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答题模板01：三角恒等变换
题型01 定义法求三角函数的值
（25-26高三上·福建泉州·期中）将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：锐角α的顶点在原点、始边为x轴非负半轴，其终边逆时针转后，终边与单位圆交于点. 待求目标：的值. 关键限制：α是锐角，故.
思路 探求 关联知识点：单位圆上点的坐标与三角函数的关系、两角差的余弦公式. 解题逻辑： 1.由点P的坐标，得对应的余弦、正弦值. 2.将表示为，利用两角差的余弦公式展开计算.
书写 表达 由题意可得：，， 所以. 故选：A.
题后 反思 易错点：忽略α是锐角，未关注的范围（），可能混淆三角函数值的符号. 注意点：两角和差公式的符号需准确记忆，避免公式误用.
三角函数的定义（单位圆上点的坐标与三角函数值的对应关系）.
两角差的余弦公式（）.
角的范围对三角函数值符号的影响.
（25-26高三上·山东青岛·期中）若角的终边上有一点，且，则 ；
（25-26高三上·河北·月考）在平面直角坐标系中，已知锐角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的纵坐标为.若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
（25-26高三上·北京·月考）在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（ ）
A． B． C． D．
题型02 商数关系与平方关系求值
（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知在中，，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：在中，角满足. 待求目标：判断关于、、的四个选项正确性. 关键限制：角是的内角，故.
思路 探求 关联知识点：同角三角函数平方关系、三角形内角的三角函数符号 解题逻辑： 1.对平方，结合求. 2.根据的符号，判断的范围（确定、符号）. 3.计算并开方，得到的值. 4.联立方程解出、，验证选项.
书写 表达 由题意知，化简得， 解得，因为在中,所以，即， 因为，所以， 联立方程组可得，解得，，，所以AB错误，CD正确.
题后 反思 易错点：未结合三角形内角范围判断三角函数符号，导致开方取错符号. 注意点：利用平方关系求三角函数值时，需结合角的范围确定符号，避免结果偏差.
同角三角函数基本关系（）.
三角形内角的三角函数符号（时，，符号由的类型决定）.
方程法联立求、.
（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值．
（3）已知，且，求的值；
【多选题】（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
题型03 弦化切/切化弦
（24-25高一下·江西上饶·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
四步 内容
理解 题意 已知条件：. 待求目标：(1)的值；(2)的值.
思路 探求 (1)分子分母为、的一次齐次式，同时除以，转化为的表达式，代入已知值计算. (2)先利用诱导公式化简、，再将式子转化为与的二次齐次式，除以转化为的表达式，代入计算.
书写 表达 （1）由题意得； （2） ．
题后 反思 易错点：诱导公式的符号记忆错误（如易误写为. 注意点：齐次式化简优先除以（一次）或（二次），转化为的式子可简化计算.
同角三角函数齐次式化简（一次、二次齐次式转化为的表达式）.
三角函数诱导公式（、）.
同角三角函数基本关系（）.
（25-26高三上·四川成都·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（ ）
A． B． C．4 D．6
（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ， ．
题型04 整体代换法诱导公式化简求值
（25-26高三上·重庆·月考）已知 ，则 .
四步 内容
理解 题意 已知条件：. 待求目标：的值.
思路 探求 凑配角的关系：将表示为. 利用诱导公式，将已知正弦式转化为待求余弦式.
书写 表达 由题意知，故. 故答案为：
题后 反思 易错点：角的凑配错误，或诱导公式的符号记忆偏差. 注意点：先观察已知角与待求角的和差关系，再选择对应诱导公式转化，简化计算.
三角函数诱导公式（）.
三角函数的角凑配技巧（将已知角表示为待求角与特殊角的和差）.
（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，且，则 ．
（24-25高一下·广东湛江·月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
（25-26高一上·河北保定·开学考试）已知，则 ．
题型05 正用两角和（差的公式）
已知，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：①α、β均为锐角（0＜α、β＜）；②；③. 所求目标：计算的值，选项为A．、B．、C．、D．。 隐含信息：由α、β为锐角，得0＜α+β＜π；两个已知等式含和.
思路 探求 1.消元求：两个已知等式均含（不为0），相除可消去，直接得到. 2.平方和求：对两个等式平方后相加，利用，提取公因式，求解. 3.求和：由结合，结合α为锐角，求出两者具体值. 4.套用和角公式：利用，先求，再代入所有已知量计算，对照选项得答案.
书写 表达 1.求的值 已知，，因为锐角，，两式相除： 约分后得： 2.求的值 对两已知等式平方后相加： 左边提取公因式，结合： 化简计算： 因为锐角，，故： 3.求、的值 由，得，代入： 因为锐角，，故： 进而得： 4.求的值 因为锐角，结合： 5.求的值 由两角和的余弦公式： 代入已知值计算： 化简得： 6.结论：答案选B.
题后 反思 核心突破口：利用“相除消元”和“平方和消元”，将含两个角的乘积式转化为单个角的三角函数值，避免求解α、β具体度数，大幅简化运算. 易错点提醒：①需先验证题目数值合理性（锐角三角函数乘积必在0~1之间），纠正可能的笔误；②和角余弦公式符号易混淆，牢记“”（减号连接）；③角度范围是确定三角函数值符号的关键，锐角保证、均为正，无需考虑负根.
核心思想：①消元思想（相除消去，平方和消去的三角函数）；②转化与化归思想（将未知的转化为已知的、、、）；③公式法（灵活套用同角三角函数关系和和角公式）.
适用场景：此类“已知、（或、），求和角/差角三角函数值”的题型，均可用“相除求正切+平方和求公共因子+公式套用”的固定思路。
通用技巧：①遇到含“同一角的余弦/正弦与另一角的正弦/余弦乘积”的两个等式，优先相除求正切，平方和求公共三角函数值；②牢记和角/差角公式的符号规律，可简记为“和减，和加”；③计算时先化简根式和分数，避免后期运算繁琐.
（2024·黑龙江大庆·一模）已知，且，则（ ）
A．-1 B． C． D．
（2025·河南新乡·三模）已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
（23-24高一下·福建莆田·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
题型06 二倍角公式
设，若，则 .
四步 内容
理解 题意 已知条件：①；②. 所求目标：计算的具体数值. 隐含信息：在时，，故；可通过“平方转化”关联与.
思路 探求 1.平方转化：对平方，转化为含、和的式子。 2.公式衔接：利用和二倍角公式，化简平方结果。 3.代入计算：将代入，求出平方后的数值. 4.确定符号：根据的范围判断的正负，开方得到最终结果.
书写 表达 1.对所求式进行平方转化 2.代入核心公式化简 由同角三角函数基本关系，及二倍角公式，代入上式得： 3.代入已知条件计算 已知，代入化简式： 4.确定符号并开方 因，在此区间内，故. 对开方并取负号，分母有理化得：
题后 反思 核心突破口：通过“平方转化”避开直接求解和，利用二倍角公式快速关联已知与未知，简化运算. 易错点：①忽略的范围导致符号判断错误，误取正根；②根式化简不彻底，未将化为. 优化空间：无需额外推导公式，直接套用的核心等价关系，可进一步缩短解题步骤.
核心思想：平方转化思想（将线性式转化为二次式，适配二倍角公式）.
适用场景：已知（或），求，且给出角的范围（用于确定符号）的题型.
通用技巧：①牢记核心等价公式，直接套用无需重复推导；②先求平方值再根据角的范围定符号，避免直接求解单个三角函数值；③结果需分母有理化，确保格式规范.
（24-25高三上·河北·阶段练习）若，则 .
（25-26高三上·山东德州·阶段练习）已知，则 ．
（2025·陕西·模拟预测）已知为第一象限角，，则= ．
题型07公式的逆用
若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
四步 内容
理解 题意 已知条件：①；②无额外三角函数值，需利用两角和正切关系求解。 所求目标：计算的值 隐含信息：，可通过正切和角公式建立与的关系，整体代换推导.
思路 探求 1.直接求：由得值为1. 2.套用正切和角公式：建立与的等式。 3.变形推导：整理等式得到. 4.因式分解：将所求式展开，代入上述关系计算结果.
书写 表达 1.由，得. 2.由正切和角公式：，代入得： 3.移项得：. 4.展开所求式：，代入上式得： 5.结论：答案选D.
题后 反思 核心突破口：将所求式展开后，与正切和角公式变形结果直接对接，避免单独求、，高效简洁. 易错点：易因排版歧义误判为比值，需结合公式逻辑与选项验证题型；正切和角公式的分母符号易混淆，牢记“1-”. 优化空间：无需额外推导，直接利用“时，”的结论，可秒解同类题.
核心思想：整体代换思想（不求解单个角的三角函数值，利用两角和关系整体推导）+公式变形思想（适配所求式的展开形式）.
适用场景：已知（），求的题型.
通用技巧：①牢记结论：若，则；②遇到两角和为特殊角（正切值易求），优先套用和角公式变形，再结合所求式结构推导
（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（ ）
A． B． C． D．
（25-26高二上·吉林白城·阶段练习）化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
（25-26高三上·重庆·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
题型08三角函数的化简求值
已知，则
四步 内容
理解 题意 已知条件：（含余弦差角与正弦的方程）. 所求目标：计算的具体数值. 隐含信息：可通过余弦差角公式化简已知方程，发现与的倍数关系，利用整体代换求解，无需单独求.
思路 探求 1.化简已知方程：利用余弦差角公式展开，整理得到含的单一三角函数式. 2.识别角度关联：发现化简结果对应，且. 3.套用二倍角公式：利用，代入化简后的值计算目标式.
书写 表达 1.展开余弦差角公式化简已知条件： 代入已知方程： 整理得： 2.识别化简结果： 左边为（余弦和角公式：），故： 3.套用二倍角公式求目标式： 因，由二倍角余弦公式： 代入：
题后 反思 核心突破口：通过和角/差角公式化简已知条件，识别出“目标角是中间角的二倍”，整体代换避免求解，大幅简化运算. 易错点：展开余弦差角公式时混淆系数或符号；未发现角度的二倍关系，盲目求、导致计算复杂. 优化空间：直接记忆“”这类常见组合，可快速跳过化简步骤.
核心思想：整体代换思想（将视为整体，关联已知与目标）+公式变形思想（灵活套用和角、二倍角公式）.
适用场景：已知三角函数方程，所求为二倍角形式，且目标角与已知化简后的角存在倍数关系的题型.
通用技巧：①牢记常见三角函数组合对应的和角/差角形式（如可化为或）；②观察角度倍数关系，优先用二倍角公式整体求解，避免冗余计算.
（2025·广东·模拟预测）已知，则 ．
（25-26高三上·山东临沂·阶段练习）已知，则 ．
（2025·河南·模拟预测）已知为第一象限角，，则 ．
题型09 三角函数求值或求角
已知，且及，求的值；
四步 内容
理解 题意 已知条件：①；②；③；④. 所求目标：计算的具体角度值. 隐含信息：需通过同角三角函数平方关系求和；的范围为，结合和角公式可唯一确定角度.
思路 探求 1.补全三角函数值：利用，结合、的范围确定和的符号并计算. 2.锁定角度范围：根据、的区间，缩小的可能范围，避免多解. 3.套用和角公式：计算（余弦在单调，易确定唯一角），结合值与范围得出结果.
书写 表达 由可得， 由，得， 则， 由于，所以.
题后 反思 核心突破口：先补全和，再利用和角余弦公式结合角度范围锁定唯一解，避免盲目求角. 易错点：①为负角，易误取正值；②忽略的范围，无法排除等干扰解
核心思想：补全信息思想（同角平方关系求未知三角函数值）+范围限定思想（排除多解）+公式法（和角公式直接套用）.
适用场景：已知两个角的单个三角函数值及角度区间，求两角和/差具体角度的题型.
通用技巧：①由角的范围优先确定三角函数值符号，再代入平方关系计算；②选择目标区间内单调的三角函数（如余弦在、正弦在）计算，方便锁定唯一解；③可通过正、余弦值双重验证，避免计算错误.
（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知，且均为锐角．
(1)求的值；
(2)求的值．
（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则 ．
（2025高一·全国·专题练习）已知，，且，则 ．
题型10 角的变换（角的拼凑）
已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：①α、β均为锐角（）；②；③. 所求目标：计算的值，选项为A．、B．、C．、D．. 隐含信息：，需先求和；可将拆分为，利用余弦差角公式求解，无需单独求、的具体角度.
思路 探求 1.求：利用同角三角函数平方关系，结合α为锐角确定符号. 2.求：由的范围和的值，判断的符号，再用平方关系计算. 3.拆角套用公式：将代入余弦差角公式. 4.代入计算：将已知值和求得的三角函数值代入公式，化简后对照选项得答案.
书写 表达 1.求的值 因为锐角，，由： 2.求的值 由，得. 因，，且，结合正弦函数在单调递减，可知，故. 由： 3.拆角并套用余弦差角公式 因，由余弦差角公式： 4.代入数值计算 将、、、代入： 化简得：
题后 反思 核心突破口：将未知角拆分为“已知和角与已知角的差”，通过差角公式转化为已知三角函数值的运算，简化求解过程. 易错点：①的符号判断错误（忽略且，误取正值）；②差角公式符号混淆（牢记，同号相加）. 优化空间：可通过的正弦值大小快速判断范围——因且，直接确定为钝角，无需额外推导.
核心思想：拆角转化思想（将未知角转化为已知角的和差）+符号判断思想（结合角度范围确定三角函数值符号）+公式法（灵活套用同角平方关系和差角公式）.
适用场景：已知一个角的三角函数值、两角和/差的三角函数值，且两角均为锐角（或有明确范围），求另一角的三角函数值.
通用技巧：①优先拆未知角为“已知和角/差角±已知角”，避免单独求角；②判断三角函数值符号时，结合角的范围和三角函数单调性（如正弦在递增、递减）；③计算时先保留根式，最后统一化简，避免分步计算出错.
（24-25高一下·四川广元·期末）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
（24-25高一下·云南大理·阶段练习）已知为钝角，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型11 辅助角公式
若，则（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：①；②；③. 所求目标：计算的值，选项为A．、B．、C．、D．. 隐含信息：利用平方消元，
思路 探求 根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得.
书写 表达 由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得.
题后 反思 核心突破口：通过角的转化与联立方程精准求解，避免因单一条件误判导致结果偏差. 易错点：①未核实题目条件细节（如根号缺失）易导致计算与选项脱节；②第三象限角的三角函数值符号需谨慎判断，公式应用时避免符号混淆.
核心思想：平方消元思想（消去无关角）+反向验证法（匹配选项修正条件）+公式精准应用.
适用场景：已知含两角的正弦、余弦线性方程及角差范围，且计算结果与选项不符时，需结合选项反向推导修正条件.
通用技巧：①平方消元是处理“双线性方程”的核心方法，需牢记交叉项对应的和差角公式；②反向验证时，将选项代入目标公式，推导所需的、，再核对是否满足原方程，高效锁定正确解.
（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型12 三角恒等变换的综合应用
设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：函数（），区间. 所求目标：函数在该区间恰有4个零点时，的取值范围（选项为分数区间）. 隐含信息：需先化简三角函数解析式（利用二倍角、辅助角公式），再通过零点条件转化为角度范围问题，结合三角函数零点规律求解.
思路 探求 1.化简函数：利用二倍角公式和辅助角公式，将化为单一余弦函数形式. 2.转化零点条件：令化简后的函数等于0，得到三角函数方程，明确零点对应的角度解. 3.锁定角度范围：根据，推导对应角度的取值区间，结合“恰有4个零点”确定角度边界. 4.求解：通过角度边界建立关于的不等式，解出取值范围.
书写 表达 1.化简函数解析式 利用二倍角公式，代入原式： 化简后（消去常数项，合并三角函数）： 由辅助角公式（此处），得： 2.转化零点条件 函数零点即，解得： 核心规律：余弦函数的零点为（），即。 3.推导角度取值区间 由，令，则： 要使区间内“恰有4个零点”，需包含前4个有效零点，且不包含第5个零点，故角度边界满足： 4.解不等式求 左边不等式： 右边不等式： 综上，（因为开区间，时第5个零点对应，不在区间内，实际可取等号，但结合选项规范，最终为开区间）.
题后 反思 核心突破口：将复杂三角函数化简为单一余弦函数，通过“角度范围对应零点个数”转化问题，避免直接求解x的零点表达式. 易错点：①化简时二倍角公式应用错误，导致函数形式偏差；②忽略角度区间的开闭性，误判零点是否包含边界；③未明确余弦函数零点的周期性规律，导致角度边界锁定错误. 优化空间：可通过“周期法”验证——函数周期，区间长度为，恰有4个零点需满足“2个周期多1个零点”，辅助验证角度范围的合理性.
核心思想：化简转化思想（复杂三角式→单一三角函数）+角度映射思想（x的区间→θ的区间）+边界锁定思想（零点个数→角度边界）.
适用场景：三角函数在指定区间内的零点个数问题，尤其含、的复合型函数。
通用技巧：①优先化简函数为或形式，简化零点分析；②明确三角函数零点的角度规律（→，→）.
（25-26高一上·全国·课前预习）函数的最大值为 ．
（2025·四川广安·模拟预测）已知函数 为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型13 三角恒等变换的化简问题
（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：三角函数表达式. 待求目标：化简该表达式并匹配选项.
思路 探求 第一步：将化为，通分整理括号内的式子. 第二步：提取分子的系数，利用和角公式将分子转化为单一三角函数. 第三步：结合的诱导公式，利用二倍角公式进一步化简.
书写 表达 1.替换为，原式变为： . 2.分子提取，并凑和角公式： 3.代入后化简： 原式. 由，，得： 原式.
题后 反思 易错点：通分后分子的系数提取错误，或和角公式的角度凑配偏差. 注意点：遇到优先化为通分，利用特殊角的三角函数值凑和角公式.
同角三角函数商数关系（）.
三角函数和角公式（）.
诱导公式（、）.
二倍角公式（）.
（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（ ）
A． B． C． D．
（21-22高一上·山西·期末）（ ）
A． B． C． D．
（20-21高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）求值：（ ）
A．1 B． C． D．
题型14 和差化积公式的应用
（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：，，. 待求目标：的值.
思路 探求 第一步：用二倍角公式将转化为的形式. 第二步：利用和差化积公式将转化为含、的式子. 第三步：结合求，进而求出. 第四步：求，再用半角公式计算.
书写 表达 1.用二倍角公式化简已知式： 故. 2.用和差化积公式： . 代入得，即. 3.求： 由，，得. 4.求： 代入，得，故. 5.求： 由，得. 6.用半角公式计算： .
题后 反思 易错点：和差化积公式的符号记忆错误，或忽略的范围导致三角函数符号错误. 注意点：先通过角的范围确定三角函数符号，再代入公式计算，避免结果偏差.
二倍角公式（）.
三角函数和差化积公式（）.
同角三角函数基本关系（）.
半角公式（）.
（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
.
一、单选题
1．（24-25高一下·四川成都·期末）的值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·河南驻马店·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知α为第四象限角，且，则 ， ．
10．（24-25高一下·山东东营·期末）已知，且，则 .
11．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则 .
12．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知，，则 ．
三、解答题
13．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知函数．
(1)若，求的最大值和最小值；
(2)设为锐角，且，求的值．
14．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，，其中，．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
15．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知锐角的顶点为直角坐标系的原点，始边为轴的非负半轴，终边过点.
(1)求；
(2)若，求.
16．（25-26高三上·江苏·期中）（1）化简：；
（2）已知，求的值．
（3）已知为锐角，．求的值．
17．（25-26高三上·江苏徐州·开学考试）已知方程.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．（25-26高三上·河南濮阳·阶段练习）求下列各式的值
(1)
(2)．.
19．（25-26高三上·福建·阶段练习）已知
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，求和的值．
20．（2025高三·全国·专题练习）已知，，
(1)求的值；
(2)求的值；
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答题模板01：三角恒等变换
题型01 定义法求三角函数的值
（25-26高三上·福建泉州·期中）将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：锐角α的顶点在原点、始边为x轴非负半轴，其终边逆时针转后，终边与单位圆交于点. 待求目标：的值. 关键限制：α是锐角，故.
思路 探求 关联知识点：单位圆上点的坐标与三角函数的关系、两角差的余弦公式. 解题逻辑： 1.由点P的坐标，得对应的余弦、正弦值. 2.将表示为，利用两角差的余弦公式展开计算.
书写 表达 由题意可得：，， 所以. 故选：A.
题后 反思 易错点：忽略α是锐角，未关注的范围（），可能混淆三角函数值的符号. 注意点：两角和差公式的符号需准确记忆，避免公式误用.
三角函数的定义（单位圆上点的坐标与三角函数值的对应关系）.
两角差的余弦公式（）.
角的范围对三角函数值符号的影响.
（25-26高三上·山东青岛·期中）若角的终边上有一点，且，则 ；
【答案】
【分析】根据公式,即可得解.
【详解】，即，解得.
由于,故，则.
故答案为：-1
（25-26高三上·河北·月考）在平面直角坐标系中，已知锐角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的纵坐标为.若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数定义求得，.，利用二倍角的余弦公式即可得到答案；
【详解】由题意，得，.
由，得，即，解得.
故选：B.
（25-26高三上·北京·月考）在平面直角坐标系中中，角以为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是，把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据已知条件求出，再根据与的关系得出，进而求出，最后利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】根据三角函数的定义可得：，
因为把的终边绕端点逆时针方向旋转弧度后得到，
所以，
所以，
因为角终边与单位圆交点的纵坐标是，
所以角的终边在第一象限或第二象限，
所以，即，
当时，
所以，
当时，所以，
综上所述，，
故选：B.
题型02 商数关系与平方关系求值
（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）已知在中，，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：在中，角满足. 待求目标：判断关于、、的四个选项正确性. 关键限制：角是的内角，故.
思路 探求 关联知识点：同角三角函数平方关系、三角形内角的三角函数符号 解题逻辑： 1.对平方，结合求. 2.根据的符号，判断的范围（确定、符号）. 3.计算并开方，得到的值. 4.联立方程解出、，验证选项.
书写 表达 由题意知，化简得， 解得，因为在中,所以，即， 因为，所以， 联立方程组可得，解得，，，所以AB错误，CD正确.
题后 反思 易错点：未结合三角形内角范围判断三角函数符号，导致开方取错符号. 注意点：利用平方关系求三角函数值时，需结合角的范围确定符号，避免结果偏差.
同角三角函数基本关系（）.
三角形内角的三角函数符号（时，，符号由的类型决定）.
方程法联立求、.
（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知条件两侧平方整理得，结合求出，即可得.
【详解】由题设，
所以，即，
而，则，
所以，即.
故选：A
（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值．
（3）已知，且，求的值；
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到；
（2）由题知，再将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果；
（3）结合同角三角函数关系解出方程即可.
【详解】（1）在第二象限，
，.
（2）因为，所以，
所以.
（3）因为，
等式两边同时平方可得，，
所以，又，
所以，又，
所以，则，，
所以，
所以.
【多选题】（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用同角三角函数的关系，结合正、余弦值的符号逐项计算判断.
【详解】由，得，所以，
又，所以，结合，
解得，所以.
故选：AC.
题型03 弦化切/切化弦
（24-25高一下·江西上饶·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
四步 内容
理解 题意 已知条件：. 待求目标：(1)的值；(2)的值.
思路 探求 (1)分子分母为、的一次齐次式，同时除以，转化为的表达式，代入已知值计算. (2)先利用诱导公式化简、，再将式子转化为与的二次齐次式，除以转化为的表达式，代入计算.
书写 表达 （1）由题意得； （2） ．
题后 反思 易错点：诱导公式的符号记忆错误（如易误写为. 注意点：齐次式化简优先除以（一次）或（二次），转化为的式子可简化计算.
同角三角函数齐次式化简（一次、二次齐次式转化为的表达式）.
三角函数诱导公式（、）.
同角三角函数基本关系（）.
（25-26高三上·四川成都·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角的余弦公式和同角的平方关系可得，结合切弦互化计算即可求解.
【详解】由题意知，，解得，
所以.
故选：D
（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【分析】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解.
【详解】根据诱导公式可得 ，
即 ，所以 ，
则，
因为，则，而又因为，
所以，
将 代入得： ；
故选：D
（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ， ．
【答案】 3 /
【分析】解法一：化弦为切将变为，将变为，然后把代入求解即可.
解法二：按照角的终边在第一、三象限分类讨论求出，代入和求解即可.
【详解】解法一：因为，所以；
．
解法二：因为，所以角的终边在第一、三象限，
在第一象限时，不妨设为锐角，则直角三角形的两直角边长分别为1，2，
则斜边长为，所以，有，
．
同理在第三象限时，，，有，
．
综上，．
故答案为：3；
题型04 整体代换法诱导公式化简求值
（25-26高三上·重庆·月考）已知 ，则 .
四步 内容
理解 题意 已知条件：. 待求目标：的值.
思路 探求 凑配角的关系：将表示为. 利用诱导公式，将已知正弦式转化为待求余弦式.
书写 表达 由题意知，故. 故答案为：
题后 反思 易错点：角的凑配错误，或诱导公式的符号记忆偏差. 注意点：先观察已知角与待求角的和差关系，再选择对应诱导公式转化，简化计算.
三角函数诱导公式（）.
三角函数的角凑配技巧（将已知角表示为待求角与特殊角的和差）.
（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知，且，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查三角函数诱导公式的应用，解题的关键在于找出与之间的关系，然后利用诱导公式进行化简求值.
【详解】因为，所以，所以
；
故答案为： .
（24-25高一下·广东湛江·月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助诱导公式计算即得.
【详解】.
故选：D.
（25-26高一上·河北保定·开学考试）已知，则 ．
【答案】
【分析】把看作整体，根据诱导公式五求解
【详解】设，由题意得，，
根据诱导公式五，.
故答案为：
题型05 正用两角和（差的公式）
已知，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：①α、β均为锐角（0＜α、β＜）；②；③. 所求目标：计算的值，选项为A．、B．、C．、D．。 隐含信息：由α、β为锐角，得0＜α+β＜π；两个已知等式含和.
思路 探求 1.消元求：两个已知等式均含（不为0），相除可消去，直接得到. 2.平方和求：对两个等式平方后相加，利用，提取公因式，求解. 3.求和：由结合，结合α为锐角，求出两者具体值. 4.套用和角公式：利用，先求，再代入所有已知量计算，对照选项得答案.
书写 表达 1.求的值 已知，，因为锐角，，两式相除： 约分后得： 2.求的值 对两已知等式平方后相加： 左边提取公因式，结合： 化简计算： 因为锐角，，故： 3.求、的值 由，得，代入： 因为锐角，，故： 进而得： 4.求的值 因为锐角，结合： 5.求的值 由两角和的余弦公式： 代入已知值计算： 化简得： 6.结论：答案选B.
题后 反思 核心突破口：利用“相除消元”和“平方和消元”，将含两个角的乘积式转化为单个角的三角函数值，避免求解α、β具体度数，大幅简化运算. 易错点提醒：①需先验证题目数值合理性（锐角三角函数乘积必在0~1之间），纠正可能的笔误；②和角余弦公式符号易混淆，牢记“”（减号连接）；③角度范围是确定三角函数值符号的关键，锐角保证、均为正，无需考虑负根.
核心思想：①消元思想（相除消去，平方和消去的三角函数）；②转化与化归思想（将未知的转化为已知的、、、）；③公式法（灵活套用同角三角函数关系和和角公式）.
适用场景：此类“已知、（或、），求和角/差角三角函数值”的题型，均可用“相除求正切+平方和求公共因子+公式套用”的固定思路.
通用技巧：①遇到含“同一角的余弦/正弦与另一角的正弦/余弦乘积”的两个等式，优先相除求正切，平方和求公共三角函数值；②牢记和角/差角公式的符号规律，可简记为“和减，和加”；③计算时先化简根式和分数，避免后期运算繁琐.
（2024·黑龙江大庆·一模）已知，且，则（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，再利用正切两角和公式求得，再结合，从而结合正切两角差公式即可求解.
【详解】由题意得，则，
又因为，所以，同号，
又因为，
则，同正，
所以，则，
所以，
所以，故D正确.
故选：D.
（2025·河南新乡·三模）已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解．
【详解】由已知得，则，
所以 ，
故选：D．
（23-24高一下·福建莆田·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数平方关系可得，利用两角和的正弦公式可求得结果.
【详解】，，，
.
故选：B.
题型06 二倍角公式
设，若，则 .
四步 内容
理解 题意 已知条件：①；②. 所求目标：计算的具体数值. 隐含信息：在时，，故；可通过“平方转化”关联与.
思路 探求 1.平方转化：对平方，转化为含、和的式子. 2.公式衔接：利用和二倍角公式，化简平方结果. 3.代入计算：将代入，求出平方后的数值. 4.确定符号：根据的范围判断的正负，开方得到最终结果.
书写 表达 1.对所求式进行平方转化 2.代入核心公式化简 由同角三角函数基本关系，及二倍角公式，代入上式得： 3.代入已知条件计算 已知，代入化简式： 4.确定符号并开方 因，在此区间内，故。 对开方并取负号，分母有理化得：
题后 反思 核心突破口：通过“平方转化”避开直接求解和，利用二倍角公式快速关联已知与未知，简化运算. 易错点：①忽略的范围导致符号判断错误，误取正根；②根式化简不彻底，未将化为. 优化空间：无需额外推导公式，直接套用的核心等价关系，可进一步缩短解题步骤.
核心思想：平方转化思想（将线性式转化为二次式，适配二倍角公式）.
适用场景：已知（或），求，且给出角的范围（用于确定符号）的题型.
通用技巧：①牢记核心等价公式，直接套用无需重复推导；②先求平方值再根据角的范围定符号，避免直接求解单个三角函数值；③结果需分母有理化，确保格式规范
（24-25高三上·河北·阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】先求出之间的关系式，然后将其代入原式中进行化简，然后根据求出，最后求得原式的值.
【详解】因为，所以，所以.
所以.
因为，所以.
所以.
故答案为：.
（25-26高三上·山东德州·阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据两角和的正弦公式，得到，结合倍角公式和三角函数的基本关系式，把化为“齐次式”，代入求知，即可求解.
【详解】由，
由，则，
，
所以.
故答案为：.
（2025·陕西·模拟预测）已知为第一象限角，，则= ．
【答案】
【分析】利用正切和角公式得到方程，结合所在象限求出，再由正切二倍角公式进行求解.
【详解】由，得，解得或．
又为第一象限角，所以，所以．
故答案为：
题型07 公式的逆用
若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
四步 内容
理解 题意 已知条件：①；②无额外三角函数值，需利用两角和正切关系求解. 所求目标：计算的值 隐含信息：，可通过正切和角公式建立与的关系，整体代换推导
思路 探求 1.直接求：由得值为1. 2.套用正切和角公式：建立与的等式. 3.变形推导：整理等式得到. 4.因式分解：将所求式展开，代入上述关系计算结果.
书写 表达 1.由，得. 2.由正切和角公式：，代入得： 3.移项得：. 4.展开所求式：，代入上式得： 5.结论：答案选D.
题后 反思 核心突破口：将所求式展开后，与正切和角公式变形结果直接对接，避免单独求、，高效简洁. 易错点：易因排版歧义误判为比值，需结合公式逻辑与选项验证题型；正切和角公式的分母符号易混淆，牢记“1-”. 优化空间：无需额外推导，直接利用“时，”的结论，可秒解同类题.
核心思想：整体代换思想（不求解单个角的三角函数值，利用两角和关系整体推导）+公式变形思想（适配所求式的展开形式）.
适用场景：已知（），求的题型.
通用技巧：①牢记结论：若，则；②遇到两角和为特殊角（正切值易求），优先套用和角公式变形，再结合所求式结构推导.
（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值.
【详解】
.
故选：B.
（25-26高二上·吉林白城·阶段练习）化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果.
【详解】易知 .
故选：A.
（25-26高三上·重庆·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用诱导公式变形，再根据余弦差角公式和特殊角三角函数值得到答案.
【详解】
.
故选：A
题型08 三角函数的化简求值
已知，则
四步 内容
理解 题意 已知条件：（含余弦差角与正弦的方程）. 所求目标：计算的具体数值. 隐含信息：可通过余弦差角公式化简已知方程，发现与的倍数关系，利用整体代换求解，无需单独求.
思路 探求 1.化简已知方程：利用余弦差角公式展开，整理得到含的单一三角函数式. 2.识别角度关联：发现化简结果对应，且. 3.套用二倍角公式：利用，代入化简后的值计算目标式.
书写 表达 1.展开余弦差角公式化简已知条件： 代入已知方程： 整理得： 2.识别化简结果： 左边为（余弦和角公式：），故： 3.套用二倍角公式求目标式： 因，由二倍角余弦公式： 代入：
题后 反思 核心突破口：通过和角/差角公式化简已知条件，识别出“目标角是中间角的二倍”，整体代换避免求解，大幅简化运算. 易错点：展开余弦差角公式时混淆系数或符号；未发现角度的二倍关系，盲目求、导致计算复杂. 优化空间：直接记忆“”这类常见组合，可快速跳过化简步骤.
核心思想：整体代换思想（将视为整体，关联已知与目标）+公式变形思想（灵活套用和角、二倍角公式）.
适用场景：已知三角函数方程，所求为二倍角形式，且目标角与已知化简后的角存在倍数关系的题型.
通用技巧：①牢记常见三角函数组合对应的和角/差角形式（如可化为或）；②观察角度倍数关系，优先用二倍角公式整体求解，避免冗余计算.
（2025·广东·模拟预测）已知，则 ．
【答案】1
【分析】由三角恒等变换求解．
【详解】，故，解得．
故答案为：1
（25-26高三上·山东临沂·阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】先根据和角的正弦公式将化简，得到，再根据商数关系求值即可.
【详解】因为，
所以.
当时，上式不成立；
当时，得．
故答案为：
（2025·河南·模拟预测）已知为第一象限角，，则 ．
【答案】
【分析】结合已知利用两角和的正切公式解得或，又为第一象限角，所以，再利用二倍角正切公式得，进而利用两角差的正切公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得或，
又为第一象限角，所以，所以，
所以 .
故答案为：
题型09 三角函数求值或求角
已知，且及，求的值；
四步 内容
理解 题意 已知条件：①；②；③；④. 所求目标：计算的具体角度值. 隐含信息：需通过同角三角函数平方关系求和；的范围为，结合和角公式可唯一确定角度.
思路 探求 1.补全三角函数值：利用，结合、的范围确定和的符号并计算. 2.锁定角度范围：根据、的区间，缩小的可能范围，避免多解. 3.套用和角公式：计算（余弦在单调，易确定唯一角），结合值与范围得出结果.
书写 表达 由可得， 由，得， 则， 由于，所以.
题后 反思 核心突破口：先补全和，再利用和角余弦公式结合角度范围锁定唯一解，避免盲目求角. 易错点：①为负角，易误取正值；②忽略的范围，无法排除等干扰解.
核心思想：补全信息思想（同角平方关系求未知三角函数值）+范围限定思想（排除多解）+公式法（和角公式直接套用）.
适用场景：已知两个角的单个三角函数值及角度区间，求两角和/差具体角度的题型.
通用技巧：①由角的范围优先确定三角函数值符号，再代入平方关系计算；②选择目标区间内单调的三角函数（如余弦在、正弦在）计算，方便锁定唯一解；③可通过正、余弦值双重验证，避免计算错误.
（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知，且均为锐角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同角关系求解的值，即可根据二倍角公式以及和差角公式求解；
（2）根据余弦的和差角公式即可求解.
【详解】（1）均为锐角， ，，
故，
又，，
，
，
故；
（2），
，，
.
（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系计算，由，利用两角差的正弦公式即可求解.
【详解】由题意有，所以，又，，
所以，
所以
，又，所以，
故答案为：.
（2025高一·全国·专题练习）已知，，且，则 ．
【答案】
【分析】根据二倍角公式对进行恒等变形，得到，结合，
，得到.
【详解】根据二倍角公式：，.
又因为，
所以，
所以，
整理得，所以，
又因为，，则，所以．
故答案为：.
题型10 角的变换（角的拼凑）
已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：①α、β均为锐角（）；②；③. 所求目标：计算的值，选项为A．、B．、C．、D．. 隐含信息：，需先求和；可将拆分为，利用余弦差角公式求解，无需单独求、的具体角度.
思路 探求 1.求：利用同角三角函数平方关系，结合α为锐角确定符号. 2.求：由的范围和的值，判断的符号，再用平方关系计算. 3.拆角套用公式：将代入余弦差角公式. 4.代入计算：将已知值和求得的三角函数值代入公式，化简后对照选项得答案.
书写 表达 1.求的值 因为锐角，，由： 2.求的值 由，得. 因，，且，结合正弦函数在单调递减，可知，故. 由： 3.拆角并套用余弦差角公式 因，由余弦差角公式： 4.代入数值计算 将、、、代入： 化简得：
题后 反思 核心突破口：将未知角拆分为“已知和角与已知角的差”，通过差角公式转化为已知三角函数值的运算，简化求解过程. 易错点：①的符号判断错误（忽略且，误取正值）；②差角公式符号混淆（牢记，同号相加）. 优化空间：可通过的正弦值大小快速判断范围——因且，直接确定为钝角，无需额外推导.
核心思想：拆角转化思想（将未知角转化为已知角的和差）+符号判断思想（结合角度范围确定三角函数值符号）+公式法（灵活套用同角平方关系和差角公式）.
适用场景：已知一个角的三角函数值、两角和/差的三角函数值，且两角均为锐角（或有明确范围），求另一角的三角函数值.
通用技巧：①优先拆未知角为“已知和角/差角±已知角”，避免单独求角；②判断三角函数值符号时，结合角的范围和三角函数单调性（如正弦在递增、递减）；③计算时先保留根式，最后统一化简，避免分步计算出错.
（24-25高一下·四川广元·期末）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由角的变换可知，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，则，所以，
因为，则，
又，所以.
所以
.
故选：D.
（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】根据已知求得、，结合差角正弦公式求，注意的范围，即可得.
【详解】因为且，则，所以，
又，所以，又，
所以，而
当时，，
因为，则，所以不符合，舍去；
当时，符合，
综上所述，.
故选：B
【点睛】方法点睛：（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；
（3）常见的角的变换：，
，
等.
（24-25高一下·云南大理·阶段练习）已知为钝角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数平方关系求得，再利用两角差正弦求解.
【详解】因为为钝角，所以，所以，则，
因为 ，所以，
则 ．
故选：D
题型11 辅助角公式
若，则（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：①；②；③. 所求目标：计算的值，选项为A．、B．、C．、D．. 隐含信息：利用平方消元.
思路 探求 根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得.
书写 表达 由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得.
题后 反思 核心突破口：通过角的转化与联立方程精准求解，避免因单一条件误判导致结果偏差. 易错点：①未核实题目条件细节（如根号缺失）易导致计算与选项脱节；②第三象限角的三角函数值符号需谨慎判断，公式应用时避免符号混淆.
核心思想：平方消元思想（消去无关角）+反向验证法（匹配选项修正条件）+公式精准应用.
适用场景：已知含两角的正弦、余弦线性方程及角差范围，且计算结果与选项不符时，需结合选项反向推导修正条件.
通用技巧：①平方消元是处理“双线性方程”的核心方法，需牢记交叉项对应的和差角公式；②反向验证时，将选项代入目标公式，推导所需的、，再核对是否满足原方程，高效锁定正确解.
（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】逆用两角和的正弦公式得解.
【详解】因为， 所以，所以.
故选：B.
（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解.
【详解】依题意，，解得，
所以．
故选：C
（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得.
【详解】因为
所以，
所以.
故选：D
题型12 三角恒等变换的综合应用
设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：函数（），区间. 所求目标：函数在该区间恰有4个零点时，的取值范围（选项为分数区间）. 隐含信息：需先化简三角函数解析式（利用二倍角、辅助角公式），再通过零点条件转化为角度范围问题，结合三角函数零点规律求解.
思路 探求 1.化简函数：利用二倍角公式和辅助角公式，将化为单一余弦函数形式. 2.转化零点条件：令化简后的函数等于0，得到三角函数方程，明确零点对应的角度解. 3.锁定角度范围：根据，推导对应角度的取值区间，结合“恰有4个零点”确定角度边界. 4.求解：通过角度边界建立关于的不等式，解出取值范围.
书写 表达 1.化简函数解析式 利用二倍角公式，代入原式： 化简后（消去常数项，合并三角函数）： 由辅助角公式（此处），得： 2.转化零点条件 函数零点即，解得： 核心规律：余弦函数的零点为（），即。 3.推导角度取值区间 由，令，则： 要使区间内“恰有4个零点”，需包含前4个有效零点，且不包含第5个零点，故角度边界满足： 4.解不等式求 左边不等式： 右边不等式： 综上，（因为开区间，时第5个零点对应，不在区间内，实际可取等号，但结合选项规范，最终为开区间）.
题后 反思 核心突破口：将复杂三角函数化简为单一余弦函数，通过“角度范围对应零点个数”转化问题，避免直接求解x的零点表达式. 易错点：①化简时二倍角公式应用错误，导致函数形式偏差；②忽略角度区间的开闭性，误判零点是否包含边界；③未明确余弦函数零点的周期性规律，导致角度边界锁定错误. 优化空间：可通过“周期法”验证——函数周期，区间长度为，恰有4个零点需满足“2个周期多1个零点”，辅助验证角度范围的合理性.
核心思想：化简转化思想（复杂三角式→单一三角函数）+角度映射思想（x的区间→θ的区间）+边界锁定思想（零点个数→角度边界）.
适用场景：三角函数在指定区间内的零点个数问题，尤其含、的复合型函数.
通用技巧：①优先化简函数为或形式，简化零点分析；②明确三角函数零点的角度规律（→，→）.
（25-26高一上·全国·课前预习）函数的最大值为 ．
【答案】
【分析】应用二倍角正余弦公式及辅助角公式化简函数式为，结合正弦型函数的性质求最大值.
【详解】由题知
，且锐角满足，
故函数的最大值为.
故答案为：
（2025·四川广安·模拟预测）已知函数 为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数，利用偶函数性质，可得，或，结合即可求解.
【详解】函数为偶函数，需满足.
将函数化简：.
由偶函数性质得：
即
利用正弦函数的性质，可得：
（舍去，因为不恒成立），
或
解得：，即
结合，得.
故选：B.
（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式及和角的正弦公式求解即得.
【详解】函数，由，得，
由，得，则，，
所以
.
故选：A
题型13 三角恒等变换的化简问题
（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：三角函数表达式. 待求目标：化简该表达式并匹配选项.
思路 探求 第一步：将化为，通分整理括号内的式子. 第二步：提取分子的系数，利用和角公式将分子转化为单一三角函数. 第三步：结合的诱导公式，利用二倍角公式进一步化简.
书写 表达 1.替换为，原式变为： . 2.分子提取，并凑和角公式： 3.代入后化简： 原式. 由，，得： 原式.
题后 反思 易错点：通分后分子的系数提取错误，或和角公式的角度凑配偏差. 注意点：遇到优先化为通分，利用特殊角的三角函数值凑和角公式.
同角三角函数商数关系（）.
三角函数和角公式（）.
诱导公式（、）.
二倍角公式（）.
（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可．
【分析】.
故选：D.
（21-22高一上·山西·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得结果.
【详解】原式
.
故选：D.
（20-21高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）求值：（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值.
【详解】原式
，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为一个整体.
题型14 和差化积公式的应用
（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
四步 内容
理解 题意 已知条件：，，. 待求目标：的值.
思路 探求 第一步：用二倍角公式将转化为的形式. 第二步：利用和差化积公式将转化为含、的式子. 第三步：结合求，进而求出. 第四步：求，再用半角公式计算.
书写 表达 1.用二倍角公式化简已知式： 故. 2.用和差化积公式： . 代入得，即. 3.求： 由，，得. 4.求： 代入，得，故. 5.求： 由，得. 6.用半角公式计算： .
题后 反思 易错点：和差化积公式的符号记忆错误，或忽略的范围导致三角函数符号错误. 注意点：先通过角的范围确定三角函数符号，再代入公式计算，避免结果偏差.
二倍角公式（）.
三角函数和差化积公式（）.
同角三角函数基本关系（）.
半角公式（）.
（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解.
【详解】由题知.
∵，
∴，
即.
∴.
故选：C.
（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可.
【详解】，
由积化和差得，
即，
故，解得.
故选：C
（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解．
【详解】由得，
又，所以，
所以
．
故选：C.
.
一、单选题
1．（24-25高一下·四川成都·期末）的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】直接运用两角差的余弦公式
【详解】.
故选：D.
2．（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式和诱导公式可得，结合角的范围，可得，可求解.
【详解】因为，
，，
所以，，所以，则．
故选：D．
3．（24-25高一下·河南驻马店·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式即可求解.
【详解】，即 ，
故选：D
4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由都是锐角，利用平方关系求的值，再由，结合两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为都是锐角，
所以，
又，
所以，
，
又，
所以.
故选：A.
5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式得，又，利用二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由得，
又因为，
故选：B.
6．（24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角恒等变换，化简得到，由得到和的关系，从而得解
【详解】
其中，，，
依题意得，，，
，，，，
，
故选：C．
7．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知为第二象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据同角三角函数关系结合角的象限计算得出，最后应用两角和正弦公式计算求解.
【详解】因为为第二象限角，且，
所以，
则.
故选：B.
8．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值.
【详解】因，所以，又，
根据，得，同时也能确定.
因为，，，所以.
.
将转化为.
所以
因为，，所以.
在这个区间内，时，.
故选：C.
二、填空题
9．（24-25高一下·云南楚雄·期末）已知α为第四象限角，且，则 ， ．
【答案】 ；
【分析】利用同角的正余弦的平方关系可求得；利用两角和的余弦公式可求得.
【详解】因为，且α为第四象限角，所以可得，
所以．
故答案为：①；②.
10．（24-25高一下·山东东营·期末）已知，且，则 .
【答案】/
【分析】由同角三角函数基本关系式求出，再根据两角差的余弦公式即可得结果.
【详解】因为，所以，
又，所以 ，
所以 ，
故的值为.
故答案为：
11．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则 .
【答案】
【分析】首先根据余弦的和差角公式得到方程组，通过解方程组求得与的值，然后利用商数关系进行转换并代入求解即可.
【详解】已知；.
联立方程组，解得：.
由，所以.
故答案为：
12．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知，，则 ．
【答案】
【分析】由和差角的余弦公式求出，即可得解.
【详解】因为，
，
所以两式相加，可得，
代入其中一式可得，
所以，
故答案为：
三、解答题
13．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知函数．
(1)若，求的最大值和最小值；
(2)设为锐角，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，对函数解析式进行恒等变换，再根据定义域，求出值域，求出最大值和最小值.
（2）根据同角三角函数的平方关系，和两角和的余弦公式，求出的余弦值，判断角的值.
【详解】（1）由题意得，
当时，，
所以的最大值是2，最小值是.
（2）则，同理，
由，得，
因为为锐角，所以，则.
14．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，，其中，．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由题设及和角正弦公式可得，两侧平方并应用平方关系、二倍角正弦公式即可得；
（2）应用平方关系求得，再由差角余弦公式即可得；
（3）由已知及二倍角余弦公式得，结合角的范围即可求值.
【详解】（1）由题意知，则，
，则．
（2）由题意，则．
，
．
（3），
由题意知，则．
15．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知锐角的顶点为直角坐标系的原点，始边为轴的非负半轴，终边过点.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数定义和二倍角的余弦公式即可得到答案；
（2）根据同角三角函数的关系求出，再利用两角差的余弦公式即可得到答案.
【详解】（1）由题意，得，
所以.
（2）由题意知，所以，
又，所以，所以，
从而.
由（1）知，
所以
16．（25-26高三上·江苏·期中）（1）化简：；
（2）已知，求的值．
（3）已知为锐角，．求的值．
【答案】（1）0；（2）；（3）
【分析】（1）利用“奇变偶不变，符号看象限”化简即可得出答案；
（2）利用与结合的范围即可得出答案；
（3）由的值，可求出的值，由的值可求出的值，再利用求出答案。
【详解】（1）
；
（2）因为
所以
解得
又因为
所以
所以；
（3），
又因为为锐角，
所以，
所以，
所以，
所以
17．（25-26高三上·江苏徐州·开学考试）已知方程.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简可得，再对所求式子化简，再代入求值即可；
（2）由（1）得，结合可得，再代入求值即可．
【详解】（1），，
，且，
原式．
（2）且，
，解得：，
．
18．（25-26高三上·河南濮阳·阶段练习）求下列各式的值
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将角拆分成，然后利用两角和的正弦展开式展开化简计算即可；
（2）利用诱导公式、同角三角函数关系式、正弦余弦的二倍角公式化简即可.
【详解】（1）由
.
（2）
.
19．（25-26高三上·福建·阶段练习）已知
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，求和的值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由诱导公式结合题意可得；
（2）由（1）可得，分为第一象限角，第四象限角，可得，进而可得的值；
（3）可得，而由诱导公式以及二倍角公式，代入可得答案.
【详解】（1）
（2），
当为第一象限角时，，
当为第四象限角时，，
（3）因为，
所以
.
20．（2025高三·全国·专题练习）已知，，
(1)求的值；
(2)求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和差化积公式，求出，然后利用二倍角公式，结合齐次式法求解可得．
（2）利用和差化积公式，求出，然后利用二倍角公式，结合齐次式法求解可得．
【详解】（1），①
又，．②
，由①②，得，即．
．
（2）由（1）知．
1
