实数的取值范围.
13．（2025·江西·模拟预测）已知函数的定义域为，图象关于点对称，且当时，.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三 自对称中的轴对称
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
14．（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A． B．
C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴
15．【多选】（2025高三·全国·专题练习）下列关于函数的正确结论有（ ）
A．无对称轴 B．无对称中心
C．有对称轴 D．有对称中心
16．【多选】（2025高二·浙江金华·期末）定义在上的非常数函数满足，且，则（ ）
A．
B．是的一条对称轴
C．
D．
17．【多选】（2025高一·江西南昌·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A．在上单调递增 B．图象的对称轴为直线
C． D．不等式的解集为
题型四 自对称中的中心对称
函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点成中心对称.
18．（2025高一·辽宁丹东·期末）已知函数的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025高一·浙江杭州·阶段练习）已知函数对称中心在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．【多选】（25-26高一·全国·单元测试）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C．是图象的一个对称中心 D．为偶函数
21．（2025高一·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（ ）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．
22．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2 B．函数的图象关于直线对称
C．函数为奇函数 D．函数的图象关于点对称
23．（2025高一·江西赣州·阶段练习）已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．的一个周期为8 D．是的一个对称中心
题型五 互对称问题
①轴对称：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称. 推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称. ②中心对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)成中心对称. 特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称. 推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称. ③函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． ④互为反函数的两个函数关于直线对称。
24．（2025高二·安徽·阶段练习）已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象（ ）
A．关于x＝1对称B．关于x＝3对称 C．关于y＝3对称 D．关于(3，0)对称
25．（2025高三·辽宁沈阳·阶段练习）设函数的定义域为R，则函数与函数的图象关于（ ）
A．直线x＝－1对称B．直线x＝－2对称C．直线x＝2对称 D．直线x＝1对称
26．（2025高三·全国·竞赛）函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（ ）
A．3 B． C． D．
题型六 双函数对称问题
解双函数对称题，先分别分析每个函数的对称性再结合的关系式，通过代换、变形推导选项结论。
27．【多选】（25-26高三·四川内江·开学考试）已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（ ）.
A．的图象关于直线对称
B．是以4为周期的周期函数
C．的图象关于点对称
D．
28．（2025高三·河南南阳·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
29．【多选】（2025高三·广东深圳·期末）已知函数和是定义域为的函数.若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．
C．函数的图像关于直线对称
D．
题型七 函数对称性的应用
1.求函数值：利用对称关系将未知区间值转化到已知区间计算。 2.解不等式 / 方程：结合对称性简化表达式，或利用图象对称性确定解的范围。
30．【多选】（2025高二·广西南宁·期末）定义在上的函数满足，，为奇函数，函数满足，若与恰有7个交点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为的对称轴
C． D．
31．（2025高一·黑龙江大庆·期中）已知函数满足，函数．且与的图象交点为，，…，，则 ．
32．（2025高一·辽宁大连·期中）已知函数，函数满足对任意实数，都有成立，且与的图象有个交点，分别记为，则（ ）
A． B． C． D．
33．【多选】（2025高三·福建·阶段练习）已知函数满足，，且与的图象交点为，则集合元素有（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
34．（25-26高三·山西太原·阶段练习）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
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