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微专题 指对互化及应用
题型一 指数式和对数式的互化
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式
1．（2025高一·江苏宿迁·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一·安徽蚌埠·阶段练习）若，则有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高一·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．（2025高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式：
(1)；
(2)；
(3)．
5．（2025高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
6．（2025高一·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
7．（2025高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
8．（2025高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
9．（25-26高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)；
(6)；
(7)；
(8)
10．（25-26高一·全国·课前预习）若（，且），则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高一·全国·课后作业）若（且），则（ ）
A． B．
C． D．
题型二 指对互化解方程
核心是“互化消对数+定义域把关”。对数方程通过指对互化转化为指数方程求解，指数方程可转化为对数形式确定解的范围。严格遵循对数真数>0、底数>0且≠1的约束，求解后必代入原方程检验，排除增根。复杂方程可先换元简化结构，再通过互化逐步拆解，聚焦“转化—求解—验证”的完整逻辑。
12．（25-26高一·全国·课前预习）若，则（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
13．（2025高一·全国·课后作业）求下列各式中的值．
(1)；
(2)；
(3)．
14．（25-26高一·全国·课堂例题）求下列各式中的x的值．
(1)．
(2)；
(3).
15．（25-26高一·全国·单元测试）若，则 ．
题型三 简单指对互化求值
解题关键是 “互化搭桥 + 运算法则联用”。先将已知指对式灵活互化，把未知量转化为基础指数或对数形式。巧用特殊值和幂、对数运算法则简化计算，复杂表达式可拆分分步运算。优先统一底数，避免复杂推导，确保每一步互化等价，精准衔接已知条件与目标值。
16．（25-26高三·四川广安·开学考试）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
17．（2024高二·福建·学业考试）若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
18．（2025高一·广西河池·期末）若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
19．（2025高二·天津·期末）若，则
20．（2025高一·海南海口·期末）已知，则 ．
21．（2024高二·湖北·学业考试）已知，则 .
22．（2025高一·上海·期中）已知，，则的值为 .
23．（2025高一·辽宁·期末）已知，则 ．
24．（2025高一·广东广州·期末）已知，，则 .
25．（2025高一·湖南怀化·期中）已知均是正实数，且，则 .
26．（2025高一·江苏无锡·期中）已知，则 .
27．（2025·江西上饶·模拟预测）若，则 .
28．（2025高一·江苏盐城·期中）已知，，则 .（用数字作答）
29．（2025高一·吉林长春·期末）已知且，若，则 ．
30．（2025高一·全国·课后作业）已知，求的值．
31．（2025高三·河北·期末），且，则的值为 .
32．（2025高一·全国·竞赛）整数m，n满足，则 ．
33．（2025高一·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ．
34．（25-26高一·全国·课后作业）已知，则的值为 ．
35．（2025高一·全国·课后作业）若，，则的值为 ．
36．（25-26高三·天津·阶段练习）已知，计算（ ）
A． B．1 C． D．2
37．（2025·四川乐山·模拟预测）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
38．（25-26高三·浙江·开学考试）已知，，则（ ）
A．0 B．2 C．-1 D．1
39．（2025·山东临沂·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．11 B．12 C．16 D．17
40．（2025高一·河南郑州·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
41．（2025高三·四川攀枝花·阶段练习）已知，，则（ ）
A．9 B．3 C． D．
42．（2025高三·山东泰安·期中）已知，，，且，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
43．（2025高三·天津河西·期中）已知，，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
44．（2025高三·江苏南京·开学考试）已知，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
45．（2025高二·福建南平·期末）若，，则（ ）
A．10 B．20 C．50 D．100
46．（2025高二·北京·期末）已知，，则的值为（ ）
A．15 B． C． D．
47．（2025高一·江西吉安·期末）设，，若，则（ ）
A． B． C． D．3
48．（2025高三·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
49．（2025高三·江苏南通·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
50．（2025高一·四川达州·期末）已知，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四 指对互化与单调性结合求值
核心是“同构转化+单调性定关系”。先通过指对互化将等式变形为同结构表达式，构造单调函数（如指数、对数函数）。利用函数单调性建立变量间的等式关系，锁定未知量范围。结合定义域限制和特殊值验证，排除不合理解。聚焦“变形同构—构造函数—单调定解”，快速打通条件与结论的联系。
51．（2025·全国·模拟预测）已知，，则 ．
52．（2025·四川·模拟预测）已知实数满足下列等式，则 .
53．（2025高一·湖北·阶段练习）已知实数，满足，，则 .
54．（2025高一·上海松江·期末）同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 .
55．（25-26高三·福建·阶段练习）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型五 指对互化比较大小
将不同形式的指数、对数通过互化转化为同底数，或借助中间量（如 0、1）拆分比较。对无法直接互化的，可转化为同一函数的函数值，利用函数单调性判断大小，优先选择常用底数（如 2、10、e）简化运算，清晰梳理比较逻辑。
56．（25-26高一·新疆·期中）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
题型六 指对互化的实际应用
先根据实际问题提炼等量关系，建立指数或对数模型，再通过指对互化将模型转化为可求解的方程。
57．（2025高一·全国·课后作业）声强是表示声波强度的物理量，记作．由于声强的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级，其中，声强级的单位是贝尔，贝尔又称为1分贝．生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康．根据所给信息，可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的 倍．
58．（2025高三·湖南·阶段练习）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好的通风环境下时，室内甲醛浓度y（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N）（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）（ ）
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
59．（2025·北京）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
60．（2025高三·福建宁德·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ）
A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃
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微专题 指对互化及应用
题型一 指数式和对数式的互化
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式
1．（2025高一·江苏宿迁·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由指数式和对数式的互化可得结果.
【详解】因为，所以，.
故选：A.
2．（2025高一·安徽蚌埠·阶段练习）若，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用指数式与对数式的互化直接判断即可.
【详解】当时，由及对数定义得.
故选：A
3．（2025高一·江苏·单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】结合指数式与对数式互化的知识确定正确答案.
【详解】根据指数式与对数式互化可知：
对于选项A：等价于，故A正确；
对于选项B：等价于，故B正确；
对于选项C：等价于，故C错误；
对于选项D：等价于，故D正确；
故选：C.
4．（2025高一·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】直接利用指数和对数的关系实现指对互化.
【详解】（1）由，得.
（2）由，得.
（3）由，得.
5．（2025高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可.
【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式，
对于，可化为.
（2）对于，可化为.
（3）对于，可化为.
（4）对于，可化为.
6．（2025高一·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案：
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
7．（2025高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化.
【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
（2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
（3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
（4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
（5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
（6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.
8．（2025高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化.
【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为.
（2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为.
（3）根据指数式和对数式的关系，可化为
（4）根据指数式和对数式的关系，可化为
9．（25-26高一·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)；
(6)；
(7)；
(8)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可.
【详解】（1）由得.
（2）由得.
（3）由得.
（4）由得.
（5）由得.
（6）由得.
（7）由得.
（8）由得.
10．（25-26高一·全国·课前预习）若（，且），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值.
【详解】由对数的概念知，故，即.
故选：A.
11．（2025高一·全国·课后作业）若（且），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的定义将指数化为对数.
【详解】因为（且），所以.
故选：A.
题型二 指对互化解方程
核心是“互化消对数+定义域把关”。对数方程通过指对互化转化为指数方程求解，指数方程可转化为对数形式确定解的范围。严格遵循对数真数>0、底数>0且≠1的约束，求解后必代入原方程检验，排除增根。复杂方程可先换元简化结构，再通过互化逐步拆解，聚焦“转化—求解—验证”的完整逻辑。
12．（25-26高一·全国·课前预习）若，则（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
【答案】B
【分析】将对数式化成指数式，运算得解.
【详解】由题知，解得.
故选：B.
13．（2025高一·全国·课后作业）求下列各式中的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可；
（2）根据和以及指数与对数的互化求值即可；
（3）根据指数与对数的互化求值即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，解得；
（2）因为，所以，
所以，解得；
（3）因为，所以，
所以，解得.
14．（25-26高一·全国·课堂例题）求下列各式中的x的值．
(1)．
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)9
(3)2
【分析】根据对数与指数的互化，结合指数的运算性质逐一求解；
【详解】（1）由，得；
（2）由，得，所以；
（3）因为，所以，所以.
15．（25-26高一·全国·单元测试）若，则 ．
【答案】15
【分析】利用对数的运算性质计算即可.
【详解】由题意得，则，解得．
故答案为：15.
题型三 简单指对互化求值
解题关键是 “互化搭桥 + 运算法则联用”。先将已知指对式灵活互化，把未知量转化为基础指数或对数形式。巧用特殊值和幂、对数运算法则简化计算，复杂表达式可拆分分步运算。优先统一底数，避免复杂推导，确保每一步互化等价，精准衔接已知条件与目标值。
16．（25-26高三·四川广安·开学考试）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，求得的值，由此求的值
【详解】令，解得，故.
故选：
17．（2024高二·福建·学业考试）若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得.
【详解】因为，，
所以，，所以.
故选：D
18．（2025高一·广西河池·期末）若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【分析】根据给定的等式，求出即可计算得解.
【详解】由，得，解得，由，得，解得，
所以.
故选：D
19．（2025高二·天津·期末）若，则
【答案】/
【分析】根据指对数的运算，即可求解.
【详解】由可得，故，
故，
故答案为:
20．（2025高一·海南海口·期末）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据条件，利用指对数的互化，即可求解.
【详解】因为，得到，
又，所以，
故答案为：.
21．（2024高二·湖北·学业考试）已知，则 .
【答案】
【分析】根据指数与对数的运算法则计算．
【详解】由得，则，
所以，
故答案为：.
22．（2025高一·上海·期中）已知，，则的值为 .
【答案】/
【分析】将对数式化成指数式，利用指数幂的运算计算即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故答案为:##.
23．（2025高一·辽宁·期末）已知，则 ．
【答案】
【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解.
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
24．（2025高一·广东广州·期末）已知，，则 .
【答案】
【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解.
【详解】由，得，而，
所以.
故答案为：
25．（2025高一·湖南怀化·期中）已知均是正实数，且，则 .
【答案】
【分析】将对数式化成指数式，代入条件，利用指数幂的性质即可求得.
【详解】由可得（*），
因将（*）代入，可得即得，
由，得.
故答案为：.
26．（2025高一·江苏无锡·期中）已知，则 .
【答案】
【分析】根据对数的概念得，从而得，利用指数运算化简求解式子即可得答案.
【详解】因为，所以，则，
所以.
故答案为：.
27．（2025·江西上饶·模拟预测）若，则 .
【答案】
【分析】利用对数与指数的互化以及指数幂的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】，，又，
.
故答案为：.
28．（2025高一·江苏盐城·期中）已知，，则 .（用数字作答）
【答案】45
【分析】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得.
【详解】由，可得，
又，则.
故答案为：45.
29．（2025高一·吉林长春·期末）已知且，若，则 ．
【答案】/
【分析】根据对数式和指数式的互化，结合指数幂的运算，即可求得答案.
【详解】由已知且，，
得，则，
故，
故答案为：
30．（2025高一·全国·课后作业）已知，求的值．
【答案】
【分析】根据指数与对数的相互转化求解即可.
【详解】由，得，解得或（舍去），
由，得，
则．
31．（2025高三·河北·期末），且，则的值为 .
【答案】
【分析】对数式转化指数式，再利用指数运算性质求解.
【详解】因为，且，
所以有，则.
故答案为：.
32．（2025高一·全国·竞赛）整数m，n满足，则 ．
【答案】/
【分析】设，然后得到，列出方程求解即可.
【详解】设，则，故，即，
记，则，
解得（负值舍去），即,
故答案为：.
33．（2025高一·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ．
【答案】e
【分析】利用指数式和对数式互化和指数幂的运算求解.
【详解】解：，
所以．
故答案为：e．
34．（25-26高一·全国·课后作业）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解.
【详解】，则，则．
故答案为：
35．（2025高一·全国·课后作业）若，，则的值为 ．
【答案】/
【分析】将对数化为指数，结合指数幂运算求解.
【详解】因为，，则，，
所以．
故答案为：.
36．（25-26高三·天津·阶段练习）已知，计算（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可.
【详解】由题可得：,所以
故选：A
37．（2025·四川乐山·模拟预测）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可.
【详解】由可得，又因为，
所以，
故选：B.
38．（25-26高三·浙江·开学考试）已知，，则（ ）
A．0 B．2 C．-1 D．1
【答案】B
【分析】根据指对数转化，再应用指数运算律计算求解.
【详解】因为，所以，又因为，
所以，所以，
则.
故选：B.
39．（2025·山东临沂·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．11 B．12 C．16 D．17
【答案】D
【分析】由指对互化公式即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：D.
40．（2025高一·河南郑州·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先指数对数互化，再根据指数幂运算法则将进行变形，再结合已知条件进行计算.
【详解】根据指数幂运算法则，可得.
再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以.
已知，根据对数与指数的关系，可得.
同理，因为，所以.
将和代入中计算结果
把，代入可得：.
故选：D.
41．（2025高三·四川攀枝花·阶段练习）已知，，则（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据指数对数互化，结合指数幂的运算求解.
【详解】由题意，，
于是，
于是.
故选：D
42．（2025高三·山东泰安·期中）已知，，，且，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【答案】D
【分析】将对数式转化为指数式，结合指数运算，求解即可.
【详解】，故可得，又，则.
故选：D.
43．（2025高三·天津河西·期中）已知，，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解.
【详解】由可得，
所以，
故选：C
44．（2025高三·江苏南京·开学考试）已知，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【答案】D
【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案.
【详解】由，得，
故，
故选：D
45．（2025高二·福建南平·期末）若，，则（ ）
A．10 B．20 C．50 D．100
【答案】B
【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可.
【详解】因为，又因为可得,
所以.
故选：B.
46．（2025高二·北京·期末）已知，，则的值为（ ）
A．15 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得.
【详解】由，得，即，而，
所以.
故选：C
47．（2025高一·江西吉安·期末）设，，若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】令，利用指数和对数的关系可得，即，解关于的一元二次方程即可求解.
【详解】令，
则，，，所以，
即，解得或（负值舍去），
所以，
故选：D.
48．（2025高三·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果.
【详解】设，
则有，，，
可得，即，解得，
所以.
故选：D.
49．（2025高三·江苏南通·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将对数式化为指数式，然后两边平方即可得到，进而求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
故选：D.
50．（2025高一·四川达州·期末）已知，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，利用函数单调性建立关系求出的范围.
【详解】令，函数都是增函数，则函数是增函数，
由，得，即，因此，，
当时，.
故选：B
题型四 指对互化与单调性结合求值
核心是“同构转化+单调性定关系”。先通过指对互化将等式变形为同结构表达式，构造单调函数（如指数、对数函数）。利用函数单调性建立变量间的等式关系，锁定未知量范围。结合定义域限制和特殊值验证，排除不合理解。聚焦“变形同构—构造函数—单调定解”，快速打通条件与结论的联系。
51．（2025·全国·模拟预测）已知，，则 ．
【答案】
【分析】根据等式结构特征先利用换元法化简等式形式为，，然后通过两等式的联系（均可化为形式），构造函数研究出m与n的关系，从而建立x与y的关系，进而求出.
【详解】令，，则，，
由题可得，，
所以，.
因为函数在上单调递减，所以.
由，得，
得，故.
故答案为：.
52．（2025·四川·模拟预测）已知实数满足下列等式，则 .
【答案】1
【分析】构造函数，结合单调性即可求解.
【详解】因为，即，
得，而化简得，
即，构造函数，
由于在都为增函数，
所以在为单调递增函数，
又知，所以，
解得，，所以.
故答案为：.
53．（2025高一·湖北·阶段练习）已知实数，满足，，则 .
【答案】
【分析】将条件变形，然后构造函数，结合单调性即可求解.
【详解】因为，得，而化简得，
即，
即，构造函数，
由于在都为增函数，
所以在为单调递增函数，
又知，所以，
解得，，所以.
故答案为：.
54．（2025高一·上海松江·期末）同构式通俗讲是结构相同的表达式，如: ， 称 与 为同构式. 已知实数 满足 ， 则 .
【答案】3
【分析】将化为，再利用同构式及函数单调性求得答案.
【详解】函数在R上单调递增，且，
由，得，则，
即，因此，则，
所以.
故答案为：3
55．（25-26高三·福建·阶段练习）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将两个方程化简变形，构造函数，结合函数单调性可得与的关系，即可得解.
【详解】由已知，，，，
则，且，即，
设函数，可知函数在上单调递增，
则，则，即，
所以，
故选：D.
题型五 指对互化比较大小
将不同形式的指数、对数通过互化转化为同底数，或借助中间量（如 0、1）拆分比较。对无法直接互化的，可转化为同一函数的函数值，利用函数单调性判断大小，优先选择常用底数（如 2、10、e）简化运算，清晰梳理比较逻辑。
56．（25-26高一·新疆·期中）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化，结合幂函数的性质比较大小.
【详解】由，设，
则，于是，
因函数在上为增函数，由，可得，
又因函数在上为增函数，由，可得，
故.
故选：B
题型六 指对互化的实际应用
先根据实际问题提炼等量关系，建立指数或对数模型，再通过指对互化将模型转化为可求解的方程。
57．（2025高一·全国·课后作业）声强是表示声波强度的物理量，记作．由于声强的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级，其中，声强级的单位是贝尔，贝尔又称为1分贝．生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康．根据所给信息，可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的 倍．
【答案】
【分析】由题意分别求出90分贝声强级的声强与30分贝声强级的声强，作比即可.
【详解】设90分贝声强级的声强为，由得，
设30分贝声强级的声强为，由得，
所以，即90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的倍，
故答案为：
58．（2025高三·湖南·阶段练习）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好的通风环境下时，室内甲醛浓度y（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N）（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）（ ）
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
【答案】A
【分析】先代入t=0计算出值写出函数关系，再根据规范写出函数表达式解出时间t.
【详解】依题意可知当t=0时，y=6.05，即0.05+=6.05，=6，所以，
由，得，解得t≥ln120=3ln2+ln3+ln5≈4.8，至少需要放置的时间为5周.
故选:A
59．（2025·北京）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
60．（2025高三·福建宁德·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ）
A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃
【答案】C
【分析】由题意得到，进而求解即可.
【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min代入题中式子得：
，即，即.
故选：C.
1
