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答题模板01指数函数，对函数及性质
题型01 指对函数基本性质及定义域问题
.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
四步 内容
理解 题意 条件.已知函数的定义域为求：函数的定义域为
思路 探求 利用定义域，从而求的定义域，但是要考虑到对数函数的真数大大于0 函数定义域
书写 表达 由函数的定义域为， 知 ，所以，这意味着函数 的定义域为 ； 现在考虑函数 定义域，其自变量需同时满足以下条件： ，解得：. 故答案为：
题后 反思 函数定义域指的是函数中自变量的范围，即保证同函数名括号里面的范围一致，另外注意常见的根式以及分式问题
利用定义证明函数单调性的步骤
1 同函数名的函数务必保证括号里面的范围及时一致的。
2 函数的定义域指的是自变量一般是x 的取值范围，利用自变量的范围求出括号里面的范围
3 注意题目中是否含有分式，根式等，最后取交集。
已知函数的值域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】首先由的值域为求出函数的定义域，进而求得的定义域.
【详解】因为的值域为，可得，即，
所以的定义域为，
故函数应满足，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意解决一元二次不等式恒成立问题，根据对数函数和二次函数的性质求得结果即可．
【详解】由题意可得在上恒成立，
时，不等式为，恒成立；
时，应满足
解得，
综上知，的取值范围是．
故答案为：．
．已知函数，则的定义域为 ．
【答案】
【分析】先根据已知函数的解析式得的定义域，进而可得的定义域.
【详解】要使函数有意义，则，解得或.
所以函数的定义域为.
所以要使函数有意义，则或，即或.
故函数的定义域为.
故答案为：
题型02 指对函数（复合函数）单调性问题
已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围．
四步 内容
理解 题意 ．；结论:求函数的单调区间及最值
思路 探求 （1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围
书写 表达 （1）当时，， 对任意的恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故． （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得． 因此，实数的取值范围是
题后 反思 复合函数单调性首先考虑定义域，然后利用同增异减的原则判断复合函数单调性及对应的取值
复合函数单调性首先考虑定义域，然后利用同增异减的原则判断复合函数单调性及对应的取值
已知定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)证明：在上单调递增；
(3)若对任意的，都有，求的最大值.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)4
【详解】（1）题意可得，解得.
因为，所以，解得.
经验证，符合题意.
（2）证明：由（1）可知.
任取，则.
因为，所以，则，即.
故在上单调递增.
（3）不等式等价于.
因为为奇函数，所以.
因为在上单调递增，所以，即.
因为，所以，
解得，即的最大值为4.
已知函数．
(1)若函数有最大值为1，求的值；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为在上单调递减，有最大值为1，
所以有最小值，
故且，解得；
（2）由题意得，
因，则，，则，
而，使得，则，
若，则，符合题意；
若，则，则，解得；
若，则，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
．已知函数为奇函数.
(1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，单调递增，；(2).
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，所以，
所以，
，所以符合函数是奇函数，所以；
因为单调递增，单调递减，
所以单调递增，
因为，所以，
所以，所以，解集为：.
（2），，所以，
所以，
令，所以，，
当时，，
所以，即.
．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并证明；
(3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)在上是递减函数，证明见解析
(3).
【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值.
（2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证.
（3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得，
则，
所以.
（2）由（1）知，函数在上是递减函数，
任取，且，，
由，得，则，，即，
所以是定义在上的递减函数.
（3）由，得，
由（2）知，是上的递减函数，则，即，
依题意，对任意的恒成立，
而，则，当且仅当，即时取等号，
因此，所以实数的取值范围是.
题型03指对函数的值域问题
设常数，函数，.
(1)当时，求函数的值域.
(2)若函数的最小值为0，求的值
四步 内容
理解 题意 根据复合型指数函数在定区间上的值域以及最值问题
思路 探求 1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可
书写 表达 （1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：．
题后 反思 对于复合型函数的值域问题，利用换元的方法求出函数在对应区间上的单调性，利用单调性从而求出函数的值域
对于复合型函数的值域问题，利用换元的方法求出函数在对应区间上的单调性，利用单调性从而求出函数的值域。易错点务必考虑到定义域。
已知函数 .
(1)当 时，求函数的值域；
(2)对 ，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由对数的运算化简，再令进行换元，转化为二次函数的值域性问题；
（2）根据对数运算性质，不等式转化为，再分、进行讨论，结合参变分离及函数单调性即可求解.
【详解】（1），
令，，
则，
所以函数的值域为.
（2），
令，
则不等式化为在上恒成立，
时，成立，
时，，
又在上单调递减，
所以.
综上，.
已知函数．
(1)当时，求该函数的取值范围；
(2)若，则方程有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）令，利用换元的思想转化为求二次函数的值域问题即可；
（2）将问题转化为在上有解，进行参变分离，利用对勾函数的单调性进行求解．
【详解】（1），
令，
所以，
因为，所以
所以该函数的取值范围为
（2）由（1）知在上有解，
即在上有解，
所以．由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，
的值域是所以的取值范围为．
已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果；
（2）由函数单调性定义证明即可得出结论；
（3）分离参数可得在上恒成立，再由单调性求得最值可得.
【详解】（1）设的定义域为，
由题意得对于任意，都有恒成立，
即恒成立，
∴，∴，
当时，无意义；
当时，是定义域为的奇函数.
（2）在上单调递增.
证明：设，则
，
∵，
∴，
∴，∴，
∴在上单调递增.
（3）原不等式等价于，
令，，
由在上单调递增，
∴，
∴实数的取值范围为.
一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可；
（2），设，再利用二次函数性质即可求出其值域.
【详解】（1）由题意有，解得或，
当时，，此时，舍去；
当时，，满足．
（2）由题得，令，因为，则，
，，
，所以的值域为．
题型04指对函数的图象及性质综合
已知，，且，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
四步 内容
理解 题意 辨别图象
思路 探求 由已知，然后按和分类讨论结合的图象确定两个函数的单调性即可得
书写 表达 由，，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC.
题后 反思 根据函数辨别图象，应注意函数的一些性质及函数的奇偶性，还应注意函数的特殊值的验证
已知函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，再由函数值的特征，利用排除法判断即可.
【详解】函数的定义域为，
又，
所以为偶函数，则函数图象关于轴对称，故排除D；
当时，则
因为当时，，，所以；
当时，，，所以，故排除A、C.
故选：B
已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用奇偶性求对应参数a的值，再由指数型函数性质判断时的函数值符号，即可得答案.
【详解】由已知得，
若为偶函数，则恒成立，
所以恒成立，故，则，
所以时有，显然C对，D错；
若为奇函数，则恒成立，
所以恒成立，故，则，
所以时有，显然B对，A错；
故选：BC
已知且，函数，若在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、二次函数以及分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为且，函数在上单调递增，
函数在上单调递增；
函数在上单调递增，则；
由题意可得，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
题型05指对函数比较大小
已知，则（ ）
A． B．
C． D．
四步 内容
理解 题意 对于指数对数幂函数的形式的比较大小
思路 探求 对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.
书写 表达 因为， 又因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. ，，由于，，且函数在上单调递增， 所以，即. 综合以上两个比较结果，可得.
题后 反思 对于指对幂比较大小问题，一般借助于函数的单调性及临界值比较，需要转化成底数或者是指数一样比较比较。临界值一般是0.1或者是题目中相应的值。利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性，限定出各数的取值范围，再综合利用指数函数、幂函数单调性可得结论.
设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的单调性可得三者的大小关系.
【详解】因为，所以，
又，，所以，
所以，
故选：D
已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为，
函数是减函数，
所以，
同理，函数是增函数，所以.
综上，可得.
故选：B
已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性可得，再由指数函数以及幂函数性质可判断，可得结论.
【详解】因为，所以，可得；
则，即，
又，即，
易知指数函数单调递减，可得，
又幂函数单调递增，可知，
即可得；
因此可得.
故选：D
已知，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数和对数运算，先估算出的取值范围，再用对数运算来估算和，即可得到判断.
【详解】由换底公式等价变形得：，
因为，两边取以7为底的对数可得：，
又因为，两边取以7为底的对数可得：，
可知，
由，可得，
由，可得，
从而可得，故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是借助已知数据和指数对数运算，可以估算出，从而可以让与有理数进行大小比较.
题型06 指对函数恒成立能成立问题
已知函数
(1)若，求的值;
(2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增;
(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
四步 内容
理解 题意 指对函数中的不等式恒成立，能成立问题
思路 探求 （1）先求得，然后求得. （2）根据函数单调性的定义进行证明. （3）根据函数的单调性化简题目所给不等式，分离常数，然后利用换元法以及函数的单调性来求得的取值范围.
书写 表达 （1），， （2）证明：任取，，且， 则 ，，，， 故，即，所以在上单调递增. （3）， 由（2）可知，在上单调递增， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， ，，令 只要存在，使得成立， 即，，函数在上单调递增， ，
题后 反思 ：遇到此类问题，先根据已知对数等式求出自变量的值，再将其代入函数，利用对数性质计算函数值. 小问 2：证明函数单调性，按照定义，先设出两个自变量，作差并化简变形，再根据函数性质判断差的正负，得出函数单调性结论. 小问 3：对于存在性不等式问题，先利用函数表达式化简不等式，再根据函数单调性去掉函数符号，通过换元转化为常见函数的最值问题，最后利用函数单调性求出最值，进而得到参数的取值范围. .
已知函数，.
(1)若，证明：为偶函数；
(2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值；
（ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据偶函数的定义，即可证明；
（2）（ⅰ）首先求的取值范围，再讨论的取值，求函数的最小值；（ⅱ）不等式转化为，结合（ⅰ）的结论，求函数的最小值，即可求解不等式.
【详解】（1）时，，定义域为，且，
所以函数是偶函数；
（2）（ⅰ）当时，，
当时，，得，在区间单调递减，最小值时取得，为2，所以，的对称轴是，
当时，即时，函数单调递增，最小值是，所以函数的最小值是
当时，即，函数的最小值是，的最小值是，
综上可知，当时，的最小值是，时，的最小值是
（ⅱ）由题意可知，，
，，设，则，
函数的最小值是，
由（ⅰ）可知，当时，的最小值是，，成立，
当时，的最小值是，则
则，，则，
综上可知，
已知函数，其中，且．
(1)求函数的定义域；
(2)已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)当，定义域为；当时，定义域为
(2)
【分析】（1）根据指数函数的单调性，分情况求出函数定义域；
（2）先求出，然后参变分离，问题转化成，求出不等式左边的最小值即可.
【详解】（1）设，由题知，即，
根据指数函数的单调性，
当时，由，解得；
当时，由，解得.
综上，当，定义域为；当时，定义域为
（2）时，即，即，解得，
由于，此时，
，
则，
即，
即，
即，
设，
令，则，
此时，
根据对勾函数的单调性，在上递减，
注意到，则在取得最大值，即，
则，此时，则
已知，其中为奇函数，为偶函数．
(1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）；
(2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，在上单调递增
(2)
(3)
【分析】（1）利用函数的奇偶性，构成方程组即可求解；
（2）由已知，对于任意的实数，成立，即，即转化为求函数最小值，即可求得实数的取值范围；
（3）由（1）知，，可得，由存在，，即可求得实数的取值范围．
【详解】（1）因为①，为奇函数，为偶函数，
则，即②，
联立①②，得，，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增.
（2）由（1）得单调递增，
因为，所以，
整理得对于任意的成立，则，
令，则，
当且仅当时，即时取等号，所以.
（3）由（1）知，，，
则
，
令，则，
则原题目转化为存在，使得成立，
当，成立，当时，，
综上，.
一、单选题
1．函数是对数函数，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值.
【详解】由解得或，又，且，所以
故选：B.
2．函数是指数函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案.
【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是．
故选：C
3．已知，若存在实数x，y，使成立，则t的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可得解.
【详解】由，，得，
当且仅当时取等号，由存在实数x，y，使成立，得，
所以t的最小值为.
故选：A
4．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可．
【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称，
且，∴函数为奇函数，故C错误；
又∵，故D错误；
当时，，故B错误,A正确.
故选：A．
5．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数和对数函数的性质，结合已知条件分析的取值范围，从而求解．
【详解】，底数，
对数函数单调递减，
又，，
，底数，
指数函数单调递增，
又，，
，底数，
指数函数单调递减，
又，．
，
故选：C．
6．已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（ ）
A．-4 B．0 C．32 D．60
【答案】B
【分析】先求出A，再利用换元法将化为，结合二次函数性质即可求得答案.
【详解】令，解得，故函数的定义域是，
令，由于，故，
则即为函数，
而，
当时，取最大值，
即函数的最大值是0，
故选：B
7．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可；
【详解】令，则，则原函数可化为，
因为，所以，当且仅当即时取等号，
所以当时，；当时，，
所以函数的值域为；
故选：C.
8．设函数，若为上单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合指数函数与二次函数单调性及其图象即可得.
【详解】由在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
故有，画出和图象如图：
则该不等式组解集为，
故实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．在上单调递增
C．的图象关于对称 D．的值域为
【答案】BCD
【分析】对A，根据函数解析式求出定义域判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用函数的对称性判断；对D，求出在上的值域，再利用对数函数的单调性求解.
【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误；
对于B，因为，设，
因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零，
根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确；
对于C，因为该函数的定义域关于对称，
且，
故函数的图象关于对称，故C正确；
对于D，因为在上的值域为，
所以的值域为，即，故D正确.
故选：BCD.
10．若，则以下大小关系可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】先对等式取对数，可得到类似的式子，通过都是正数，和都是负数，讨论即可.
【详解】当都是正数，由可得（其中），
因为，所以，故，
所以，即，故A选项可能成立，
当都是正数，由于，取常用对数得：，
则，同时由于对数函数在定义域上是增函数，
进而，所以；
同理，进而，所以；
所以，故C选项可能成立，
当都是负数，由于，取常用对数得：，
同时由于对数函数在定义域上是增函数，
则，则，
则，则，
即，故B选项可能成立，
故选：ABC
11．若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由已知分两种情况，当时，，当时，，结合函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为，
所以当时，得，
所以在定义域内单调递减，且，
函数的定义域为，
且由简单函数，复合而成，
由复合函数的单调性可知在定义域范围内单调递减，
且当趋近于时，取得无穷小， 故B正确，D错误；
当时，得，
所以在定义域内单调递增，且，
当无穷小时，无限趋近于，
此时在内单调递增，
且当趋近于时，取得无穷大， 故C正确，A错误.
故选：BC.
12．下列比较大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对于A，结合幂函数和指数函数的 单调性比较；对于B，方法一：结合换底公式及，的单调性比较，方法二：利用同真数底数对图象的影响判断；对于C，引入中间值比较即可，对于D，，判断即可.
【详解】对于A，由幂函数在上为增函数，得，
又指数函数为减函数，则，从而，故A正确；
对于B，方法一：，，
又对数函数在上单调递增，则，
结合反比例函数在上单调递减，则，
即；
方法二：因为，利用底数对对数图象影响知，，故B错误；
对于C，引入中间值比较即可.对数函数与在上都单调递增，则.
指数函数为增函数，则，故，故C正确；
对于D，，，所以，故D错误，
故选：AC.
三、填空题
13．已知，，用含、的式子表示 ．
【答案】
【分析】借助对数运算法则计算即可得.
【详解】，，
则，故，，
则.
故答案为：.
14．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先由函数的单调性可得在上的值域，再由二次函数的图象和性质求出的范围即可.
【详解】当时，因为在上单调递增，所以；
当时，二次函数图象开口向下，对称轴为，
当时，在上单调递增，所以，
此时在R上的值域为，不合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，
此时在R上的值域为，若的值域为，所以，
又，解得，即的取值范围为，
综上，.
故答案为：
15．对，且的图象过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】由指数函数、对数函数的定点即可求解.
【详解】由题意，当时，
，
所以图象过定点，
故答案为：
16．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则a的最小值是 ．
【答案】1
【分析】由，画出其大致图象，根据解的个数及数形结合确定参数范围，即可得.
【详解】画出的图象，如下图所示，
因为方程有四个不同的解，故的图象与有四个不同的交点，
由图，，满足要求的，
所以的最小值是1.
故答案为：1
四、解答题
17．已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围；
(3)若的值域为，求实数的取值范围.
【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(2)
(3).
【分析】（1）根据复合函数单调性“同增异减”的判断法则，即可求解；
（2）根据题意，若的定义域为，则根据真数对一切实数恒成立，进行求解即可；
（3）根据题意，若的值域为，只需真数的值域包含，再解不等式，即可求解.
【详解】（1）因为当时，函数，
令，由，可得，
在区间上单调递增，在区间上单调递减.
又函数为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的判断法则，
可得在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）要使的定义域为，只需真数对一切实数恒成立.
①当，即时，
若，
显然，只有时，才有，不符合题意，；
若，则对一切实数都成立，满足题意.
②当时，对一切实数恒成立的充要条件是：
解得或.
综上，实数的取值范围是.
（3）要使的值域为，只需真数的值域包含.
①当，即时，
若，则，显然的值域包含满足题意；
若，则，不符合题意，.
②当时，必有
即解得.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题运用了复合函数单调性的判断法则、对数函数的值域和定义，并且还需要讨论一元二次函数的单调性和值域等知识点，考查较为综合.
18．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的值；
(2)求时解不等式；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，进而可得所求函数值；
（2）由奇函数的对称性可求上的解析式，再由指数函数的单调性可得不等式的解集.
（3）将不等式进行参数分离，进而转化为函数的最大值问题，再根据函数的单调性可得.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
又当时，，所以，解得.
所以.
（2）由（1）得，当时，
设时，，且是定义在上的奇函数，
所以，
所以当时，，
所以，得，，即，
所以，得，由指数函数在上是单调递减函数，
所以得，解得.
故当时，不等式的解集为.
（3）当时，，由，
得，，，
由已知不等式恒成立，再由指数函数和都是上的单调递减函数，
所以函数在上单调递减，也在递减，
所以，所以.
故实数的取值范围为.
19．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求和实数的值；
(2)当时，若满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)0；2
(2)
【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数的性质，即可求得答案；
（2）判断函数的单调性，根据函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，即可求解.
【详解】（1）由题意知函数是定义在上的奇函数，
故，且，
则，
即得，则，故，
则，（舍）；
（2）由（1）可得，
函数在上单调递减，
时，函数在上单调递增，
故在上单调递减，
由可得，即，
则，即，解得，
即实数的取值范围为.
20．已知函数是定义域为的奇函数，.
(1)求的值；
(2)用定义法证明的单调性；
(3)当时，恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用奇函数性质得，进而解得即可.
（2）利用定义法得到函数的单调性即可.
（3）利用奇函数性质得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式求解参数范围即可.
【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，
所以，得，
又，即，解得，
则，经检验符合题意.
（2）由已知得，则，
任取，且令，则
，得到，
故，则是减函数.
（3）由题意得在时恒成立，
因为是单调递减的奇函数，
所以，即在时恒成立，
得到，且令，即恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
得到，得到，即.
21．已知函数．
(1)若，求的定义域；
(2)若在上单调递增，求的取值范围；
(3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解.
（2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解.
（3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围.
【详解】（1）若，则，令，得，
故的定义域为．
（2）令，则.
因为函数是上的增函数，在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的判断方法可得：
函数在上单调递增,且在上恒成立，
所以，解得.
故的取值范围为.
（3）因为对任意，存在，使得不等式成立，
所以.
令，，因为，
所以，.
又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
所以当时，函数有最小值，故当时，.
所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立，
故对于任意恒成立.
又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
故，即的取值范围为．
22．已知函数在上是单调递减函数（且），从以下三个条件中选择两个作为已知，使函数存在.并回答以下问题.条件①函数为奇函数；②；③.
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式；
(3)设函数，若对于任意的，都存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）因递减，②③不同时成立，必有①奇函数.由及单调性选②，用求，代入值求.
（2）根据奇函数性质和单调性得关系，解出范围.
（3）由，根据递减求，由二次函数性质得到，进而求.
【详解】（1）因为在上是单调递减函数，
故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数.
因为函数的定义域为，所以，则，故一定满足②
选择①②，，即，
而，解得.
.
（2），所以，
又因为为奇函数，所以.
在上单调递减，所以，即，
解得，不等式的解集为.
（3）由条件可知，.
因为在上单调递减，当时，，
开口向上，对称轴为，
时，，所以，得
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答题模板01指数函数，对函数及性质
题型01 指对函数基本性质及定义域问题
.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
四步 内容
理解 题意 条件.已知函数的定义域为求：函数的定义域为
思路 探求 利用定义域，从而求的定义域，但是要考虑到对数函数的真数大大于0 函数定义域
书写 表达 由函数的定义域为， 知 ，所以，这意味着函数 的定义域为 ； 现在考虑函数 定义域，其自变量需同时满足以下条件： ，解得：. 故答案为：
题后 反思 函数定义域指的是函数中自变量的范围，即保证同函数名括号里面的范围一致，另外注意常见的根式以及分式问题
利用定义证明函数单调性的步骤
1 同函数名的函数务必保证括号里面的范围及时一致的。
2 函数的定义域指的是自变量一般是x 的取值范围，利用自变量的范围求出括号里面的范围
3 注意题目中是否含有分式，根式等，最后取交集。
已知函数的值域为，则函数的定义域为 .
已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ．
已知函数，则的定义域为 ．
题型02 指对函数（复合函数）单调性问题
已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围．
四步 内容
理解 题意 ．；结论:求函数的单调区间及最值
思路 探求 （1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围
书写 表达 （1）当时，， 对任意的恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故． （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得． 因此，实数的取值范围是
题后 反思 复合函数单调性首先考虑定义域，然后利用同增异减的原则判断复合函数单调性及对应的取值
复合函数单调性首先考虑定义域，然后利用同增异减的原则判断复合函数单调性及对应的取值
已知定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)证明：在上单调递增；
(3)若对任意的，都有，求的最大值.
已知函数．
(1)若函数有最大值为1，求的值；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
．已知函数为奇函数.
(1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并证明；
(3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
题型03指对函数的值域问题
设常数，函数，.
(1)当时，求函数的值域.
(2)若函数的最小值为0，求的值
四步 内容
理解 题意 根据复合型指数函数在定区间上的值域以及最值问题
思路 探求 1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可
书写 表达 （1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：．
题后 反思 对于复合型函数的值域问题，利用换元的方法求出函数在对应区间上的单调性，利用单调性从而求出函数的值域
对于复合型函数的值域问题，利用换元的方法求出函数在对应区间上的单调性，利用单调性从而求出函数的值域。易错点务必考虑到定义域。
已知函数 .
(1)当 时，求函数的值域；
(2)对 ，不等式恒成立，求实数的取值范围.
已知函数．
(1)当时，求该函数的取值范围；
(2)若，则方程有解，求实数的取值范围．
已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，求在上的值域.
题型04指对函数的图象及性质综合
已知，，且，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
四步 内容
理解 题意 辨别图象
思路 探求 由已知，然后按和分类讨论结合的图象确定两个函数的单调性即可得
书写 表达 由，，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC.
题后 反思 根据函数辨别图象，应注意函数的一些性质及函数的奇偶性，还应注意函数的特殊值的验证
已知函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
已知且，函数，若在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型05指对函数比较大小
已知，则（ ）
A． B．
C． D．
四步 内容
理解 题意 对于指数对数幂函数的形式的比较大小
思路 探求 对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.
书写 表达 因为， 又因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. ，，由于，，且函数在上单调递增， 所以，即. 综合以上两个比较结果，可得.
题后 反思 对于指对幂比较大小问题，一般借助于函数的单调性及临界值比较，需要转化成底数或者是指数一样比较比较。临界值一般是0.1或者是题目中相应的值。利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性，限定出各数的取值范围，再综合利用指数函数、幂函数单调性可得结论.
设，，，则（ ）
A． B． C． D．
已知，则（ ）
A． B．
C． D．
已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
已知，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型06 指对函数恒成立能成立问题
已知函数
(1)若，求的值;
(2)根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增;
(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
四步 内容
理解 题意 指对函数中的不等式恒成立，能成立问题
思路 探求 （1）先求得，然后求得. （2）根据函数单调性的定义进行证明. （3）根据函数的单调性化简题目所给不等式，分离常数，然后利用换元法以及函数的单调性来求得的取值范围.
书写 表达 （1），， （2）证明：任取，，且， 则 ，，，， 故，即，所以在上单调递增. （3）， 由（2）可知，在上单调递增， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， ，，令 只要存在，使得成立， 即，，函数在上单调递增， ，
题后 反思 ：遇到此类问题，先根据已知对数等式求出自变量的值，再将其代入函数，利用对数性质计算函数值. 小问 2：证明函数单调性，按照定义，先设出两个自变量，作差并化简变形，再根据函数性质判断差的正负，得出函数单调性结论. 小问 3：对于存在性不等式问题，先利用函数表达式化简不等式，再根据函数单调性去掉函数符号，通过换元转化为常见函数的最值问题，最后利用函数单调性求出最值，进而得到参数的取值范围. .
已知函数，.
(1)若，证明：为偶函数；
(2)（i）若时恒有意义，求函数的最小值；
（ii）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围.
已知函数，其中，且．
(1)求函数的定义域；
(2)已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围．
已知，其中为奇函数，为偶函数．
(1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）；
(2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
一、单选题
1．函数是对数函数，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数是指数函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若存在实数x，y，使成立，则t的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
4．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（ ）
A．-4 B．0 C．32 D．60
7．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数，若为上单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．在上单调递增
C．的图象关于对称 D．的值域为
10．若，则以下大小关系可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列比较大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知，，用含、的式子表示 ．
14．已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
15．对，且的图象过定点，则点的坐标为 .
16．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则a的最小值是 ．
四、解答题
17．已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若的定义域为，求实数的取值范围；
(3)若的值域为，求实数的取值范围.
18．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的值；
(2)求时解不等式；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求和实数的值；
(2)当时，若满足，求实数的取值范围.
20．已知函数是定义域为的奇函数，.
(1)求的值；
(2)用定义法证明的单调性；
(3)当时，恒成立，求实数k的取值范围.
21．已知函数．
(1)若，求的定义域；
(2)若在上单调递增，求的取值范围；
(3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
22．已知函数在上是单调递减函数（且），从以下三个条件中选择两个作为已知，使函数存在.并回答以下问题.条件①函数为奇函数；②；③.
(1)求的解析式；
(2)解关于的不等式；
(3)设函数，若对于任意的，都存在，使得，求实数的取值范围.
1
