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微专题 奇偶性及应用
题型一 函数奇偶性的定义及判断
函数奇偶性的判断 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．
1．【多选】（25-26高一·广东广州·阶段练习）下列函数是偶函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据偶函数的定义，结合偶函数定义域关于原点对称的性质，逐一分析判断选项．
【详解】选项A：的定义域为，不关于原点对称，
不是偶函数，故A错误；
选项B：的定义域为，关于原点对称，且，满足偶函数定义，
是偶函数，故B正确；
选项C：的定义域为，关于原点对称，且，满足偶函数定义，
是偶函数，故C正确；
选项D：的定义域为，关于原点对称，但，不满足偶函数定义，
不是偶函数，故D错误．
故选：．
2．（25-26高三·海南海口·阶段练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求函数定义域，看是否关于原点对称，不对称则不是奇函数，定义域关于原点对称再看是否满足定义即可得解.
【详解】令，则函数的定义域为不关于原点对称，
所以该函数不是奇函数，A错；
令，则函数的定义域为不关于原点对称，
所以该函数不是奇函数，B错；
令，则函数的定义域为关于原点对称，
且，所以该函数是奇函数，C正确；
令，则函数的定义域为关于原点对称，
但，所以该函数不是奇函数，D错.
故选：C
3．（25-26高三·新疆和田·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据初等函数的性质逐一判断即可.
【详解】A选项在其定义域内是增函数，C选项在其定义域内为偶函数，
D选项在其定义域内为非奇非偶函数，B选项在其定义域内既是奇函数，又是减函数.
故选：B
4．（25-26高一·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)奇函数；
(2)偶函数；
(3)偶函数；
(4)偶函数；
(5)非奇非偶函数
【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解；
（2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解；
（3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解；
（4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解.
（5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解.
【详解】（1）依题意知函数的定义域为，
且对任意的，有,
所以函数是奇函数；
（2）依题意知函数的定义域为，
且对任意的，有，
所以函数是偶函数；
（3）依题意知函数的定义域为，
且对任意的，有，
所以函数是偶函数；
（4）依题意知函数的定义域为，
当时，，所以，，则，
当时，，所以，，则
所以为偶函数.
（5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以函数既不是奇函数，也不是偶函数.
5．（25-26高一·全国·课前预习）函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
【答案】B
【分析】由函数奇偶性定义判断.
【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称．
又，
所以是偶函数,而，故不是奇函数，
故选：B.
题型二 利用奇偶性求值
利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．
6．（2025高一·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】因为函数为奇函数，当时，,
则.
故选：B.
7．（2025高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 .
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式结合奇函数的性质计算求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，且，
因为时，，所以，
则.
故答案为：.
8．（2025高一·山东菏泽·阶段练习）已知为奇函数，当时，，则 ．
【答案】-7
【分析】先计算出，根据函数为奇函数，得到.
【详解】，
因为为奇函数，所以．
故答案为：-7
9．（2025高一·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数性质及已知解析式求函数值即可.
【详解】由题设.
故答案为：
10．（2025高一·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 .
【答案】
【分析】根据分段函数和函数的奇偶性求函数值.
【详解】因为，.
所以.
故答案为：
11．（2025高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的偶函数，则 .
【答案】4
【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以.
故答案为：4.
12．（2025高一·四川成都·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 .
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性，赋值计算得解.
【详解】由是上的奇函数，是偶函数，
得，即，
因此，
所以.
故答案为：3
题型三 已知f（x）=奇函数+M
已知奇函数+M，，则 （1） （2）
13．（2025高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 .
【答案】2
【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得.
【详解】，
.
故答案为：2.
14．（2025高二·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ．
【答案】－16
【分析】构造函数，可得为奇函数，由得，从而可得结果.
【详解】令，
则，
由得，
由得，所以，则
所以，
故答案为：－16．
15．（2025高一·北京·期中）已知函数，且，则 ．
【答案】
【分析】令，，即可判断、的奇偶性，再根据奇偶性求出.
【详解】令，，，
则，，
所以为奇函数，为偶函数，
又，且，，
所以，，
又，
所以.
故答案为：
题型四 利用奇偶性求解析式
已知函数的奇偶性求解析式 利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
16．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数奇偶性求解析式即可.
【详解】解析 因为当时，，为奇函数，
所以当时，，
所以，即，
故选：D．
17．（2025高一·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式.
【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，，
当时，，则.
故选：A
18．（2025高一·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可.
【详解】当时，，即有，
再由是定义在上的奇函数，所以，
即有，
所以当时，，
当时，，
综上可得：，
故选：C.
19．（2025高一·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性以及时的解析式即可求得时的解析式.
【详解】当时，，
可得，
又因为为奇函数，所以，可得，
即时，.
故选：A
20．（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值.
【详解】因为函数为奇函数，即，
所以，可得①，
因为函数是偶函数，即，
所以，可得②，
联立①②可得，因此.
故选：C.
21．（2025高一·江苏无锡·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用奇函数的性质求得时函数的解析式，再利用基本不等式可求得答案。
【详解】∵函数为定义在上的奇函数，
∴，又当时，，
∴当时，，则，
又，∴当时，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的取值范围为.
故答案为：B
22．（2025高一·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上是减函数；
(3)求函数的解析式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据可直接求得结果；
（2）设，由可证得结论；
（3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果.
【详解】（1）为奇函数，.
（2）设，
，
，，，，
在上是减函数.
（3）当时，，，；
又为定义在上的奇函数，，
.
题型五 由函数的奇偶性求参数
已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 ①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
23．（25-26高一·吉林·阶段练习）已知函数，是偶函数，则（ ）
A．1 B．1或4 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称及求解即可.
【详解】由题意，，解得，即，
又，则，
则，即，所以.
故选：D
24．（2025·全国·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据函数是奇函数应用定义列式计算求参.
【详解】因为为奇函数，定义域为，
则，
所以，则，
此时，
则，满足题意
故.
故选：B.
25．（25-26高一·广东河源·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】利用偶函数区间的对称性和函数值的对称性可解.
【详解】∵是定义在上的偶函数，
∴，∴，
又，∴，
∴，，
∴．
故选：D．
26．（2025高一·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】B
【分析】由偶函数的性质定义域关于原点对称和可得.
【详解】由题意可得，
又,
则，
所以.
故选：B
27．（25-26高三·吉林长春·阶段练习）已知函数为奇函数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由函数为奇函数，求得，即可求解.
【详解】由题意可得：，
所以，可得：，
所以，.
故选：C
28．（2025高三·甘肃白银·学业考试）若函数为偶函数，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数特征和分子为偶函数，得到分母也为偶函数，时满足要求，结合，求出答案.
【详解】因为为偶函数，且为偶函数，
所以为偶函数，若，则满足要求，
若，则，此时不是偶函数，不合要求，
所以.所以，又，所以.
故选：A.
29．（2025高一·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案．
【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以，
显然，，所以．
故选：B．
30．（2025·江西景德镇·模拟预测）函数为偶函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解.
【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立，
即，
所以对任意的恒成立，故；
若，则，
所以，故为偶函数，
所以为偶函数的充要条件为.
故选：B．
31．（2025高一·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．1或2
【答案】A
【分析】由奇函数的定义构造等式求解即可；
【详解】易知的定义域为，
由奇函数的定义可知，，
则，
整理得恒成立，
所以，解得.
故选：A
题型六 利用函数的奇偶性求最值
利用函数的奇偶性求最值 ①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则 ②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。
32．（25-26高三·广东湛江·阶段练习）已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】由题意可得，可求的值.
【详解】由，得，函数的定义域为，
令，定义域为，定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数，
所以，
则的图象关于点对称，所以.
故选：C.
33．（2025高一·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ．
【答案】
【分析】构造函数，由其为奇函数即可求解；
【详解】，
构造函数定义域为，则，故为奇函数，
所以，
所以，
故答案为：2
34．（2025高一·四川巴中·阶段练习）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可.
【详解】设，，
则，所以函数为奇函数，
则，即.
故选：D.
35．（25-26高一·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ．
【答案】0
【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案.
【详解】因为，
令，则，
因为，所以函数为奇函数．
因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0，
即，则，
因，故.
故答案为：
36．（2025高二·山东青岛·期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 .
【答案】
【分析】利用奇函数的性质，可证明函数关于点成中心对称图形，即可求得.
【详解】由函数，
因为函数是定义在上的奇函数，所以有，
则，
所以可得函数关于点成中心对称图形，
因为函数的最大值为，最小值为，
所以最大值点与最小值点关于点成中心对称图形，
即，
故答案为：.
题型七 应用函数的奇偶性画函数图象
应用奇偶性画图象和判断函数单调性 ①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数． ②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到： 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
37．（2025高一·贵州六盘水·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且在上的图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全的图象；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）由奇函数的图象关于原点对称，补全图象即可；
（2）由得：或，结合图象求解即可.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，所以图象关于原点对称，补全如图所示：
（2）由得：或，
所以由图可知：或
故不等式的解集为：.
38．（2025高一·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求函数的解析式；
(3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)作图见解析，答案见解析.
【分析】（1）根据解析式及奇函数性质，将自变量代入求值即可；
（2）利用奇函数的性质求解析式即可；
（3）根据解析式画出图象，数形结合确定单调区间和值域.
【详解】（1）由题设，；
（2）若，则，故，
由在上的函数为奇函数，则，且时，，
所以；
（3）
由图知，的单调增区间为，单调减区间为，且值域为R.
39．（25-26高一·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分．
(1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象；
(2)求函数在上的解析式；
(3)求函数的单调区间和最大值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)；
(3)答案见解析.
【分析】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象；
（2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式；
（3）由图象确定函数的单调区间和最大值.
【详解】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下：
（2）当时，；
当时，依题设，
将点代入，得，解得，
故．
即函数在上的解析式为；
（3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和，
函数在和处取得最大值，且，
所以函数的最大值为4．
题型八 利用函数的奇偶性识别图象
①确定函数定义域,判断其是否关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提。 ②计算,并与、比较：若,则为偶函数,图象关于轴对称；若 ,则为奇函数,图象关于原点对称。据此可排除不符合对称性的选项。 ③结合函数在特殊区间(如定义域分段区间、零点附近)的符号、单调性等进一步筛选,锁定正确图象。
40．（25-26高一·广东佛山·阶段练习）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】探讨给定函数的奇偶性及在上的图象特征，进而判断得解.
【详解】函数的定义域为，且，即函数是奇函数，
其图象关于原点对称，排除AB；
当时，，其图象是开口向上的抛物线在轴右侧部分，排除D，C满足.
故选：C
41．（2025高一·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案．
【详解】∵的定义域为，关于原点对称，
且，
∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B；
又，故排除选项D；
又，故排除选项C；
故选：A．
42．（2025高三·广东梅州·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可.
【详解】对于函数，定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故B，C错误，
当时，，
又在上单调递增，在上单调递减，
故在上单调递增，故A错误，D正确．
故选：D．
43．（2025高一·广东·专题练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过函数定义域及奇偶性和函数值逐个判断即可.
【详解】易知，无解，图像不可能和轴有交点，故排除A，
因为，定义域为
所以，
故为偶函数，排除C，
时，，排除D．
故选：B
44．（25-26高一·全国·单元测试）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由解析式求函数的定义域并判断奇偶性，结合上的单调性，应用排除法即可得.
【详解】由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C；
当时，，则在上单调递增，排除D，
故选：A
45．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性即可排除BD，再结合函数值正负判断即可.
【详解】由，，
则，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误；
而，
则时，；时，，故A满足题意，C错误.
故选：A.
46．（25-26高一·全国·单元测试）函数在上的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可.
【详解】令，的定义域为，
，
则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项；
又，则排除选项A.
故选：B.
题型九 抽象函数的奇偶性问题
这类抽象函数问题的一般解题方法是赋值法，通过对自变量赋予特殊值（如0、 x等），结合已知函数关系式，推导函数的特殊值、奇偶性等性质。
47．【多选】（2025·江西南昌·模拟预测）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．可能是单调递减函数
C．为奇函数 D．若，则
【答案】ACD
【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误.
【详解】因为定义在R上的单调函数，则，.
对于A，令，则或，
若，则对，取，都有，不满足单调函数性质，
故，故A正确；
对于B，令，则或（舍），则，
因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数；
对于C，令，则（舍），
则，取，取，
则，又定义为R，则为奇函数，故C正确；
对于D，令，则，令，
则，
则，故D正确.
故选：ACD
48．（25-26高一·广东河源·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)求在区间上的最大值；
(3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明；
（2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解；
（3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解.
【详解】（1）取，则，所以，
取，则，
所以对任意恒成立，
所以为奇函数．
（2）任取且，则，
所以，所以，
又为奇函数，所以，所以．
故为上的减函数．
所以在上的最大值为，
因为，
所以，
故在上的最大值为6．
（3）因为在上是减函数，所以，
因为，对所有，恒成立．
所以，对所有恒成立，
即，对所有恒成立，
令，则，
即，解得：或．
所以实数的取值范围为．
49．（2025高一·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在R上单调递增；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可；
（2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明.
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
不妨令，得，
解得或，
又不存在，使得，故，
令，得，
故，即，
因此为奇函数；
（2）时，，
则，
当且仅当，等号成立，
又不存在，使得，则，
于是时，，
又为奇函数，则时，，
于是对，
任取，则，
而，
又，则，
于是，故，
因此在上单调递增；
【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可.
50．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有.求证：
(1)是奇函数；
(2)是单调递减函数；
(3)，其中.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由奇函数的定义及特殊值即可证明；
（2）由单调性的定义,做差证明；
（3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系,即可得证．
【详解】（1）令，代入得到.
令，得，即.
所以在上是奇函数.
（2）设，则.
因为，所以，.
又因为，所以且，
所以：，所以.
所以，.
所以在上是单调递减函数.
（3），
所以.
因为，所以.
所以.
故.
51．【多选】（2025高二·云南昆明·阶段练习）已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．在上单调递减
D．若，则不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】A令求出，再令确定具体值；B令即可；C利用单调性的定义证明；D令得出是偶函数，再将问题转化为，结合单调性即可求出.
【详解】对于A，令，则有，得或，
但当时，，
与不是常值函数矛盾，故，故A正确；
对于B，令，则，
则，
当，则，故，
故，故B正确；
对于C，任取，令，则，
则，故在上单调递增，故C错误；
对于D，令可得：，
故是偶函数，
又，于是原不等式可转化为，
又由在上单调递增可得：，解得：，
故不等式的解集为，故D正确.
故选：ABD.
52．（25-26高三·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，.
(1)求；
(2)探究的奇偶性；
(3)用定义法证明在区间上单调递增.
【答案】(1)0；
(2)奇函数；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法求出目标值；
（2）利用奇函数的定义推理判断；
（3）利用增函数的定义推理得证.
【详解】（1）对于任意的，均有，
取，得，即得.
（2）函数的定义域为，对，令，得，
，因此，
所以函数为奇函数.
（3）且，令，则，即,
因，则，
故，即，
则，所以函数在区间上单调递增.
题型十 函数的单调性和奇偶性的综合应用
解决函数单调性与奇偶性综合题，先利用奇偶性将变量转化到同一单调区间，再结合单调性比较大小或解不等式。若为奇函数，f( x)= f(x)；偶函数则f( x)=f(x)。通过 “奇偶性转化符号，单调性判断大小”，结合定义域约束，即可高效解题。
53．（25-26高三·湖北武汉·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解.
【详解】定义在上的偶函数，，，
当时，单调递减，当时，单调递减，
定义在上的偶函数，
，，，
当时，单调递减，
，，即，
解得或，
的定义域为，
，，
，
或和要同时成立，
，
关于的不等式的解集为.
故选：C.
54．（2025高一·四川广安·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意作出函数的图像的示意图，不等式等价于或，结合图像求解即可.
【详解】因为偶函数在区间上单调递减且，
所以函数在区间上单调递增且，
作出函数的图像的示意图如图所示，
由图像知当或时，；当时，，
不等式等价于或，
解得或，
所以不等式的解集为.
故选：A
55．（江苏省盐城市七校联盟2025-2026学年高三学期第二次联考数学试题）函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分析函数的单调性，根据函数单调性把函数不等式转化为代数不等式，再根据不等式的解集求实数的取值范围.
【详解】因为函数满足：对均有，所以在上单调递增，
又函数为偶函数，所以在上单调递减，
所以不等式可化为，恒成立，
所以，，即，，
由，，，
由，，，
综上.
故选：A
56．（25-26高一·江苏·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：B.
57．（2025高一·北京·期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义，得到，再结合在上的单调性，即可得到答案.
【详解】因为是定义域为的偶函数，可得，
又因为在上单调递减，且，所以，
所以.
故选：D.
58．（2025高一·北京·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到，且在上为减函数，得出，即可求解.
【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以，
又因为时，有，
所以函数在上为单调递减函数，可得，
所以.
故选：D.
59．（25-26高一·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由条件推出在上单调递减，又由函数为偶函数，推出的图象关于直线对称，由对称性和单调性即可得的大小关系.
【详解】因为的定义域为R，
且对任意的，有，
设，则有，所以在上单调递减.
又因为函数为偶函数，即，
所以的图象关于直线对称，所以，
则.
故选：B.
题型十一 函数的奇偶性和周期性的综合应用
解决函数奇偶性与周期性综合题，利用周期性将变量转化到已知区间，再结合奇偶性（f( x)=±f(x)）化简表达式。核心是 “周期性缩小区间，奇偶性转化符号”，通过f(x+T)=f(x)和奇偶性定义，将未知区间的函数值转化为已知区间的表达式，结合定义域和性质求解。
60．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】由条件结合奇函数性质可得，结合周期函数性质可得，故，再利用条件求可得结论.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，所以，
因为函数是定义在上且周期为的函数，
所以，所以，
所以，
因为当时，，
所以，
所以，
故选：A.
61．（25-26高三·安徽·阶段练习）已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用周期性与奇偶性转换求值即可.
【详解】由条件得.
故选：D.
62．（25-26高三·河南·阶段练习）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由周期性、奇函数性质转换即可求解.
【详解】已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，
则.
故选：D.
63．（25-26高二·贵州遵义·阶段练习）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】借助奇函数与偶函数的性质可得函数周期性，再利用周期性计算即得.
【详解】由为奇函数，则，
即，则，
由为偶函数，则，
则，则，
则，则，
故周期为，则，
由，则，
则.
故选：D.
64．（25-26高三·天津·阶段练习）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
【答案】
【分析】根据函数奇偶性的性质得出函数关于以及点对称，由此可得出函数周期，根据周期进行计算即可.
【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则，，
所以函数的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，，
所以，则，
所以函数是周期为的周期函数，当时，，则，，，，，，，，，，
所以，因为，所以.
故答案为：.
65．（25-26高三·天津西青·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值．
【详解】∵为偶函数，∴，
又是定义域为的奇函数，∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是一个周期为20的周期函数，
∴，
，
∴．
故答案为：．
题型十二 奇偶性与对称性的综合运用
奇偶性与对称性的综合运用在函数性质探讨中至关重要。技巧与方法包括： 定义法：直接利用奇偶性定义及对称性定义来判断。 图象法：通过绘制函数图像，观察图像是否关于原点或y轴对称来判断奇偶性和对称性。 性质法：利用奇偶性、对称性的性质进行推导，如奇±奇=奇，偶±偶=偶，以及函数图像的轴对称和中心对称性质。 结合法：在解题时，常将奇偶性与单调性、周期性结合使用，通过性质转换和变量替换简化问题。
66．（2025高二·福建福州·期末）已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称．当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】由对称性可得，由为奇函数可得，再结合时的函数解析式求结论.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，
又因为函数是奇函数，所以，
又当时，，
所以
所以，
故选：B.
67．（2025高二·福建泉州·期末）已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象关于对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性，结合函数图象变换逐项判断.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
令，其定义域为，
则，故函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称，
对于A，函数的图象可在函数的图象上向右平移1个单位，则关于对称，故A正确；
对于B，函数的图象可在函数的图象上向左平移1个单位，则关于对称，故B错误；
对于C，函数的图象可在函数的图象上向上平移1个单位，则关于轴对称，故C错误；
对于D，函数的图象可在函数的图象上向下平移1个单位，则关于轴对称，故D错误.
故选：A.
68．（2025高二·青海海南·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，利用奇函数定义及对称性的结论即可求解.
【详解】对于A，已知，则有，即函数的图象关于点对称，故A正确；
对于B，由于是定义在上的奇函数，则有，
因，则有，用替换可得：，故B正确；
对于D，再用替换可得：，故D正确；只有C项，无法推得.
故选：C
1中小学教育资源及组卷应用平台
微专题 奇偶性及应用
题型一 函数奇偶性的定义及判断
函数奇偶性的判断 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．
1．【多选】（25-26高一·广东广州·阶段练习）下列函数是偶函数的有（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三·海南海口·阶段练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高三·新疆和田·阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5．（25-26高一·全国·课前预习）函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
题型二 利用奇偶性求值
利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．
6．（2025高一·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
7．（2025高一·内蒙古乌兰察布·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则 .
8．（2025高一·山东菏泽·阶段练习）已知为奇函数，当时，，则 ．
9．（2025高一·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的奇函数，当时，，则 ．
10．（2025高一·广西钦州·期末）已知为奇函数，且则 .
11．（2025高一·甘肃定西·期末）已知函数是定义在上的偶函数，则 .
12．（2025高一·四川成都·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 .
题型三 已知f（x）=奇函数+M
已知奇函数+M，，则 （1） （2）
13．（2025高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 .
14．（2025高二·湖南邵阳·期中） 且，则等于 ．
15．（2025高一·北京·期中）已知函数，且，则 ．
题型四 利用奇偶性求解析式
已知函数的奇偶性求解析式 利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
16．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
17．（2025高一·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（ ）
A． B． C． D．
18．（2025高一·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025高一·江苏无锡·阶段练习）定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2025高一·江苏无锡·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．（2025高一·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上是减函数；
(3)求函数的解析式.
题型五 由函数的奇偶性求参数
已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 ①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
23．（25-26高一·吉林·阶段练习）已知函数，是偶函数，则（ ）
A．1 B．1或4 C．3 D．4
24．（2025·全国·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．6
25．（25-26高一·广东河源·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
26．（2025高一·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．3 D．1
27．（25-26高三·吉林长春·阶段练习）已知函数为奇函数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
28．（2025高三·甘肃白银·学业考试）若函数为偶函数，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
29．（2025高一·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （ ）
A． B． C． D．
30．（2025·江西景德镇·模拟预测）函数为偶函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
31．（2025高一·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．1或2
题型六 利用函数的奇偶性求最值
利用函数的奇偶性求最值 ①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则 ②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。
32．（25-26高三·广东湛江·阶段练习）已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
33．（2025高一·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ．
34．（2025高一·四川巴中·阶段练习）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
35．（25-26高一·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ．
36．（2025高二·山东青岛·期末）函数是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 .
题型七 应用函数的奇偶性画函数图象
应用奇偶性画图象和判断函数单调性 ①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数． ②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到： 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
37．（2025高一·贵州六盘水·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且在上的图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全的图象；
(2)求不等式的解集．
38．（2025高一·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求函数的解析式；
(3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）.
39．（25-26高一·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分．
(1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象；
(2)求函数在上的解析式；
(3)求函数的单调区间和最大值．
题型八 利用函数的奇偶性识别图象
①确定函数定义域,判断其是否关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提。 ②计算,并与、比较：若,则为偶函数,图象关于轴对称；若 ,则为奇函数,图象关于原点对称。据此可排除不符合对称性的选项。 ③结合函数在特殊区间(如定义域分段区间、零点附近)的符号、单调性等进一步筛选,锁定正确图象。
40．（25-26高一·广东佛山·阶段练习）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
41．（2025高一·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2025高三·广东梅州·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
43．（2025高一·广东·专题练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
44．（25-26高一·全国·单元测试）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
45．（25-26高一·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
46．（25-26高一·全国·单元测试）函数在上的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
题型九 抽象函数的奇偶性问题
这类抽象函数问题的一般解题方法是赋值法，通过对自变量赋予特殊值（如0、 x等），结合已知函数关系式，推导函数的特殊值、奇偶性等性质。
47．【多选】（2025·江西南昌·模拟预测）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．可能是单调递减函数
C．为奇函数 D．若，则
48．（25-26高一·广东河源·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)求在区间上的最大值；
(3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围.
49．（2025高一·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在R上单调递增；
50．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足下列条件：①对任意，都有；②当时，有.求证：
(1)是奇函数；
(2)是单调递减函数；
(3)，其中.
51．【多选】（2025高二·云南昆明·阶段练习）已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．在上单调递减
D．若，则不等式的解集为
52．（25-26高三·江西·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，.
(1)求；
(2)探究的奇偶性；
(3)用定义法证明在区间上单调递增.
题型十 函数的单调性和奇偶性的综合应用
解决函数单调性与奇偶性综合题，先利用奇偶性将变量转化到同一单调区间，再结合单调性比较大小或解不等式。若为奇函数，f( x)= f(x)；偶函数则f( x)=f(x)。通过 “奇偶性转化符号，单调性判断大小”，结合定义域约束，即可高效解题。
53．（25-26高三·湖北武汉·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
54．（2025高一·四川广安·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ）
A． B．
C． D．
55．（江苏省盐城市七校联盟2025-2026学年高三学期第二次联考数学试题）函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
56．（25-26高一·江苏·阶段练习）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
57．（2025高一·北京·期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ）
A． B．
C． D．
58．（2025高一·北京·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ）
A． B．
C． D．
59．（25-26高一·河北·期中）函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
题型十一 函数的奇偶性和周期性的综合应用
解决函数奇偶性与周期性综合题，利用周期性将变量转化到已知区间，再结合奇偶性（f( x)=±f(x)）化简表达式。核心是 “周期性缩小区间，奇偶性转化符号”，通过f(x+T)=f(x)和奇偶性定义，将未知区间的函数值转化为已知区间的表达式，结合定义域和性质求解。
60．（25-26高三·湖北·阶段练习）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．
61．（25-26高三·安徽·阶段练习）已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（ ）
A． B． C． D．
62．（25-26高三·河南·阶段练习）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则（ ）
A． B． C． D．
63．（25-26高二·贵州遵义·阶段练习）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
64．（25-26高三·天津·阶段练习）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
65．（25-26高三·天津西青·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，，则的值为 .
题型十二 奇偶性与对称性的综合运用
奇偶性与对称性的综合运用在函数性质探讨中至关重要。技巧与方法包括： 定义法：直接利用奇偶性定义及对称性定义来判断。 图象法：通过绘制函数图像，观察图像是否关于原点或y轴对称来判断奇偶性和对称性。 性质法：利用奇偶性、对称性的性质进行推导，如奇±奇=奇，偶±偶=偶，以及函数图像的轴对称和中心对称性质。 结合法：在解题时，常将奇偶性与单调性、周期性结合使用，通过性质转换和变量替换简化问题。
66．（2025高二·福建福州·期末）已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称．当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．3
67．（2025高二·福建泉州·期末）已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象关于对称的是（ ）
A． B．
C． D．
68．（2025高二·青海海南·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．
C． D．
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